Primera prctica domiciliaria de geodesia I

Primera prctica domiciliaria de geodesia I

I. OBJETIVO:

Comprender de forma matemtica como se desarrollaron las formulas trigonometra esfrica Comprender que formula es base para la demostracin de otras formulas. Comprender las propiedades del triangulo esfrico. Conocer, comprender y aplicar las tcnicas de resolucin de tringulos esfricos. Aplicar las formulas en la resolucin de los tringulos esfricos.

II. BASE TEORICA

La astronoma esfrica, o Astronoma de posicin, se refiere fundamentalmente a las direcciones en las cuales los astros son vistos, sin tener en cuenta sus distancias. Es conveniente expresar esas direcciones en trminos de las posiciones sobre la superficie de una esfera, la Esfera Celeste. Esas posiciones son medidas nicamente en ngulos. De forma, el radio de la esfera, que es totalmente arbitrario, no entra en las ecuaciones.

Definiciones bsicasSi un plano pasa por el centro de una esfera, la dividir en dos hemisferios idnticos, a lo largo de un crculo mximo. Cualquier plano que corta la esfera sin pasar por su centro la intercepta en un crculo menor.

Cuando dos crculos mximos se interceptan en un punto, forman entre s un ngulo esfrico. La medida de un ngulo esfrico es igual a la medida de un ngulo plano entre las tangentes de los dos arcos que lo forman.

Tringulos efesios

Un triangulo esfrico no es cualquier figura de tres lados sobre su esfera; sus lados deben ser arcos de crculos mximos, o sea, arcos esfricos. Denotamos los ngulos de un tringulo esfrico con letras maysculas (A, B, C), y a sus lados con letras minsculas (a, b, c).

Propiedades de los tringulos esfricos

1. La suma de los ngulos de un triangulo esfrico es siempre mayor que 180, y menor que 270, y no es constante sino que depende del tringulo. De hecho, el valor de suma de los ngulos por encima de 180 es directamente proporcional al rea del triangulo.

2. La suma de los lados de un triangulo esfrico es mayor que cero y menor que 180

3. los lados mayores estn opuestos a los ngulos mayores del triangulo.

4. la suma de dos lados del triangulo es siempre mayor que el tercer lado, y la diferencia es siempre menor.

5. cada uno de los lados del triangulo es menor que 180, y esto se aplica tambin a los ngulos.

Tanto los dos como los ngulos de un triangulo esfrico se miden con unidades angulares.

III. PROCESO DESARROLLO DE EJERCICIOS

1RA PRCTICA DOMICILIARIA

1. Demostrar que en todo triangulo esfrico se cumple:

a. 180 < Ai < 540

Demostracin:

Sea ABC un triangulo esfrico cualquiera y ABC su polar

Segn el teorema anterior, se tiene:

Sumando miembro a miembro, resulta:

De donde: Por otra parte, se sabe que

Sustituyendo en (2) a+b+c por 360, el segundo miembro disminuye, y se tiene, por tanto, la desigualdad

Luego, comparando (3) y (1), se tiene:

Sea ABC un triangulo esfrico y sea sus tringulo polar.

b. | a c | < b < a + c

Demostracin:

Se ha indicado que ya que cada uno de los ngulos de un triangulo esfrico mide menos de 180 y que el permetro del triangulo es menor que 360.

Aplicando esta ltima propiedad a tringulos esfricos adecuados , podrn deducirse otras relaciones tiles entre los lados a, b, c de un triangulo esfrico ABC, en el que supondremos que a > b > c.

Por ejemplo, en el triangulo debe verificarse que:

Por lo que

Anlogamente,

Las tres desigualdades obtenidas ponen en manifiesto que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos.

Por otra parte, las mismas desigualdades establecen que:

Por lo que tambin puede afirmarse que el lado menor es mayor que la de los otros dos.Por lo tanto.

2. Demostrar que en todo triangulo esfrico se cumple:

a. 1ra formula de Bessel

Demostracin

Para demostrar este teorema, supondremos en primer lugar que los lados b y c del triangulo ABC son menores que 90, teniendo el lado a un valor cualquiera menor que 180

Construyendo el ngulo triedro OABC correspondiente al triangulo esfrico ABC, tomo OM =1, t tiro por el punto M las MN MP perpendiculares al radio OA, la primera en el plano AOB, y la segunda en el AOC: estas perpendiculares encontraran a los radios OB Y OC dentro de los ngulos AOB Y AOC, por ser estos agudos por hiptesis. El ngulo NMP ser el ngulo plano correspondiente al diedro BAOC, y por tanto es la medida de este ngulo diedro o del esfrico A.

En los tringulos OMN y OMP tendr, segn los teoremas

Los tringulos MNP y NOP nos dan .

Restando de esta segunda ecuacin la primera, y observando que, segn el teorema de Pitgoras, es ser, reemplazando al mismo tiempo las lneas MN, MP, ON y OP por sus valores,

Suprimiendo el factor comn 2, y multiplicando por cosb.cosc, resulta

en fin

b. 2da formula de Bessel

Demostracin:

Tenemos:

Combinado por suma y resta las dos primeras del grupo (1), se obtiene.

Que multiplicadas miembro a miembro, dan

Suprimiendo el factor comn y expresado todos los cosenos en funcin de senos, tendremos,

De donde y extrayendo raz cuadrada sin poner doble signo, por ser todos los elementos menores de 180, resultar y finalmente.

y haciendo permutacin circular,

c. 3ra formula de Bessel

sen a cos B = cos b sen c - cos c sen b cos A

3. Demostrar que en un triangulo esfrico se cumple:

a.

b.

Demostracin:

4. Desmostar que en un triangulo esfrico rectngulo esfrico se cumple:

a.

Demostracion:

conocidos:

De la formula se deduce

b.

Demostracin:

c.

Demostracin:

Si se conocen

De la formula , se deduce

IV. BIBLIOGRAFIA:

Felipe de Jess Landaverde. Geometra

http://books.google.com.pe/books?id=CSVgfC9zVvIC&pg=PA365&lpg=PA365&dq=triangulo+polar&source=bl&ots=Y7xcz7O7-r&sig=W3i8pJQhiZeVUKpXZHGo83MtAvQ&hl=es-419&sa=X&ei=eDHwUN7lFabX0QGwr4HwDw&ved=0CCkQ6AEwADgK#v=onepage&q=triangulo%20polar&f=false

A. Rodrguez Ars, F. Blanco, M. J. Muios. Tratado de trigonometra rectilnea y esfrica y de topografa. http://books.google.es/books?id=atfKCAR4mRQC&printsec=frontcover&dq=triangulo+esferico&hl=es&sa=X&ei=njLwUKfqMMar0AG8xYCAAw&ved=0CEEQ6wEwAw

Juan Cortzar. Tratado de trigonometra rectilnea y esfrica y de topografahttp://books.google.es/books?id=atfKCAR4mRQC&printsec=frontcover&dq=triangulo+esferico&hl=es&sa=X&ei=njLwUKfqMMar0AG8xYCAAw&ved=0CEEQ6wEwAw

ngel Balaguer Bese. Fundamentos Geomtricos Para la Topografahttp://books.google.es/books?id=NC41Rmds2mUC&pg=PA261&dq=trigonometria+plana+y+esferica&hl=es&sa=X&ei=iLfwUJzvMIuK8QTu5oD4Dw&ved=0CEcQ6wEwBTgK#v=onepage&q=trigonometria%20plana%20y%20esferica&f=false

TARQUI PANCCA, JOSUE9