Material reforzamiento : Limites Laterales

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor. Debemos analizar el limite de la función cuando nos acercamos por la derecha y por la izquierda en el punto.

Ejemplo: 

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función   definida por: 

 

Primero graficamos la función: 

 

El punto de discontinuidad se presenta cuando   

Luego:   y   

Observe que el límite por la derecha es 3, el límite por la izquierda es -2, entonces como los limites son diferentes si nos acercamos por la derecha y por la izquierda, el limte de la función cuando x tiende a 1 no existe. Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 1.

Podemos definir limites laterales como:

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por :

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :

El limite de una función en un punto a existe si el limite por la derecha de a es igual al limite por la izquierda de a.

Ejemplo:

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha

cuando x tiende a 2 es 4., como son iguales , entonces el limite si existe cuando x

tiende a 2.

 Ejemplo 2:

Dada la función:

Hallar  .

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Continuidad

Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Una función f(x) es continua en un punto x = a si se cumple que:

a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

b) Existe el limite de f(x)

c) limx→a f(x)= f(a)

Esta última propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una función es continua o no en un punto.

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales,

logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su

dominio.

La función   es continua en   − {3}. En x = 3 no es continua

porque no está definida.

Ejemplo 1 : Estudiar la continuidad de la función:

Si alguna de las  tres condiciones de continuidad  no se cumple, la función es discontinua en a.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen, es decir f(2) no existe

Ejemplo 2: Analicemos la función f(x), es continua ó discontinua en x=2?

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el

límite.

Ej 4.: Dada la función definida por f ( x )={ x2−1x−1

;0≤ x<1

x+1x;1≤ x ≤2

. Decidir si f es continua.

1°) Se debe determinar el punto a que permite hacer el estudio de la función.Para el caso de esta función definida por tramo el punto a corresponde al punto donde la función cambia de tramo, es decir a = 1.2°) Cálculo de límites laterales

i) lim

x→a−¿ f ( x )= limx→1−¿ x2−1

x−1=0

0¿

¿ ¿¿

limx→a−¿ f ( x )= lim

x→1−¿ x2−1x−1

= limx→ 1−¿ (x+1)( x−1)

x−1= lim

x→ 1−¿x+1= lim

x→ 1−¿x↗ 1+ lim

x→ 1−¿1=2 ¿¿¿

¿¿¿ ¿

¿¿

¿ ¿¿

ii) lim

x→a+¿ f (x )= limx→1+ ¿ x+1

x= limx→1−¿ x↗1+ lim

x→1−¿

1

¿ lim

x→ 1−¿x↘ 1

¿2¿ ¿

¿ ¿¿

¿ ¿¿

iii) f (1 )=2R: Dado que se cumplen las condiciones de continuidad, entonces f es continua en el punto a = 1

(*) Basta con que no se cumpla una de las condiciones de continuidad para que la función f no sea continua

Ejercicios:Decidir cual de las siguientes funciones son continuas. En caso de no serla redefinirla para que si sea.

a¿ f (x )={5 x−6 ;0≤x ≤2−x2+3 ;2<x≤3

b¿h ( x )={ x2−1x+1

;−2≤ x≤−1

−2x−4x−2

;−1<x ≤4

c ¿ f ( x )={x2−2 x−3x2−9

;0≤x ≤3

3x−52 x

;3<x ≤5 d ¿h ( x )={x

3+8x+2

;−3≤ x←2

2 x+3;−2≤x ≤3

e ¿ f ( x )=2x+35 x+6

; x≠0 f ¿h ( x )={ x3+1x+1

; x≠−1

3 ; x=−1

g¿ f ( x )=2x2+10 x+12x3+8

h¿ f ( x )={2x2+10 x+12

x3+8;−3≤ x≤−2

16; x=−2

−124x2−4x+2

;−2<x ≤4

Continuidad y discontinuidad en forma gráfica

La figura 1, muestra una función continua en todo su tramo. No se observa ningún corte de la gráfica, no así en la figura 2, la cual es discontinúa en el punto a.

Figura 1. Función continúa Figura 2. Función discontinua

Sean las siguientes funciones definidas analítica y gráficamente:

f : R  {2}    R g : R    R

                 F(x)=        F(x)=  

h : R   R m : R   R

      F(x) =  

       F(x)=   x  2

Las funciones f y g son discontinuas en x  2 mientras que las funciones h y m son continuas en x  2.

Ejercicios:

Determine si las siguientes gráficas corresponden a funciones continuas ó discontinuas, justifique.

2)

3)

4)

5)

Para ejercitar revisa los ejercicios del aula virtual Taller nº 20 “Limites” y nº 21

“limites y continuidad”