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ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS CURSO DE NIVELACIN 2014 (1S)

LECCIN 3 FRANJA 1 GUAYAQUIL, MAYO 19 DE 2014

S O L U C I N y R B R I C A

TEMA 1 (40 puntos) Sobre EXPRESIONES ALGEBRAICAS: a) (30 puntos) Determine el dominio de la variable y simplifique al mximo.

i) x xy3z33

y z( )3

ii) 1

a2 +3a+ 2 +1

a2 + 5a+ 6 1

a2 + 4a+3"

#$

%

&'

1a+3

"

#$

%

&'

b) (10 puntos) Racionalice: 2

2 + 23 Solucin: a)

i) x xy3z33

y z( )3 =

x x 12 y3 z3( )y 12 z 12( )

3

1331

23

21

33211

zy

zyx

=

+ 31

23

21

3323

zy

zyx

=

23

21

121

zy

zyx =

= x12 y1

12 z1

32 = x 12 y 12 z52 = x y z5( )

12

21

5

=zyx

Las variables x, y, z estn contenidas en races cuadradas. Por lo tanto, debe cumplirse que: x !+ , y !+ , z !+ .

ii) 1

a2 +3a+ 2 +1

a2 + 5a+ 6 1

a2 + 4a+3"

#$

%

&'

1a+3

"

#$

%

&'

( )( ) ( )( ) ( )( )( )3

311

321

211

+

++

+++

++= a

aaaaaa

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=a+3( )+ a+1( ) a+ 2( )a+1( ) a+ 2( ) a+3( )

a+3( ) = a+3+ a+1 a 2a+1( ) a+ 2( ) ( )( )212++

+=

aaa

11+

=a

Se puede observer que existen factores lineales en los denominadores. Para que estos no sean ceros, debe cumplirse que: a ! 3,2,1{ } .

b) 2

2 + 23

=2

2 + 23 2( )

5 2( )

4 23( )+ 2( )3 23( )

2 2( )

2 23( )3+ 2( ) 23( )

4 23( )

5

2( )5 2( )

4 23( )+ 2( )3 23( )

2 2( )

2 23( )3+ 2( ) 23( )

4 23( )

5

=2 4 2 4 23 + 2 2 23( )

2 2( ) 2( )+ 2 2 23 2 23( )

2"#$

%&'

2( )6+ 23( )

6

=2 4 2 4 23 + 2 2 23( )

2 4+ 2 2 23 2 23( )

2"#$

%&'

23 + 22

=2( ) 2( ) 2 2 2 23 + 2 23( )

2 2+ 2 23 23( )

2"#$

%&'

12

=13 2 2 2 2

3 + 2 23( )2 2+ 2 23 23( )

2"#$

%&'

Rbrica: a) i) Transforma los radicales en exponentes fraccionarios.

Aplica la propiedad del producto de potencias de la misma base y la propiedad del cociente de potencias de la misma base. Aplica la propiedad de potencia elevada a otra potencia. Simplifica al mximo la expresin algebraica. Determina el dominio de las variables.

2 puntos 2 puntos

2 puntos 2 puntos 2 puntos

ii) Factoriza cada denominador de la forma x2 + bx + c. Obtiene el denominador comn y realiza la suma algebraica de las expresiones planteadas. Simplifica al mximo la expresin algebraica. Determina el dominio de la variable.

3 puntos 3 puntos

2 puntos 2 puntos

b) Identifica que debe obtener el mnimo comn mltiplo entre 2 y 3 para poder aplicar el producto notable y multiplica por el factor apropiado para poder racionalizar. Simplifica al mximo la expresin.

5 puntos

5 puntos

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TEMA 2 (15 puntos) 50 hombres tienen provisiones para 20 das consumiendo 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen en 1/3 y se aumentan 10 hombres, cuntos das durarn los vveres? Solucin: Como se indica que las raciones se disminuyen en 1/3, quiere decir que ahora se tendrn 2/3 de las raciones originales, esto es, 2 raciones diarias. Se trata de una regla de tres compuesta: Si el tiempo (en das) de duracin de las provisiones aumenta, quiere decir que el nmero de hombres

debera disminuir. O, cuando el nmero de hombres aumenta, la duracin de las provisiones disminuye. Se tiene una relacin inversa entre estas 2 cantidades.

Si el tiempo (en das) de duracin de las provisiones aumenta, las raciones diarias deberan disminuir. O, habrn ms raciones, si se tuvieran menos das de consumo. Se tiene una relacin inversa entres estas 2 cantidades.

HOMBRES DURACIN (das) RACIONES 50 20 3 60 x 2 x20 =

5060

32

x = 56 32 20

x = 25 Considerando las nuevas condiciones (disminucin de raciones y aumento de hombres), los vveres durarn 25 das. Rbrica: Identifica que la reduccin en 1/3 de las raciones generar 2 raciones diarias. Deduce que la relacin entre duracin y hombres es inversa. Deduce que la relacin entre duracin y raciones es inversa. Relaciona las cantidades del problema y despeja la variable. Interpreta el resultado obtenido.

2 puntos 3 puntos 3 puntos 6 puntos 1 punto

TEMA 3 (20 puntos) Justificando su respuesta en cada caso, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) a,b !, a > b( ) a2 > b2( )$% &' b) a,b !, a b = a b$%

&'

c) a,b !, a+b a + b$%&'

d) x !, x2 +1 < 0#$%&

Relacin Inversa Relacin Inversa

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Solucin: a)

a > b

a2 > b2 22 ba >

La proposicin es VERDADERA.

b) Se proporciona uno de los posibles contraejemplos, con a = 1 y b = 1.

( ) 1111

1+1 11 02 02

La proposicin es FALSA.

c) Se proporciona uno de los posibles contraejemplos, con a =1 y b = 1.

1+ 1( ) < 1 + 1

11 < 1+1 0 < 2 20 <

La proposicin es FALSA.

d) Por definicin, el valor absoluto aplicado a un nmero real da por resultado un valor no negativo.

La proposicin es FALSA.

Rbrica: a) Realiza las operaciones adecuadas para demostrar la propiedad.

Concluye que la proposicin es verdadera. 4 puntos 1 punto

b) Identifica un posible contraejemplo. Concluye que la proposicin es falsa.

4 puntos 1 punto

c) Identifica un posible contraejemplo. Concluye que la proposicin es falsa.

4 puntos 1 punto

d) Aplica la definicin del valor absoluto. Concluye que la proposicin es falsa.

4 puntos 1 punto

TEMA 4 (25 puntos) Sobre ECUACIONES:

a) (10 puntos) Obtenga los valores de para los cuales la ecuacin 2x2 kx+ x+8 = 0 tiene races reales e iguales.

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b) (15 puntos) La suma de las edades de Eduardo, Pedro y Antonio es igual a 100 aos. Determine la edad de cada uno de ellos, si se conoce que Eduardo tiene 10 aos menos que la edad de Pedro, y Antonio tiene tantos aos como Eduardo y Pedro.

Solucin: a) En la ecuacin cuadrtica ( ) 0812 2 =++ xkx los valores de los coeficientes son:

a = 2 b =1 k c = 8 El valor del discriminante es:

= b2 4ac = 1 k( )

2 4 2( ) 8( )

=1 2k + k2 64

=k2 2k 63

Para que la ecuacin cuadrtica tenga races reales e iguales, el valor de su discriminante debe ser igual a cero. Por lo tanto, debe resolverse esta ecuacin cuadrtica: k2 2k 63= 0

k2 2k 63= 0k 9( ) k + 7( ) = 0k 9 = 0( ) k + 7 = 0( )k = 9( ) k = 7( )

Se comprueba para el primer valor obtenido:

2x2 9x+ x+8 = 02x2 8x+8 = 0x2 4x+ 4 = 0

x 4( )2= 0 Ecuacin que tiene una raz real repetida.

Se comprueba para el segundo valor obtenido:

2x2 7( ) x+ x+8 = 02x2 +8x+8 = 0x2 + 4x+ 4 = 0

x+ 4( )2= 0 Ecuacin que tiene una raz real repetida.

Los 2 valores de k que satisfacen la condicin del problema son k1 = 7 y k2 = 9 .

b) Segn el enunciado del problema, se deben determinar las edades de las 3 personas. Se dejar como incgnita a una sola y las otras dos se expresarn en funcin de la primera. Sea x: la edad de Pedro Entonces se cumple que: x 10: es la edad de Eduardo

x + (x 10): es la edad de Antonio

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Pero la suma de las 3 edades da por resultado 100 aos. Se expresar la ecuacin en funcin de esta condicin del problema.

xedad$de$Pedro!

+ x 10( )edad$de$Eduardo!"# $#

+ x + x 10( )!" #$edad$de$Antonio! "## $##

= 100suma%de%las%edades!

x + x 10+ x + x 10 =1004x 20 =100

4x =120

4120

=x

30=x El valor de la incgnita x es la edad de Pedro. l tiene 30 aos. Eduardo tiene x 10 aos. Entonces l tiene 20 aos. Antonio tiene tantos aos como Pedro y Eduardo. Por lo tanto, l tiene 50 aos. Se cumple que la suma de las edades de las 3 personas es el valor de 100 aos, el cual est especificado en el problema.

Rbrica: a) Obtiene el valor del discriminante, a partir de los coeficientes de la ecuacin

cuadrtica, en funcin de la condicin del problema. Plantea la nueva ecuacin cuadrtica y la resuelve.

5 puntos

5 puntos b) Define la incgnita y plantea las 3 edades en funcin de esta variable.

Plantea la ecuacin lineal y la resuelve. Interpreta los valores encontrados para las edades. OBSERVACIN.- Se puede plantear el problema de una forma similar, pero se deben considerar los mismos conceptos de esta rbrica.

3 puntos 10 puntos 2 puntos