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Roboacutetica

TEMA 2RELACIONES ESPACIALESEN ROBOacuteTICAMartin Mellado (martinisaupves)

Departamento de Ingenieriacutea de Sistemas y Automaacutetica (DISA)Facultad de Informaacutetica de Valencia (FIV)Universidad Politeacutecnica de Valencia (UPV)

Relaciones espaciales en roboacutetica Martin Mellado DISA - UPV1

Universidad Politeacutecnica de Valencia (UPV)

Tema 2Relaciones espaciales en roboacutetica

OBJETIVOS

bull Reconocer la importancia de representar localizaciones como posicioacuten y orientacioacuten en roboacuteticaen roboacutetica

bull Conocer meacutetodos de representacioacuten matemaacutetica de localizaciones adecuadasmatemaacutetica de localizaciones adecuadas para roboacutetica

bull Saber coacutemo utilizar los meacutetodos de representacioacuten de localizaciones aprendidos



CONTENIDOS

1 Introduccioacuten2 Matrices de Rotacioacuten3 Aacuteng los de E ler3 Aacutengulos de Euler4 Matrices de Transformacioacuten Homogeacutenea5 Utilidad y Aplicaciones5 Utilidad y Aplicaciones


Introduccioacuten

N id d d R t ioacute E i lbull Necesidad de Representacioacuten Espacialbull Posicioacuten y Orientacioacutenbull Herramientas Matemaacuteticasbull Herramientas Matemaacuteticas

bull Sistemas de Coordenadas Dextroacutegirosgbull XY=Z (YZ=X y ZX=Y)bull Regla de la Mano Derecha


Matrices de Rotacioacuten

x

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ u

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

zzyyxx

z

yxyz kpjpipppPP sdot+sdot+sdot=

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

== wwvvuu

w

vuvw kpjpipppPP sdot+sdot+sdot=

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

==

Pip kijiiiPiPip xx sdot=

Pjp yy sdot= wwyvvyuuyyy

wwxvvxuuxxx

pkjpjjpijPjppkipjipiiPipsdotsdot+sdotsdot+sdotsdot=sdot=

sdotsdot+sdotsdot+sdotsdot=sdot=

M t i d R t ioacute d P t i R

Pkp zz sdot= wwzvvzuuzzz pkkpjkpikPkp sdotsdot+sdotsdot+sdotsdot=sdot=

Matriz de Rotacioacuten o de Permutaciones R

uwxvxuxx

PRp

kjjjijkijiiip

P ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ sdotsdotsdot

⎥⎤

⎢⎡

uvw

w

v

wzvzuz

wyvyuy

z

yxyz PRpp

kkjkikkjjjij

ppP sdot=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

sdot⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ sdotsdotsdotsdotsdotsdot=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=



xyzuvw PQP =uvwxyz PRP sdot=

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

sdotsdotsdotsdotsdotsdot

= wyvyuy

wxvxux

kjjjijkijiii

R⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= zvyvxv

zuyuxu

kjjjijkijiii

Q⎥⎦⎢⎣ sdotsdotsdot wzvzuz kkjkik ⎥

⎦⎢⎣ sdotsdotsdot zwywxw kkjkik

T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

=sdot=sdot=

==minus

minus



Interpretacioacuten GeomeacutetricaInterpretacioacuten Geomeacutetrica

1 Vector columna = vector unitario del eje del sistema1 Vector columna vector unitario del eje del sistemamoacutevil en funcioacuten del sistema de referencia OXYZ2 Vector fila = vector unitario de los ejes del sistemade referencia en funcioacuten del sistema moacutevil OUVW3 Moacutedulo de Vector ColumnaFila = 1 Determinante=+14 Producto escalar entre dos columnasfilas es cero (perp)4 Producto escalar entre dos columnasfilas es cero (perp)5 La inversa de una matriz de rotacioacuten es su traspuesta

R-1=RT RRT=I33

Las matrices de Rotacioacuten son matrices ORTONORMALES



Matrices de Rotacioacuten BaacutesicasMatrices de Rotacioacuten Baacutesicas

Rotacioacuten en el Eje X⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

αα sencos0001

RRotacioacuten en el Eje XSe supone una rotacioacutende un aacutengulo α

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x

respecto del eje OXZ

Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU




Rotacioacuten en el Eje Y ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos

R yRotacioacuten en el Eje YSe supone una rotacioacutende un aacutengulo φ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny

respecto del eje OYZ

W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V




Rotacioacuten en el Eje Z⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos

RRotacioacuten en el Eje ZSe supone una rotacioacutende un aacutengulo θ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm



Matrices de Rotacioacuten BaacutesicasMatrices de Rotacioacuten BaacutesicasInversa (traspuesta)

⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

αminusαminusαminusminusαminus=== ααminus

minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus

φminusφminus=== φφminus

minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y

⎦⎣ φφ⎦⎣ φφ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθminusθminusminusθminus

=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100



Matrices de Rotacioacuten BaacutesicasMatrices de Rotacioacuten BaacutesicasRotacioacuten respecto a ejes del Moacutevil

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααminusα== αα

cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤

⎢⎡ θminusθ 0sencos

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw



Matrices de Rotacioacuten CompuestasMatrices de Rotacioacuten CompuestasComposicioacuten de RotacionesProducto de Matrices no ConmutativoProducto de Matrices no Conmutativo

Sistemas de coordenadas coincidentesR = I3

Por cada rotacioacuten realizadaSi giro respecto a eje de OXYZ se pre multiplicaSi giro respecto a eje de OXYZ se pre-multiplica

R = Rbaacutesica-xyz sdot RSi giro respecto a eje de OUVW se post-multiplicaS g o espec o a eje de OU se pos u p ca

R = R sdot Rbaacutesica-uvw

uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP


Rotacioacuten Respecto a Eje ArbitrarioRotacioacuten Respecto a Eje Arbitrario

Wminusβα

αβminusφβαminusφ sdotsdotsdotsdot= xyzyxr RRRRRRZW Z

r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

ryα

α

α

r x

d d

X

Y

U

V

φ

X

Y

Ur

minusβ

X

Y

U

r rz

α

ZW Z

V

φZ

W

Z

V

Z

W

Z

V

X

YU

r

β

X

YU

r

minusαX

Y

U

V

r


Aacutengulos de Euler

Aacutengulos de Euler Tipo 1

g

Aacutengulos de Euler Tipo 1(giroscoacutepicos o ZXZ) Z W Z Wrsquo

φ

Rotaciones1 en Z de aacutengulo α (Rzα) Y V

Y

Vφ

2 en U de aacutengulo β (Ruβ)3 en W de aacutengulo γ (Rwγ)

X U

X

Uφ

Z θ

WW Z

WZ

VWrsquo ψ

Rαβγ=RzαRuβRwγY

θ

V

V

Y

Vψ

θ

XUrdquoU X

UψU




g

Aacutengulos de Euler Tipo 2(ZYZ) Z W Z W

φ

Rotaciones1 en Z de aacutengulo α (Rzα)

Y V

XY

V

φ

2 en V de aacutengulo β (Rvβ)3 en W de aacutengulo γ (Rwγ)

X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W

Rαβγ=RzαRvβRwγY

V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g

Aacutengulos de Euler Tipo 3(Roll-Yaw-Pitch)

φGiro

Z W ZW ψ

Rotaciones1 en X de aacutengulo α (Rxα)

θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ

2 en Y de aacutengulo β (Ryβ)3 en Z de aacutengulo γ (Rzγ)

Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W

Rαβγ= Rzγ Ryβ RxαX

Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU



Resolucioacuten Inversa Tipo 2

g

Resolucioacuten Inversa Tipo 2R=RzαRvβRwγ

⎤⎡ asn ⎤⎡ βαγαγβαγαγβα sincoscossinsincoscossinsincoscoscos=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

βγβγβminusβαγβαminusγαγα+γβαβαγαminusγβαminusγαminusγβα

cossinsincossinsinsinsincossincoscossincoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscoscos

Solucioacutencosβ = a tgγ = s ( n ) tgα = a acosβ = az tgγ = sz(-nz) tgα = ayax

PeroLa funcioacuten arcocoseno no es recomendableSi |az|asymp1 entonces nzasymp0 szasymp0 axasymp0 ayasymp0




g

Resolucioacuten Inversa Tipo 2Si azasymp+1 cosβasymp+1 (βasymp0ordm)nx=cosαcosγ-sinαsinγ sx=-cosαsinγ-sinαcosγnx cosαcosγ sinαsinγ sx cosαsinγ sinαcosγny=sinαcosγ+cosαsinγ sy=cosαcosγ-sinαsinγnx=sy y ny=-sx

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ minus 0nn yxy y

nx=cos(-α)cosγ+sin(-α)sinγ=cos(γ+α)ny=-sin(-α)cosγ+cos(-α)sinγ=sin(γ+α)tg(γ+α)=n n por lo que existen infinitas soluciones

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy

tg(γ+α)=nynx por lo que existen infinitas solucionesα=0 β=0ordm y obtener γ mediante tg(γ)= nynxSi azasymp-1 cosβasymp-1 (βasymp180ordm)z β (β )α=0 β=180ordm y obtener γ mediante tg(γ)=ny(-nx)




g

Resolucioacuten Inversa Tipo 2alfa=beta=gama=0if |az|gt1+ε return ERROR matriz incorrectaelsif |az|lt1 εelsif |az|lt1-εbeta=invcos(az)180pialfa=atan2(ayax)180pigama=atan2(sz-nz)180pi

elseelseif |nz|+|sz|+|ax|+|ay|ltε

if azgt0if (|nx-sy|ltε) AND (|ny+sx|ltε)gama=atan2(nynx)180pi

l O i ielse return ERROR matriz incorrectaelse

if (|nx+sy|ltε) AND (|ny-sx|ltε)beta=180gama=atan2(ny -nx)180pigama=atan2(ny nx) 180pi

else return ERROR matriz incorrectaelse return ERROR matriz incorrecta

return OK




g

Resolucioacuten Inversa Tipo 1R=RzαRuβRwγ

⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

βγβγββαminusγαminusγβαγβα+γα

βαγβαminusγαminusγβαminusγα

coscossinsinsinsincossinsincoscoscossincoscoscossin

sinsincoscossinsincossincossincoscos

cosβ = a tgγ = n s tgα = a a

⎥⎦⎢⎣ βγβγβ coscossinsinsin

cosβ = az tgγ = nzsz tgα = -axaySi azasymp+1 cosβasymp+1

α=0 β=0ordm tg(γ)= nynxα 0 β 0 g(γ) y xSi azasymp-1 cosβasymp-1

α=0 β=180ordm tg(γ)=(-ny )nx




g

Resolucioacuten Inversa Tipo 3R= Rzγ Ryβ Rxα

⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

βββαγminusαβγαγ+αβγβγαγ+αβγαγminusαβγβγ

iisincoscossinsincoscossinsinsincossinsinsincossincoscossinsinsincoscoscos

sinβ = n tgγ = n n tgα = s a

⎥⎦⎢⎣ αβαββminus coscossincossin

sinβ = -nz tgγ = nynx tgα = szazSi nzasymp+1 sinβasymp-1

α=0ordm β=-90ordm tg(γ)=(-ay)(-ax)α 0 β 90 g(γ) ( ay)( ax)Si nzasymp-1 sinβasymp+1

α=0 β=90ordm tg(γ )=-ayax



Cuaterniones

g

Cuaternionesbull cuatro nuacutemeros (q1 q2 q3 q4)bull q1=cos(θ2) q2=rxsin(θ2) q3=rysin(θ2) q4=rzsin(θ2)q1 cos(θ2) q2 rxsin(θ2) q3 rysin(θ2) q4 rzsin(θ2)

bull θ es el aacutengulo de giro del sistema de coordenadasmoacutevil alrededor del eje de giro

bull (rxryrz) es un vector unitario r director del eje alrededordel cual se efectuacutea la rotacioacutendel cual se efectuacutea la rotacioacuten

bull Utilizado por ABBU ado pobull Velocidad de caacutelculo y ahorro memoria pero poco

intuitivo


Matrices de Transformacioacuten Homogeacutenea

Coordenadas Homogeacuteneas

g

Coordenadas HomogeacuteneasppRp uvwxyz +sdot=

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz

11p)000(1 uvw sdot+sdot= ⎟⎠

⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1

uvw4x4xyz PTP sdot=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz

⎤⎡⎤⎡ posicioacuten|rotacioacutenp|R 1333

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |

posicioacuten|rotacioacuten

|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ escalado|aperspectiv1x1|f 3x1



Transformacioacuten Inversa

g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g

Transformacionesbull Una matriz de transformacioacuten homogeacutenea representa

la localizacioacuten (posicioacuten y orientacioacuten)la localizacioacuten (posicioacuten y orientacioacuten)de un sistema de coordenadas moacutevilrespecto a uno fijo

bull La relacioacuten o transformacioacuten entre dos sistemas de coordenadassistemas de coordenadas

bull El vector p es el origen del sistema moacutevil la matriz R ec o p es e o ge de s s e a oacute a aes la orientacioacuten del sistema moacutevil



Matrices de Transformacioacuten Homogeacuteneas Baacutesicas

g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux

⎤⎡ φφ 0sen0cos

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ

10000cos0sen00100sen0cos

RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz



Matrices de Transformacioacuten Homogeacuteneas Compuestas

g

Matrices de Transformacioacuten Homogeacuteneas CompuestasComposicioacuten de TransformacionesProducto de Matrices no ConmutativoProducto de Matrices no Conmutativo

Sistemas de coordenadas coincidentesT = I4

Por cada transformacioacuten realizadaSi transformacioacuten respecto a eje de OXYZSi transformacioacuten respecto a eje de OXYZ

se pre-multiplica T = Tbaacutesica-xyz sdot TSi transformacioacuten respecto a eje de OUVWS a s o ac oacute espec o a eje de OU

se post-multiplica T = T sdot Tbaacutesica-uvw

Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw


Transformaciones respecto a ejes fijos y moacuteviles

g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U


Utilidad y Aplicaciones

Modelado de Objetos

y p

Modelado de ObjetosLocalizacioacuten de Primitivas

LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p

Modelado de RobotsLocalizacioacuten de Elementos

RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots

Sistema de la HerramientaSistema de la Herramienta

Si la herramienta se acopladirectamente a la bridaFlangeTtool = FlangeTFTi FTiTtool

Si las herramientas seacoplan a la bridaacop a a a b damediante un adaptadorFlangeTtooli = FlangeTA ATATi ATiTFTi FTiTtooli


Utilidad y Aplicacionesy p

Resolucioacuten de los problemas debull Cinemaacutetica directa del puntobull Cinemaacutetica directa del puntobull Cinemaacutetica inversa del puntobull Cinemaacutetica directa de velocidadCinemaacutetica directa de velocidadbull Cinemaacutetica inversa de velocidad



Movimiento del Robot

y p

Movimiento del RobotTransformacioacuten OriginTtool describe doacutende estaacute la herramientaLa transformacioacuten que lleva del SCorigen del robotLa transformacioacuten que lleva del SCorigen del robotal sistema de coordenadas que localiza su herramienta

Instruccioacuten de movimiento del robotMoveRobot(OriginT)

Cambiar configuracioacuten del robot para que la relacioacuten entreCambiar configuracioacuten del robot para que la relacioacuten entreSCorigen de programacioacuten del robot y SCherramientasea igual a la transformacioacuten especificadasea gua a a a s o ac oacute espec cada

Fuerza al robot a cumplir OriginTtool=OriginT




y p

Movimiento del RobotTransformacioacuten Absoluta Respecto a SCoriginTransformacioacuten Relativa Respecto a SCtool toolTTransformacioacuten Relativa Respecto a SCtool TMoveRobot(OriginTtool toolT)

toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p

Movimiento del RobotInstruccioacuten de Aproximacioacuten (-Ztool)APPROX(OriginT distance) = MoveRobot(OriginT DW distance)APPROX( T distance) MoveRobot( T DW-distance)Instruccioacuten de Retirada (-Ztool)DEPART(distance) = MoveRobot(OriginTtool DW-distance)

DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T



Relacioacuten entre Robot y Entorno

y p

Relacioacuten entre Robot y EntornoOriginTPickPart1=OriginTRobotRobotTWorldWorldTTableTableTSupportSupportTPart1Part1TPickPart1

SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES

bull Se ha visto el uso de las matrices de rotacioacuten para representar orientacionesS h li d l aacute l d E lbull Se han explicado los aacutengulos de Euler como meacutetodos de representar orientaciones

bull Se han estudiado las matrices deSe han estudiado las matrices de transformacioacuten homogeacutenea para representar localizaciones

bull Se han introducido ejemplos de utilidad y aplicaciones



OBJETIVOS

bull Reconocer la importancia de representar localizaciones como posicioacuten y orientacioacuten en roboacuteticaen roboacutetica

bull Conocer meacutetodos de representacioacuten matemaacutetica de localizaciones adecuadasmatemaacutetica de localizaciones adecuadas para roboacutetica

bull Saber coacutemo utilizar los meacutetodos de representacioacuten de localizaciones aprendidos



CONTENIDOS



Introduccioacuten





x

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ u

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

zzyyxx

z


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

== wwvvuu

w


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

==



wwxvvxuuxxx






uwxvxuxx

PRp

kjjjijkijiiip

P ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ sdotsdotsdot

⎥⎤

⎢⎡

uvw

w

v

wzvzuz

wyvyuy

z

yxyz PRpp

kkjkikkjjjij

ppP sdot=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

sdot⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=




⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= wyvyuy

wxvxux

kjjjijkijiii

R⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= zvyvxv

zuyuxu

kjjjijkijiii



T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

=sdot=sdot=

==minus

minus





R-1=RT RRT=I33






⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x


Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU





⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

ryα

α

α

r x

d d

X

Y

U

V

φ

X

Y

Ur

minusβ

X

Y

U

r rz

α

ZW Z

V

φZ

W

Z

V

Z

W

Z

V

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r

β

X

YU

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Y

U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

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WZ

VWrsquo ψ


θ

V

V

Y

Vψ

θ

XUrdquoU X

UψU




g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

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X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






CONTENIDOS



Introduccioacuten





x

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ u

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

zzyyxx

z


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

== wwvvuu

w


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

==



wwxvvxuuxxx






uwxvxuxx

PRp

kjjjijkijiiip

P ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ sdotsdotsdot

⎥⎤

⎢⎡

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w

v

wzvzuz

wyvyuy

z

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kkjkikkjjjij

ppP sdot=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

sdot⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=




⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= wyvyuy

wxvxux

kjjjijkijiii

R⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= zvyvxv

zuyuxu

kjjjijkijiii



T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

=sdot=sdot=

==minus

minus





R-1=RT RRT=I33






⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x


Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU





⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

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Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


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cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

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cos0sen010

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cos0sen010

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

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1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

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⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

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1000cossenRR zw








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Wminusβα


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V

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α

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g


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V

V

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W Z

W


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Y

V

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g


φGiro

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θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

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X

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g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

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asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

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3x3

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1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


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WIII

WII

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VII

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W

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W

U

V

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VI

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Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

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W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES





Introduccioacuten





x

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ u

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

zzyyxx

z


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

== wwvvuu

w


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

==



wwxvvxuuxxx






uwxvxuxx

PRp

kjjjijkijiiip

P ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ sdotsdotsdot

⎥⎤

⎢⎡

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w

v

wzvzuz

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z

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kkjkikkjjjij

ppP sdot=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

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⎦⎢⎢⎢


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=




⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= wyvyuy

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R⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= zvyvxv

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T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

=sdot=sdot=

==minus

minus





R-1=RT RRT=I33






⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

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Y

W

Vα

αY

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W

α = 90ordm

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=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

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W

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φ

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φ = -90ordm

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YX

V





⎢⎢⎡

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= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

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o

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X

YX

U

θ = 90ordm




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⎥⎥⎥

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡


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cossen0sencos0

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎦

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⎢⎢⎢

⎣

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⎦

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⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

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1000cossen0sencos

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡


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RR xu

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⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

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RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

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⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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V

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g


φ


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g


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g


φGiro

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Elevacioacuten

Y VX

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V

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ψ


Elevacioacuten

X U

X U

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W

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

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P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

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⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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⎢⎢⎢⎡

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|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

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3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


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g


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WIII

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W

U

V

W

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V

UI

VI

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Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

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Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

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Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






x

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ u

kpjpippp

PP ++⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

zzyyxx

z


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

== wwvvuu

w


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝

==



wwxvvxuuxxx






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PRp

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⎢⎡

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⎢⎡ sdotsdotsdot

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⎢⎡

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w

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⎦⎢⎢⎢

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⎦⎢⎢⎢


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T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

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==minus

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R-1=RT RRT=I33






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αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

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α = 90ordm

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⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

ryα

α

α

r x

d d

X

Y

U

V

φ

X

Y

Ur

minusβ

X

Y

U

r rz

α

ZW Z

V

φZ

W

Z

V

Z

W

Z

V

X

YU

r

β

X

YU

r

minusαX

Y

U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

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Uφ

Z θ

WW Z

WZ

VWrsquo ψ


θ

V

V

Y

Vψ

θ

XUrdquoU X

UψU




g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

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UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= wyvyuy

wxvxux

kjjjijkijiii

R⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡


= zvyvxv

zuyuxu

kjjjijkijiii



T1

31T

T1

IRRRRQR

RRQ

=sdot=sdot=

==minus

minus





R-1=RT RRT=I33






⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x


Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU





⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

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α

α

r x

d d

X

Y

U

V

φ

X

Y

Ur

minusβ

X

Y

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α

ZW Z

V

φZ

W

Z

V

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W

Z

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X

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r

β

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YU

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minusαX

Y

U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

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Uφ

Z θ

WW Z

WZ

VWrsquo ψ


θ

V

V

Y

Vψ

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XUrdquoU X

UψU




g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES








R-1=RT RRT=I33






⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x


Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU





⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

ryα

α

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r x

d d

X

Y

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φ

X

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Ur

minusβ

X

Y

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ZW Z

V

φZ

W

Z

V

Z

W

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X

YU

r

β

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YU

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minusαX

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U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

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Uφ

Z θ

WW Z

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VWrsquo ψ


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V

V

Y

Vψ

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XUrdquoU X

UψU




g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES








⎢⎢⎡

αα sencos0001


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ αα

αminusα=α

cossen0sencos0R x


Y

W

Vα

αY

VZ

W

α = 90ordm

oY

XU





⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

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α

α

r x

d d

X

Y

U

V

φ

X

Y

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minusβ

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Y

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α

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V

φZ

W

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V

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W

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V

X

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r

β

X

YU

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Y

U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

X

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WZ

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θ

V

V

Y

Vψ

θ

XUrdquoU X

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g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

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Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

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XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

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X

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g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


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Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

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W

U

V

W

U

V

UI

VI

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Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES








⎢⎢⎡ φφ

=φ 010sen0cos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φ

cos0seny


W

X

φ

o

Z UW

φ = -90ordm

U

φo

YX

V





⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

θo

Uθ

o

VZ W

X

YX

U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

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⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

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⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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Elevacioacuten

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V

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X U

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W

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φ W


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⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

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3x3TT

3x3

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1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

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RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

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== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






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g


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W

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W

V W

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Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

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Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES








⎢⎢⎡

θθθminusθ

= 0cossen0sencos


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

θθ=θ

1000cossenR z

respecto del eje OZ

Y

V

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U

θ = 90ordm




⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


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cossen0sencos0

001

cossen0sencos0

001RRR T

xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

cos0sen010

sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

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⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








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Wminusβα


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r x

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θψDesviacioacuten

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Y VX

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V

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Elevacioacuten

X U

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W

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⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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⎢⎢⎢⎡

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|

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⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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=minus pRRpsRpn

TTT

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⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

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⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

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RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

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⎦⎢⎢

⎣

αααα

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RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


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⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


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U

V

UI

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UIII VIIIV

W

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V W

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Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

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ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







⎤⎡⎤⎡ 001001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααminusαα=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


minusα

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001

cossen0sencos0

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xx1x

⎤⎡⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφ

φminusφ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φminusφminusminus


minusφ

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sen0cos

cos0sen010

sen0cosRRR T

yy1y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=== θθminusminus

θ

1000cossen0sencos

1000cossen0sencos

RRR Tzz

1z

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 100100




⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


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V

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r x

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g


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Z W ZW ψ


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Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


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X U

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W

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W

φ

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X

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g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


cossen0sencos0001

RR xu

⎦⎣ αα cosse0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ φφ

== φφ 010sen0cos

RR yv⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ φφminus

φφ

cos0senyv

⎥⎤


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000cossenRR zw








uvwxyz PRP sdot=


uvwxyz PRP



Wminusβα


r

rrsquoZZ

V

minusβ

minusββ

r x

d

ZW Z

Vrrsquo

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α

α

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X

Y

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V

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X

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α

ZW Z

V

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W

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V

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W

Z

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X

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r

β

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YU

r

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Y

U

V

r




g


φ


Y

Vφ


X U

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Z θ

WW Z

WZ

VWrsquo ψ


θ

V

V

Y

Vψ

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XUrdquoU X

UψU




g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

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XY

UU

θ

XY

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g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

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3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

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DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

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g






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W

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W

V W

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Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES











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Wminusβα


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Elevacioacuten

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X

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g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





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g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

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⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

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P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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⎢⎢⎢⎡

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|

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T1x33x3

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⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


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⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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TTT

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T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

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⎦⎣ 1000

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⎢⎢⎡

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⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

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g






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g


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W

V W

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Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

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XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







Wminusβα


r

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V

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g


φ


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Wθ

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V

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V

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XY

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XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

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Elevacioacuten

X U

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W

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⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

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⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

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p1)000(pR

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⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


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P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

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P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

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⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

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⎢⎢⎡

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⎦⎣ 1000

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⎢⎢⎡

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⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


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UIII VIIIV

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Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


φ


Y

Vφ


X U

X

Uφ

Z θ

WW Z

WZ

VWrsquo ψ


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V

V

Y

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XUrdquoU X

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g


φ


Y V

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φ

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W Z

W


V

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Y

V

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XY

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UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

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W

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W φ

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g



⎥⎥⎥

⎦

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⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

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p1)000(pR

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⎜⎝

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⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

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P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

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P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

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|

p|R

T1x33x3

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⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

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⎢⎡ minus=⎥

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⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

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3x3

T

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⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

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⎦⎣ 1000

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⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


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Wrsquo

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VI

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UIII VIIIV

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V W

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Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

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Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


φ


Y V

XY

V

φ


X UU

φ

Z

Wθ

W Z

W


V

θ

Y

V

Vψ

ψ

XY

UU

θ

XY

UψU




g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


φGiro

Z W ZW ψ


θψDesviacioacuten

Elevacioacuten

Y VX

Y

V

ψ

ψ


Elevacioacuten

X U

X U

Z

W

W

θ

Z

W

φ

φ W


Y

V

W

θ

Vθ

XY

V

W φ

φ

V

X

Uθ

X

U φU




g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

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Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡








g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


⎟⎟⎞



⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

=1000nnR xy





g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g







return OK




g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

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⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

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RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

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Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

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Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡













g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

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U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡










Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






Cuaterniones

g





intuitivo




g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

p1)000(pR

1p uvwxyz


⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ 11)000(1


⎜⎜⎛

=p

P uvw4x4xyz


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

P

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= |


|

p|R

T1x33x3

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢





g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


⎤⎡ T

⎥⎤

⎢⎡ minus=⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

minusminus

=minus pRRpsRpn

TTT

3x3TT

3x3

T

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

minus 101000

paT TT

⎦⎣



Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






Transformaciones

g








g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

αminusα== αα

0sencos00001

RR ux ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

0010a001

DD⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

αααα

10000cossen0

RR ux


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

10000100

DD auax

⎤⎡ 0001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφminus

φφ

== φφ


RR vy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10000100b0100001

DD bvby

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθminusθ

00cossen00sencos

⎦⎣ 1000

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

00100001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

θθ== θθ

1000010000cossen

RR wz

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==

1000c1000010

DD cwcz




g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g






Pxyz = T sdot Puvw


xyz uvw



g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







g


WrsquoWI

Wrsquo

WIII

WII

UII

VII

Uacute

Vrsquo

W

U

V

W

U

V

UI

VI

Ursquo

Vrsquo

UIII VIIIV

W

U

V

Wrsquo

Ursquo

Vrsquo

W

V W

V UU

U



Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






Modelado de Objetos

y p


LjTPiTPi

YPi

XPi

ZPi

XL3

ZL3

YL3

XPj

ZPj

YPj

L3TPi

L3TPj



Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






Modelado de Robots

y p


RTLiTLi

RTL3RTL4

L5RT

RTL1

RTL0

RTL2



Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






Modelado de Robots

y p

Modelado de Robots










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES










y p








y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







y p


toolT

OriginT

T

Ttool

OriginT




y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







y p


DistanceDistance

DistanceOrigin

Ttool

Origin

T




y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES







y p


SCtool

SCSupport

SCPickPart1

SCPart1

SupportTPart1

Part1TPickPart1

OriginTtool

SCOrigin

SC

TableTSupport

RobotTSCWorld

SCTable

SCRobot

WorldTTable

TOrigin

WorldTRobot



CONCLUSIONES






CONCLUSIONES





2 relaciones espaciales en robótica - poliformat.upv.es. 1... · tema 2 relaciones espaciales en...

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