Contesta correctamente las siguientes preguntas:

1) Existen dos tipos de razonamiento lógico. ¿ Cuáles son?

-------~---y-----------

2) ¿ Qué es el razonamiento Inductivo?

3) ¿ Qué es el razonamiento Deductivo?

4) ¿ Cuál razonamiento lógico puede cumplirse para miles de casos y luego fallar en el siguiente?

5) El método más convincente y poderoso para obtener conclusiones es el llamado:

6) ¿ Cuál es el principal método que se utiliza en la Geometría?

7) El método, de sacar conclusiones generales a partir de la observación de números casos particulares se llama:

8) El método que se usa cuando ya se conoce cie'rtas leyes generales, y se aplica este conocimiento a los casos particulares se llama:

9) ¿ Qué método se forma con la combinación de la inducción y la deducción?

10)¿ Qué es el método axiomático?

Definir correctamente los siguientes conceptos básicos de la geometría.

Axioma.- _

Postulado.- _

Teorema.- _

Corolario.- _

Lema.- _

1) Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta.

2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.

3) Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

4) El todo es igual a la suma de sus partes

5) Método usado en la ciencia y principalmente en la geometría

6) Tratado de geometría publicado por Euclides y fundamentado por el método axiomático.

) LOS ELEMENTOS

( ) TEOREMA DEL 2C EXTERIOR DE UN TRIANGULO

( ) COROLARIO

(

(

) DEDUCTIVO

) 5° POSTULADO DE EUCLIDES

( AXIOMA

) INDUCTIVO

Se debe a Pitágoras el descubrimiento y la demostración, de la relación e2 =a' + b' para cualquier tríangulo rectángulo (

La Geometría se considera fundamentalmente como una ciencia deductiva (

Los Elementos de Euclides es una obra científica que trata sobre Geometría plana. donde se expone el método axiomático )

De un corolario se deduce un teorema

Un teorema es una proposición cuya verdad se acepta sin demostración

Un axioma es una proposición cuya verdad es demostrable

(

)

)

Toda recta contiene al menos dos puntos (

OPCION MULTIPLE

1) Identificar cual es el axioma:

a) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

b) Cualquier cantidad es igual a si misma ( Identidad) c) En todo triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.

2) Identificar cual es el postulado:

a) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es Igual a 1800.

b) El todo es igual a la suma de sus partes. e) Todos los ángulos rectos son iguales.

3) Identificar cual es el teorema:

a) Dado un punto y una distancia se puede trazar un círculo b) Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí. c) Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores

no adyacentes a él.

PROPIEDADES DE LA PERPENDICULAR Y LAS OBLICUAS

Rectas oblicuas .- Toda recta que corta a una recta formando un ángulo que no es recto, se dice que es oblicua a la recta.

Si desde un punto exterior a una recta se traza la perpendicular y varias oblicuas se verifica:

1. La perpendicular es menor que cualquier oblicua. 2. Las oblicuas que tienen la misma distancia del pie de la perpendicular son

iguales. 3. Si dos oblicuas tienen diferente medida del pie de la perpendicular, es mayor la

que más se aparta. A

H e D

si EH = HC => AE = AC

si DH> EH => AD > AE

Un punto no tiene volumen, ni área, ni longitud ;no posee ninguna ( extensión.

Toda porción de recta se termina, en cada uno de sus extremos, por un ( punto.

Si dos rectas se cortan, su intersección es un punto. (

La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. ( )

Una recta no tiene volumen, porque no ocupa ninguna porción del espacio. ( )

Por dos puntos cualquiera pasa una infinidad de rectas. ( )

Una recta no tiene área, porque no llena ninguna porción de superficie, pero ( ) posee una extensión propia llamada longitud.

Por un punto fuera de una recta se pueden trazar una infinidad de rectas. ( )

Si dos o más puntos pertenecen a una misma recta, se llaman colineales. ( )

Si dos planos se cortan, su intersección es una linea recta. (

compt€m€'T)C:~

1) Por dos puntos dados pueden pasar sólo una _

2) Por un punto cualquiera pasa una de rectas.

3) Toda recta es , es decir que se prolonga indefinidamente en

ambos sentidos.

4) Toda recta situada en un plano divide a esta superficie en dos regiones llamadas

5) Es una porción limitada de recta en una de sus direcciones _

6) Es una porción de recta limitada en ambos sentidos _

7) Punto, recta y plano son términos definidos en geometría.

8) Un hilo extendido es una idea de una _

9) Para un pintor un mural representa un _

1O) L~ punta de una ahuja es un ejempio de _

A la parte de la recta comprendida entre dos 1) Punto medio puntos se denomina.

) Son dos o más segmentos que tienen la misma 2) Colineales medida.

) Es el punto entre los extremos de un segmento, 3) Semirecta o rayo que determina segmentos congruentes.

) Es la región situada de un lado de una recta. 4) Segmento ) Si dos o más puntos pertenecen a una misma 5) Semiplano

recta, se llaman. 6) Segmentos congruentes

e REFLEXIONA:=:>

1) ¿ Al punto medio de una recta también se ie puede llamar origen?

2) ¿ Pueden tres planos interseptarse en una sola recta?

3) ¿ Pueden dos rectas distintas interseptarse en dos puntos diferentes?

4) ¿ Puede una recta interceptar a un piano en dos puntos y no estar contenida en él ?

5) ¿ Tres puntos que no están en una linea recta determinan un plano?

ACTIYIDADES

I

•I

•Dadas las rectas, anota si son PARALELAS, PERPENDICULARES U OBLICUAS . ';

••1) 2) 3)

••••En los segmentos de recta traza paralelas por los puntos dados. •

1) 2) A •3) 4)'p p 'í'<1 p •

I I. .p •~ /) e D 11

" "e,1I

13 ';

En los segmentos de recta trazar perpendiculares: 11 11

1) Por un punto fuera de la recta 2) Por un punto en la recta ~

p ~

~ p

A B A B .. ~

3) En el punto medio 4) En el extremo de la recta .. ,.• ,

p "".A B ".

••l_ •

BA

ANGULO

ANGULOS

es la abertura formada por dos rayos que se cortan en un punto llamado vértice. Los dos rayos se llaman lados del ángulo.

rayo móvil lado terminal

vértice L---L.. •

rayoJij'o lado inicial

e - -Los lados del ángulos son El vértice del ángulo es B.

BAyBC

B A

Generalmente se denota un ángulo con tres letras mayúsculas, la del vértice colocada en medio. Cuando se utiliza una sola letra, será la del vértice. En algunos casos se coloca un número, entre los rayos que lo generan.

A

a

B e

Se denota: Se denota: Se denota: 4.CBA 4.a 4.1

Para abreviar, se sustituye la palabra ángulo por el símbolo ~

MEDIDA DE A,l\¡GULOS 1

Para medir los ángulos se toma como unidad el grado sexagesimal, que es igual a 360 0

'

que se obtiene asi :

Se considera a la circunferencia dividída en 360 partes iguales. Cada división de la circunferencia se llama GRADO. Cada grado se considera dividido en 60 "" do

partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son:

y l' = 60"

es congruentes.

USO DEL TRANSPORTADOR

El instrumento que utilizamos para medir ángulos es el transportador.

Se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo. Se hace coincidir la línea de O con el lado inicial. Se lee el número que esta sobre el lado .. terminal del ángulo. Se anota la medida del ángulo. El óngulo RQP mide 401), es decir:

m.\. RQP = 40°

También, podemos utilizar el transportador para trazar un ángulo conociendo su medida.

IEjemplo: Tracemos un ángulo de 40°

.. Q "

ANGULOS CONGRUENTES son aquellos que tienen la misma medida.

m 4- lMN = 40°

T

m 4- T5R = 40° .1\. T5R '" .1\. lMN

TRAZO DE LA BISECTRIZ DE UN A "lGULO A

e

a¿;..... ...~::.......

e

BISECTRIZ el rayo o semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos

CLASIFlCACION DE ANGULOS

Una forma de clasificar los ángulos es considerando su medida.

MEDIDA

Todos los ángulos menores de 1800 se llaman CONVEXOS y todos los ángulos mayores de 1800 son CONCAVOS.

PARES PE ANGULOS

ANGULaS COMPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuyas medidas suman 900

¡

1II

"

, il :, 1,

I ,

GWl-!ETRIA !!"l!il_l~'r" "i3ilii1l,",rl<t"l"~"I3iIii1lr.,*1l!ii_~);¿¡.~:;' .. ;~ J'1

D

ANGULaS SUPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuyas medidas suman 180 0 \\"

A o B

ANGULaS CONJUGADOS Son dos ángulos cuyas medidas suman 360 0 ~

300' + 60' = 360'

ANGULaS OPUESTOS POR EL VERTICE Son ángulos que se forman al cortarse dos rectas" Los ángulos opuestos por el vértice son iguales dos a dos"

A

ANGULaS ADYACENTES Adyacente significa "CONTIGUO" "junto a", "aliado de""

k-.. L.B

Cuando dos ángulos tienen un lado común y el mismo vértice son adyacentes. '~B

o A lo

f I l' B o

SOLUCION DE PROBLEMAS EMPLEANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- Si el LAOD es recto y LAOB = 2x, LBOC = 3x, COD = 4x, ¿ Cuánto vale cada ángulo? D

e

B 4.t

o"""'-='---------+ A

Solución .- Se plantea una ecuación de primer grado con una íncognita.

Respuestas:2x + 3x +4x = 90'

LAOB = 2x = 2(lO') LAOB = 20'9x = 90' LBOC = 3x = (10') .. LBoe = 30'90'

X=-9 LCOD = 4x = (lo') LCOD = 40'

x = lO'

2.-Sí la medida de uno de dos ángulos suplementarios es el doble de la medida del otro. ¿ Cual es la medida de los ángulos?

e

o

x 2x

A B

Soluci6n.- Llamaremos x a un ángulo y 2x al doble del otro, como los ángulos suplementarios suman 1800, tenemos

x + 2x+ = 180° Respuestas:

3x = 180° LAOC=x .. LAOC = 60° 180°

x=-- L.BOC = 2x = 2(60°) .. L.BOC = 120° 3

x = 60°

3.-Si L.AOD = 2x, L.DOC = 5x, L.COD = 3x ¿ Cuánto mide cada ángulo?

e D

5x

3x2x

A o B

Solución.- Se observa en la figura que son ángulos suplementarios, por lo tanto:

Respuestas:2x + 5x + 3x = 180°

L.AOD = 2x = 2(18°) :. LAOD = 36°10x = 180°

180° L.DOC = 5x = 5(18°) :. L.DOC = 90° X=-­

10 L.COB = 3x = 3(1 SO) :. L.COB = 54° x = 18°

1 Un grado es 360 parte de circunferencia {

Cuando dos ángulos adyacentes son iguales, cada uno de ellos es un ángulo recto ( ) Dos rectas que forman un ángulo recto son perpendiculares ( )

En el sistema sexagesimal un semiplano mide 1800 ( )

Los ángulos opuestos por el vértice siempre son iguales ( )

Un cuarto de circunferencia mide 900 ( )

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a un () ángulo recto __,.--_-,---:­ ;:-­ -----,_-,­ _ Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 1, f ."2 clrcun erencla ( )

Una circunferencia equivale a 3600 ( )

Los lados de un ángulo recto son paralelos entre sí ( )

1) El ángulo recto mide _

2) El ángulo llano mide _

3) El ángulo perígonal mide _

4) El ángulo menor que el ángulo recto se llama _

5) El ángulo menor de 1800 y mayor que 900 se llama _

6) Al sumar un ángulo recto con un ángulo agudo se obtiene un ángulo _

7) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo _

8) Si a un ángulo obtuso le restas un recto se obtiene un ángulo _

9) La suma de 4 ángulos rectos es un ángulo _

10) Si a un ángulo llano le restas un recto se obtiene un ángulo _

~ a _ 11 T '11 ._. ••",~

~~------

( Son dos ángulos cuyas medidas suman 1) Angulas adyacentes. 360°,

) Son dos ángulos cuyas medidas suman 2) Angulas opuestos por el 180°. vértice.

( ) Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. 3) Angulas suplementarios.

( ) Se forman al cortarse dos rectas y son 4) Angulas complementarios. iguales dos a dos.

) Son dos ángulos que tienen un lado común y 5) Angulas correspondientes. el mismo vértice.

6) Angulas conjugados.

1) ¿ Qué entiendes por la palabra adyacente?

EJERiJif!I'!S niAfIRM,4CIf),N:., ,

Calcula el complemento, suplemento y conjugado de cada uno de los siguientes ángulos:

COMPLEMENTO SUPLEMENTO CONJUGADO

a) 30°

b) 28°

c) 45°

d) 52°

e) 60°

f) 90°

g) 135°

h) 18° 55'

i) 76° 09'

j)154°11'

k) 69° 50' 10"

1) 12° 52' 34"