2 bs 05 programacion lineal

5 Programación lineal

Álgebra

Chema

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© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 2º BS. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Introducción

El tema comienza con una introducción a la programación lineal, en laque se exponen todos los conceptos necesarios, como región factible,función objetivo, vector director de la función objetivo, rectas de nivel ysolución o soluciones óptimas. Además, al mismo tiempo que se introdu-cen los conceptos, se va resolviendo un problema modelo paso a paso.

En la segunda parte se describe el procedimiento de resolución de pro-blemas de programación lineal bidimensional y se plantean y resuelvendos problemas, uno en el que la optimización consiste en maximizaruna función y otro en el que la optimización consiste en minimizar unafunción.

En la tercera sección se aborda la cuestión del número de solucionesde un problema de programación lineal. Por lo general, el problematendrá una solución, pero se pueden presentar los casos en que no tenga solución o tenga varias soluciones; en cada uno de los casos seresuelve un problema modelo.

La programación lineal tiene aplicación a una gran variedad de pro-blemas. Un supuesto que puede servir de ejemplo es el siguiente: un co-merciante acude al mercado a comprar manzanas para venderlas ensu frutería. Hay dos tipos de manzanas a dos precios distintos y él dispo-ne de una determinada cantidad de dinero y de una limitación de car-ga para transportar las manzanas a la frutería. Decidir cuántas manza-nas de cada clase compra para optimizar el beneficio que saque alvenderlas es un problema que resuelve la programación lineal.

Organiza tus ideas

99

Programación lineal

problemas de optimización

optimizar una función

región factible

un recinto limitado por inecuaciones

• una solución• ninguna solución• varias soluciones

resuelve

que consisten en

en una

que es

que pueden tener

Chema

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Álgebra

100

■ Piensa y calcula

Escribe una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x chaquetas a 30 € e y pantalones a 20 €

1. Introducción a la programación lineal

1.1. Programación lineal bidimensional

Ejemplo

Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

maximiza en dicho recinto el valor de la función f(x, y) = 30x + 20y

1.2. Función objetivo

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se tiene que la función objetivo es:

f(x, y) = 30x + 20y

1.3. Región factible

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representa-da en el margen.

1.4. Vector director de la función objetivo

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, el vector director de la función objeti-vo f(x, y) = 30x + 20y es v

8(–20, 30) || (–2, 3)

El vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector:v8

(–b, a)Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden multi-plicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no varía.

La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o in-finito en el que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntosdel plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.

La función objetivo en un problema de programación lineal es la función li-neal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por:

f(x, y) = ax + by

°§§¢§§£

x + y Ì 72x + y Ì 10x Ó 0y Ó 0

La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maxi-mizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restric-ciones que están dadas por inecuaciones lineales.

Restricciones x Ó 0, y Ó 0Prácticamente en todos los pro-blemas de programación lineal seexige que las variables x e y seanmayores o iguales que cero; en es-tos casos, la región factible se di-buja directamente en el 1er cua-drante.

Y

X

2x + y = 10

B(3, 4)

A(5, 0)O(0, 0)

x + y = 7 C(0, 7)

Y

X

8v(–2, 3)

Chema

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Tema 5. Programación lineal

101

1.5. Rectas de nivel

Ejemplo

Continuando con la función objetivo y la región factible del problema ante-rior, las rectas de nivel son las rectas verdes del dibujo.

1.6. Solución óptima

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo, la solución óptima es B(3, 4)

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo: f(x, y) = 30x + 20y

O(0, 0) ò f(0, 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0

A(5, 0) ò f(5, 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150

B(3, 4) ò f(3, 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo

C(0, 7) ò f(0, 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140

La solución óptima es B(3, 4)

Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función obje-tivo cada uno de los vértices de la región factible.

Gráficamente, si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al pun-to o puntos en los que la recta de nivel esté lo más alta posible. Si la soluciónes un mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel estélo más abajo posible.

La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función ob-jetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la soluciónóptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen variassoluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.

Las rectas de nivel son las rectas paralelas al vector director de la función ob-jetivo que pasan por los puntos de la región factible.

1. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-ecuaciones:

a) represéntalo gráficamente.

b) halla sus vértices.

c) obtén el valor máximo de la función f(x, y) = 15x + 12yen el recinto anterior, así como el punto en que lo al-canza.

2. Representa gráficamente la región factible determinadapor las siguientes desigualdades:

Calcula la solución que hace mínima la función objetivoz = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.

°§§¢§§£

x Ó 0y Ó 0x + y Ó 54x + 3y Ì 30

°§§¢§§£

2x + y Ì 1 000x + 1,5y Ì 750x Ó 0y Ó 0

● Aplica la teoría

Y

X

8v(–2, 3)

B(3, 4)

A(5, 0)O(0, 0)

C(0, 7)

2x + y = 10

x + y = 7

Y

X

B(3, 4)

A(5, 0)O(0, 0)

C(0, 7)

2x + y = 10

x + y = 7

Chema

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Álgebra

102


Escribe la función objetivo que calcule los ingresos que se obtienen al vender x bicicletas de paseo a 200 €e y bicicletas de montaña a 150 €

2. Resolución de problemas de programación lineal

2.1. Procedimiento de resolución

2.2. Tabla con los datos del problema

Ejercicio resueltoUna fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dis-pone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta depaseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bi-cicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Sivende las bicicletas de paseo a 200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bi-cicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

a) Tabla con los datos del problema.

b) Región factible.Es el gráfico del margen.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.O(0, 0) ò f(0, 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 €A(40, 0) ò f(40, 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 8 000 €B(20, 30) ò f(20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500 € MáximoC(0, 40) ò f(0, 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 6 000 €

1

• En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientesa los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.

• En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan alas variables.

• En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen auna restricción, es decir, a una inecuación.

• En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objeti-vo y si se trata de maximizar o minimizar.

Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:a) Se hace una tabla con los datos del problema.b) Se representa la región factible.c) Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.d) Se escribe la solución.

Maximizar y minimizarSe resolverán dos ejercicios, unode maximizar y otro de minimizar.

Ambos procedimientos de reso-lución son análogos.

Y

X

B(20, 30)

A(40, 0)O(0, 0)

C(0, 40)3x + 2y = 120

x + 2y = 80

Nº de bicicletas

B. de paseo

x

B. de montaña

y

Restricciones

x Ó 0; y Ó 0

Acero x 2y x + 2y Ì 80

Aluminio 3x 2y 3x + 2y Ì 120

Beneficio 200x 150y f(x, y) = 200x + 150y Maximizar

Chema

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103

d) La solución óptima es B(20, 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo ey = 30 bicicletas de montaña.

Ejercicio resuelto

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientesde pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipa-je. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. Lacontratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; la contratación de uno del tipo B,que puede transportar a 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta10 000 €.

¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?


b) Región factible.

Es el gráfico del margen.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

A(6, 4) ò f(6, 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000 €

B(11, 2) ò f(11, 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000 €

C(11, 8) ò f(11, 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 €

D(4, 8) ò f(4, 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 € Mínimo

d) La solución óptima es D(4, 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 avio-nes tipo B

2

3. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B.Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B,y un vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la ventade un traje deja al sastre el mismo beneficio que la deun vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricarpara obtener la máxima ganancia.

4. Una empresa produce dos bienes,A y B.Tiene dos fac-torías y cada una de ellas produce los dos bienes en lascantidades por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y500 de B. Los costes de funcionamiento de las dos fac-torías son: 100 € por hora para la factoría 1 y 80 €

por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas debe fun-cionar cada factoría para minimizar los costes de laempresa y satisfacer el pedido?

5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 li-bros de la colección Austral y 80 de la colección Alian-za de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lotede tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de bol-sillo, que vende a 8 €, y el de tipo B con 1 libro de Aus-tral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a 10 €

¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedorpara maximizar su ganancia cuando los haya vendidotodos?


Y

XB(11, 2)A(6, 4)

D(4, 8)

2

2

C(11, 8)6x + 15y = 962x + 5y = 32

x = 11

y = 8

200x + 100y = 16002x + y = 16

Nº de aviones

Tipo A

x

Tipo B

y

Restricciones

0 Ì x Ì 11; 0 Ì y Ì 8

Personas 200x 100y 200x + 100y Ó 1600

Equipaje 6x 15y 6x + 15y Ó 96

Coste 40 000x 10 000y f(x, y) = 40 000x + 10 000y Minimizar

Factoría I

Bien A 10 unidades/hora

Factoría 2

20 unidades/hora

Bien A 25 unidades/hora 25 unidades/hora

Soluciones enterasEn la mayoría de los problemas deprogramación lineal las solucionesson números enteros.

Ejemplo

Número de bicicletas de paseo yde montaña.

Ejemplo

Número de aviones de tipo A y detipo B

Chema

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Álgebra

104


Representa la región definida por las siguientes restricciones:

x Ó 0 y Ó 0 x + y Ó 6 y Ó x

¿Está acotada?

3. Número de soluciones

3.1. Problemas con infinitas soluciones

Ejercicio resuelto


maximiza en dicho recinto el valor de la función:

f(x, y) = 30x + 60y

a) Región factible.


b) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

O(0, 0) ò f(0, 0) = 30 · 0 + 60 · 0 = 0

A(8, 0) ò f(8, 0) = 30 · 8 + 60 · 0 = 240

B(6, 2) ò f(6, 2) = 30 · 6 + 60 · 2 = 300 Máximo

C(0, 5) ò f(0, 5) = 30 · 0 + 60 · 5 = 300 Máximo

c) La solución se alcanza en los vértices B(6, 2) y C(0, 5); por tanto, tam-bién se alcanza en todos los puntos del lado que une los puntosB(6, 2) y C(0, 5), es decir, tiene infinitas soluciones.

Se observa gráficamente que el lado BC es paralelo al vector director de lafunción objetivo.

v8

(–60, 30) || (–2, 1)

3.2. Problemas sin soluciónUn problema de programación lineal puede que no tenga solución, debido ados razones:a) Porque la región factible sea vacía.b) Porque la región factible no esté acotada y no se alcance nunca en ella la

solución óptima.

°§§¢§§£

x + y Ì 8x + 2y Ì 10x Ó 0y Ó 0

3

Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene la so-lución óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos lospuntos del lado que une ambos vértices son soluciones óptimas. Gráficamen-te este lado es paralelo al vector director de la función objetivo.

Y

X

B(6, 2)

A(8, 0)O(0, 0) 1

1

C(0, 5)

x + 2y = 10x + y = 8

8v(–2, 1)

Chema

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105

Ejercicio resuelto


minimiza en dicho recinto el valor de la función:

f(x, y) = 17x + 35y



Se observa que la región factible está vacía, es decir, no hay ningún puntoen el plano que verifique las restricciones del enunciado del problema.

Ejercicio resuelto



f(x, y) = 10x + 20y



Se observa que la región factible no está acotada y, por tanto, nunca se al-canza en ningún punto de ella el valor máximo.

Observa que si se trata de minimizar una función objetivo en un recinto no aco-tado, sí puede tener solución.

°§§¢§§£

x Ì yx + 2y Ó 6x Ó 0y Ó 0

5

°§§¢§§£

x + y Ó 72x + 3y Ì 12x Ó 0y Ó 0

4



f(x, y) = 15x + 10y



f(x, y) = 12x + 19y



f(x, y) = 7x + 11y

°§§¢§§£

x + y Ó 6x Ó yx Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ì 4x + 2y Ó 10x Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ì 83x + 2y Ó 12x Ó 0y Ó 0


Y

X

1

1

2x + 3y = 12 x + y = 7

Y

X

B(0, 3)A(2, 2)

1

1 x + 2y = 6

y = x

Chema

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

6. Un distribuidor de aceite de oli-va compra la materia prima ados almazaras,A y B. Las alma-zaras A y B venden el aceite a2 000 y 3 000 euros por tone-lada, respectivamente.Cada al-mazara le vende un mínimo dedos toneladas y un máximo de 7y para atender a su demanda,el distribuidor debe compraren total un mínimo de 6 tone-ladas.El distribuidor debe com-prar como máximo a la alma-zara A el doble de aceite que ala almazara B.¿Qué cantidad deaceite debe comprar el distri-buidor a cada una de las alma-zaras para obtener el mínimocoste? Determina dicho costemínimo.

7. Resuelve los siguientes apar-tados:

a) Representa gráficamente laregión determinada por lassiguientes restricciones:

2x + y Ì 6

4x + y Ì 10

–x + y Ì 3

x Ó 0; y Ó 0

y determina sus vértices.

b) Calcula el máximo de la fun-ción f(x, y) = 4x + 2y – 3 enel recinto anterior e indicadónde se alcanza.



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.A(4, 2) ò f(4, 2) = 2 000 · 4 + 3 000 · 2 = 14 000 € MínimoB(7, 7/2) ò f(7, 7/2) = 2 000 · 7 + 3 000 · 7/2 = 24 500 €C(7, 7) ò f(7, 7) = 2 000 · 7 + 3 000 · 7 = 35 000 €D(2, 7) ò f(2, 7) = 2 000 · 2 + 3 000 · 7 = 25 000 €F(2, 4) ò f(2, 4) = 2 000 · 2 + 3 000 · 4 = 16 000 €

d) La solución óptima es A(4, 2), es decir, x = 4 toneladas de la almazara A ey = 2 toneladas de la almazara B

Y

XA(4, 2)

E(2, 4)

D(2, 7)

B(7, 7/2)

C(7, 7)

1

1

x + y = 6 x – 2y = 0

y = 7

y = 2

x = 2 x = 7

a) Restricciones:2x + y Ì 6; 4x + y Ì 10; –x + y Ì 3; x Ó 0; y Ó 0


c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.A(0, 0) ò f(0, 0) = 4 · 0 + 2 · 0 – 3 = –3B(5/2, 0) ò f(5/2, 0) = 4 · 5/2 + 2 · 0 – 3 = 7C(2, 2) ò f(2, 2) = 4 · 2 + 2 · 2 – 3 = 9 MáximoD(1, 4) ò f(1, 4) = 4 · 1 + 2 · 4 – 3 = 9 MáximoE(0, 3) ò f(0, 3) = 4 · 0 + 2 · 3 – 3 = 3

d) La solución óptima es el segmento CD, es decir, todos los puntos de dichosegmento.

Y

XB(5/2, 0)1

1

C(2, 2)

A(0, 0)

E(0, 3)

D(1, 4)

–x + y = 3

2x + y = 6

4x + y = 10

Mínimo coste y solución múltiple

106

Nº de toneladas

AlmazaraA

x

AlmazaraB

y

Restricciones

2 Ì x Ì 7; 2 Ì y Ì 7

Comprar x y x + y Ó 6

Relación A y B x y x Ì 2y

Coste 2 000x 3 000y Mínimof(x, y) = 2 000x + 3 000y

Chema

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Ejercicios y problemas

8. Una compañía de telefonía mó-vil quiere celebrar una jornadade «Consumo razonable» yofrece a sus clientes la siguien-te oferta: 15 céntimos de europor cada mensaje SMS y 25 cén-timos de euro por cada minutode conversación incluyendo elcoste de establecimiento de lla-mada. Impone las condiciones:

a) El número de llamadas de unminuto no puede ser mayorque el número de mensajesaumentado en 3, ni ser me-nor que el número de men-sajes disminuido en 3

b) Sumando el quíntuplo del nú-mero de mensajes con el número de llamadas no pue-de obtenerse más de 27.

1. Dibuja la región factible.

2. Determina el número demensajes y de llamadas paraque el beneficio sea máximo.

3. ¿Cuál es ese beneficio má-ximo?



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.A(0, 0) ò f(0, 0) = 15 · 0 + 25 · 0 = 0 céntimos de euroB(3, 0) ò f(3, 0) = 15 · 3 + 25 · 0 = 45 céntimos de euroC(5, 2) ò f(5, 2) = 15 · 5 + 25 · 2 = 125 céntimos de euroD(4, 7) ò f(4, 7) = 15 · 4 + 25 · 7 = 235 céntimos de euro MáximoE(0, 3) ò f(0, 3) = 15 · 0 + 25 · 3 = 75 céntimos de euro

d) La solución óptima es D(4, 7), es decir, x = 4 mensajes SMS e y = 7 llama-das de un minuto.

Y

X1

1C(5, 2)

D(4, 7)

B(3, 0)A(0, 0)

E(0, 3)

5x + y = 27

–x + y = 3

x – y = 3

Máximo beneficio

107

Tem

a 5

.P

rog

ram

ac

ión

lin

ea

l

PAU

9. Una fábrica de papel tiene al-macenados 4 000 kg de pastade papel normal y 3 000 kg depasta de papel reciclado. La fá-brica produces dos tipos dife-rentes de cajas de cartón. Parael primer tipo se utilizan 0,2 kgde pasta de papel normal y0,1 kg de pasta de papel reci-clado, mientras que para la ca-ja de segundo tipo se utilizan0,2 kg de pasta de papel normaly 0,3 kg de pasta de papel reci-clado. Los beneficios que la fá-brica obtiene por la venta decada caja son:respectivamente,5 € para el primer tipo y 6 €para el segundo tipo de cajas.Utilizando técnicas de progra-mación lineal, calcula cuántascajas de cada tipo deben fabri-car para obtener el máximo be-neficio. ¿A cuánto asciende elbeneficio máximo obtenido?



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.A(0, 0) ò f(0, 0) = 5 · 0 + 6 · 0 = 0 €B(20 000, 0) ò f(20 000, 0) = 5 · 20 000 + 6 · 0 = 100 000 €C(15000, 5000) ò f(15000, 5000) = 5 · 15000 + 6 · 5000 = 105000 € MáximoD(0, 10 000) ò f(0, 10 000) = 5 · 0 + 6 · 10 000 = 60 000 €

d) La solución óptima es C(15 000, 5 000), es decir, x = 15 000 cajas del tipo Ae y = 5 000 cajas del tipo B. El beneficio máximo asciende a 105 000 €

Y

X2 000

12 000

2 000

C(15 000, 5 000)

D(0, 10 000)

B(20 000, 0)A(0, 0)

0,2x + 0,2y = 4 000

0,1x + 0,3y = 3 000

Número

MensajesSMS

x

Minutos conversación

y

Restricciones

x Ó 0; y Ó 0Relación SMS y MC x y x – 3 Ì y Ì x + 3Limitación 5x y 5x + y Ì 27Coste 15x 25y Máximof(x, y) = 15x + 25y

Nº de cajasTipo A

xTipo B

yRestriccionesx Ó 0; y Ó 0

Normal 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y Ì 4 000Reciclado 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y Ì 3 000Beneficio 5x 6y Máximof(x, y) = 5x + 6y

Chema

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos10. Para dotar de mobiliario urba-

no a cierta zona de la ciudad,se quieren colocar al menos 20piezas entre farolas y jardine-ras. Hay 40 farolas y 12 jardi-neras disponibles. Se preten-de que el número de jardinerascolocadas no sea superior auna tercera parte del de faro-las colocadas, pero de formaque por lo menos un 20% delas piezas que se coloquen sean jardineras.

a) ¿Qué combinaciones de pie-zas de cada tipo se puedencolocar? Plantea el proble-ma y representa gráfica-mente el conjunto de solu-ciones.

b) ¿Qué combinación hace quela diferencia entre el núme-ro de farolas y de jardine-ras colocadas sea mayor?¿Es la combinación dondemás piezas de mobiliario secolocan?



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

A(16, 4) ò f(16, 4) = 16 – 4 = 12

B(40, 10) ò f(40, 10) = 40 – 10 = 30 Máximo

C(40, 12) ò f(40, 12) = 40 – 12 = 28

D(36, 12) ò f(36, 12) = 36 – 12 = 24

E(15, 5) ò f(15, 5) = 15 – 5 = 10

d) Se pueden colocar las piezas correspondientes a las coordenadas enteras quehay en el borde y el interior de la región factible.

La diferencia mayor entre el número de farolas y jardineras se alcanza enx = 40 farolas e y = 10 jardineras.

g(x, y) = x + y

g(16, 4) = 16 + 4 = 20 piezas

g(40, 10) = 40 + 10 = 50 piezas

g(40, 12) = 40 + 12 = 52 piezas

g(36, 12) = 36 + 12 = 48 piezas

g(15, 5) = 15 + 5 = 20 piezas

La combinación donde más piezas de mobiliario se colocan es 40 farolas y12 jardineras (40 + 12 = 52), que también está dentro de la región factible.

Y

X4

4A(16, 4)

E(15, 5)

D(36, 12)

C(40, 12)

x = 40

y = 12

x + y = 20

0,2x + 0,8y = 0

x/3 – y = 0

B(40, 10)

108

Nº de piezas

Farolas

x

Jardineras

y

Restricciones

0 Ì x Ì 40; 0 Ì y Ì 12

Condición 1 x y x + y Ó 20

Condición 2 x y y Ì x/3

Condición 3 x y 0,2(x + y) Ì y

Beneficio x y Máximof(x, y) = x – y

Chema

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Preguntas tipo test

Representa gráficamente el conjunto de solucionesdel sistema de inecuaciones:

3x + 2y Ó 5; x – 2y Ó –1; 5x + 4y Ì 16; x – y Ì 5

Determina los vértices de la región obtenida en elapartado anterior.

A(5, 2); B(3, 1); C(9, 7/2); D(5, 5)

A(13, –1); B(2, 3); C(1, –1)

A(3, –2); B(4, –1); C(2, 3/2); D(1, 1)

A(0, 0); B(3, 4); C(0, 9); D(7, 0)

En el ejercicio anterior calcula el punto donde al-canza el mínimo la función f(x, y) = 3x – y en dicharegión. Determina dicho valor mínimo.

A(1, 1); el mínimo es 2




Una hamburguesería necesita diariamente un míni-mo de 180 kg de carne de cerdo y 120 kg de carnede ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden su-ministrarle la carne requerida, pero ha de ser en lo-tes. El lote del matadero A contiene 6 kg de carne decerdo y 2 kg de carne de ternera cuyo coste es25 €, y el lote del matadero B contiene 4 kg de car-ne de cerdo y 3 kg de carne de ternera, cuyo costees 35 €. Determina, justificando la respuesta, el nú-mero de lotes que debe adquirir la hamburgueseríaen cada matadero con objeto de garantizar sus ne-cesidades diarias con el mínimo coste.

5 lotes del matadero A y 23 lotes del B




En el ejercicio anterior, calcula valor de dicho coste dia-rio mínimo.

El coste mínimo es de 2600 €




Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas con-dicionan la producción de modo que no pueden sa-lir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300adornadas, ni más de 500 en total.

Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuán-tas unidades de cada clase interesará fabricar paraobtener los máximos ingresos?

150 sortijas sencillas y 150 adornadas.




En el ejercicio anterior, calcula los ingresos máximos.

2700 € 3000 €

1000 € 10000 €

En un almacén de electrodomésticos hay neveras ylavadoras, y pueden almacenarse hasta un total de180 unidades. Para atender adecuadamente la de-manda de los clientes, deben existir al menos 30 la-vadoras, y el número de neveras debe ser, al menos,igual al número de lavadoras más 20. Si el costo decada nevera es de 450 €, y del de cada lavadora, de375 €, ¿cuántas unidades de cada electrodomésticose han de almacenar minimizando los costes totales.

25 neveras y 10 lavadoras.




En el ejercicio anterior, clacula los costes mínimos.

33 750 € 10000 €

50000 € 25000 €

Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de pro-blemas para que resuelvan, como máximo, 70 deellos. Los problemas están clasificados en dos gru-pos. Los del grupo A valen 5 puntos cada uno, y losdel B, 7 puntos. Para resolver un problema del ti-po A, se necesitan 2 minutos, y para resolver un pro-blema del tipo B, 3 minutos. Si los alumnos disponende dos horas y media para resolver los problemas,¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacerpara obtener la puntuación máxima? ¿Cuál es dichapuntuación máxima?

25 problemas del grupo A y 70 del B




En el ejercicio anterior, calcula la puntuación máxima.

500 puntos 400 puntos

370 puntos 200 puntos

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Contesta en tu cuaderno:

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas

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PAU

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos1. Introducción a la programación

lineal

9. Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

a) Dibuja dicho recinto y determina sus vértices.

b) Determina en qué punto de ese recinto alcanza lafunción f(x, y) = 4x + 3y el máximo valor.



b) determina los vértices de ese recinto.

c) ¿cuáles son los valores máximo y mínimo de la fun-ción f(x, y) = 90x + 60y en el recinto anterior? ¿Enqué puntos alcanza dichos valores?

11. Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

a) Dibuja el conjunto de puntos definidos por las in-ecuaciones.

b) Maximiza en dicho conjunto la función objetivoz = 2x + 3y

12. Dada la función objetivo f(x, y) = 2x + 3y, sujeta a lasrestricciones siguientes:

3x + y Ì 10

x + 2y Ì 8

x Ó 0

y Ó 0

a) representa la región factible.

b) halla los valores de x e y que hacen máxima la fun-ción objetivo.

c) determina los valores x e y que minimizan la fun-ción objetivo.

2. Resolución de problemas deprogramación lineal

13. Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collarlleva dos horas, y hacer una pulsera una hora. El mate-rial de que dispone no le permite hacer más de 50 pie-zas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo80 horas. Por cada collar gana 5 €, y por cada pulsera,4 €. El artesano desea determinar el número de colla-res y pulseras que debe fabricar para optimizar sus be-neficios.

a) Expresa la función objetivo y las restricciones delproblema.

b) Representa gráficamente el recinto definido.

c) Obtén el número de collares y pulseras correspon-dientes al máximo beneficio.

14. Un ganadero tiene que elaborar un pienso a partir dedos ingredientes nutritivos:A y B. Los mínimos que ne-cesita son 30 unidades de A y 32 unidades de B. En elmercado se venden sacos de dos marcas que contie-nen A y B, cuyos contenidos y precios se dan en la ta-bla siguiente:

¿Cuántos sacos de cada marca tiene que comprar elganadero para elaborar este pienso con el mínimo coste?

15. Una fábrica produce confitura de albaricoque y confi-tura de ciruela. El doble de la producción de confiturade ciruela es menor o igual que la producción de confi-tura de albaricoque más 800 unidades. Además, el tri-ple de la producción de confitura de albaricoque másel doble de la producción de confitura de ciruela esmenor o igual que 2 400 unidades.

Cada unidad de confitura de albaricoque produce unbeneficio de 60 €, y cada unidad de confitura de cirue-la 80 €. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitu-ra, se tienen que producir para obtener un beneficiomáximo?

16. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene quediseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingre-diente A contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías porcada 100 gramos de ingrediente, mientras que el ingre-diente B contiene 15 g de grasas y 100 kilocalorías porcada 100 g. El coste es de 1,5 € por cada 100 g del in-grediente A y de 2 € por cada 100 g del ingrediente B.

Unidadesde A

Marca

I 3

II 1

Unidadesde B

1

4

Precio del saco

9 €

12 €

°§§¢§§£

x + 3y Ì 32x + y Ì 4x Ó 0y Ó 0

°§¢§£

x + y Ì 27x Ó 12y Ó 6

°§§¢§§£

5x + 2y – 10 Ó 0x – y – 2 Ì 03x + 4y – 20 Ì 0x Ó 0y Ó 0

Chema

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Ejercicios y problemasEl menú que hay que diseñar debería contener no másde 30 g de grasas y, al menos, 110 kilocalorías por cada100 g de alimento. Se pide determinar las proporcio-nes de cada uno de los ingredientes que se emplearánen el menú, de manera que su coste sea lo más reduci-do posible.

a) Indica la expresión de las restricciones y la funciónobjetivo del problema.

b) Representa gráficamente la región delimitada porlas restricciones.

c) Calcula el porcentaje óptimo de cada uno de los in-gredientes que se incluirán en el menú.

3. Número de soluciones

17. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:


f(x, y) = 16x + 24y



f(x, y) = 5x + 7y



f(x, y) = 23x + 14y

°§§¢§§£

x + y Ó 8x Ì yx Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ó 112x + y Ì 8x Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ó 52x + 3y Ì 18x Ó 0y Ó 0



b) calcula sus vértices.

c) calcula el máximo de la función f(x, y) = 20x + 60y endicho recinto.



b) calcula los vértices de ese recinto.

c) obtén en dicho recinto el valor máximo y el valormínimo de la función dada por

f(x, y) = 10 000x + 7 000y

y di en qué puntos se alcanzan.

22. Sea P el polígono de vértices O(0, 0), A(6, 0), B(8, 3),C(4, 8) y D(0, 6).Averigua en qué puntos del polígonoalcanza la función f(x, y) = 2x + 3y los valores máximoy mínimo.



b) calcula los vértices de ese recinto.

c) determina el máximo y el mínimo de la función f(x, y) = 12x + 4y en el recinto anterior.

24. Determina los valores máximo y mínimo de la funciónz = 3x + 4y sujeta a las restricciones:

°§§¢§§£

3x + y Ó 3x + y Ì 5x Ó –2y Ì 10y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ó 2x – y Ì 0y Ì 4x Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x + y Ì 1140x + 30y Ó 360 x Ó 0y Ó 0

°§§¢§§£

x Ó 6y Ì 8x + 2y Ó 10x Ó 0y Ó 0

Para ampliar

Chema

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112

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos25. Sea el conjunto de restricciones siguiente:

a) Dibuja la región factible determinada por dichas res-tricciones.

b) Calcula los vértices de dicha región.

c) Obtén los puntos en los que presenta el máximo yel mínimo la función f(x, y) = x + 2y

26. Se considera la función f(x, y) = 2x + 4y, sujeta a las si-guientes restricciones:

a) Representa la región del plano determinada por elconjunto de restricciones.

b) Calcula los puntos de dicha región en los que la fun-ción f(x, y) alcanza su valor máximo y su valor mí-nimo.



b) calcula los vértices del recinto.

c) obtén en dicho recinto el valor máximo y el valormínimo de la función f(x, y) = 5x + 3y. Halla en quépuntos se alcanzan.

°§§¢§§£

2x + y Ì 182x + 3y Ì 26x + y Ì 16x Ó 0; y Ó 0

°§§¢§§£

3x + 2y Ó 6x + 4y Ó 4x – 2y + 6 Ó 0x + 2y Ì 10x Ì 4

°§§¢§§£

x + y Ì 9x – y Ì 0x + 2y Ì 16y Ó 0

28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dosrazas,A y B. Dispone de 9 000 € para invertir y de unespacio con una capacidad limitada para 7 000 pollos.Cada pollo de la raza A le cuesta 1 € y obtiene con élun beneficio de 1 €, y cada pollo de la raza B le cuesta2 € y el beneficio es de 1,4 € por unidad. Si por razo-nes comerciales el número de pollos de la raza B nopuede ser superior a los de la raza A, determina, justifi-cando la respuesta:

a) ¿qué cantidad de ambas razas debe comprar el gran-jero para obtener un beneficio máximo?

b) ¿cuál será el valor de dicho beneficio?

29. Un vendedor dispone de dos tipos de pienso,A y B, pa-ra alimentar ganado. Si mezcla a partes iguales los dospiensos, obtiene una mezcla que vende a 0,15 €/kg; sila proporción de la mezcla es de una parte de A por3 de B, vende la mezcla resultante a 0,1 €/kg. El vende-dor dispone de 100 kg de pienso del tipo A y de 210 kgdel tipo B. Desea hacer las dos mezclas de modo quesus ingresos por venta sean máximos.

a) Plantea el problema y dibuja la región factible.

b) Halla cuántos kilos de cada mezcla deben producirsepara maximizar los ingresos, y calcula dicho ingreso.

30. Los alumnos de un centro educativo pretenden venderdos tipos de lotes,A y B, para sufragar los gastos del viajede estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de

mantecadas y cinco participaciones de lotería, y cada lotedel tipo B consta de dos cajas de mantecadas y dos partici-paciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, losalumnos obtienen un beneficio de 12,25 €; y por cada lotede tipo B ganan 12,5 €

Por razones de almacenamiento, pueden disponer a losumo de 400 cajas de mantecadas. Los alumnos solocuentan con 1 200 participaciones de lotería y deseanmaximizar sus beneficios.

a) Determina la función objetivo y expresa medianteinecuaciones las restricciones del problema.

b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben ven-der los alumnos para que el beneficio obtenido seamáximo? Calcula dicho beneficio.

31. Cada mes una empresa puede gastar, como máximo,10 000 € en salarios y 1 800 € en energía (electricidady gasoil). La empresa solo elabora dos tipos de produc-tos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 0,8€; y por cada unidad de B gana 0,5 €. El coste salarial yenergético que acarrea la elaboración de una unidaddel producto A y de una unidad del producto B apare-ce en la siguiente tabla:

Producto A

Coste salarial 2

Producto B

1

Coste energético 0,1 0,3

Problemas

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Ejercicios y problemasSe desea determinar cuántas unidades de cada uno delos productos A y B debe producir la empresa paraque el beneficio sea máximo.

32. En un depósito se almacenan bidones de petróleo y ga-solina. Para poder atender la demanda se han de teneralmacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y40 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de ga-solina que de petróleo, y la capacidad del depósito esde 200 bidones. Por razones comerciales, deben man-tenerse en inventario, al menos, 50 bidones. El gasto dealmacenaje de un bidón de petróleo es de 0,2 € y el deuno de gasolina es de 0,3 €. Se desea saber cuántos bi-dones de cada clase han de almacenarse para que elgasto de almacenaje sea mínimo.

33. Un agricultor cosecha garbanzos y lentejas. Se sabeque, a lo sumo, solo se pueden cosechar 500 toneladasmétricas (Tm), de las que, como máximo, 200 Tm sonlentejas. Los beneficios por Tm de garbanzos y lentejasson de 500 € y 300 €, respectivamente, y desea plani-ficar la producción para optimizar el beneficio total.

a) Formula el sistema de inecuaciones asociado alenunciado del problema y la función objetivo delmismo.

b) Representa gráficamente la región factible y calculasus vértices.

c) ¿Cuántas Tm de garbanzos y cuántas de lentejas de-be cosechar para obtener el máximo beneficio?

34. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxi-ma de 1 500 personas entre adultos y niños, aunque elnúmero de niños asistentes no puede superar los 600.El precio de la entrada de un adulto a una sesión es de8 €, mientras que la de un niño es de un 40% menos. Elnúmero de adultos no puede superar al doble del nú-mero de niños.

Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la can-tidad máxima que se puede recaudar por la venta deentradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños?

35. Un grupo musical va a lanzar un nuevo trabajo al mer-cado. La casa discográfica considera necesario realizaruna campaña intensiva de publicidad, combinando dospublicidades: anuncios en televisión, con un coste esti-mado de 10 000 € por anuncio, y cuñas radiofónicas,con un coste estimado de 1 000 € por cuña. No obs-tante, no pueden gastar más de un millón de euros paradicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir,al menos, 50 cuñas, pero no más de 100. Un estudio demercado cifra en 10 000 el número de copias que sevenderá por anuncio de televisión emitido, y en 2 000 elnúmero de copias por cuña radiofónica emitida.

a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podráconstar esta campaña? Plantea el problema y repre-senta gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar pa-ra vender el mayor número de copias posibles? ¿Sellega a gastar el millón de euros?

36. Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nue-vos modelos, uno básico y otro de lujo. El coste de fa-bricación del modelo básico es de 10 000 € y el delmodelo de lujo es de 15 000 €. Se dispone de un pre-supuesto de 600 000 € para esta operación de lanza-miento. Para evitar riesgos se cree conveniente lan-zar al menos tantos coches del modelo básico comodel modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de45 coches del modelo básico.

a) ¿Cuántos coches interesa fabricar de cada modelosi el objetivo es maximizar el número de coches fa-bricados?

b) ¿Se agota el presupuesto disponible?

37. Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa deservicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cadatraductor de una lengua es de 2 000 €, y de 3 000 € alos que son de más de una lengua. Como poco, y pormotivos de demanda, dicha empresa tiene que contra-tar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. Lapolítica de selección de personal de la compañía obligatambién a contratar al menos a tantos traductores deuna lengua como de más de una. Sabiendo que el obje-tivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de120 000 €, y que los beneficios que aportan los traduc-tores de una lengua son de 4 000 €/traductor, y de8 000 €/traductor los de más de una lengua:

a) ¿cuántos traductores de cada tipo puede contratar?Plantea el problema y representa gráficamente elconjunto de soluciones.

b) ¿cuántos traductores contratará para minimizar elgasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá laempresa en este caso?

38. Un agricultor puede sembrar trigo (5 hectáreas comomáximo) y centeno (7 hectáreas como máximo) en sustierras. La producción de trigo, por cada hectárea sem-brada, es de 5 toneladas, mientras que la producciónde centeno, también por hectárea sembrada, es de2 toneladas, y puede producir un máximo de 29 tone-ladas de los dos cereales. Si el beneficio que obtiene elagricultor por cada tonelada de trigo es de 290 € yel beneficio por cada tonelada de centeno es de 240 €,¿qué número de hectáreas ha de sembrar de cada cul-tivo para maximizar los beneficios?

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114

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos39. El número de unidades de dos productos (A y B) que

un comercio puede vender es, como máximo, igual a100. Dispone de 60 unidades de producto de tipo A,con un beneficio unitario de 2,5 €, y de 70 unidades ti-po B con un beneficio de 3 €. Determina cuántas uni-dades de cada tipo de productos A y B debe vender elcomercio para maximizar sus beneficios globales.

40. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras,A y B. Las de tipo A cuestan 450 €, y las de tipo B,750 €. Dispone de 10 500 € y de sitio para 20 lavado-ras, y, al menos, ha de comprar una de cada tipo.

¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo paraobtener beneficios máximos con su venta posterior,sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del preciode compra?

Nota: se recuerda que el número de lavadoras de cadatipo ha de ser entero.

41. Una empresa se dedica a la fabricación de frascos deperfume y de agua de colonia, a partir de tres factoresproductivos, F1, F2 y F3. Las unidades de dichos facto-res utilizadas en la producción de cada tipo de frascose detallan en la siguiente tabla:

Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfu-me es de 50 €, el de uno de agua de colonia es de20 €, y que la empresa dispone de 240 unidades de F1,360 de F2 y 440 de F3:

a) calcula el número de frascos de cada tipo que de-be fabricar la empresa para maximizar sus benefi-cios. Explica los pasos seguidos para obtener la res-puesta.

b) ¿se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 enla producción de los frascos que maximiza los bene-ficios?

42. Un concesionario de coches vende dos modelos: el A,con el que gana 1 000 € por unidad vendida, y el B, conel que gana 500 € por unidad vendida. El número x decoches vendidos del modelo A debe verificar que50 Ì x Ì 75. El número y de coches vendidos del mo-delo B debe ser mayor o igual que el número de co-ches vendidos del modelo A.

Sabiendo que el máximo de coches que puede venderes 400, determina cuántos coches debe vender de cadamodelo para que su beneficio sea máximo.

43. Un cliente de un banco dispone de 30 000 € para ad-quirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tiposde fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del12% y unas limitaciones legales de 12 000 € de inver-sión máxima; el del tipo B presenta una rentabilidad del8% sin ninguna limitación. Además, este cliente deseainvertir en los fondos tipo B, como máximo, el doblede lo invertido en los fondos tipo A.

a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipode fondo para obtener un beneficio máximo?

b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

Para profundizar

44. En un problema de programación lineal la región facti-ble es el pentágono convexo que tiene de vértices lospuntos: O(0, 0), P(0, 4), Q(3/2, 3), R(5/2, 2) y S(11/4, 0),y la función objetivo que hay que maximizar esF(x, y) = 2x + ay (a es un número real positivo).

a) Dibuja la región factible.

b) Halla el vértice, o punto extremo, del mismo enel que la función objetivo alcanza el máximo paraa = 1/2

c) Encuentra un valor de a para que el máximo se al-cance en el punto (0, 4)

45. Un hipermercado quiere ofrecer dos clases de bande-jas: A y B. La bandeja A contiene 40 g de queso man-chego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la ban-deja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores. Para confeccionarlas disponen de10,4 kg de queso manchego, 17,6 kg de roquefort y11,2 kg de camembert. El precio de venta es de 5,8 €la bandeja A y de 7,32 € la bandeja B. El hipermercadodesea maximizar los ingresos.

a) Expresa la función objetivo.

b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones delproblema y representa gráficamente el recinto de-finido.

c) Determina el número de bandejas que debe venderde cada clase para que los ingresos obtenidos seanmáximos. Calcula dichos ingresos.

46. Una fábrica de adornos produce broches sencillos ybroches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 4,5 € porcada broche sencillo y de 6 € por cada broche de fies-ta. En un día no se pueden fabricar más de 400 brochessencillos ni más de 300 de fiesta; tampoco pueden pro-ducirse más de 500 broches en total. Suponiendo que

Perfume

F1 1

Agua de colonia

2

F2 2 0

F3 0 4

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Ejercicios y problemasse logra vender toda la producción de un día, ¿cuál esel número de broches de cada clase que conviene fa-bricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál debe-ría ser la producción para obtener el máximo beneficiosi se obtuvieran 6 € por cada broche sencillo y 4,5 €por cada broche de fiesta?

47. Para fabricar 2 tipos de cable,A y B, que se venderán a1,5 y 1 € el metro, respectivamente, se emplean 16 kgde plástico y 4 kg de cobre para cada hectómetro (hm)del tipo A y 6 kg de plástico y 12 kg de cobre para cadahm del tipo B.

Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo Bno puede ser mayor que el doble de la del tipo A yque, además, no pueden emplearse más de 252 kg deplástico ni más de 168 kg de cobre, determina la longi-tud, en hectómetros, de cada tipo de cable que debefabricarse para que la cantidad de dinero obtenida enla venta sea máxima.

48. Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo pordos grupos diferentes de una misma empresa: G1 yG2. Se trata de asfaltar tres zonas:A, B y C. En una se-mana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en lazona A, 2 en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 escapaz de asfaltar semanalmente 2 unidades en la zo-na A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El coste semanalse estima en 3 300 € para G1 y en 3 500 € para G2. Senecesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A,12 en la zona B y 10 en la zona C. ¿Cuántas semanasdeberá trabajar cada grupo para finalizar el proyectocon el mínimo coste?

49. Una empresa, especializada en la fabricación de mobi-liario para casas de muñecas, produce cierto tipo demesas y sillas, que vende, respectivamente, a 20 € y30 € por unidad. La empresa desea saber cuántas uni-dades de cada artículo debe fabricar diariamente unoperario para maximizar los ingresos, teniendo las si-guientes restricciones:

El número total de unidades de los dos tipos no podráexceder de 4 por día y operario. Cada mesa requiere2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jor-nada laboral máxima es de 10 horas.

El material utilizado en cada mesa cuesta 4 €. El utiliza-do en cada silla cuesta 2 €. Cada operario dispone de12 € diarios para material.

a) Expresa la función objetivo y las restricciones delproblema.

b) Representa gráficamente la región factible y calculalos vértices de la misma.

c) Razona si con estas restricciones un operario puedefabricar diariamente una mesa y una silla, y si esto leconviene a la empresa.

d) Resuelve el problema.

50. Una agencia de viajes vende paquetes turísticos paraacudir a la final de un campeonato de fútbol. La agenciaestá considerando ofrecer dos tipos de viajes. El pri-mero de ellos, A, incluye desplazamiento en autocarpara dos personas, una noche de alojamiento en habi-tación doble y cuatro comidas. El segundo, B, inclu-ye desplazamiento en autocar para una persona, unanoche de alojamiento (en habitación doble) y dos co-midas.

El precio de venta del paquete A es de 150 € y el delpaquete B es de 90 €. La agencia tiene contratadas unmáximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones do-bles y 56 comidas. El número de paquetes del tipo B nodebe superar al del tipo A. La empresa desea maximi-zar sus ingresos.

Se pide:

a) expresar la función objetivo.

b) escribir mediante inecuaciones las restricciones delproblema y representar gráficamente el recinto de-finido.

c) determinar cuántos paquetes de cada tipo debe ven-der la agencia para que sus ingresos sean máximos.Calcula dichos ingresos.

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51. Una fábrica quiere construir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg dealuminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para construir unabicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si las bicicletas de paseo las vende a200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

Solución:

a) Tabla con los datos del problema

Como en Wiris no tenemos la opción tabla, en elegimos Determinante y seleccionamos el nú-mero de filas y columnas. Si cuando estamos introduciendo los datos en la tabla necesitamos añadir o elimi-nar filas o columnas, en elegimos Menú.

b)Región factible

Ver el Así funciona (en este caso las rectas cortan a los ejes en los puntos (80, 0) y (0, 60), se toma como an-chura = altura = 100. La mitad de 100 son 50; un poco menos, 45; centro = punto (45, 45))

52. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Paso a paso


Chema

Text Box


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Tem

a 5

.P

rog

ram

ac

ión

lin

ea

l

53. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciuda-des, con plazas suficientes de pasaje y carga, paratransportar 1600 personas y 96 toneladas de equi-paje. Los aviones disponibles son de dos tipos:11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de unavión del tipo A, que puede transportar a 200 perso-nas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; y lacontratación de un avión del tipo B, que puedetransportar a 100 personas y 15 toneladas de equi-paje, cuesta 10 000 €. ¿Cuántos aviones de cada ti-po deben utilizarse para que el coste sea mínimo?

54. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de te-jido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y3 m2 de B, y un vestido de señora, 2 m2 de cadatejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mis-mo beneficio que la de un vestido, halla cuántostrajes y vestidos debe fabricar para obtener la má-xima ganancia.

55. Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dosfactorías y cada una de ellas produce los dos bie-nes en las cantidades por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300 unidadesde A y 500 de B. Los costes de funcionamiento de

las dos factorías son: 100 € por hora para la facto-ría 1 y 80 € por hora para la factoría 2. ¿Cuántashoras debe funcionar cada factoría para minimizarlos costes de la empresa y satisfacer el pedido?

56. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavado-ra, A y B. Las de tipo A cuestan 450 €, y las de ti-po B, 750 €. Dispone de 10 500 € y de sitio para20 lavadoras, y, al menos, ha de comprar una de ca-da tipo. ¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipopara obtener beneficios máximos con su ventaposterior, sabiendo que en cada lavadora gana el20% del precio de compra?Nota: se recuerda que el número de lavadoras decada tipo ha de ser entero.

57. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidadmáxima de 1 500 personas entre adultos y niños,aunque el número de niños asistentes no puedesuperar los 600. El precio de la entrada de unadulto a una sesión es de 8 €, mientras que la deun niño cuesta un 40% menos. El número de adul-tos no puede superar al doble del número de niños.Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es lacantidad máxima que se puede recaudar por la ven-ta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán deniños?

Bien A

Factoría 1 Factoría 2

10 unidades/hora 20 unidades/hora

Bien B 25 unidades/hora 25 unidades/hora

Así funcionaDibujo de la región factibleSe hace paso a paso, y en cada paso se hace clic en a) Se dibujan las rectas que definen la región factible, cada una de un color.b) Si es necesario, se hace Zoom fuera varias veces hasta ver todos los puntos de corte con los ejes.c) Se escribe la función tablero, se pone en anchura y altura un valor un poco mayor que el mayor de los puntos de

corte de las rectas con los ejes. El centro del tablero debe ser un poco menor que la mitad de la anchura y alturapara que se vean las unidades en los ejes.

d) Mediante las restricciones del problema y según que la función objetivo se trate de maximizar o minimizar, se ob-serva la región factible.

e) Se resuelven los sistemas que sea necesario para hallar los vértices de la región factible.f ) Se dibuja y rellena la región factible que es polígono (si es ilimitada, y por ejemplo el tablero tiene anchura = altu-

ra = 150, se añaden los puntos (150, 0) (150, 150) y (0, 150). Estos tres puntos no pertenecen a la región factible;solo se ponen para hacer un relleno en Wiris).

g) Se dibujan los vértices de la región factible.

Linux/Windows

Practica

Chema

Text Box


118

2. Región factible.a) En la Entrada de Expresiones escribe:

x Ó 0 ì y Ó 0 ì x + 2y Ì 80 ì 3x + 2y Ì 120b) Elige Introducir Expresión.c) Activa la ventana 2D y elige Representar

Expresión. d) Haz Zoom para que las unidades queden

de 10 en 10e) Coloca el cursor en el punto (50, 50) y haz

clic en Centrar en el cursor.f ) Representa las rectas:

x + 2y = 803x + 2y = 120

g) Resuelve el sistema:

3. Valores de la función objetivo en los vértices dela región factible.a) Introduce la función objetivo. En la Entrada

de Expresiones escribe:f(x, y) := 200x + 150y

b) Elige Introducir Expresión.

c) Para hallar el valor de la función objetivo enel punto B(20, 30), en la Entrada de Expre-siones escribe:

f(20, 30)

d) Elige Introducir y Aproximar.

e) Calcula el valor de la función objetivo en to-dos los vértices de la región factible; se ob-tiene:

O(0, 0) ò f(0, 0) = 0

A(40, 0) ò f(40, 0) = 800

B(20, 30) ò f(20, 30) = 850 Máximo

C(0, 40) ò f(0, 40) = 600

4. La solución óptima es B(20, 30), es decir,x = 20 bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas demontaña.

52. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Ma-temáticas, curso y tema.

°¢£

x + 2y = 803x + 2y = 120

Paso a paso


51. Una fábrica quiere construir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg dealuminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para construir unabicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si las bicicletas de paseo las vende a200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

Solución:1. Tabla con los datos

del problema. Nº de bicicletasB. de paseo

xB. de montaña

yRestriccionesx Ó 0; y Ó 0

Acero x 2y x + 2y Ì 80Aluminio 3x 2y 3x + 2y Ì 120Beneficio 200x 150y Maximizarf(x, y) = 200x + 150y

Chema

Text Box


119

Tem

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.P

rog

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ac

ión

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ea

l

Así funciona

Representar la región factible

a) Se introducen en la Entrada de Expresiones todas las desigualdades que la definen separadas por el signo de con-junción lógica ì

b) Se utilizan las herramientas Zoom y Centrar en el cursor para visualizar lo mejor po-sible la región factible.

c) Se representan las rectas que la limitan y se resuelven los sistemas que sea necesario para hallar los vértices de la re-gión factible.

Función objetivo

Se introduce en la Entrada de Expresiones f(x, y) := ax + by (entre los dos puntos y el signo igual no hay espacioen blanco).

Para hallar el valor de la función objetivo en un punto de la región factible se introduce en la Entrada de Expresio-nes f(20, 30) y se elige Introducir y Aproximar.

Windows Derive

53. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciuda-des, con plazas suficientes de pasaje y carga, paratransportar 1600 personas y 96 toneladas de equi-paje. Los aviones disponibles son de dos tipos:11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de unavión del tipo A, que puede transportar a 200 perso-nas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; y lacontratación de un avión del tipo B, que puedetransportar a 100 personas y 15 toneladas de equi-paje, cuesta 10 000 €. ¿Cuántos aviones de cada ti-po deben utilizarse para que el coste sea mínimo?

54. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de te-jido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y3 m2 de B, y un vestido de señora, 2 m2 de cadatejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mis-mo beneficio que la de un vestido, halla cuántostrajes y vestidos debe fabricar para obtener la má-xima ganancia.

55. Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dosfactorías y cada una de ellas produce los dos bie-nes en las cantidades por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300 unidadesde A y 500 de B. Los costes de funcionamiento de

las dos factorías son: 100 € por hora para la facto-ría 1 y 80 € por hora para la factoría 2. ¿Cuántashoras debe funcionar cada factoría para minimizarlos costes de la empresa y satisfacer el pedido?

56. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavado-ra, A y B. Las de tipo A cuestan 450 €, y las de ti-po B, 750 €. Dispone de 10 500 € y de sitio para20 lavadoras, y, al menos, ha de comprar una de ca-da tipo. ¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipopara obtener beneficios máximos con su ventaposterior, sabiendo que en cada lavadora gana el20% del precio de compra?Nota: se recuerda que el número de lavadoras decada tipo ha de ser entero.

57. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidadmáxima de 1 500 personas entre adultos y niños,aunque el número de niños asistentes no puedesuperar los 600. El precio de la entrada de unadulto a una sesión es de 8 €, mientras que la deun niño cuesta un 40% menos. El número de adul-tos no puede superar al doble del número de niños.Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es lacantidad máxima que se puede recaudar por la ven-ta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán deniños?

Bien A

Factoría 1 Factoría 2

10 unidades/hora 20 unidades/hora

Bien B 25 unidades/hora 25 unidades/hora

Practica

Chema

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Problemas resueltos

1. Un autobús transporta duran-te un viaje 60 viajeros de tres ti-pos: viajeros que pagan el billeteentero que cuesta 1 €; estudian-tes que tienen un 25% de des-cuento y jubilados con un descuen-to del 50% en el precio del billete.La recaudación del autobús en elviaje fue de 48 €. Calcula el nú-mero de viajeros de cada clase sa-biendo que el número de estu-diantes era el doble que el númerodel resto de pasajeros.

a) Incógnitas, datos y preguntas

Nº de viajeros que pagan el billete entero: x

Nº de estudiantes: y

Nº de jubilados: z

Número de viajeros totales: 60

¿Cuántos viajeros de cada clase hay?

b) Manos a la obra

ò ò

ò ò x = 16

La solución del sistema es: x = 16, y = 40, z = 4

c) Solución

Viajan 16 viajeros que pagan el billete completo, 40 estudiantes y 4 jubi-lados.

z = 4°¢£

x + y + z = 6050z = 200

y = 40

°§¢§£

x + y + z = 6025y + 50z = 1 2003y = 120

100 · 1ª – 2ª

2 · 1ª + 3ª

°§¢§£

x + y + z = 60100x + 75y + 50z = 4 800–2x + y – 2z = 0

°§¢§£

x + y + z = 60x + 0,75y + 0,5z = 48

y = 2(x + z)

2.Antonio ha conseguido 1 372 €

trabajando durante las vacaciones.Ese dinero puede gastarlo ínte-gramente comprando un orde-nador portátil, una cámara digitaly haciendo un viaje. El precio delordenador portátil excede en140 € la suma de los precios dela cámara y del viaje.Teniendo encuenta que el precio de un segundoacompañante para el viaje es la mi-tad que el precio inicial,Antoniopodría invitar a su hermano al via-je en el caso de que no se com-prara la cámara digital y todavíale quedarían 208 €. Calcula losprecios del ordenador, de la cá-mara y del viaje.

a) Incógnitas, datos y preguntas

Precio del ordenador: x

Precio de la cámara: y

Precio del viaje: z

b) Manos a la obra

ò ò

ò ò z = 344

La solución x = 756, y = 272, z = 344

c) Solución

El precio del ordenador es de 756 €, el de la cámara, 272 €, y el del via-je, 344 €

y = 272°¢£

x + y + z = 1 3723y = 816

x = 756°§¢§£

x + y + z = 1 3722x = 1 5122x + 3y = 2 328

1ª + 2ª°§¢§£

x + y + z = 1 372x – y – z = 140

2x + 3y = 2 328

°§¢§£

x + y + z = 1 372x = y + z + 140

x + y + y/2 = 1 164

120

Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba

Chema

Text Box


121

Álg

eb

ra

PAUÁlgebra

3. Determina la matriz X que ve-rifica la ecuación:

A2X – B = AX

donde:

A =

B =

Justificar la respuesta.

)2 –1 01 3 –10 1 –1(

)1 0 –12 1 0

–1 1 1(

4. Dado el sistema lineal de ecua-ciones, dependiente del paráme-tro real a:

a) discute el sistema para los dis-tintos valores de a

b) resuelve el sistema para a = 3,a = 1

x + ay + z = 12y + az = 2

x + y + z = 1

°§¢§£

A2X – B = AX; A2X – AX = B; (A2 – A)X = B; X = (A2 – A)–1 B

A2 = A · A = A2 – A =

|A2 – A| = 4, (A2 – A)–1 =

X = (A2 – A)–1B = )1 0 –1/2–3/2 5/2 –1/2

1/2 –3/2 0()1/2 0 1/2

–1 1/2 01/2 –1/2 1/2(

)1 –1 –12 0 –21 1 1()2 –1 –2

4 1 –20 2 2(

a) Discusión: C = ò |C| = = a2 – a

a2 – a = 0 ò a = 0, a = 1Para a ? 0, a ? 1 ò R(C) = R(A) = nº de incógnitas = 3, sistema compatibledeterminado.Para a = 0, se estudian los rangos de la matriz de los coeficientes C y de la am-pliada A

R = R = R

R(C) = 2 < R(A) = 3, sistema incompatible.Para a = 1, se estudian los rangos de la matriz de los coeficientes C y de la am-pliada A

R = R

R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado.

b) Resuelve para a = 3, a = 1Para a = 3

ò

La solución única es: x = 1/3, y = 0, z = 2/3Para a = 1 se ha visto que el sistema es compatible indeterminado; se pasa de laúltima matriz de la discusión al sistema:

ò

La solución es: x = y – 1, z = 2 – 2yEn paraméticas: x = l – 1, y = l, z = 2 – 2l, l é�

x = y – 1z = 2 – 2y°¢£

x + y + 2 – 2y = 1z = 2 – 2yz = 2 – 2y

°¢£

x + y + z = 12y + z = 2

x = 1/3z = 2/3y = 0

°§¢§£

x + 3y + z = 12y + 3z = 22y = 01ª – 3ª

°§¢§£

x + 3y + z = 12y + 3z = 2

x + y + z = 1

)1 1 1 10 2 1 | 20 0 0 0(

3ª – 1ª)1 1 1 10 2 1 | 21 1 1 1(

)1 0 1 10 1 0 | 10 0 0 1(

2ª – 3ª)1 0 1 10 1 0 | 10 1 0 0(2ª/2

3ª – 1ª)1 0 1 10 2 0 | 21 1 1 1(

|1 a 10 2 a1 1 1|)1 a 1

0 2 a1 1 1(

Chema

Text Box


Problemas resueltos

122

Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba

5. Un proyecto de jardinería pue-de llevarse a cabo por dos gru-pos diferentes de una misma em-presa:G1 y G2.Se trata de ajardinartres zonas:A, B y C. En la siguien-te tabla se recoge el número deunidades que puede ajardinar ca-da grupo en cada zona duranteuna semana:

Se necesita ajardinar un mínimode 40 unidades en la zona A, 50unidades en la zona B y 49 unida-des en la zona C; su coste sema-nal se estima en 3 300 € para elgrupo G1 y en 4 000 € para el gru-po G2. ¿Cuántas semanas deberátrabajar cada grupo para finalizarel proyecto con el mínimo coste?Expresa la función objetivo y lasrestricciones del problema. Re-presenta gráficamente la regiónfactible y calcula sus vértices.


b) Región factible.c) Valores de la función objetivo en los vértices

de la región factible.A(5, 2) ò f(5, 2) = 3 300 · 5 + 4 000 · 2 =

= 24 500 € MínimoB(10, 0) ò f(10, 0) = 3 300 · 10 + 4 000 · 0 =

= 33 000 €C(0, 10) ò f(0, 10) = 3 300 · 0 + 4 000 · 10 =

= 40 000 €D(3, 4) ò f(3, 4) = 3 300 · 3 + 4 000 · 4 =

= 25 900 €d) La solución óptima es A(5, 2), es decir, x = 5 semanas del grupo G1 e y = 2

semanas del grupo G2

6. Una tienda de informática lan-za una producción destinada a co-mercializar dos modelos de or-denadores portátiles:modelo A ymodelo B. Cada unidad del mo-delo A se vende a 1 000 € y cadaunidad del B a 800 €. Se trata deuna promoción destinada a un nú-mero limitado de unidades: soloafecta a 30 ordenadores del mo-delo A y a 40 del modelo B.El ob-jetivo de la tienda es vender delmodelo A al menos el doble deunidades que del modelo B y ob-tener unos ingresos mínimos de30 000 €. ¿Cuántas unidades decada modelo deberá vender paraobtener unos ingresos máximos?¿A cuánto ascienden dichos in-gresos?



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.A(150/7, 75/7) ò f(150/7, 75/7) ò No tiene sentido 150/7 de ordenadorB(30, 0) ò f(30, 0) = 1 000 · 30 + 800 · 0 = 3 000 €C(30, 15) ò f(30, 15) = 1 000 · 30 + 800 · 15 = 42 000 € Máximo

d) La solución óptima es C(30, 15), es decir, x = 30 ordenadores modelo A ey = 15 ordenadores modelo tipo B. Los ingresos ascienden a 42 000 €

Y

X10

10 20 30 40 505 15 25 35 45

20

30

40

5

15

25

35

B(30, 0)

c(30, 15)

x – 2y = 0

1000x + 800y = 30 000

y = 40x = 30

Nº de semanas

Grupo G1

x

Grupo G2

y

Restricciones

x Ó 0; y Ó 0A 4 10 4x + 10y Ó 40B 10 5 10x + 5y Ó 50C 7 7 7x + 7y Ó 49Coste 3 300x 4 000y Mínimof(x, y) = 3 300x + 4 000y

Nº de ord.Modelo A

xModelo B

yRestricciones

0 Ì x Ì 30; 0 Ì y Ì 40Objetivo x y x Ó 2yIngresos x y 1 000x + 800y Ó 30 000Ingresos 1 000x 800y Máximof(x, y) = 1 000x + 800y

Grupo G1

Zona A

4

Zona B

10

Zona C

7

Grupo G2 10 5 7Y

X

C(5, 2)

B(3, 4)

A(0, 10)

D(10, 0)

10x + 5y = 50

7x + 7y = 49

4x + 10y = 40

1

1

Chema

Text Box


1. Se están preparando dosis con dos tipos de complemen-tos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gra-mo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavi-na, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo delcomplemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 dehierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cadacomplemento son necesarios para producir exactamenteuna dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y14 de carbohidratos?

2. En un domicilio se pagaron 3 facturas (agua, luz y teléfo-no) por un total de 140 €. De agua se pagó la terceraparte que de luz, y la factura del teléfono fue el 45% deltotal.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) ¿Cuánto se pagó en cada factura?

3. Considera la ecuación matricial:

X + X · A + Bt = 2C

donde las matrices A, B y C son:

A = B =

C =

y donde Bt denota la matriz traspuesta de B.

a) Despeja la matriz X en la ecuación matricial. ¿De quéorden es?

b) Calcula la matriz 2C – Bt y la inversa de la matriz I + A,siendo I la matriz identidad de orden 3

c) Resuelve la ecuación matricial obteniendo la matriz X

4. Sean las matrices:

A = X = Y =

a) Determina la matriz inversa de A

b) Halla los valores de x, y, z para los que A · X = Y

5. Sean las matrices:

A = B = C = D =

a) Consideramos x e y dos variables y a, un parámetro.Obtén el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitasque resulta de plantear AB – C = D

b) Estudia el sistema para los distintos valores de a

c) Encuentra una solución para a = 2

6. Estudia para qué valores de m el sistema, con incógni-tas representadas por x e y, dado por:

tiene solución y cuándo es única. Encuentra dos solu-ciones para m = 1

7. Considera el sistema de ecuaciones:

a) Discute sus posibles soluciones según los valores delparámetro a

b) Resuelve el sistema para a = 0

8. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 peralesy 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 €, y enel vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y20 manzanos cuesta 650 €.

a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguarel número de lotes que ha de comprar en cada vive-ro para que pueda plantar los árboles que desea ypara que el coste total de adquisición sea mínimo.

b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adqui-rido? En caso negativo, di cuántos no ha plantado yde qué tipo son.

9. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igualque 125 000 €, distribuido entre acciones del tipo A ydel tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganan-cia del 10% anual, y es obligatorio invertir en ellas unmínimo de 30 000 € y un máximo de 81 000 €. Las ac-ciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, yes obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25 000 €.La cantidad invertida en acciones del tipo B no puedesuperar el triple de la cantidad invertida en acciones deltipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión pa-ra maximizar la ganancia anual? Determina dicha ganan-cia máxima.

10. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquiertratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Paraello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Ca-da píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cadapíldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mgde vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro.

Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máxi-mo coste diario?

°§¢§£

ax + y + 3z = 0x + ay + 2z = 1x + ay + 3z = –1

mx – m – 2 = 0mx + (m – 1)y – 2m – 1 = 0

°¢£

)6 – ay1 – a()y

ay()a1()x y

0 y(

)–x2z()x

y–2()1 –2 1

0 1 0–1 3 0(

)–1 1 12 –1 0(

)–3 54 –54 –2()0 –2 0

–1 2 10 0 –2(

123

Álg

eb

ra

PAUÁlgebra

Problemas propuestos

Chema

Text Box


2 bs 05 programacion lineal

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