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COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educación de calidad para la vida profesional San Miguel Cuaderno de trabajo de Álgebra 1ro Sec. - I Semestre. Pág. - 1 ÁLGEBRA PRIMER BIMESTRE ÍNDICE: Tema 1: Resolución de Ecuaciones……………………....……………. 2 Tema 2: Planteo de Ecuaciones …...…………………………………. 5 Tema 3: Expresiones Algebraicas …………….………..……………. 9 Tema 4: Monomios ……...…………….…………...….…………….. 12 Tema 5: Polinomios I………..……………….…………..….……… 15 Tema 6: Polinomios II…………….……………………….……… 20

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  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre. Pg. - 1

    LGEBRA

    PRIMER BIMESTRE

    NDICE:

    Tema 1: Resolucin de Ecuaciones..... 2

    Tema 2: Planteo de Ecuaciones .... 5

    Tema 3: Expresiones Algebraicas .... 9

    Tema 4: Monomios .......... 12

    Tema 5: Polinomios I...... 15

    Tema 6: Polinomios II.. 20

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre. Pg. - 2

    1. ECUACIN

    Una ecuacin es una igualdad entre dos

    expresiones matemticos. Esta igualdad debe

    presentar como mnimo una variable.

    2. RESOLUCIN DE UNA ECUACIN

    Resolver una ecuacin consiste en hallar el

    valor que la convierta en una igualdad

    verdadera. Para ello se tiene las siguientes

    reglas prcticas:

    EEjjeemmpplloo:: x + 3 = 5

    3 es un sumando con signo (+)

    Transponemos el sumando 3:

    x + 3 = 5 x = 5 3

    x = 2

    Valor que reemplazado en la igualdad

    original la convierte en verdadera

    EEjjeemmpplloo:: 4x = 12

    4 es un nmero que est multiplicando

    Transponiendo el 4:

    4x = 12 x = 4

    12

    x = 3

    Valor que reemplazado en la igualdad

    original la convierte en verdadera

    Para la clase

    I. Resuelve las siguientes ecuaciones:

    1. x + 3 = 5

    2. x + 3 = 1

    3. x + 3 = - 2

    4. x 3 = 2

    5. x 3 = - 1

    6. x 3 = - 5

    TEMA 1: RESOLUCION DE ECUACIONES

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 3

    7. 2x = 4

    8. 3x = - 9

    9. 7x = 14

    10. 5x = 10

    II. Resuelve las siguientes ecuaciones:

    11. 2x + 5 = 9

    12. 3X + 5 = 2

    13. 4X + 5 = - 7

    14. 5X 3 = 7

    15. 3X 10 = - 1

    16. 7X 3 = - 17

    17. 8x + 2 = 10

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 4

    18. 5x + 7 = 2

    19. 6x + 7 = - 11

    20. 4x 5 = 7

    III. Resuelve las siguientes ecuaciones:

    21. - x 2 = - 7

    22. 4x = 12

    23. 4x + 2 = x + 8

    24. 18 4x + 6x = 3x + 9x + 8

    25. 4(3x 2) = 3(3x 2) + 1

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 5

    Consiste en que a partir de un ENUNCIADO

    se escriba una IGUALDAD relacionando los

    DATOS y la INCOGNITA (lo que se pide en

    el problema)

    Ejemplos:

    FORMA VERBAL

    (Enunciado)

    FORMA SIMBLICA

    (Lenguaje matemtico)

    Un nmero x

    El doble de un nmero 2x

    La suma de dos nmeros x + y

    La suma de dos nmeros

    consecutivos

    (x) + (x + 1)

    El doble de un nmero,

    aumentado en 6 es igual 18

    2x + 6 = 18

    El doble de un nmero

    aumentado en 6 es igual 18

    2( x + 6) = 18

    Dentro de 3 aos tendr 14

    aos

    x + 3 = 14

    OBSERVACIN: No existe un mtodo nico

    para plantear una ecuacin, pero a continuacin

    te damos algunas recomendaciones:

    1. Lee atentamente el problema las veces

    que sea necesario. El objetivo es comprender

    el enunciado.

    2. Representa con una letra lo que pide el

    problema (incgnita) y escribe los datos que

    te ofrecen.

    3. Relaciona mediante una igualdad lo que

    pide el problema y los datos brindados.

    4. Resuelve la igualdad (ecuacin) planteada.

    Para la clase

    I. Plantea y resuelve los siguientes

    enunciados:

    1. La suma de 2 nmeros es 7. Si uno de

    ellos es 3 cul es el otro?

    2. Al sumar 2 nmeros resulta 2. Si uno

    de ellos es 3 cul es el otro?.

    3. Entre Mara y Rosa tienen 12 aos. Si

    Rosa tiene 5 aos. Qu edad tiene

    Mara?

    TEMA 2: PLANTEO DE ECUACIONES

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 6

    4. Graciela tiene cierta cantidad de

    dinero. Si le dan S/. 8 tendra S/. 15.

    Cunto dinero tiene Graciela?

    5. Luego de hacer ejercicios Angela bajo

    3 kg y ahora pesa 47 kg. Cunto pesaba

    Angela antes de hacer los ejercicios?

    6. Carlos gasta S/. 3 en comida y le sobra

    S/. 7. Cunto tena al inicio?

    7. Si a un nmero se le multiplica por 2

    resultara 8. Cul es el nmero?

    8. Al duplicar un nmero resulta 10. Cul

    es el nmero?

    9. Si triplicamos un nmero se convierte

    en 15. De qu nmero se trata?

    10. El cudruple de mi edad es 20. Qu

    edad tengo?

    II. Plantea y resuelve los siguientes

    problemas:

    11. Si al doble de un nmero, se le

    adiciona 4 resulta 10. Cul es el nmero?

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 7

    12. Si al triple de un nmero, se le

    adiciona 7 resulta 4. Cul es el nmero?

    13. El doble de la edad de Juan,

    aumentado en 3 aos resulta 11 aos. Cul

    es la edad de Juan?

    14. El cudruple de mi dinero, disminuido

    en S/. 5 resulta S/. 7. Cunto dinero

    tengo?

    15. El triple de mi edad, disminuido en 3

    resulta 12. Qu edad tengo?

    16. Hoy gast el doble de lo que ayer

    gast. Si ayer gast S/. 4. Cunto fue el

    gasto de los 2 das?

    17. Luego de haber caminado el triple de

    la distancia de mi casa al colegio recorro 2

    km ms. Si en total he caminado 14 km.

    Cul es la distancia de mi casa al colegio?

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 8

    18. Si Pedro cuadruplica su dinero y le

    regalan S/. 5 tendra lo que yo tengo. Si mi

    dinero es S/. 17. Cunto es el dinero de

    Pedro?

    19. Juan razona: Si triplic mi peso y

    subo a una balanza con mi hermano que

    pesa 7 kg esta marcara 127 kg. Cul es

    el peso de Juan?

    III. Lee cuidadosamente los siguientes

    problemas y revulvelos:

    20. Yo tengo el doble de tu dinero, si entre

    los dos tenemos S/. 24. Cunto dinero

    tengo?

    a) 8 b) 16 c) 24

    d) 2 e) 3

    21. Yo tengo S/. 20 menos que t. Si el

    dinero que tienes es el triple del dinero que

    tengo. Halla la suma del dinero que tenemos.

    a) 30 b) 10 c) 40

    d) 50 e) 60

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 9

    1. TRMINO ALGEBRAICO

    Es aquella expresin que relaciona dos partes

    contrarias, por medio de la multiplicacin, dichas

    partes son:

    Parte Constante (coeficiente): Es aquella

    magnitud que permanece invariable y se

    representa generalmente mediante nmeros

    reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 3

    4

    Parte Variable: Es aquella que vara y se

    representa generalmente por letras (x, y, z, ).

    Ejemplo: x2, xyz, x5y7.

    La unin de dichas partes origina el Trmino

    Algebraico.

    As:

    En General:

    2. TRMINOS SEMEJANTES

    Son aquellos trminos algebraicos que tiene

    la misma parte Variable.

    Ejemplo:

    3x4y5 es semejante con 54yx2 porque tiene

    la misma parte variable.

    AHORA T:

    4x3y4 ; -x3y4 son semejantes

    x5y3 ; x7y3 son semejantes

    -a3b4 ; -3b4a3 son semejantes

    OBSERVACIN:

    Un trmino algebraico NO puede tener como

    exponentes a:

    * Nmeros Irracionales

    Ejemplos:

    543 zyx4 no es trmino algebraico.

    23zxy2 no es trmino algebraico.

    * Letras

    Ejemplos:

    -xxyyzz no es trmino algebraico.

    -2x2y3za no es trmino algebraico.

    VOCABULARIO:

    Semejantes: Entes que guardan algo en

    comn.

    Trminos: Expresin unitaria que conforma

    un tono.

    lgebra: Estudio de la unin de parte

    variable con parte constante y sus diversas

    operaciones.

    Para la clase

    1. Completa las siguientes proposiciones con su

    respectiva constante:

    a) La cantidad de meses de un ao. ( )

    b) Los colores del semforo. ( )

    c) Das de la semana. ( )

    d) Las vocales. ( )

    e) El nmero de das del mes de Agosto. ( )

    TEMA 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS I

    Exponente

    Variable Coeficiente

    ax n

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 10

    f) El nmero de estaciones del ao. ( )

    2. Cuntas variables existen en la siguiente

    oracin? Subryalas.

    Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del

    mar en una noche despejada de pronto Mario

    pregunto pap. Cul es el nmero de estrellas

    en el universo? Es una cantidad mucho ms

    grande que el tiempo de tu vida en la Tierra.

    Quizs tan grande como la cantidad de granos

    de arena en la playa, contesto Pedro.

    a) 1 b) 2 c) 3

    d) 4 e) 5

    3. Representa mediante trminos algebraicos

    las siguientes proposiciones:

    a) La edad de una persona. ______

    b) El doble del nmero de personas en el

    mundo. _______

    c) El triple del nmero de pasajeros que

    suben a un autobs. ________

    d) Menos el doble de la altura de un rbol.

    _________

    a) El dinero de una persona. ______

    b) El quntuple de la temperatura

    ambiental. _______

    c) Siete veces la distancia Tierra Sol.

    ________

    d) Menos cuatro veces el tiempo

    transcurrido. _________

    4. Completa el siguiente cuadro:

    Trmino

    Algebraico

    Parte

    Constante

    Parte

    Variable

    3x

    x

    5x3

    -2x2y

    x3yz2

    5. Cuntas de las siguientes proposiciones

    son verdaderas?

    I) Los nmeros son constantes.

    II) Las variables se representan con

    nmeros.

    III) 5 es una variable.

    a) Slo I y III

    b) Slo II

    c) Slo I

    d) Slo III

    e) Ninguna

    6. Cuntas de las siguientes proposiciones

    son Falsas?

    I) 3 es un trmino algebraico.

    II) 3x2yw es un trmino algebraico.

    III) x es un trmino algebraico.

    a) Slo I

    b) Slo II

    c) Slo III

    d) I y III

    e) I y II

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 11

    7. Utilizando trminos algebraicos

    representa las siguientes proposiciones.

    a) Dos veces el nmero de postulantes a

    la universidad. ________

    b) Cinco veces el dinero que gaste. ____

    c) Menos tres veces el nmero de

    colegios del Per. ________

    d) Menos ocho veces el rea de un

    cuadrado. __________

    e) Menos cuatro veces el rea de un

    rectngulo. _______

    f) Menos el doble del rea de un

    tringulo. _______

    g) Menos tres veces el rea de un crculo.

    ________

    h) El cudruple del rea de un cuadrado.

    ________

    8. Completa la siguiente tabla:

    Trmino

    Algebraico

    Parte

    Constante

    Parte

    Variable

    Exponentes

    5x-9y2

    4x-1wz3

    -25x3y8w-4

    -14x-4w5z3

    9. Indicar cules de las siguientes proposiciones

    son falsas:

    I) -3 es un trmino algebraico.

    II) En un trmino algebraico las variables

    pueden tener exponentes negativos.

    III) Un trmino algebraico tiene tres partes:

    parte constante, parte variable y exponentes.

    a) I y III

    b) Slo I

    c) Slo II

    d) I y III

    e) Todas

    10. Se busca un trmino algebraico donde la

    parte constante sea el doble del

    exponente de su parte variable. De los

    siguientes cul cumple con la condicin?

    a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4

    d) 12y8 e) 14m7

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 12

    MONOMIO:

    Es un trmino algebraico, donde los

    exponentes de las variables deben ser nmeros

    enteros y positivos.

    EEjjeemmppllooss::

    3x 7y5w

    5yw -8x3z6

    -2w3 12x2yz3

    NOTA:

    Los exponentes en un trmino

    algebraico son cualquier nmero.

    Los exponentes en un Monomio son

    enteros y positivos.

    SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:

    Para sumar o restar Monomios estos deben ser

    trminos semejantes, es decir, tener la misma

    parte variable.

    EEjjeemmppllooss::

    3x + 2x Se pueden sumar porque tienen la

    misma parte variable.

    5x + 3x2 No se pueden sumar pues sus partes

    variables no son iguales.

    4w 5x No se pueden restar porque las partes

    variables son diferentes.

    Para la clase

    I. Halla el resultado en cada operacin:

    a) 2x + 5x =

    b) 3w + (-5w) =

    c) 8z + (-4z) =

    d) (-7y) + 3y =

    e) (-2x) + 5x =

    f) (-8w) + (-3w) =

    g) 2z 7z =

    h) 5y 3y =

    i) (-8x) (-5x) =

    j) (-4w) 3w =

    II. Reduce en cada caso:

    a) 3x2 + 4x2 + 7x2 =

    b) 4w3 + 2w3 8w3 =

    c) 5z4 + 7z4 2z4 =

    d) -12y5 + 3y5 + 2y5 =

    e) -5x7 + 7x7 + 2x7 =

    f) -3w2 2w2 4w2 =

    g) 3z3 2z3 4z3 =

    h) 10y4 4y4 3y4 =

    TEMA 4: MONOMIOS

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 13

    i) 9xw + 2xw + 4xw =

    III. Resuelve:

    1. Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b

    a) 7 b) 5 c) 6

    d) 2 e) 4

    2. Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p

    a) 10 b) 13 c) 12

    d) 14 e) 11

    3. Si: 3xw + 8xw = axw Hallar: a

    a) 3 b) 11 c) 8

    d) 7 e) 4

    4. Si: 5x2 3xn = mx2 Hallar: m + n

    a) 2 b) 4 c) 8

    d) 16 e) -1

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 14

    5. Si: 3x2y 10x2y + 5x2y = axmyn Hallar: a + m + n

    a) 4 b) 3 c) 1

    d) 2 e) -2

    6. Si: -7w3z2 + mw3z2 2w3z2 = 3w3z2 Hallar: m

    a) 9 b) -9 c) -12

    d) 12 e) 5

    7. Si: 3x5zm 7x5zn + 5xpzm = axpz3 Hallar: n + p

    m + a

    a) 1 b) 5 c) 3

    d) -3 e) 2

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 15

    POLINOMIO:

    Es una suma limitada de monomios no

    semejantes. En esta suma se puede incluir

    alguna constante.

    EEjjeemmppllooss::

    5x + x2 4xy 5xz + 4 3x2

    3xw + x 4x2y + yz4 3

    2w2 + 5 3x2y3 8xy3

    -3y5 + 2x 1 -5 10x2 x

    SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

    Para sumar o restar polinomios debemos

    recordar que:

    SUPRESIN DE SIGNOS DE COLECCIN

    Cuando un signo (+) precede a un signo de

    coleccin la expresin interior no cambia de

    signo. Cuando un signo (-) precede a un signo

    de coleccin la expresin interior cambia de

    signo.

    EEjjeemmpplloo::

    (3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7

    Polinomio polinomio trminos

    semejantes

    Para la clase

    I. Opera (suma o resta) los siguientes

    polinomios

    a) (x + 2) + (2x + 1) =

    b) (3w + 5) + (4w + 4) =

    c) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =

    d) (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =

    e) (9y3 + y) + (3y3 + y) =

    f) (3x + 2) (x + 1) =

    g) (5w + 4) (2w + 2) =

    h) (8z2 + 5) (4z2 + 2) =

    i) (7y3 + 9y) (2y3 + 4y) =

    TEMA 5: POLINOMIOS I

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 16

    j) (10x4 + 3x) (5x4 + 2x) =

    II. Opera los siguientes polinomios:

    a) (2x2 + 3x) + (3x2 - x) =

    b) (5x2 4x) + (2x2 3x) =

    c) (3w2 + w - 4) + (-2w2 4w + 2) =

    d) (4z3 4z + 3) + (-3z + 2) =

    e) (8y4 + 3y) + (4y2 8y4 2y) =

    f) (3x2 + 4x) (2x2 - x) =

    g) (4w2 5w) (3w2 2w) =

    h) (5z2 3z + 8) (-3z2 3z - 4) =

    i) (9y5 3y2 + 4y) (3y2 + 9y5) =

    j) (-10x2 - 4) (-3x2 + 4x - 4) =

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 17

    k) 3y {2y (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w}

    III. Reducir:

    a) {(3y 7 - w) + 4 [-2y 3x - 3] 5y} +

    10x

    a) 3 b) 5 c) 8

    d) 7 e) 9

    b) -3x + {5w [5z 3x (-5w + 4z)]} + z

    a) z b) x c) w

    d) x e) 0

    c) 4w {-8x [8y 4w + (8x 8y)]} 9x

    a) 0 b) 7x c) 7y

    d) 3w e) -7y

    d) 3x + {9xw {2x 4xw (5xy2 4 7x)

    + [3x + 13xw (-3x + 4)]} + 10xy2}

    a) 12x 15xy2

    b) -12x + 15xy2

    c) 15x 12xy2

    d) -12x 15xy2

    e) 15x + 12xy2

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 18

    IV. Resuelve los siguientes problemas

    1. Si: A = 3x2 + x 7

    B = 8x2 5x 10

    C = 5x2 + 3x - 1

    Hallar: A + B C

    a) 6x2 7x - 16

    b) 6x2 7x

    c) 6x2 7x 15

    d) 6x2 + 7x - 16

    e) 6x2 7x + 16

    2. Si: A = w3 8w + 4

    B = 2w2 4w

    Hallar: A 2B

    a) w3 + 4w2 - 4

    b) w3 4w2 2

    c) w3 4w2 + 4

    d) w3 + 4w2 + 4

    e) w3 4w2 4

    3. Si: A = -8x2y + 3xy 3y3

    B = 4y3 7x2y + 2xy

    Hallar: 2A 3B

    a) 5x2y + 18y3

    b) 5x2y 18y3

    c) 5x2y 18y2

    d) 5xy 18y3

    e) 5xy2 18y3

    4. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + n

    Hallar: m n

    a) 9 b) 8 c) 6

    d) 7 e) 5

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 19

    5. Si: (mx + n) (-3x - 2) = 10x 2

    Hallar: m + n

    a) 4 b) 5 c) 7

    d) 8 e) 3

    6. Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + n

    Hallar: m + n

    a) -1 b) 1 c) 0

    d) 5 e) 4

    7. Si: A = -2x 5

    B = 4x2 3x + 2

    Hallar: 3A - 2B

    a) -8x2 - 19

    b) 8x2 + 19

    c) -8x2 + 19

    d) -8x - 19

    e) 8x2 - 19

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 20

    GRADOS DE UN MONOMIO

    Para un monomio cualquiera pueden

    determinarse dos tipos de grados:

    Grado Absoluto (G.A.): Est dado por la

    suma de los exponentes de sus variables.

    Grado Relativo (G.R.): Est dado por el

    exponente de la variable referida.

    Ejemplo: 4 5 2P(x,y,z) 7 2x y z

    G.A.: 4+ 5 +2 = 11

    G.R.(x) = 4

    G.R.(y) = 5

    G.R.(z) = 2

    GRADOS DE UN POLINOMIO

    Grado Absoluto (G.A.): Est dado por el

    Mayor de los grados de sus trminos.

    Grado Relativo (G.R.): Est dado por el

    Mayor de los exponentes de la variable

    referida.

    Ejemplo:

    P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2

    9 6 4

    Luego:

    El grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9.

    Adems:

    G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x)

    G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)

    Para la clase

    1. En los siguientes monomios de el valor de

    los GR de cada variable :

    a. M(x, y) = 28x3 y3

    b. M(x, y) = -12x5 y7z

    c. M(x, y, z) = 33xy4 z5

    d. M(x, y) = 10xy3

    e. M(x, y) = 3x5 y

    2. El siguiente monomio es de GA = 12.

    Hallar n : M(x, y) = 2xn-2 y6

    a) 7 b) 6 c) 10

    d) 0 e) 8

    TEMA 6: POLINOMIOS II

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 21

    3. Halle el valor del coeficiente si sabemos

    que el monomio es de GRx = 3.

    M(x, y) = -3nxn-3 y

    a) 18 b) 15 c) 18

    d) 12 e) -9

    4. Halle el valor de n en el siguiente

    monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que

    GA = 12

    a) 4 b) 10 c) 5

    d) 7 e) 0

    5. Calcular n si el monomio :

    M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11

    a) 3 b) 2 c) 9

    d) 9 e) 5/3

    6. Hallar el coeficiente si GA = 14.

    M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n

    a) 3 b) 4 c) 2

    d) 5 e) 6

    7. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en

    : M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3

    a) 7 b) 6 c) 2

    d) 5 e) 12

    8. Calcule el GRx si GRy = 12 en :

    M(x, y) = 12xn-2 yn+4

    a) 8 b) 7 c) 6

    d) 10 e) 4

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 22

    9. En el monomio M(x, y) = 4xn-3 y4n.

    Calcule GRy si GRx = 4

    a) 21 b) 28 c) 3

    d) 24 e) 18

    10. En el siguiente polinomio:

    P(x) = 2xa-2 7xa + 12xa+4. Calcule el

    valor de a si GA = 12

    a) 8 b) 14 c) 12

    d) 11 e) 10

    11. En el polinomio: P(x,y) = x2a+4y 7xay2

    8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8

    a) 11 b) 8 c) 2

    d) 7 e) 4

    12. Calcule el valor de a si GA = 14 en :

    P(x) = 7x2 ya+2 12xa+1 ya+3 + 18xa+2

    a) 5 b) 10 c) 12

    d) 6 e) 8

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 23

    13. Calcule la suma de coeficientes

    Si GRx = 3. P(x) = xa+1 axa+2 + xa+3

    a) 2 b) 3 c) 4

    d) 3 e) -2

    14. Halle a en P(x) = ax22+a 12x2 + 27x3 si

    la suma de coeficientes es cero.

    a) 15 b) 15 c) 12

    d) 27 e) 18

    15. Cul es el GRx en el problema anterior?

    a) 15 b) 3 c) 2

    d) 7 e) 5

    16. Halle el valor de n en:

    M(x, y) = 2x2 yn 2yn+2 + 3xn-3 y;

    Si: GA = 12

    a) 10 b) 5 c) 8

    d) 15 e) 12

    17. Del problema anterior, cunto vale

    el GRy?

    a) 10 b) 6 c) 8

    d) 12 e) 2

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 24

    LGEBRA

    SEGUNDO BIMESTRE

    NDICE:

    Tema 1: Polinomios III.......... 25

    Tema 2: Polinomios IV ..... 29

    Tema 3: Productos Notables I ...... 32

    Tema 4: Productos Notables II.... 35

    Tema 5: Productos Notables III .... 37

    Tema 6: Repaso .... 41

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 25

    POLINOMIOS ESPECIALES

    1. POLINOMIO COMPLETO

    Es aquel polinomio que presenta todos los

    trminos algebraicos, desde el mayor, hasta

    el menor.

    Ejemplos:

    P(x) 5x3 + 2x 4x2 + 7

    OjO: Presenta todos los trminos desde el

    mayor grado (5x3) hasta el menor (7).

    P(x) = 2x + 3 . Es polinomio completo.

    P(x) = 2x5 4x2 + 5x4 2x + 7 x3

    Es polinomio completo.

    P(x) = x4 2x3 + 5x 4

    . Es polinomio completo.

    2. POLINOMIO ORDENADO

    Es aquel que guarda un orden ascendente o

    descendente referido a los grados relativos.

    Ejemplos:

    P(x) = x2 + 2x3 x5 (Polinomio

    ordenado en forma ascendente)

    P(x) = x7 4x + 3 (Polinomio ordenado en

    forma descendente)

    Si el polinomio es de dos variables se ordena

    con respecto solo a una:

    P(x, y) = 4x3y7 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio

    ordenado en forma descendente con

    respecto a x)

    P(x, y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio

    ordenado en forma descendente con

    respecto a y)

    POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO

    Es aquel polinomio que cumple los dos

    criterios anteriores.

    Ejemplo:

    P(x) = 5x4 3x3 + x2 + x + 3

    (Observemos que es completo por que

    presenta todos los exponentes de x y

    adems estn ordenados en forma

    descendente)

    P(x) = 2 + 3x 4x2 + 15x3 (Polinomio

    completo y ordenado en forma

    ascendente)

    3. POLINOMIO HOMOGNEO

    Es aquel polinomio que en todos sus monomios

    presenta el mismo grado absoluto.

    Ejemplo:

    P(x, y) 4x3y4 3x7 + 2xy6 x5y2

    4. POLINOMIOS IDNTICOS

    Son aquellos que tienen el mismo valor

    numrico para un valor en cuestin.

    Ejemplos:

    P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1

    P(0) = Q(0) = 1

    P(1) = Q(1) = 4

    P(x) y Q(x) son idnticos.

    Esto trae como consecuencia que tengan

    los mismos coeficientes en trminos

    homlogos.

    TEMA 1: POLINOMIOS III

    GA = 7 GA = 7 GA = 7 GA = 7

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 26

    5. POLINOMIOS IDNTICAMENTE NULO

    Es cuando todos sus coeficientes son iguales

    a cero.

    Ejemplos:

    P(x) = 0x2 + 0x + 0

    P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P() .. = P(1000) = 0

    As si tenemos:

    Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es

    idnticamente nulo.

    Entonces: A = 2; B = 3; C = -2

    Para la clase

    1. Determinar el grado de homogeneidad de

    cada uno de los problemas:

    a) P(x, y) = -3x4 y5 z + 2xy8 z2

    b) P(x,y,z) = 12x3 y7 z 3xy8 z2 + 2x9 y2 3z11

    c) P(x, y) = 7x2 y2 2x4 + 3x3 y

    d) P(x, y) = 4x8 y9 3z7 y17 + 13y16 x

    2. Determinar a + b si los polinomios son

    homogneos:

    a) P(x, y) = 8x4 ya 3x2 yb + 12x9

    b) P(x, y) = -13xya + 7xb y7 + 13x3 y12

    3. Diga Ud. si los siguientes polinomios son

    idnticos:

    a) (x + 4)2 + 3 x2 + 8x + 19

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 27

    b) x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 x3 + y3 + 3xy(x + y)

    c) x7 + 4x3 y4 - 4x4 y3 4x3 y3(y + x + 1) + x7

    d) (x 3)2 + 8 x2 6x + 17

    e) (x - 1)2 1 x2 + 2x

    4. Determinar los valores de A y B si cada

    polinomio es idnticamente nulo:

    a) P(x) = (5A)x2 + (2 + B)x + 0x

    b) P(x) = (A + 3)x7 + (B + 7)x3 + 0x

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 28

    c) P(x) = 5x3 0.7x4 + Ax3 + Bx4

    d) P(x) = 9x5 3x3 + Ax3 Bx5

    e) P(x) = (A + B)x3 + (B - 7)x2 + 0x4

    5. Halle Ud. El valor de A + B en cada

    polinomio si sabe que son polinomios

    idnticamente nulos

    a) P(x) = Ax5 + Bx3 5x3 + 8x5

    b) P(x) = 7x8 27x4 + (7A)x8 (9B)x4

    c) P(x) = -3x2 + Ax2 + 0.3x2 + Bx2

    d) P(x) = 8x3 7Ax3 6x4 + 7Bx4

    e) P(x) = 9x5 27x29 + Bx5 Ax29

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 29

    VALOR NUMRICO (V.N):

    Consiste en reemplazar las variables de un

    monomio por nmeros determinados. As, se

    obtendrn un resultado, denominado VALOR

    NUMRICO.

    Ejemplo: P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)

    Solucin:

    Reemplazamos: x = 4

    P(-2) = 6(-2) + 7

    P(-2) = -12 + 7

    P(-2) = -5

    Para la clase

    1. Halle el VN de 5ab + 3b 2a Para a = 1; b = 2

    a) 12 b) 13 c) 14

    d) 10 e) 18

    2. Calcule el VN de los siguientes polinomios

    Para: x = 2 ; y = 1 ; z = 3

    a) P(x, y) = 7x 10y

    b) P(x, y, z) = 8z + 3x y

    c) P(x, y, z) = 3z + 3x + 3y

    TEMA 2: POLINOMIOS IV

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 30

    d) P(x, y, z) = y 3x + 7z

    e) P(x, y, z) = 93x 3y2 2

    f) P(x, y) = 12y2 + 3x + 32

    g) P(x) = x2 + x + 1

    h) P(x) = 31 (x - 1) (x - 3)

    i) P(x, y) = y2(x - 4)

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 31

    3. Calcule el valor de E para los siguientes

    Casos:

    a) P(x) = x(x - 4)(x - 7)

    E = P(1) P(3)

    b) P(x, y) = 7x 10y

    E = P(1, 2) P(3, 1)

    c) P(x, y, z) = 8x2 3y + 7z

    E = P(1, 3, 2) P(0, 1, 2)

    d) P(x, y, z) = 3x 1

    E = P(2) + P(-2)

    e) P(x, y, z) = 5xy + yz + z

    E = P(1, 1, 1) + P(2, 1, 3)

    f) P(x) = 3x - 1

    E = P(7) P(x - 7) 42

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 32

    BINOMIO AL CUADRADO:

    Cuando es una suma:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Cuando es una resta:

    (a - b)2 = a2 2ab + b2

    Ejemplos:

    (x + 1)2 = x2 + 2x(1) + 12

    = x2 + 2x + 1

    (x - 2m)2 = x2 - 2x(2m) + (2m)2

    = x2 - 4xm + 4m2

    (3x - m)2 = (3x)2 2(3x)(m) + (m)2

    = x2 - 6xm + m2

    DIFERENCIA DE CUADRADOS:

    (a + b) ( a - b)= a2 - b2

    Ejemplos:

    (x + 3y) (2x 3y) = (x)2 - (3y)2

    = x2 9y2

    (2x - 3y) (2x + 3y) = (2x)2 - (3y)2

    = 4x2 9y2

    Para la clase 1. Resolver usando los productos notables:

    a) (8 + 2)2 =

    b) (a + b)2 =

    c) (3a + 5)2 =

    d) (x + 3y)2 =

    e) (2a + 3y)2 =

    TEMA 3: PRODUCTOS NOTABLES I

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 33

    f) (5 3b)2 =

    g) (5a 3b)2 =

    2. Diga Ud. si es verdadero falso:

    a) 52 32 = 17 (V) (F) b) 82 22 = 60 (V) (F) c) 42 12 = 15 (V) (F)

    d) 32 32 = 1 (V) (F) e) 72 112 = -72 (V) (F)

    3. Hallar el valor de E

    E = ab4

    2)ba(2)ba(

    a) 2a b) 3b c) ab d) 1 e) 4ab

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 34

    4. Hallar el valor de E

    E = )2b2a(4

    2)ba(2)ba(

    a) 2 b) 1/2 c) a2 + b2 d) a b e) a + b

    5. Demostrar que:

    (a + b) (a - b) = a2 b2

    6. Demostrar que: (a + b)2 (a - b)2 = 4ab

    7. Demostrar que:

    (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 35

    MULTIPLICACIN DE BINOMIOS CON

    TRMINO COMUN:

    (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

    (px + a) (px + b) = p2x2 + (a + b)px + ab

    Ejemplos:

    (x + 3) (x + 2) = (x)2 + (3 + 2)x + (3)(2)

    = x2 + 5x + 6

    (2x + 4) (2x + 3) = (2x)2 + (4 + 3)2x + (4)(3)

    = 4x2 + 14x + 12

    Para la clase

    1. Resolver usando el producto notables:

    a) (a + b) (a + c)

    b) (x + 2) (x + 4)

    c) (y - 1) (y - 2)

    d) (x + 2) (x + y)

    e) (x - 5) (x + 2)

    f) (2y + 3) (2y - 1)

    2. Indicar si es verdadero falso:

    a) (x - 2) (x + 3) = x2 x 6 (V) (F) b) (y + 1) (y - 2) = y2 y + 2 (V) (F)

    TEMA 4: PRODUCTOS NOTABLES II

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 36

    c) (2y + 3) (2y - 1) = 4y2 + 4y 3 (V) (F)

    3. Reducir:

    (x - 6) (x + 3) + 3x + 18 a) 1 b) 3x c) x2 d) 18 e) 3x + 18

    4. Reducir:

    (x - 3) (x + 4) x2 x + 10 a) 2 b) x2 c) 2 d) x e) 0

    5. Reducir:

    )12y3(5

    1y31y3

    a) 1 b) 5 c) 3 y

    d) 1/5 e) y

    6. Reducir: (3 + x) (3 - y) (3x 3y - xy) a) 0 b) 3 c) 9 d) 1 e) 0

    7. Reducir: P = 4

    )122)(12(1

    a) 2 b) 4 c) 3

    d) 5 e) 1

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 37

    BINOMIO AL CUBO:

    Cuando es una suma:

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    En forma abreviada:

    (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

    Cuando es una resta:

    (a - b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

    En forma abreviada:

    (a - b)3 = a3 b3 3ab(a - b)

    Suma de Cubos:

    a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)

    Diferencia de Cubos:

    a3 b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

    Para la clase

    1. Resolver usado el binomio al cubo:

    a) (x + 3)3 =

    b) (2x - 3)3 =

    c) (x + 2y)3 =

    d) (x - 3)3 =

    e) (3x + 1)3 =

    f) (2x 3y)3 =

    TEMA 5: PRODUCTOS NOTABLES III

  • COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel

    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 38

    2. Resolver usado suma diferencia de cubos:

    a) (x + 3) (x2 3x + 9) =

    b) (x - 4) (x2 + 4x + 16) =

    c) (x3 - 83) =

    d) (2 - x) (4 + 2x + x2) =

    e) (2x - 1) (4x2 + 2x + 1) =

    f) (x2 + 3) (x4 3x2 + 9) =

    g) (x4 + 3x2 + 9) (x2 - 3) =

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 39

    h) (4x6 2x3 + 1) (2x3 + 1) =

    i) (3 10 - 3 2 ) ((3 10 )2 + 3 20 + 3 4 ) =

    j) (2 + 3 2 ) (4 - 23 2 + (3 2 )2) =

    3. Resolver:

    E = (3 2 - 1) ((3 2 )2 + 3 2 + 1)

    a) 1 b) 2 c) 3

    d) 4 e) 5

    4. Resolver:

    E = 23x16

    )1x22x4)(1x2(

    a) 1 b) 1/2 c) 1/16

    d) 1 e) 3

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 40

    5. Resolver:

    (3 10 - 3 2 ) (3 100 + 3 20 + 3 4 )

    a) 1 b) 8 c) 3

    d) 5 e) -2

    6. Resolver:

    (2 - y) (2 + y) (4 2y + y2) (4 + 2y + y2) +y6 60

    a) 1 b) 2 c) 3

    d) 4 e) y

    7. Resolver:

    (3 12 + 2) (3 144 - 23 2 + 4)

    a) 15 b) 12 c) 20

    d) 18 e) N.A.

    8. Resolver: 9

    316

    33

    433

    4

    a) 1/2 b) 2 c) 1

    d) 9 e) N.A.

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 41

    Para la clase

    1. Halle a + b si el polinomio es homogneo:

    P(x) = -7xa yb+4 + 8x3 y7 + 3xc yf

    a) 6 b) 9 c) 4

    d) Faltan datos e) N.A.

    2. Cunto vale (a + b) si este es un

    polinomio completo:

    P(x)=-8x5 + 3x2 2xa 1 + 3x4 + xb+4?

    a) 1 b) 2 c) 0

    d) 3 e) 4

    3. P(x) = xa+1 + 2xa+3 +7xa-5; Calcular el valor de a si GA = 14

    a) 11 b) 12 c) 13

    d) 14 e) 15

    4. P(x) = (a + b)x3 bx2 + 3x2 2x3; halle el valor de a y b si este polinomio es nulo.

    a) 1, 3 b) 1, -3 c) 1, 3

    d) 1, -3 e) N.A.

    TEMA 6: REPASO

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 42

    5. P(x) = 7xa+3 2xa-1 + 8xa+5; calcular el valor de a si el polinomio es de grado

    GA = 8

    a) 2 b) 5 c) 9

    d) 3 e) -2

    6. P(x) = (a2 - b)x2 (-b + 2)x3 + 2x3; Si el polinomio nulo adems a > 0;

    Halle (a + b)

    a) 7 b) 2 c) 2

    d) 6 e) -6

    7. Halle el V.N. de:

    P(x, y) = 47 x2 3y + 2xy

    Cuando: x = 0, y = 1

    a) 3 b) 3 c) 7/4

    d) 2 e) 7/8

    8. Halle el V.N. de: P(x) = 8x2 3x + 1 x3; Cuando x = 2

    a) 19 b) 2 c) 19

    d) 8 e) 3

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 43

    9. Si P(x) = x2 1.

    Halle: P(3) + P(5) P(2)

    a) 32 b) 24 c) 3

    d) 29 e) 35

    10. Reducir: P = 4

    )122)(12(1

    a) 2 b) 4 c) 3

    d) 5 e) 1

    11. Reducir: P = 9

    316

    33

    433

    4

    a) 1/2 b) 2 c) 1

    d) 9 e) N.A.

    12. Reducir:

    P = 32

    )189)(149)(129(801

    a) 9 b) 3 c) 81

    d) 1 e) 6

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    Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 44

    13. Reducir:

    E = 4

    )183)(143)(123(81

    a) 81 b) 3 c) 4 183

    d) 9 e) N.A.

    14. Resolver: (x - 3)(x + y) x2 + 3y

    a) (y - 3)x b) 3x c) xy

    d) y e) 3y

    15. Reducir: E =83x27

    )4x122x9)(2x3(

    a) 1/3 b) 1/6 c) 1

    d) 0 e) 1/2

    16. Reducir:

    (1 + y)(1 - y)(1 y + y2)(y2 + y + 1) + y6

    a) 0 b) 1 c) 2

    d) 3 e) 4