MODELOS INDIVIDUALES DE RIESGO

PARA EL CORTO PLAZO

MODELOS INDIVIDUALES DE RIESGO A CORTO PLAZO

Introduccin

Modelos para reclamaciones individuales Variable Aleatorias

Suma de Variables Aleatoria Independientes

Introduccin

Recapitulacin

El Tomador de decisiones o empresa podra estar buscando proteccin

contra prdidas de propiedad, ahorro o ingreso

Tambin podra ser una Aseguradora buscando proteccin contra

prdidas de fondos debido a demasiadas reclamaciones

Esta proteccin se llama Reaseguro

Se examinar uno de los dos modelos comnmente utilizados en la

valuacin de seguros, reservas y Aplicaciones de Reaseguros

En una compaa de seguros se define a S la prdida aleatoria sobre un

segmento de riesgo. S es la variable aleatoria para la cual se busca una

distribucin de probabilidad

Introduccin

El modelo de riesgo individual se define como:

S = X1 + X2 + X3 ++ Xn (2.1.1)

En donde X es la prdida sobre la unidad i asegurada y n es el nmero de

unidades de riesgo aseguradas

Comnmente las Xi son definidas como v.a.'s independientes porque las

matemticas son ms fciles y no son necesarios datos histricos sobre

las relaciones de dependencia.

Este modelo ser aplicado a slo modelos cerrados, es decir, el nmero

de unidades aseguradas n es conocido y establecido al principio del

periodo.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Como primer punto, hay que a revisar los conceptos bsicos de un

producto de seguro de vida.

Y la funcin de Distribucin Acumulada FX(x) es:

En un seguro de vida a 1 ao el asegurador se compromete a pagar una

cantidad b si el asegurado muere dentro de un ao de la pliza emitida y

no pagar nada si el asegurado sobrevive al ao.

La probabilidad de que ocurra una reclamacin durante el ao se denota

por q. Esta variable aleatoria, X, tiene una funcin de probabilidad fX(x)

De la anterior funcin de probabilidad y de la definicin de momentos:

Y su varianza

Estas formulas tambin pueden ser obtenidas con las siguiente frmula:

Donde b es la constante cantidad a pagar en caso de fallecimiento e I es

la variable aleatoria que es 1 para el acontecimiento de la muerte y 0 en

caso contrario.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Donde Pr(I=0)=1q y Pr(I=1)= q, la media y varianza de I es q y q*(1 q ) respectivamente, y la media y varianza de X es b*q y b2 * q* ( 1 q ).

La variable aleatoria I con su rango {0,1} es ampliamente aplicable en

modelos actuariales. En los libros de probabilidad es llamado como

indicador, variable aleatoria de Bernoulli, o una variable aleatoria

binomial para un nico ensayo.

Ahora busquemos modelos ms generales en las que el importe de la

reclamacin es tambin una variable aleatoria y varias reclamaciones

pueden ocurrir en un periodo. Vida Individual, automviles y otros bienes

y coberturas de responsabilidad proporcionar ejemplos inmediatos. De la

frmula (2.2.5) se postula entonces que:

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Donde X es la variable aleatoria de reclamo para el perodo, B del monto

total de las reclamaciones, e I que es el indicador para el caso de que al

menos una reclamacin se ha producido.

Echemos un vistazo a varias situaciones y determinar las distribuciones

de I y B para un modelo.

La v. a. I reporta la ocurrencia (I=1) o no ocurrencia (I=0) de

reclamaciones en este perodo y no el nmero de reclamaciones en el

perodo. Pr (I = 1) se denota por q.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Ejemplo 1:

Consideremos un seguro de vida anual que paga un beneficio adicional

en caso de muerte accidental. Para ser especifico, si la muerte es

accidental, el monto del beneficio es de 50,000. Por otras causas de

muerte, el monto del beneficio es de 25,000.

Vamos a suponer que por la edad y salud y ocupacin de un individuo

especfico, la probabilidad de una muerte accidental durante el ao es de

0.0005 mientras que la probabilidad de una muerte no accidental es

0.0020.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Ejemplo 2:

Consideremos ahora un seguro de automvil que proporciona una

cobertura de colisin (indemniza al propietario por los daos a la colisin

de su coche) por encima del deducible de 250 hasta una reclamacin

mxima de 2,000. Para fines ilustrativos, se supone que para un individuo

en particular la probabilidad de la reclamacin 1 en un perodo es de 0.15

y la probabilidad de ms de 1 es 0 reclamaciones:

La suposicin poco realista de no ms de 1 por cada perodo de

reclamacin se hace para simplificar la distribucin de B.

Como B es la reclamacin incurrida por la compaa de seguros, ms que

el monto del dao del auto, podemos deducir dos caractersticas de la I y

B.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

En primer lugar, el evento I=0 incluye las colisiones en las que el dao es

menor que el deducible de 250.

La otra inferencia es que la distribucin de B tendr una probabilidad del

tamao mximo de reclamacin de 2,000. Supongamos que probabilidad

en este punto es 0.1

Por otra parte, supongamos que el monto de reclamaciones esta entre 0 y

2000 puede ser modelada por una distribucin continua con un fdp

proporcional a 1 x/ 2,000 para 0

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Figure 2.1

Introduccin

Los momentos de X pueden ser calculados de la siguiente forma

Calcular E(X) y VaR(X)

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Existen varias formulas generales asociadas con los momentos de las

variables aleatorias mediante la esperanza condicional. Para la Media y la

varianza

Donde E [W|V] y Var [W|V] se calculan mediante el uso de la distribucin

condicional de W para un valor dado de V. Estos componentes son

entonces funciones de la variable aleatoria V, y se puede calcular sus

momentos.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

En muchos modelos actuariales se utilizan las distribuciones

condicionales. Esto hace a frmulas anteriores directamente aplicable. En

nuestro modelo, X = IB, podemos sustituir X por W y V por I para obtener.

Entonces resolviendo la v.a. B

Con las siguiente medias condicionales

Las frmulas (2.2.16) y (2.2.17) definen E(X | I) como una funcin de I,

que puede expresarse como:

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Por lo tanto

Como X=0 para I=0, tenemos que:

Para I=1 tenemos que X=B y

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Las Formulas (2.2.21) and (2.2.22) pueden combinarse como:

Entonces,

Sustituyendo (2.2.19), (2.2.20) y (2.2.24) en (2.2.12) y (2.2.13) tenemos:

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Hay otros modelos posibles de B en situaciones de seguros. Como

ejemplo, consideremos un modelo para el nmero de muertes por

accidentes durante un ao de operacin para una aerolnea.

Podemos empezar con una variable aleatoria para el nmero de muertes,

X, en un vuelo y luego agregar un conjunto de variables aleatorias sobre

el conjunto de los vuelos durante el ao. Para un solo vuelo, el evento I =

1 ser el caso de un accidente durante el vuelo.

El nmero de muertes en el accidente, B, ser modelado como el

producto de dos variables aleatorias, L y Q, donde L es el factor de carga,

el nmero de personas a bordo en el momento del accidente, y Q es la

fraccin de las muertes de personas a bordo.

Modelos para Variables Aleatorias de

Reclamacin Individual

Suma de Variables Aleatorias Independientes

En el modelo de riesgo individual, las reclamaciones de una

aseguradora se modela con la suma de las reclamaciones de muchos

asegurados.

Suponemos que las reclamaciones de los individuos son independientes.

Considrense la suma de dos variables aleatorias, S = X + Y, en un

espacio muestral (ver figura 2.3)

La lnea X+Y = s y la regin debajo de la lnea, representan el evento

[S=X+Y

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Por tanto, la funcin de distribucin acumulada de S es:

Para dos variables aleatorias discretas, positivas, se puede usar la ley

de la probabilidad total para expresar (2.3.1) de la siguiente forma:

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Y si X y Y son independientes podemos expresar la anterior suma como:

La funcin de probabilidad (f.p.) correspondiente puede calcularse

mediante:

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Y para variables aleatorias continuas las formulas correspondientes sera:

Cuando alguna v.a tienen una distribucin de tipo mixto (muy comunes en

modelos de riesgo individual) las formulas son anlogas, para v.a.'s que

tengan tambin valores negativos las sumas e integrales son para los

valores de - a :

En anlisis matemtico la operacin en (2.3.3) y (2.3.6) se denominan

CONVOLUCION del par de funciones () y se denotan como .

Suma de Variables Aleatorias Independientes

En anlisis matemtico la operacin en (2.3.3) y (2.3.6) se denominan

CONVOLUCION del par de funciones () y se denotan como .

Para determinar la distribucin de la suma de ms de 2 variables

aleatorias podemos usar el proceso iterativo de convolucin. Para S = X1

+ X2 ++ Xn. Donde las Xi's son variables aleatorias independientes y Fi es la funcin de distribucin de Xi y F

(i) es la funcin de densidad de S =

X1 + X2 ++ Xk, lo que nos da:

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Ejemplo 3

Sea X una distribucin Uniforme en (0,2) y sea Y independiente de X con

una distribucin Uniforme en (0,3). Determine la f.d. de S = X +Y

Ejemplo 4:

Las variables aleatorias X1, X2 y X3 son independientes con funcin de

distribucin definida de las siguiente forma:

f1(x) Pr(X=0)=0.4, Pr(X=1)=0.3, Pr(X=2)=0.2, Pr(X=3)=0.1,

f2(x) Pr(X=0)=0.5, Pr(X=1)=0.2, Pr(X=2)=0.1, Pr(X=3)=0.1 y Pr(X=4)=0.1

f3(x) Pr(X=0)=0.6, Pr(X=1)=0.0, Pr(X=2)=0.1, Pr(X=3)=0.1, Pr(X=4)=0.1 y

Pr(X=5)=0.1

Obtenga la funcin de probabilidad y funcin de distribucin de S = X1 +

X2 + X3

Suma de Variables Aleatorias Independientes

Aproximaciones para la distribucin de la suma

El teorema del lmite central sugiere un metodo para obtener valores

numricos para la distribucin de la suma de variables aleatorias

independientes.

El planteamiento es para una sucesin de variables aleatorias

independientes e idnticamente distribuidas X1, X2,,Xn donde:

= = 2

Para cada n, la distribucin de:

Donde = (1 + 2 ++ ) / n y tiene media cero y varianza 1.

Aproximaciones para la distribucin de la suma

En forma equivalente la distribucin de las suma de las n variables

aleatorias se aproxima mediante una distribucin normal con media y varianza .

La efectividad de estas aproximaciones depende no slo del nmero de

variables sino tambin de las desviaciones de los sumandos de la

normalidad.

Aproximaciones para la distribucin de la suma

Ejemplo 5

Una compaa de seguros expide plizas de vida a un ao con beneficios

por la cantidad de 1 y 2 unidades a individuos con probabilidades de morir

de 0.02 o 0.10.

El siguiente cuadro muestra el nmero de individuos nk en cada uno de

las cuatro clases creadas con un beneficio por la cantidad de bk y una

probabilidad de reclamacin qk:

Aproximaciones para la distribucin de la suma

Ejemplo 6

La compaa desea recaudar, de esta poblacin de 1,800 individuos, una

cantidad igual al percentil 95 de la distribucin de reclamaciones totales.

Ms aun, desea que la participacin de cada individuo sea proporcional a

la reclamacin esperada por ese individuo. La participacin del individuo j

con media sera + .

El requisito del percentil 95 sugiere que > 0. Esta cantidad extra, es el recargo de seguridad relativo.

Calcule