2 estimación

UNIDAD2

EstimaciónOBJETIVO EDUCACIONAL

Al término de esta unidad el alumno:

Aplicará los fundamentos de la teoría de estimación en problemas que

requieran el cálculo del tamaño de la muestra, con los diferentes

intervalos de confianza de la media, proporción y varianza.

Determinará el tamaño de la muestra representativa.

IntroducciónLa teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos con los cuales se pueden

realizar generalizaciones acerca de una población. La tendencia actual es distinguir entre el

método clásico para estimar un parámetro poblacional, por medio del cual las inferencias se

basan en la información obtenida de una muestra aleatoria seleccionada de la población, y el

método bayesiano, el cual utiliza el conocimiento subjetivo previo acerca de la distribución de

probabilidad con los parámetros desconocidos, junto con la información proporcionada por los

datos muestrales. La inferencia estadística puede dividirse en dos áreas principales: estimación

y pruebas de hipótesis.

Necesidad de la Estimación

Las fábricas a menudo deben evaluar las características de desempeño de un producto tomando

en cuenta aspectos como la resistencia promedio, el peso o el tiempo de vida. Las grandes

tiendas de departamentos deben predecir la demanda de diversos artículos. Así, la estimación

comprende: la valoración de inventarios, la estimación de costos de proyectos, la evaluación de

nuevas fuentes energéticas, la predicción del desempeño en el trabajo y la estimación de

tiempos estándar de tareas asignadas.

Características de un buen estimador. Propiedades de los Estimadores

1

SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________

Un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimación basada en las

mediciones contenidas en una muestra.

Estimador Insesgado. Un estadístico es un estimador insesgado del parámetro, sí E( θ̂ )=θ

Eficiencia Relativa. Si se consideran todos los estimadores insesgados posibles de algún parámetro , aquel con la varianza más pequeña es el estimador más eficiente.

Estimador Consistente. El estimador insesgado θ̂ para θ es un estimador consistente de θ

si limn→∞ E( θ̂ )=θ y límn→∞ V ( θ̂ )=0

Estimador suficiente. SeaX1 , X2 , … , Xn una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad con un parámetro desconocido . Se dice que el estadístico U =g ( X1 , X 2 , Xn )es suficiente para θ sí la distribución condicional de X1 , X2 , … , Xn dado U no depende de θ .

2.1 Estimación de medias

Intervalo de confianza para , conociendo . Si x̄ es la media de una muestra aleatoria de

tamaño n de una población con varianza conocida 2, el intervalo de confianza del (1 ) 100%

para es

x̄−zα /2σ

√n< μ < x̄+zα /2

σ

√n

donde z/2 es el valor de z a la derecha del cual se tiene un área de /2

Teorema 2.1 Sí se utiliza x̄

como una estimación de , se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de E=zα /2σ /√n

Teorema 2.2 Sí se utiliza x̄

como una estimación de , se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el

tamaño de la muestra es n=(zα /2σ /E )2

2 José Armando Rodríguez Romo

_____________________________________________________________________________________ Estimación

Intervalo de confianza para , con desconocida ( n 30 ). Si x̄

y s son la media y la

desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con

varianza desconocida 2, el intervalo de confianza del (1 )100% para es

x̄−zα /2s

√n< μ < x̄+zα /2

s

√n


Intervalo de confianza para , con desconocida ( n < 30 ). Si x̄ y s son la media y la

desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con

varianza desconocida 2, el intervalo de confianza del (1 )100% para es

x̄−tα /2 , vs

√n< μ < x̄+ tα /2 , v

s

√n

donde t/2,v es el valor de t con v = n – 1 grados de libertad, a la derecha del cual se tiene un

área de /2

Ejemplo 1 Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una

marca de pintura látex:

3.4 2.5 4.8 2.9 3.62.8 3.3 5.6 3.7 2.84.4 4.0 5.2 3.0 4.8

Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal,

encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo promedio de secado de esta marca

de pintura látex.

Solución

La media muestral de los datos es x̄=

∑i=1

n

x i

n=3 . 4+2 .5+4 .8+⋯+4 .8

15=3 . 7867

y su desviación estándar s=√∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

x i)2

n−1=√228 . 28−(56. 8 )2

14=0 . 9709

José Armando Rodríguez Romo 3


De la Tabla T.3 del apéndice encontramos el valor de t0.995 , 14=2 .98 , entonces un intervalo de

confianza del 99% para la media está dado por

x̄−tα /2 , vs

√n< μ < x̄+ tα /2 , v

s

√n

3 .7867−2 .98×( 0. 9709

√15 )< μ < 3 . 7867−2. 98×( 0 .9709

√15 )que se reduce a

3 .0396< μ < 4 . 5337

EJERCICIOS 2.1

1. Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que produce esta empresa.

2. Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual que 0.15 decilitros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitros.

3. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una medía de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros.

a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la estatura promedio de todos los estudiantes.

b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si se estima que la estatura promedio de todos los estudiantes es 174.5 centímetros?

4. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil indica que, en el estado de Virginia, un automóvil recorre un promedio de 23500 kilómetros por año con una desviación estándar de 3900 kilómetros.

a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio de kilómetros que un automóvil recorre anualmente en Virginia.

b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima que la cantidad promedio de kilómetros recorridos por los propietarios de vehículos en Virginia es de 23500 kilómetros al año?

5. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra en el ejercicio 1 si se desea tener una confianza del 96% de que la media


_____________________________________________________________________________________ Estimación

muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real?

6. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra en el ejercicio 2 si se desea tener una confianza del 95% de que la media muestral estará dentro de 0.09 decilitros del promedio real?

7. Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que, por estudios previos se sabe que = 40 segundos.

8. Un investigador de la Universidad UCLA afirma que el ciclo de vida de los ratones puede prolongarse hasta en 25% cuando las calorías en su alimentación se reducen aproximadamente un 40% desde el momento en que se les desteta. Las dietas con restricciones son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas. Suponiendo que, por estudios previos, se sabe que = 5.8 meses, ¿cuántos ratones deben incluirse en la muestra si se desea tener una confianza del 99% de que el ciclo promedio de vida de la muestra estará dentro de los 2 meses del promedio poblacional para todos los ra-tones sujetos a esta dieta reducida?

9. El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caída de los dientes, enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos de acuerdo con estudios del Dr. W. H. Bowen del National Institutes of Health (Instituto Nacional de Salud) y el. Dr. J. Yudbcn. profesor de nutrici6n y dietética en la Universidad de Londres. En una muestra alea-toria de 20 porciones sencillas de un cereal el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gramos con una desviación estándar de 2.45

gramos. Suponiendo que los contenidos de azúcar están distribuidos normalmente, determine un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azúcar de porciones sencillas de dicho cereal.

10. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina, si supone una distribución aproximadamente normal.

11. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. Determine un intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina son aproximadamente normales.

12. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio de 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, determine un intervalo de confianza del 90% para la dureza Rockwell promedio.

13. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografío un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. Suponiendo una distribución normal para la cantidad de palabras mecanografiadas por minuto, encuentre un intervalo de



confianza del 95% para el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esta escuela.

14. Una muestra aleatoria de 25 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 1.3 miligramos y una desviación estándar de 0.17 miligramos. Encuentre los límites de confianza del 95% para el contenido promedio contenidos de nicotina para esta marca de cigarros, suponiendo que las mediciones están normalmente

distribuidas.

15. Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una marca de pintura látex:

3.4 2.5 4.8 2.9 3.6

2.8 3.3 5.6 3.7 2.8

4.4 4.0 5.2 3.0 4.8Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal, encuentre los límites de confianza del 99% para la media poblacional de los tiempos de secado.

2.2 Estimación proporciones, P, (muestras grandes). Si p̂=x /n ,

es la proporción de éxitos

en una muestra aleatoria de tamaño n, y q̂=1− p̂

, un intervalo de confianza aproximado del

(1 ) 100% para el parámetro binomial P es:

p̂−zα /2 √ p̂ q̂n

< P < p̂+zα /2 √ p̂ q̂n


Teorema 2.3 Sí se utiliza p̂

como una estimación de P, se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error E no excederá de zα /2√ p̂ q̂/n .

Teorema 2.4 Sí se utiliza p̂

como una estimación de P, se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando

el tamaño de la muestra es

n=( zα /2

E )2

p̂ q̂

si no se tiene p̂

entonces

nmax=14 ( zα /2

E )2


_____________________________________________________________________________________ Estimación

Ejemplo 2 En una muestra aleatoria de de n=500

familias que tienen televisores en la ciudad

de Hamilton, Canadá, se encuentra que x=340

están suscritas a HBO. a) Encuentre un

intervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias en esta ciudad que están

suscritas a HBO; b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si queremos tener el 95%

de confianza de que nuestra estimación de P esté dentro de 0.02?

Solución

a) Dado que se tienen una muestras aleatorias grande (n=500

), de una población grande,

utilizaremos el caso 4; con x=340

, p̂=340

500 y

1−α=0 .95.

4) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). p̂−zα /2 √ p̂ q̂

n< P < p̂+zα /2 √ p̂ q̂

n

Sustituyendo los valores de las muestras y el valor de zα /2=1.96

obtenido de la Tabla 1 del

apéndice para un área a la izquierda de 0.9750

0 .68−1 . 96√( 0.68 )(0 .32 )500

< P <0 .68+1 .96√ (0. 68 )(0 .32 )500

encontramos

0 .64< P <0 .72

b) Tratando las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación

p̂=340500

=0 . 68

, y E=0 .02

Entonces, por el teorema 2.4

Teorema 2.4

n=( zα /2

E )2

p̂ q̂

si no se tiene p̂

entonces

nmax=14 ( zα /2

E )2

Sustituyendo



n=( 1 .960 . 02 )

2

( 0.68 )(0. 32 )=2090

Familias


________________________________________________________________________ Estimación de Parámetros

EJERCICIOS 2.2

1.a) Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se encuentra que 114 respaldan un convenio de anexión. Encuentre el intervalo de confianza del 96% para la fracción de la población de votantes que favorece el convenio.

b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 96% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracción de votantes que favorecen el convenio de anexión es 0.57?

2.a) Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X. Encuentre el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de fumadores que prefieren la marca X.

b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracción de fumadores que prefieren la marca X es 0.1721?

3. En una muestra aleatoria de 1000 casas en una determinada ciudad, se encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de calefacción.

4. Calcule un intervalo de confianza del 98% para la proporción de artículos defectuosos en un proceso cuando se encuentra que en una muestra de tamaño 100, ocho tienen fallas.

5. Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema actual tiene una P = 0.8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos

experimentales se realiza con el nuevo sistema y 34 de ellos tienen éxito.

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para P.

b) ¿Consideraría usted que el nuevo sistema es mejor?

6. Un especialista en genética está interesado en la proporción de hombres africanos que presentan un desorden sanguíneo leve. En una muestra aleatoria de 100 de ellos. se encontró que 24 presentaban dicho desorden.

a) Calcule un intervalo de confianza de 99% para la proporción de hombres africanos que tienen este desorden sanguíneo.

b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de personas con este desorden sanguíneo es 0.24?

7.a) De acuerdo con un informe que se publicó en el Roanoke Times & Wor/d. News, el 20 de agosto de 1981, aproximadamente 2/3 de los 1600 adul-tos investigados por teléfono dijeron que piensan que el programa espacial es una buena inversión del país. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de adultos en los Estados Unidos que piensa que el programa espacial es Una buena inversión para el país.

b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 95% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de estos adultos que consideran al programa espacial como una buena inversión es 2/3?

8. El artículo de periódico al que se hizo



referencia en el ejercicio 7, 32% de los 1600 adultos interrogados dijeron que el programa espacial de los Estados Unidos debe hacer hincapié en la exploración científica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra de adultos si se desea tener una confianza de 95% de que el porcentaje estimado estará dentro del 2% del porcentaje real?

9. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio 1 si se desea obtener una confianza de 96% de que la proporción muestral estará dentro del 0.02 de la fracción real de la población de votantes?

10. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio 3 si se desea tener una confianza del 99% de que la proporción muestral estará dentro del 0.05 de la proporción real de hogares en esta ciudad que utilizan calefacción de petróleo?

11. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio 4 si se desea tener una confianza del 98% de que la proporción muestral estará dentro del 0.05 de la proporción real de partes defectuosas?

12. Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un pueblo que están a favor de que su agua se trate con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una muestra si se desea tener una confianza al menos del 95% de que la estimación

estará dentro del 1% del porcentaje real13. De acuerdo con el doctor Memory Elvin-

Lewis, jefe del departamento de microbiología de la Washington University School Dental Medicine en San Luis, un par de tasas diarias de té, proporciona suficiente flúor para evitar la caída de los dientes. A las personas a las que no les gusta el té y viven en áreas carentes de flúor deben pedir a las autoridades locales que consideren la posibilidad de tratar sus aguas con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para estimar el porcentaje de ciudadanos en un cierto pueblo que están a favor de que sus aguas se traten con flúor si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la estimación estará dentro del 1 % del porcentaje real?

14. Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una ciudad y en sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear. ¿Qué tan grande debe ser una muestra si se requiere una confianza al menos del 95% de que la estimación estará dentro del 0.04 de la proporción real de residentes de esta ciudad y sus suburbios que están a favor de la construcción de la planta de energía nuclear?


_____________________________________________________________________________________ Estimación

2.3 Estimación de varianzas, σ 2

. Si es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de

una población normal, un intervalo de confianza del (1 )100% para es:

(n−1)s2

χ1−α /2, v2

< σ2 <(n−1 )s2

χα /2 , v2

donde χ1−α /2, v

2 y χ α /2, v2

son valores de χ2

con v = n – 1 grados de libertad, con

áreas de 1−α /2 y α /2

, respectivamente, a la izquierda.

Ejemplo 3. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran, en

promedio, 3 años con una variancia de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de

1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años determine un intervalo de confianza del 95% para σ 2

e

indique si es válida la afirmación del fabricante de que σ 2=1

. Suponga que la población

de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en forma normal.

Solución

La media muestral de los datos es x̄=

∑i=1

n

x i

n=1 . 9+2 . 4+3 . 0+4 .2

15=3 . 000

y su desviación estándar s=√∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

x i)2

n−1=√228 . 28−(15)2

4=0 . 902774

De la Tabla T.2 del apéndice encontramos el valor de χ0 . 025 , 42 = 0 . 484 y χ0 . 975 , 4

2 = 11. 14 ,

entonces un intervalo de confianza del 95% para la varianza, σ2

está dado por

(n−1)s2

χ1−α /2, v2

< σ2 <(n−1 )s2

χα /2 , v2

(5−1 )(0 . 902774 )2

11. 14< σ2 <

(5−1)( 0. 902774 )2

0 . 484



que se reduce a

0 .29255< σ2 <6 .72972

0 .540882< σ <2 .59417

Determinación del tamaño de muestra

i. Basado en la media de la Población

Teorema 3.2 Sí se utiliza x̄ como una estimación de , se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de la

muestra es n=(zα /2 σ /E )2

ii. Basado en la proporción de la Población

Teorema 3.4 Sí se utiliza p̂ como una estimación de P, se puede tener una confianza del


muestra es

n=( zα /2

E )2

p̂ q̂ si no se tiene p̂ entonces

nmax=14 ( zα /2

E )2

iii. Basado en la diferencia entre las medias de la Población

Teorema 3.5 Sí se utiliza x̄ como una estimación de , se puede tener una confianza del


muestra es n=( zα /2

E )2

(σ12+σ2

2 )


_____________________________________________________________________________________ Estimación



EJERCICIOS 3.8

1. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran, en promedio, 3 años con una variancia de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años determine un intervalo de confianza del

95% para σ 2

e indique si es válida la

afirmación del fabricante de que σ 2=1

. Suponga que la población de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en forma normal.

2. Se obtiene una muestra aleatoria de 20

estudiantes con una media de x̄=72

y

una variancia de s2=16

en un examen de ubicación de matemáticas. Suponga que las calificaciones tienen una distribución normal y determine un

intervalo de confianza del 98% para σ 2

.

3. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de

piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro prome-dio de piezas de esta máquina, si supone una distribución aproximadamente normal. Determine un intervalo de confianza del 99% para 2.

4. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate de cierta clase tiene, en promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Determine un intervalo de confianza del 99%. Suponga que la distribución de las calorías es normal.

5. Se toma una muestra de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de dureza por el método de Rockwell para cada una de las 12, lo que dio un valor promedio de 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponga que las mediciones se distribuyen de forma normal. Determine un intervalo de confianza del 90% para .


_____________________________________________________________________________________ Estimación

Formulario de Estimación

1) Intervalo de confianza para , conociendo .

x̄−zα /2σ

√n< μ < x̄+zα /2

σ

√n

2) Intervalo de confianza para , desconocida ( n 30 ).

x̄−zα /2s

√n< μ < x̄+zα /2

s

√n

3) Intervalo de confianza para , desconocida ( n < 30 ).

x̄−tα /2s

√n< μ < x̄+tα /2

s

√n

4) Intervalos de Confianza para la Diferencia de Dos Medias, 1 - 2 ; conociendo σ 1

2 y σ22

.

( x̄1− x̄2 )−zα /2√ σ12

n1

+σ2

2

n2

< μ1−μ2 < ( x̄1− x̄2 )+ zα /2√ σ12

n1

+σ 2

2

n2

5) Intervalo de confianza para 1 - 2; σ 1

2 y σ22

desconocidas (n1 y n2 30)

( x̄1− x̄2 )−zα /2√ s12

n1

+s2

2

n2

< μ1−μ2 < ( x̄1− x̄2 )+zα /2√ s12

n1

+s2

2

n2


2=σ22

pero desconocidas (n1 y n2 < 30)

( x̄1− x̄2 )−tα /2 , v s p √ 1n1

+ 1n2

< μ1−μ2 < ( x̄1− x̄2)+tα /2 , v s p√ 1n1

+ 1n2

donde sp es la estimación común de la desviación estándar poblacional dada por

sp=√(n1−1) s12+(n2−1) s2

2

n1+n2−2

; y v=n1+n2−2

gl




2≠σ22

y desconocidas (n1 y n2 < 30).

( x̄1− x̄2 )−tα /2 , v √ s12

n1

+s2

2

n2

< μ1−μ2 < ( x̄1− x̄2 )+ tα /2, v √ s12

n1

+s2

2

n2

donde t/2, v es el valor de t con

v=( s1

2 /n1+s22 /n2)2

[( s12 /n1 )

2/(n1−1 )]+[(s22/n2 )

2 /(n2−1) ]

8) Intervalo de confianza para observaciones pareadas ( D = 1 - 2).

d̄−tα /2 , v

sd

√n< μ1−μ2 < d̄+tα /2 , v

sd

√n

9) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). p̂−zα /2 √ p̂ q̂

n< P < p̂+zα /2 √ p̂ q̂

n

10) Intervalo de confianza para P1 P2 (muestras grandes).

( p̂1− p̂2 )−zα /2√ p̂1 q̂1

n1

+p̂2 q̂2

n2

< P1−P2 <( p̂1− p̂2 )+zα /2√ p̂1 q̂1

n1

+p̂2 q̂2

n2

11) Intervalo de confianza para σ 2

.

(n−1)s2

χ1−α /2, v2

< σ2 <(n−1 )s2

χα /2 , v2

12) Intervalo de confianza para σ 1

2 / σ22

s12

s22

1

f v 2 , 1−α /2v1

<σ 1

2

σ 22<

s12

s22

f v1 , 1−α /2v2

Determinación del tamaño de muestra


_____________________________________________________________________________________ Estimación

13) Basado en la media de la Población

n=( zα /2 σ

E )2

14) Basado en la proporción de la Población

a)

n=( zα /2

E )2

p̂ q̂

si no se tiene p̂

entonces b)

nmax=14 ( zα /2

E )2

15) Basado en la diferencia entre las medias de la Población

n=( zα /2

E )2

(σ12+σ2

2 )


2 estimación

Education