ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

HISTORIA• El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo

como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.

• El matemático y filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.

• La segunda etapa (1728- ) de la historia de las EDs estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.

DEFINICION

• Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales.

• En toda ecuacion diferencial en derivadas parciales, la variable dependiente (funcion desconocida) debera ser una funcion de por lo menos dos variables independientes ya que de no ser asi no aparecerian derivadas parciales.

ORDEN DE LA EDP

• El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación.

Ejemplo.

APLICACIONES • Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en

todos las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos.

• Ecuación de la conducción del calor. La constante C , llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

• Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

• Definición:• Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y)

dy es exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir:

• Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales.

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdyy

Udx

x

UdU +=

∂∂+

∂∂=

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE

SEGUNDO ORDEN• Elípticas: Las que no tienen derivada con

respecto al tiempo son elípticas. Ejemplo. Laplace Elíptica

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

• Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas.

Ejemplo: Difusión Parabólicas.

Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

• Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.

Ejemplo: Onda Hiperbólica.

Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

SOLUCION DE ECUACIONESEN DERIVADAS PARCIALES

LINEALES

• La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta mas complejo que la solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen metodos generales de resolucion efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones.

TIPOS DE SOLUCIONES DE LAS EDP

Solución general: Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

solución completa: Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Métodos de Laplace: La transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo.

El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada inversa.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.mitecnologico.com/Main/IntroduccionALasEcuacionesDiferencialesParciales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales

Elementos en ecuaciones diferenciales parciales.pdf Ecuaciones Diferenciales Parciales.pdf