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Mecánica Clásica – 2do. cuatrimestre de 2019Clase del 7/10: Cuerpo rígido∗

1. Separación de la energía cinética en términos de rotación y traslación . . . . . . . . 12. El tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. El tensor de inercia es un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. La velocidad angular en la base de versores fijos al cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . 55. Ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. La energía cinética en términos de los ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 67. Guía 6, problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.1. Primera elección de los ejes fijos al cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2. Segunda elección de los ejes fijos al cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.3. Test de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Separación de la energía cinética en términos de rotación y traslación

El objetivo de los primeros problemas de cuerpo rígido es resolverlos mediante el for-malismo lagrangiano, lo que implica elegir un conjunto de coordenadas generalizadas quedeterminen la configuración del cuerpo. Eso corresponde, en general, a dar la orientaciónde los ejes del cuerpo y la posición de uno de sus puntos. Lo más usual es elegir este puntoo bien como el centro de masa o bien, si lo hubiera, en un punto que permanezca siemprefijo. Estas elecciones son prácticas porque permiten escribir la energía cinética del cuerporígido como un término de traslación más un término de rotación (en el segundo caso, esun término de rotación pura). El lagrangiano se escribe entonces como

L =1

2Mv2 +

1

2ω · I ·ω− V, (1)

donde v es la velocidad del punto elegido para dar la posición y donde I es el tensor deinercia calculado respecto de ese punto.

Para entender el origen del tensor de inercia, supongamos que el punto que se usa paradar la posición del cuerpo rígido es r0. La velocidad de un punto r del cuerpo será

v = v0 +ω× r ′, (2)

conr ′ = r− r0. (3)

Luego, la energía cinética es

T =1

2

∑mv2 =

1

2

∑m[v20 + |ω× r ′|2 + 2v0 · (ω× r ′)

], (4)

donde la suma (eventualmente una integral) se extiende a todas las partículas del cuerpo.En la ec. (4) el índice que recorre las partículas está implícito. Debe entenderse que tanto mcomo r ′ dependen de ese índice. Hacemos esto previendo la proliferación de índices queocurrirá de un momento a otro.

∗[email protected]

1

2 Mecánica Clásica 2019 2c

El primer término en la energía cinética es

1

2

∑mv20 =

1

2Mv20, (5)

dondeM es la masa total. Usualmente nos referiremos a esta contribución como a la energíacinética de traslación. Por otro lado, el tercer término en la sumatoria de la ec. (4) es∑

mv0 · (ω× r ′) = mv0 ·[ω×

∑m(r− r0)

]. (6)

Usando la definición de vector centro de masa queda∑mv0 · (ω× r ′) =M v0 ·

[ω× (rCM − r0)

]. (7)

Aquí vemos que este término se anula si r0 está fijo, de modo que es v0 = 0, o si r0 = rCM.También podría anularse si v0 fuera siempre paralelo al vector rCM−r0. Tiene sentido decirque la energía cinética se descompone en un término de traslación más otro de rotaciónsólo en el caso en que este término mixto sea nulo, y quede

T =1

2Mv20 +

∑m|ω× r ′|2. (8)

2. El tensor de inercia

Lo que nos interesa ahora es el término de energía de rotación, que se escribe como

Trot =1

2

∑m|ω× r ′|2 = 1

2

∑m[ω2r ′

2− (ω · r ′)2

]. (9)

Si se usa una base de versores ortonormales xi(t), que pueden depender del tiempo, será

r ′(t) = r ′i(t) xi(t). (10)

Estamos empleando el convenio de sumación de Einstein: índices repetidos implican unasumatoria. La velocidad angular también se puede escribir en todo instante como combi-nación lineal de los versores xi,

ω(t) = ωi(t) xi(t). (11)

Así resultaTrot =

1

2

∑m(ω2r ′

2−ωiωjr

′ir′j

). (12)

El objetivo es sacar ωi y ωj fuera de la suma. Escribiendo ω2 = ωiωjδij, queda

Trot =1

2ωi

[∑m(r ′2δij − r

′ir′j

)]ωj ≡

1

2ωi(t)Iij(t)ωj(t), (13)

dondeIij(t) =

∑m[r ′2δij − r

′i(t)r

′j(t)]. (14)

Si se usan como base los versores fijos al cuerpo, r ′ tiene componentes r ′i constantes,

r ′(t) = r ′i ei(t). (15)

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Escrito en esta base es

Iij =∑

m(r ′2δij − r

′ir′j

). (16)

Lo fundamental aquí es que la matriz Iij no depende del tiempo. En su definición participanlas componentes de la posición relativa de dos puntos del cuerpo respecto de una baseque está fija al cuerpo. Por definición esas componentes son constantes: cada partículadel cuerpo rígido está fija respecto al sistema de versores fijos al cuerpo. En general, siusáramos una base cualquiera (por ejemplo, los versores fijos al espacio) la matriz Iijdependerá del tiempo. Eso hace los cálculos muy engorrosos. (Ver el ejercicio propuestoen la última página).

3. El tensor de inercia es un tensor

Con respecto a la carácter geométrico de los coeficientes Iij. Ya vimos que dependen dela elección de la base. Lo mismo ocurre con las componentes de un vector, aunque el vectoren sí es un objeto que no depende de la base en que se lo escriba. Entonces es pertinentepreguntarse en qué sentido pueden ser los coeficientes Iij las componentes de un objetogeométrico independiente de la base. Cuando escribimos un vectorA no estamos pensandoen una terna de números, sino en un ente geométrico con existencia independiente decualquier sistema de coordenadas. Veremos que existe una forma análoga de representaral objeto cuyas componentes son los coeficientes Iij.

Nuestra ecuación de partida es la expresión para Trot,

Trot =1

2ωi

[∑m(r ′2δij − r

′ir′j

)]ωj. (17)

Quisiéramos escribir esto de una manera independiente del sistema de versores usado paraexpresar r ′ y ω. Es fácil hacer esto con el primer término. Queda

1

2ωi

(∑mr ′

2δij

)ωj =

1

2ω ·

(∑mr ′

2I)·ω, (18)

donde I es el tensor identidad. Notar que nos cuidamos mucho de decir “es la matriz iden-tidad”, así como no decimos que un vector es (x, y, z). El tensor identidad puede pensarsecomo el operador identidad. Esto lo convierte en un objeto geométrico. Sus componentesen cualquier sistema están dadas por la matriz de coeficientes δij.

Para el término restante de la ec. (17) vamos a definir el tensor

r ′r ′. (19)

No es un error de tipeo. Esto se llama diada. A todos los efectos prácticos es como unoperador bilineal. Dados dos vectores a y b es

a · (r ′r ′) · b = (a · r ′)(r ′ · b). (20)

En una base cualquiera, las componentes de la diada r ′r ′ son

xi · (r ′r ′) · xj = r ′ir ′j. (21)


Esto hace evidente que se trata de un tensor cartesiano. Al rotar el sistema de referencia,las componentes transforman como el producto de las componentes de dos vectores. Casique no hay tensor más elemental que este.

Con estas definiciones, el tensor de inercia puede escribirse como un objeto indepen-diente de la elección de la base,

I =∑

m(r ′2I− r ′r ′

). (22)

Ahora podemos hablar de representaciones. En la representación de los versores fijos alcuerpo es

I =∑

m[r ′2δij − r

′ir′j ei(t)ej(t)

], (23)

donde r ′i = r′(t) · ei(t). Según señalamos antes, estas componentes son constantes porque

los vectores r ′ y los versores ei están rígidamente ligados. La energía cinética de rotaciónresulta pues

Trot =1

2ωi(t)Iijωj(t), (24)

donde

Iij =∑

m(r ′2δij − r

′ir′j

). (25)

En todas estas ecuaciones estamos indicando explícitamente qué cosa puede depender deltiempo y qué cosa no.

En la representación de versores xi fijos al espacio, con x1 = x, x2 = y y x3 = z, es

I =∑

m[r ′2δij − r

′i(t)r

′j(t) xixj

], (26)

donde r ′i(t) = r ′(t) · xi. Ahora las componentes de r ′ dependen del tiempo. La energíacinética de rotación resulta entonces

Trot =1

2ωi(t)Iij(t)ωj(t), (27)

donde ωi(t) =ω(t) · xi y donde

Iij(t) =∑

m[r ′2δij − r

′i(t)r

′j(t)]. (28)

Cuando se usa la base de versores fijos al cuerpo, las componentes del tensor de inerciason constantes. Son, en un sentido restringido, propiedades intrínsecas del cuerpo rígido.Dependen, claro está, de la elección del punto r0 que se haya tomado para dar la posicióndel cuerpo, y también de la base de versores ei. Pero más allá se eso, son tan propias delcuerpo como lo son su masa y su volumen.

Sin quieren leer más sobre qué cosa es un tensor, miren el libro de Santaló, Versores ytensores, la sección sobre tensores cartesianos. El artículo de la wikipedia, al menos en laversión en inglés, no está nada mal: https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

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4. La velocidad angular en la base de versores fijos al cuerpo

Para calcular la energía de rotación usando la representación de los versores fijos alcuerpo, ec. (24), es necesario escribir las componentes de ω en la base de estos versores. Sila orientación del cuerpo se da por medio de los ángulos de Euler, estas componentes son

ω1 = ϕ sin θ sinψ+ θ cosψ,

ω2 = ϕ sin θ cosψ− θ sinψ,

ω3 = ϕ cos θ+ ψ.

(29)

Al escribir estas identidades no estoy consultando ningún apunte ni tampoco las recuerdode memoria. Las escribo (cierto que con cautela) al mismo tiempo que las razono. Laexpresión de la que parto, y a la que volveremos en un momento, es

ω = ϕ z+ θ ρ(ϕ) + ψ e3(θ,ϕ). (30)

Para escribir las ecs. (29), mentalmente voy haciendo los productos escalares de este vectorcon los versores ei fijos al cuerpo, que tampoco recuerdo, sino que los voy imaginandosobre la marcha.

El punto principal es entonces la expresión (30). Esta expresión es fácil de deducir, asíque tampoco necesitan recordarla. Resalto la palabra deducir porque en verdad no puedehablarse de una deducción. Los pasos no son estrictamente lógicos. Debe tomarse comouna regla intuitiva que funciona para la convención particular de ángulos de Euler queestamos usando, en donde importan tanto los ángulos como el orden de las rotaciones. Esuna regla que vale por accidente. La cosa es así: una variación en ϕ induce una rotaciónsegún z. Una variación en θ induce una rotación según ρ(ϕ). Por último, una variación enψ induce una rotación según la dirección del versor e3. Luego, intuitivamente debería ser

ω = ϕ z+ θ ρ(ϕ) + ψ e3(θ,ϕ). (31)

El resultado es correcto. El razonamiento, no. (La razón puede consultarse en el paperhttps://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.12522). Sigamos adelante con vistas a escribir las ecs. (29).

Siempre deberían poder deducir en tiempo real las expresionese1(θ,ϕ,ψ) = sinψ

[cos θ ϕ(ϕ) + sin θ z

]+ cosψ ρ(ϕ),

e2(θ,ϕ,ψ) = cosψ[cos θ ϕ(ϕ) + sin θ z

]− sinψ ρ(ϕ),

e3(θ,ϕ) = − sin θ ϕ(ϕ) + cos θ z.

(32)

No digo que deban acordarse de estas expresiones. Digo que deberían poderlas razonar amedida que las escriben, visualizando las rotaciones que llevan de unos ejes a otros.

Finalmente, deberían verificar que, tomando los productos escalares de ω, ec. (30), conlos versores de las ecs. (32), se obtienen las ecs. (29). Con todo esto ya podemos calcular Trot

a partir de la ec. (24).

https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.12522


5. Ejes principales

Pero para hacer las cosas más sencillas hay aún un paso extra. La matriz de componentesIij depende de la elección del punto r0 y de la base de versores ei. Siempre es posibleelegir esta base de modo que la matriz Iij resulte diagonal. Los ejes asociados a una talbase se llaman ejes principales. En la mayoría de los problemas, la simetría del cuerpo haráevidente cuáles son sus ejes principales respecto a un dado punto. Cuando se trabaja enuna base de ejes principales, resulta

Trot =1

2

(I1ω

21 + I2ω

22 + I3ω

23

), (33)

donde I1 ≡ I11, etc. Llamando momentáneamente a las direcciones de los versores ei comoxyz, es fácil ver que

I1 =∑

m(y2 + z2), I2 =∑

m(x2 + z2), I3 =∑

m(x2 + y2). (34)

Un caso especial es el de los cuerpos planos, digamos, contenidos en el plano z = 0.Uno de los ejes principales es la normal al plano. Es inmediato comprobar que

I1 + I2 = I3. (35)

Por ejemplo, no se necesita hacer ningún cálculo para decir que el momento de inercia deun anillo con respecto a su eje es I3 = MR2. La propiedad (35) nos dice que los otros dosmomentos de inercia (que por simetría deben ser iguales) son I1 = I2 =MR2/2. El cálculoexplícito requiere hacer una integral, y en la integral el error asecha:

I1 =M

2πR

∫2π0

Rdϕ y(ϕ)2 =M

2πR

∫2π0

Rdϕ R2 sin2ϕ =1

2MR2. (36)

Les recomiendo que lean los comentarios que siguen a la ec. 32.9 en el libro de Landauy Lifshitz. Allí se habla de cómo las simetrías del cuerpo permiten encontrar los ejesprincipales sin tener que diagonalizar explícitamente una matriz.

6. La energía cinética en términos de los ángulos de Euler

Combinando todo lo dicho anteriormente, escribimos la energía cinética de rotación entérminos de los ángulos de Euler cuando se usa la representación de versores fijos al cuerpoy cuando esos versores están sobre las direcciones de ejes principales:

Trot =I1

2

(ϕ sinψ sin θ+ θ cosψ

)2+I2

2

(ϕ cosψ sin θ− θ sinψ

)2+I3

2

(ψ+ ϕ cos θ

)2. (37)

Un caso de especial importancia es el de los cuerpos simétricos, en donde dos de losmomentos de inercia principales son iguales. Lo usual es elegir los ejes fijos al cuerpo demodo que sea I1 = I2 = I. Pero independientemente de esto, una propiedad que resultaútil es que la elección de los ejes principales cuyos momentos son iguales es arbitraria. Loúnico que está definido es el plano en el que deben estar esos ejes. Eso quiere decir que se

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puede tomar cualquier par de versores e1 y e2 en ese plano sin alterar la forma de la matrizIij. Siempre será I1 = I2 = I. Como deberían comprobar, resultará entonces

Trot =I3

2

(ψ+ ϕ cos θ

)2+I

2

(θ2 + ϕ2 sin2 θ

). (38)

Es lógico que en esta expresión ψ sea una variable cíclica, porque en cualquier instante po-demos definir las direcciones principales con e1 en la línea de nodos, lo que es equivalentea tomar ψ = 0. De hecho, esa es la forma más rápida de deducir la expresión anterior apartir de la ec. (37). Es un poco decepcionante que en el caso en que los tres momentosprincipales son iguales, I1 = I2 = I3 = I, la forma de la energía cinética no se simplifiquemucho más, sino que resulta

Trot =I

2

(ψ2 + ϕ2 + θ2 + 2ψϕ cos θ

). (39)

Si quieren pensar un poco, una cuestión relacionada con las simetrías es explicar porqué las componentes (29) de ω, y por lo tanto Trot, no pueden depender de ϕ.

7. Guía 6, problema 5

Una placa rectangular tiene lados a y b. La placa se mantiene fija por uno de sus ladosa un marco que está en el plano horizontal. El marco tiene dimensiones ligeramente másgrandes que las de la placa, para permitirle a esta girar alrededor de su lado fijo, comosi fuera una puerta. A su vez, el marco rota alrededor de su centro con velocidad angularconstante Ω, como muestra la figura.

a) Encontrar el lagrangiano y las ecuaciones de movimiento en ausencia de gravedad.¿Existe algún punto de equilibrio estable?

b) Encontrar el lagrangiano y las ecuaciones de movimiento con gravedad. ¿Existe algúnpunto de equilibrio estable?

Solución. Esta clase de problemas se resuelven siguiendo más o menos siempre el mismoorden. Lo primero es encontrar coordenadas generalizadas (sin pensar necesariamente enlos ángulos de Euler). En este problema el único grado de libertad que existe es el ánguloα que la placa forma con el plano horizontal. Asumiremos que en t = 0 el eje que mantieneunida la placa al marco está según la dirección x, como muestra la siguiente figura.


Una vez definida la coordenada generalizada, tenemos que plantearnos la elección delpunto fijo al cuerpo respecto del cual descomponer la energía cinética en una parte detraslación más una parte de rotación. Vimos que los dos casos más sencillos eran cuandoese punto es el centro de masa o un punto fijo. No hay ningún punto de la placa (o, engeneral, fijo con respecto a la placa) que permanezca inmóvil, de modo que elegiremos elcentro de masa:

T =1

2Mv2CM +

1

2ω · I ·ω. (40)

Según hemos visto, el cálculo del término de rotación dependerá de la base de versoresque use para escribir ω y I. Seguiremos el camino más sencillo, que consiste en elegirversores fijos al cuerpo, de modo que las componentes Iij sean constantes. Llegado a estepunto, uno se pregunta si pueden tomarse esos versores de manera que el ángulo elegidocomo coordenada generalizada sea uno de los ángulos de Euler. También interesa que losversores correspondan a un conjunto de ejes principales. Puede haber más de una opción.Vamos a considerar dos.

7.1. Primera elección de los ejes fijos al cuerpo

Clase 7/10 9

Llamamos β al ángulo que forma con el eje x el lado de la placa donde está la articulación.Nos reservamos las símbolos θ, ϕ y ψ para los ángulos de Euler. Para esta primera elecciónel ángulo β = Ωt es en verdad el ángulo de Euler ϕ, y el ángulo α es el ángulo deEuler θ. La única forma en que el versor e1 puede mantenerse en el plano horizontal,independientemente del valor de θ, es que ψ = 0. Así, las ecs. (29) implican

ω1 = α, ω2 = Ω sinα, ω3 = Ω cosα. (41)

Por la simetría de la placa, los ejes que elegimos son ejes principales. Por tratarse de uncuerpo plano, es además I1 + I2 = I3.

La energía cinética de rotación es entonces

Trot =I1

2α2 +

I2

2Ω2 sin2 α+

I3

2Ω2 cos2 α =

I1

2

(α2 +Ω2 cos2 α

)+I2

2Ω2. (42)

Por otra parte, la energía cinética de traslación será

TCM =1

2Mv2CM. (43)

La posición del centro de masa en términos de la coordenada α y del tiempo es

rCM =a

2(1+ cosα)ϕ(Ωt) +

a

2sinα z. (44)

Su velocidad,

vCM =a

2

[−(1+ cosα)Ωρ(ϕ) − α sinα ϕ(ϕ) + α cosα z

]. (45)

Finalmente,

v2CM =(a2

)2 [(1+ cosα)2Ω2 + α2

]. (46)

En definitiva,

T =1

2M(a2

)2 [(1+ cosα)2Ω2 + α2

]+I1

2

(α2 +Ω2 cos2 α

)+I2

2Ω2. (47)

Agrupando algunos términos,

T =1

2Ma2

(1

4+

I1

Ma2

)α2 +

1

2I1Ω

2 cos2 α+1

2M(a2

)2(1+ cosα)2Ω2 +

I2

2Ω2. (48)

Teniendo en cuenta que puede haber gravedad, la energía potencial es

V(α) =Mga

2sinα. (49)

Desarrollando un poco más y omitiendo términos constantes, el lagrangiano es

L(α, α) =1

2Ma2

(1

4+

I1

Ma2

)(α2 +Ω2 cos2 α

)+M

(a2

)2Ω2 cosα−Mg

a

2sinα. (50)

El momento de inercia I1 se calcula fácilmente:

I1 =M

ab

∫b/2−b/2

dx

∫a/2−a/2

dy y2 =Ma2

12. (51)


Con esto resulta

1

Ma2L(α, α) =

1

6α2 +

1

12

(2 cos2 α+ 3 cosα

)Ω2 −

1

2ω20 sinα, (52)

con ω20 = g/a. El segundo término se reduce usando que 2 cos2 x = 1+cos 2x, lo que agregaun término constante. A todos los efectos prácticos podemos usar el siguiente lagrangiano

L∗(α, α) =1

6α2 +

1

12(cos 2α+ 3 cosα)Ω2 −

1

2ω20 sinα. (53)

Este lagrangiano tiene la misma forma que el de un sistema esclerónomo que tuviera portérmino cinético a α2/6, y por término potencial a

Vef(α) = −1

12(cos 2α+ 3 cosα)Ω2 +

1

2ω20 sinα. (54)

La misma equivalencia está implícita en el hecho de que L∗ no depende del tiempo, y porlo tanto su función h se conserva. Esta función h no es la energía del problema original(la energía cinética no es cuadrática en las velocidades) pero coincide con la energía delsistema equivalente. Sea cual sea la forma de interpretarlo, podemos reducir el problema auna ecuación de conservación de la forma

1

6α2 −

1

12(cos 2α+ 3 cosα)Ω2 +

1

2ω20 sinα = h. (55)

El estudio de las condiciones de estabilidad queda para ustedes. En el caso sin gravedad,es interesante explicar en términos elementales la existencia de un misterioso punto deequilibrio donde la placa no está horizontal. Otra cuestión interesante es que en ningúnmomento aparece en los cálculos la longitud b. Podemos reemplazar toda la placa por unabarra sujeta al marco y obtendríamos el mismo lagrangiano.

7.2. Segunda elección de los ejes fijos al cuerpo

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Ahora el versor e3 está en el plano de la placa, paralelo a su articulación con el marco, y semantiene también en el plano horizontal,

e3 = ρ(β). (56)

Pero e3 está en el plano horizontal si y sólo si θ = π/2.Por otro lado, sabemos que el ángulo que forma con el semieje y negativo la proyección

del versor e3 sobre el plano horizontal nos da el ángulo de Euler ϕ. Esto quiere decir queel ángulo β es igual a ϕ − π/2. Por último el ángulo α coincide con el ángulo ψ de Euler.Las componentes de la velocidad angular son ahora

ω1 = Ω sinα, ω2 = Ω cosα, ω3 = α. (57)

La energía cinética de rotación es

Trot =I ′12Ω2 sin2 α+

I ′22Ω2 cos2 α+

I ′32α2. (58)

Respecto a lo que definimos antes, es I ′1 = I2, I′2 = I3 y I ′3 = I1. Luego,

Trot =I2

2Ω2 sin2 α+

I3

2Ω2 cos2 α+

I1

2α2, (59)

que coincide con la expresión (42). No es necesario modificar el término de energía detraslación ni el término del potencial, de manera que obtendremos el mismo lagrangiano.

7.3. Test de fuerza

La siguiente observación es fundamental: una vez elegidas las coordenadas generaliza-das, el lagrangiano no puede depender de cómo decidan descomponer la energía cinética,ni de qué base de versores usen para escribir el término de rotación. El lagrangiano esL(q, q). La cuentas podrán cambiar, pero a una elección de coordenadas generalizadascorresponde un sólo lagrangiano L = T − V .

Acabamos de comprobar esto mediante las dos elecciones que hicimos de los versoresfijos a la placa. Fue algo relativamente sencillo, porque no hicimos mucho más que cambiarel nombre de los ejes fijos al cuerpo. Un camino verdaderamente diferente es calcular laenergía de rotación usando el tensor de inercia y la velocidad angular escritos en la base deversores fijos al espacio. En este caso, las componentes del tensor de inercia van a dependerdel tiempo. Necesitarán calcular Iij para todo α y todo t.

Les dejo un punto de partida. Vamos a seguir escribiendo sumas, aunque en realidad loque tienen que calcular son integrales de superficie. Las componentes del tensor de inerciaen la base de versores fijos al espacio son (ahora escribo explícitamente el índice para cadapartícula del cuerpo)

Iij =∑n

m(n)[δijr

′(n)2 − r ′i(n)r′j(n)

]=

∑n

m(n)[δij |r(n) − r0|

2− (ri(n) − r0i) (rj(n) − r0j)

].

(60)


Tienen que escribir esto como una integral sobre la placa. Para eso necesitarán parametrizarcada punto de la placa usando dos parámetros. Es decir, tendrían que elegir dos nuevascoordenadas para definir la posición de cada punto de la placa,

r(n)→ r(α, u,w, t). (61)

Les va a quedar una integral sobre u y w. Deberán escribir el elemento de área en términosde esos parámetros. Y eso es sólo el comienzo.

Creo que de aquí al jueves pueden resolver este problema. Es el primer problema decuerpo rígido propiamente dicho que figura en la guía. No tienen otra cosa que hacer.Háganme caso y resuelvan este ejercicio.

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