2. bienestar, externalidades y bienes publicos (1)

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ExternalidadesBienes publicos

Microeconomıa III

Dr. rer. pol. Camilo Almanza Ramırez

Departmento de EconomıaUniversidad del Norte

26 de septiembre de 2011

Camilo Almanza - Universidad del Norte Bienestar, externalidades y bienes publicos

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1 BienestarIntroduccionEscogencia social y el teorema de Arrow

2 Externalidades

3 Bienes publicos

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Escogencia social y el teorema de Arrow

Estructura general

Sea X un conjunto no vacıo de estados sociales mutuamenteexcluyentes (finito o infinito).

La sociedad esta compuesta por N ≥ 2 individuos.

Cada individuo i tiene su propia relacion de preferencias, Ri,definida respecto a las alternativas X, con relacion P i

asociada a las preferencias estrictas e Ii con indiferencia.

Al ser una relacion de preferencias, cada Ri es completa ytransitiva.

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Estructura general

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Estructura general

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Estructura general

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Una relacion de preferencias sociales,R es una relacion binariacompleta y transitiva en el conjunto X de estados sociales.Para x y y en X, xRy significa que x es socialmente tanbueno como y. P e I estaran asociados con socialmenteestrictamente preferido y socialmente indiferenterespectivamente.

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Como podemos a partir de las preferencias individuales, queaunque consistentes son a menudo divergentes, construir unaperspectiva social unica y consistente?

Si exigimos transitividad como criterio de consistencia de laescogencia social puede surgir la paradoja de Condorcet.

Esta paradoja se ilustra considerando tres individuos y unacesta X = (x, y, z). Las preferencias de los individuos sobre Xson

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Person 1 Person 2 Person 3x y zy z xz x y

El no cumplimiento de la transitividad, se traduce en laincapacidad de determinar por mayorıa una unica mejoralternativa. La consistencia no garantiza que algun individuono actue contra los preceptos morales de una sociedad.

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El no cumplimiento de la transitividad, se traduce en laincapacidad de determinar por mayorıa una unica mejoralternativa.

La consistencia no garantiza que algun individuono actue contra los preceptos morales de una sociedad.

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El no cumplimiento de la transitividad, se traduce en laincapacidad de determinar por mayorıa una unica mejoralternativa. La consistencia no garantiza que algun individuono actue contra los preceptos morales de una sociedad.

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De nuevo, la cuention de fondo es como pasar de perspectivasindividuales consistentes a una vision sociales que seaconsistente y que al mismo tiempo respete ciertos valoressociales respecto a la escogencia social que sean compartidospor los miembros de la comunidad?

La solucion consistirıa en encontrar algun tipo de regla ofuncion, capaz de agregar y reconciliar las diferentesperspectivas individuales representadas por la relacion depreferencias Ri en una sola relacion social de preferencia Rque satisfaga ciertos principios eticos. La funcion debienestar social.

R = f(R1, ..., Rm)

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R = f(R1, ..., Rm)

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R = f(R1, ..., Rm)

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Requisitos de Arrow de la funcion de bienestar Arrow propusoun conjunto de cuatro condiciones que deben ser consideradas como laspropiedades mınimas de la funcion de bienestar social f debe satisfacer.

1. El dominio de f debe incluir todas las posibles combinacionesrelaciones de preferencia individual sobre X (dominio irrestricto).

f es capaz de generar un ordenamiento de preferencia social,independientemente de lo que resulten de las preferenciasindividuales.Su habilidad para hacer escogencia social no depende de losmiembros de la comunidad que posean cualquier tipo de vision.Esta propiedad junto a transitividad excluye la votacion comomecanismo de escogencia social.

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f es capaz de generar un ordenamiento de preferencia social,independientemente de lo que resulten de las preferenciasindividuales.

Su habilidad para hacer escogencia social no depende de losmiembros de la comunidad que posean cualquier tipo de vision.Esta propiedad junto a transitividad excluye la votacion comomecanismo de escogencia social.

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f es capaz de generar un ordenamiento de preferencia social,independientemente de lo que resulten de las preferenciasindividuales.Su habilidad para hacer escogencia social no depende de losmiembros de la comunidad que posean cualquier tipo de vision.

Esta propiedad junto a transitividad excluye la votacion comomecanismo de escogencia social.

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2. Para cualquier par de alternativas x y y en X, si xPiy ∀i,entonces xPy.

La sociedad preferira x a y si cada miembro prefiere x a y.

3. Independencia de alternativas irrelevantes. SeaR = f(R1, ..., Rm), R = (R1, ..., Rm), y x y y dosalternativas cualquiera en X. si cada individuo i ubica xversus y bajo Ri de la misma manera que bajo Ri, entonces elordenamiento social es el mismo bajo R y R.

4. No hay individuo i tal que para todo x y y en X, xPiyimplica xPy, a pesar de las preferencias Rj de los otrosindividuos j 6= i.

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Teorema de imposibilidad de Arrow

Si hay al menos tres estados sociales en X, entonces no hay unafuncion de bienestar social f que simultaneamente satisfaga lascuatro condiciones.

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Teorema de imposibilidad de ArrowSi hay al menos tres estados sociales en X, entonces no hay unafuncion de bienestar social f que simultaneamente satisfaga lascuatro condiciones.

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En esencia el teorema de Arrow nos dice que no podemostener todo.

Si deseamos definir una regla de agregacion para cualquierconstelacion de preferencias individuales que siempreconduzcan a decisiones Pareto-optimas y que dependanunicamente las preferencias individuales sobre esasalternativas, entonces

O renunciamos a que las preferencias sociales puedan serracionales (i.e. que la sociedad actue como lo harıa unindividuo), o aceptamos la dictadura

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En esencia el teorema de Arrow nos dice que no podemostener todo.Si deseamos definir una regla de agregacion para cualquierconstelacion de preferencias individuales que siempreconduzcan a decisiones Pareto-optimas y que dependanunicamente las preferencias individuales sobre esasalternativas, entonces

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En esencia el teorema de Arrow nos dice que no podemostener todo.Si deseamos definir una regla de agregacion para cualquierconstelacion de preferencias individuales que siempreconduzcan a decisiones Pareto-optimas y que dependanunicamente las preferencias individuales sobre esasalternativas, entonces

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Para escapar de la trampa del teorema de Arrow, se harecurrido a varias aproximaciones:

Flexibilizar algunos de los requerimientos que debe satisfacer larelacion social R.

Se reemplaza, i.g., la transitividad de R por una restriccionmenos fuerte llamada cuasi-transitividad (aciclicidad) y elrequerimiento de que R permite ordenar todas las alternativasde mejor a peor, se reemplaza por el simple requerimiento deque seamos capaces de encontrar la mejor alternativa decualquier subconjunto.Otra aproximacion se concentra no en los requerimientos deArrow sobre la relacion social R sino en la informacion que seasume transmiten las preferencias individuales

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Para escapar de la trampa del teorema de Arrow, se harecurrido a varias aproximaciones:

Flexibilizar algunos de los requerimientos que debe satisfacer larelacion social R.

Se reemplaza, i.g., la transitividad de R por una restriccionmenos fuerte llamada cuasi-transitividad (aciclicidad) y elrequerimiento de que R permite ordenar todas las alternativasde mejor a peor, se reemplaza por el simple requerimiento deque seamos capaces de encontrar la mejor alternativa decualquier subconjunto.Otra aproximacion se concentra no en los requerimientos deArrow sobre la relacion social R sino en la informacion que seasume transmiten las preferencias individuales

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En el marco conceptual de Arrow, se asume que la utilidad esmedible unicamente de forma ordinal (EO) y no comparableentre individuos (NC). Sin embargo, .

bajo EO y CT la funcion

W = mın{u1, ..., uN},

satisface la condicion de invariabilidad, en consecuenciatambien satisface la segunda condicion de Arrow, ası como lossupuestos eticos adicionales de anonimato y EquidadHammond.

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W = mın{u1, ..., uN},

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W = mın{u1, ..., uN},

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Invariabiliad

Sea < un orden de preferencias continuas y u(x) la funcion de utilidadque las representa. Sea f(u(x)) una funcion compuesta estrictamentecreciente y una transformacion monotona de u(x). Luego se deduce que :

1 Si u(x1, x2) representa < ⇒ u(x1, x2) > u(q1, q2)⇔ (x1, x2) > (q1, q2)

2 si f(·) es una TM de u(x), entonces

u(x1, x2) > u(q1, q2)⇔ f(u(x1, x2)) > f(u(q1, q2))

3f(u(x1, x2)) > f(u(q1, q2))⇔ u(x1, x2) > u(q1, q2)

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Si una relacion de preferencias es representada por una funcion deutilidad sobre <M+ , entonces una funcion de la formav(x) = f(u(x)), donde f es estrictamente creciente en el rango dev sobre u, sera tambien una funcion que represente la mismarelacion de preferencia. Si f y u son continuas entonces v tambienes continua.

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Equidad de Hammond

Al comparar distintas distribuciones que asignan los mismosbeneficios a todas kas generaciones excepto a dos, cualquiercambio que disminuya las desigualdades entre las generaciones enconflicto preservando el orden entre ellas es socialmente preferible.

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Si suponemos que la utilidad es medible en una escala cardinal(EC), de forma tal que los incrementos en utilidad tienen significadopara el individuo y que los incrementos en utilidad son comparables(IC) utilidad es no entre individuos, entonces la funcion de bienestarsocial

N∑i=1

satisface segunda condicion de Arrow, ası como el supuesto deanonimato.

Si se elimina el supuesto de anonimato, se permite toda la gama deordenamientos utilitaristas, las cuales se representan por

W =N∑i=1

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N∑i=1

W =N∑i=1

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N∑i=1

W =N∑i=1

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N∑i=1

W =N∑i=1

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N∑i=1

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Definicion:

Son los efectos de las acciones de un(os) agente(s) sobre otro(s)agente(s) que no se reflejen en las transacciones del mercado.

La informacion que transmite el mecanismo del mercado es imprecisa lo

cual conduce a una asignacion de los recursos mala o ineficiente.

Externalidades en la produccion: Cuando las decisiones deuna empresa influyen en las posibilidades de produccion de laotra.

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

Externalidades en el consumo: Cuando a un consumidor leafecta directamente el consumo del otro.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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Definicion:

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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Definicion:

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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Definicion:

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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Definicion:

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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Definicion:

y = f(K,L;X)⇒ ∂y/∂X T 0.

ui = f(x1, ...., xn;uj)⇒ ∂ui/∂uj T 0.

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¿Por que causan ineficiencia las externalidades?

Porque los precios, no reflejan con precision los costos obeneficios adicionales a terceros

¿En el marco de que tipo de modelos se debe abordar elanalisis de las ineficiencias originadas por las externalidades?

En el marco de los modelos de equilibrio general debido a queeste nos permite tener en cuenta las interacciones.

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Modelo

Considere un individuo que consume dos bienes x e y, y cuyafuncion de utilidad esta dada por

u(xc, yc),

donde xc e yc representan las unidades consumidas de ambosbienes.

Suponga que este individuo tiene una dotacion inicial deambos bienes representadas poe x e y, que pude consumir outilizar como insumo en la produccion.

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Modelo

u(xc, yc),

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Modelo

u(xc, yc),

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Modelo

u(xc, yc),

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La produccion de los bienes x e y se realiza conforme a las siguientesfunciones de produccion:

x0 = f(yi)→ Funcion de produccion del bien x,

y0 = g(xi;x0)→ Funcion de produccion del bien y.

Se asume que∂y0∂xi

> 0 y∂y0∂x0

Las cantidades de cada bien estan limitadas por los stocks inicialesdisponibles y por la produccion inicial

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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> 0 y∂y0∂x0

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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Se asume que

∂y0∂xi

> 0 y∂y0∂x0

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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> 0 y∂y0∂x0

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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> 0 y∂y0∂x0

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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> 0 y∂y0∂x0

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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El calculo de la asignacion eficiente se limita a resolver

maxu(xc, yc)

x0 = f(yi)

y0 = g(xi;x0)

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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maxu(xc, yc)

x0 = f(yi)

y0 = g(xi;x0)

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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maxu(xc, yc)

x0 = f(yi)

y0 = g(xi;x0)

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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maxu(xc, yc)

x0 = f(yi)

y0 = g(xi;x0)

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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maxu(xc, yc)

x0 = f(yi)

y0 = g(xi;x0)

xc + xi = x0 + x

yc + yi = y0 + y

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L = u(xc, yc) +λ1[f(yi)− x0] +λ2[g(xi; x0)− y0] +λ3[xc + xi − x0 − x] +λ4[yc + yi − y0 − y]

∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

dividiendo (1) entre (2) tenemos∂u/∂xc

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

Por (3) tenemos:λ2∂g(xi; x0)/∂xi = −λ3

y por (6) λ2 = −λ4, con lo cual

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

Es decir la produccion optima de y exige que el producto marginal de x en la produccion de y sea igual a la RMSdel individuo en el consumo de x e y.

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

dividiendo (1) entre (2) tenemos

∂u/∂xc

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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∂L/∂xc = ∂u(xc, yc)/∂xc + λ3 = 0 (1)

∂L/∂yc = ∂u(xc, yc)/∂yc + λ4 = 0 (2)

∂L/∂xi = λ2∂g(xi; x0)/∂xi + λ3 = 0 (3)

∂L/∂yi = λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0 (4)

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi; x0)/∂x0 − λ3 = 0 (5)

∂L/∂y0 = −λ2 − λ4 (6)

∂u/∂yc=λ3

= RMS (7)

∂g(xi; x0)

∂xi=λ3

= RMS =∂u/∂xc

∂u/∂yc= g1 (8)

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L = u(xc, yc)+λ1[f(yi)−x0]+λ2[g(xi;x0)−y0]+λ3[xc+xi−x0−x]+λ4[yc+yi−y0−y]

∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

Por (7) sabemos que RMS = λ3/λ4 ⇒

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

Por (7) sabemos que RMS = λ3/λ4

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

[g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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∂L/∂x0 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0 − λ3 = 0.

λ3 = −λ1 + λ2∂g(xi;x0)/∂x0.

[−λ1 +

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

λ2∂g(xi;x0)∂x0

=−λ1λ4

+λ2g2

λ4, [g2 = ∂g(xi;x0)/∂x0] (9)

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La derivada parcial de la funcion de Lagrange respecto a yi,ecuacion (4), es

λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

λ4 = −λ1∂f(yi)/∂yi = −λ1fyReemplazando este ultimo resultado en (9) tenemos

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

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λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

IndiceBienestar

λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

λ4 = −λ1∂f(yi)/∂yi = −λ1fy

Reemplazando este ultimo resultado en (9) tenemos

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

IndiceBienestar

λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

IndiceBienestar

λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

IndiceBienestar

λ1∂f(yi)/∂yi + λ4 = 0

RMS =−λ1−λ1fy

+λ2g2λ4

por (6) λ4 = −λ2

fy− g2 (10)

IndiceBienestar

Ineficiencia en la asignacion

Suponga que los precios de equilibrio son px y py

Un maximizador de beneficio optarıa por

RMS =pxpy

Por la ecuacion (8) sabemos que

RMS = ∂g(xi;x0)/∂xi = g1,

con lo cualpxpy

es decir fijarıa el nivel de produccion superior al no tener encuenta la externalidad.

IndiceBienestar

RMS =pxpy

con lo cualpxpy

IndiceBienestar

RMS =pxpy

con lo cualpxpy

IndiceBienestar

RMS =pxpy

con lo cualpxpy

IndiceBienestar

RMS =pxpy

con lo cualpxpy

IndiceBienestar

RMS =pxpy

con lo cualpxpy

IndiceBienestar

Suponga que hay dos empresas al lado de un rio que producen elmismo bien. Las funciones de produccion de ambas empresas vienedada por

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

Si α = 0 ⇒ La produccion de X no tiene efecto en la prod. de Y .

Si α < 0 ⇒ X > X0 disminuye la la prod. de Y .

Suponga que pagan $200 por dıa a los trabajadores y que el preciode venta del producto es $1.

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

Si α = 0

⇒ La produccion de X no tiene efecto en la prod. de Y .

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

Si α < 0

⇒ X > X0 disminuye la la prod. de Y .

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

X = 4000 · T 1/2x

{4000 · T 1/2

y (X −X0)α → X > X0

4000 · T 1/2y → X ≤ X0

IndiceBienestar

La empresa X maximiza sus beneficios igualando el ingreso marginal conel costo marginal.

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

Si α = 0 ⇒ ambas empresas contratan 100 trabajadores y producen

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

con lo cual la produccion total de la industria serıa de 80000 unidades de

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

Si α = 0

⇒ ambas empresas contratan 100 trabajadores y producen

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

CMg = IMg

200 = px∂X

200 = (1)2000T−1/2x

Tx = 100

X = Y = 4000(100)1/2 = 40000

producto.

IndiceBienestar

Suponga que la empresa X genera una externalidad negativaα < 0.

¿Que pasa con su decision maximizadora?

Gar nichts. X contrata 100 trabajadores y produce 40000unidades.Suponga que α = −0,1 y X0 = 39000

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

Suponga que la empresa X genera una externalidad negativaα < 0.¿Que pasa con su decision maximizadora?

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

Gar nichts.

X contrata 100 trabajadores y produce 40000unidades.Suponga que α = −0,1 y X0 = 39000

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

Gar nichts. X contrata 100 trabajadores y produce 40000unidades.

Suponga que α = −0,1 y X0 = 39000

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tanto

Y = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024

IndiceBienestar

200 = (1)2000T−1/2y (40000− 39000)−0,1

200(1000)−0,1

]2Ty = 25

Por lo tantoY = 4000(25)1/2(1000)−0,1

Y = 10024Camilo Almanza - Universidad del Norte Bienestar, externalidades y bienes publicos

IndiceBienestar

Para ver ele efecto de la ineficiencia en la asignacion suponga queX cede un trabajador a Y

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

La produccion sin fusion es:

40000+10024= 50024

La produccion con fusion es:

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2

= 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1

= 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

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X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

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X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

X = 4000(99)1/2 = 39800

Y = 4000(26)1/2(39800− 39000)−0,1

Y = 4000(5,099)(800)−0,1 = 10453

40000+10024= 50024

39800+10453= 50253

IndiceBienestar

Las externalidades en produccion se producen porque unaempresa no tiene en cuenta los efectos de su produccion sobrelas produccion de otras empresas.

En el consumo se producen porque un consumidor no tiene encuenta los efectos de sus decisiones de consumo sobre elconsumo de otros individuos

¿Cual es la solucion al problema de las externalidades?

Hacer que la empresa tenga en cuenta estos efectos y reduzca suproduccion hasta el punto donde no afecte la produccion de otrasempresas.

IndiceBienestar

En el ejemplo anterior supusimos que X0 = 39000. Luego

39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

Para reducir su produccion de 40,000 a 39,000 la empresa Xdebe contratar 95 trabajadores y no 100 trabajadores.

Ahora ¿como podrıamos inducir a la empresa X a reducir elnumero de trabajadores contratados y con esto su nivel deproduccion?

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39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

IndiceBienestar

39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

IndiceBienestar

39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

IndiceBienestar

39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

IndiceBienestar

39000 = 4000T 1/2x

T 1/2x = 39000/4000

Tx = 95

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

Un impuesto del 2,5 % reducirıa el precio que obtiene X por suproducto hasta $0,975, y llevarıa a la empresa a reducir el numerode trabajadores contratados a 95.

Como Tx = 95⇒ X = X0 = 39,000→ no hay externalidad de Xsobre Y . X + Y = 39000 + 40000 = 79000.

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

Como Tx = 95⇒ X = X0 = 39,000→

no hay externalidad de Xsobre Y . X + Y = 39000 + 40000 = 79000.

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

Como Tx = 95⇒ X = X0 = 39,000→ no hay externalidad de Xsobre Y .

X + Y = 39000 + 40000 = 79000.

IndiceBienestar

p(∂X/∂Tx) = w

(1− t)2000(95)−1/2 = 200

(1− t)205 = 200

t = 1− 200/205 = 0,025

t = 2,5 %

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Precio,Costos

Producción de X por periodo

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Este tipo de impuestos se llaman impuestos pigouviano e intentanreflejar el dano que marginal que provoca X al reducir la produccionde Y , valorado a precios del bien Y.

Con base en lo anterior, en el modelo de EG anterior el impuestopigouviano optimo es: t = −pyg2,

y debe depende del valor de la externalidad en la solucion optima,porque g2 depende del nivel de produccion de X.

Con el impuesto optimo el precio neto para la produccion de X esde px − t y elegira el factor y en funcion de

py = (px − t)fy.

En consecuencia la asignacion resultante satisface:

RMS = px/py = (1/fy) + t/py = (1/fy)− g2.r

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Con base en lo anterior, en el modelo de EG anterior el impuestopigouviano optimo es:

t = −pyg2,

py = (px − t)fy.

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py = (px − t)fy.

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py = (px − t)fy.

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py = (px − t)fy.

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py = (px − t)fy.

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py = (px − t)fy.

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Derechos de contaminacion

Consiste en crear un mercado de compra venta de derechos decontaminacion ⇒ ↓ necesidades informacion del impuestopigouviano.

¿Que cantidad de derechos de contaminacion comprarıa X aY ?

Depende del volumen de produccion deseado por X ⇒ quelas decision de compra de derechos de contaminacion y lafijacion del vol. de prod. son la misma decision.

Sea r el pago de la firma X a la Y por unidad producida. Elingreso de X por unidad vendida serıa

px − r.

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px − r.

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px − r.

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px − r.

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px − r.

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el beneficio de la firma Y vendrıa dado por

πy = pyg(xi;x0) + rx0

∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

r = −pyg2Teorema de Coase:

En presencia de externalidades , siempre que los derechos de propiedadesten bien definidos y que no existan costos de transaccion, sera posiblela consecucion de una externalidad optima y de un maximo nivel debienestar.

La asignacion inicial de los derechos de propiedad es irrelevante dado que

el intercambio posterior siempre dara lugar a un equilibrio eficiente.

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∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

IndiceBienestar

∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

r = −pyg2

Teorema de Coase:

IndiceBienestar

∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

IndiceBienestar

∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

IndiceBienestar

∂πy∂x0

= pyg(xi;x0)

∂x0+ r = 0

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Demostracion

Imagine que la empresa X recibe XT derechos de contaminacion yutiliza una parte de estos para producir X0 y puede vender(XT −X0) a la empresa Y .

El beneficio de la empresa X seria

πx = pxX0 + r(XT −X0)

= pxX0 + rXT − rX0

= (px − r)X0 + rXT

El beneficio de la empresa Y seria

πy = pyg(xi;X0)− r(XT −X0)

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

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Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2

IndiceBienestar

Demostracion

= (px − r)X0 + rXT

∂πy∂X0

= pyg2 + r = 0

r = −pyg2Camilo Almanza - Universidad del Norte Bienestar, externalidades y bienes publicos

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Bienes publicos

Son aquellos que son aquellos que son no exclusivos y norivales.

Un bien es no excluible si no se puede impedir que alguien loconsuma o es muy costoso hacerlo.Un bien es no rival si se pueden consumir unidades marginalesadicionales con un costo social nulo.

Un bien es considerado un bien publico puro si una vezproducido, no es posible impedir a nadie que se beneficie de el.

Los BP constituyen un tipo de externalidad en el consumo:todas las personas deben consumir la misma cantidad.

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Bienes publicos

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Bienes publicos

Un bien es no excluible si no se puede impedir que alguien loconsuma o es muy costoso hacerlo.

Un bien es no rival si se pueden consumir unidades marginalesadicionales con un costo social nulo.

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Bienes publicos

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Bienes publicos

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Bienes publicos

Los BP constituyen un tipo de externalidad en el consumo:

todas las personas deben consumir la misma cantidad.

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Bienes publicos

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¿Cual debe ser la cantidad ideal de un bien publico?

Modelo

Consideremos el caso hipotetico de dos individuos quecomparten el mismo apartamento y desean tener un acuario.

Sean w1 y w2 la riqueza de cada individuo.g1 y g2 representan los aportes de cada uno para adquirir elacuario, mientras que x1 y x2 representan el excedente de suriqueza que pueden utilizar para consumo privado.

La restriccion presupuestaria de cada individuo estarıa dadapor:

x1 + g1 = w1 (12)

x2 + g2 = w2 (13)

Si el costo del acuario es c ⇒ g1 + g2 ≥ c.

IndiceBienestar

Modelo

Consideremos el caso hipotetico de dos individuos quecomparten el mismo apartamento y desean tener un acuario.

Sean w1 y w2 la riqueza de cada individuo.g1 y g2 representan los aportes de cada uno para adquirir elacuario, mientras que x1 y x2 representan el excedente de suriqueza que pueden utilizar para consumo privado.

La restriccion presupuestaria de cada individuo estarıa dadapor:

x1 + g1 = w1 (12)

x2 + g2 = w2 (13)

Si el costo del acuario es c ⇒ g1 + g2 ≥ c.

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Las funciones de utilidad de los individuos vienen dadas por

u1 = (x1, G) y

u2 = (x2, G),

donde x1 y x2 representan el consumo privado y

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

Sean r1 y r2 los precios de reserva de ambos individuos.

Si el individuo 1 paga r1 y recibe el bien ⇒ x1 = w1 − r1, delo contrario no obtiene el bien tiene w1.Lo mismo sucederıacon el consumidor 2.

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c

0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

Si el individuo 1 paga r1 y recibe el bien ⇒ x1 = w1 − r1, delo contrario no obtiene el bien tiene w1.

Lo mismo sucederıacon el consumidor 2.

IndiceBienestar

u1 = (x1, G) y u2 = (x2, G),

{1 → g1 + g2 ≥ c0 → g1 + g2 ≤ c

IndiceBienestar

Si ambos individuos son indiferentes ante estas dos opciones debecumplirse

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

donde (14) y (15) definen los precios de reserva de ambos individuos.

Tenemos dos asignaciones

(w1, w2, 0)→ sin el bien publico

(x1, x2, 1)→ con el bien publico,

donde por (12) y (13)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

(w1, w2, 0)

→ sin el bien publico

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

(x1, x2, 1)

→ con el bien publico,

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

u1(w1 − r1, 1) = u1(w1, 0) (14)

u2(w2 − r2, 1) = u2(w2, 0), (15)

x1 = w1 − g1 (16)

x2 = w2 − g2 (17)

IndiceBienestar

¿Cuando representa la asignacion (x1, x2, 1) una mejora en el sentido dePareto?

Rta. Cuando ambos individuos disfrutan de un bienestar mayor. Formalmente

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

Utilizando los precios de reserva (14) y (15) y las restricciones ecuaciones (16)y (17) podemos expresar (18) y (19) como

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

de donde se concluye que

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

Rta. Cuando ambos individuos disfrutan de un bienestar mayor.

Formalmente

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1

⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

IndiceBienestar

u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2

⇒ g2 < r2. (23)

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u1(w1, 0) < u1(x1, 1) (18)

u2(w2, 0) < u2(x2, 1) (19)

u1(w1 − r1, 0) = u1(w1, 0) < u1(x1, 1) = u1(w1 − g1, 1) (20)

u2(w2 − r2, 0) = u2(w2, 0) < u2(x2, 1) = u2(w2 − g2, 1), (21)

w1 − r1 < w1 − g1 ⇒ g1 < r1 (22)

w2 − r2 < w2 − r2 ⇒ g2 < r2. (23)

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Si la asignacion (w1, w2, 0) es ineficiente una la condicionnecesaria para la adquisicion del bien publico es que g1 < r1 yg2 < r2. Es decir, lo que los individuos aportan para adquirir el bienpublico sea menor que lo que estan dispuestos a pagar por este.

La condicion suficiente es

r1 + r2 > g1 + g2 = c

1 El que la provision de un bien publico sea una mejora en elsentido de Pareto solo depende del precio de reserva de losindividuos y del costo del bien.

2 El hecho de que la provision de un bien publico seaPareto-eficiente depende de la distribucion inicial de lariqueza, dado que los precios de reserva dependen de ella.

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r1 + r2 > g1 + g2 = c

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r1 + r2 > g1 + g2 = c

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r1 + r2 > g1 + g2 = c

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r1 + r2 > g1 + g2 = c

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Free Rider (Polizon)

Considere dos individuos que comparten el mismo apto ydesean comprar un bien. Cada uno tiene una riqueza de$50.000 pesos y cada uno valora en $10.000 pesos el biendesean adquirir cuyo costo ene l mercado es de $15.0000pesos.

Suponga que ninguno puede impedir que el otro disfrute delbien y que cada uno decide independientemente si comprar elbien o no.

Si por ejemplo el individuo 1 compra el bien obtendra unbeneficio de $10.000 y pagara $15.000 por lo queobtendra unos beneficios netos de $-5.000.

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Individuo 2

Acción Comprar No comprar

Comprar -5.000, -5.000 -5.000, 10.000

No comprar 10.000, -5.000 0,0

Free Rider

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Suponga ahora que los individuos deben decidir cuanto gastanen adquirir el bien que desean.

x1 y x2 y g1 y g2 siguen siendo los consumos privados y losaportes de cada individuo respectivamente, y c(G) representael costo del bien que estara en funcion tipo o calidad delmismo.

En estas circunstancias la restriccion es

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

¿Como se determinan las asignaciones optimas del BP?

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x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

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x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

IndiceBienestar

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

L = u1(x1, G)− λ1[u2(x2, G)− u2]− λ2[x1 + x2 + c(G)− w1 − w2]

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0

⇒ λ2 =∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0

⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

maxx1,x2,G

u1(x1, G)

u2(x2, G) = u2

x1 + x2 + c(G) = w1 + w2

∂x1=∂u1(x1, G)

∂x1− λ2 = 0 ⇒ λ2 =

∂u1(x1, G)

∂x2= −λ1

∂u2(x2, G)

∂x2− λ2 = 0 ⇒ λ2

λ1= −∂u2(x2, G)

∂G=∂u1(x1, G)

∂G− λ1

∂u2(x2, G)

∂G− λ2

∂c(G)

∂G= 0

IndiceBienestar

Dividiendo la ultima ecuacion por λ2 y reordenando

∂u1(x1, G)

∂G− λ1λ2

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂x1∂u1(x1, G)

∂u1(x1, G)

∂x2∂u2(x2, G)

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂u1(x1, G)/∂G

∂u1(x1, G)/∂x1+∂u2(x2, G)/∂G

∂u2(x2, G)/∂x2=∂c(G)

RMS1 +RMS2 = CMg(G)

IndiceBienestar

∂u1(x1, G)

∂G− λ1λ2

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂x1∂u1(x1, G)

∂u1(x1, G)

∂x2∂u2(x2, G)

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂u1(x1, G)/∂G

∂u1(x1, G)/∂x1+∂u2(x2, G)/∂G

∂u2(x2, G)/∂x2=∂c(G)

RMS1 +RMS2 = CMg(G)

IndiceBienestar

∂u1(x1, G)

∂G− λ1λ2

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂x1∂u1(x1, G)

∂u1(x1, G)

∂x2∂u2(x2, G)

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂u1(x1, G)/∂G

∂u1(x1, G)/∂x1+∂u2(x2, G)/∂G

∂u2(x2, G)/∂x2=∂c(G)

RMS1 +RMS2 = CMg(G)

IndiceBienestar

∂u1(x1, G)

∂G− λ1λ2

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂x1∂u1(x1, G)

∂u1(x1, G)

∂x2∂u2(x2, G)

∂u2(x2, G)

∂G=∂c(G)

∂u1(x1, G)/∂G

∂u1(x1, G)/∂x1+∂u2(x2, G)/∂G

∂u2(x2, G)/∂x2=∂c(G)

RMS1 +RMS2 = CMg(G)

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Bien publico vs. Bien privado

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¿Como se logran las estas asignaciones optimas?

A traves del mercado cuando los bienes son privados y no hayexternalidades.

¿Funciona el mecanismo del mercado cuando se trata de bienespublicos?

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Suponga que cada individuo tiene una dotacion de un bienprivado wi. Cada individuo puede gastar su dotacion para supropio consumo privado o puede aportar algo para la compradel bien publico.

Sean xi y gi los consumos privados y los aportes de cadaindividuo i = 1, 2.

Suponga que c(G) ≡ G el costo del bien publico⇒ CMg = 1y que la cantidad total suministrada es G = g1 + g1.

Las funciones de utilidad de cada individuo vienen representada por

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

Suponga que c(G) ≡ G el costo del bien publico

⇒ CMg = 1y que la cantidad total suministrada es G = g1 + g1.

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

IndiceBienestar

u1(x1, g1 + g2) = u1(x1, G)

u2(x2, g1 + g2) = u2(x2, G)

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Para determinar el monto de sus aportes, el individuo 1 deberesolver el siguiente problema de maximizacion.

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

maxx1,g1

u1(x1, g1 + g2)

x1 + g1 = w1

L = u1(x1, G)− λ(x1 + g1 − w1)

∂x1=∂u1(·)∂x1

− λ = 0

∂G=∂u1(·)∂G

− λ = 0

RMS1 = 1

RMS2 = 1

IndiceBienestar

2. bienestar, externalidades y bienes publicos (1)

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