Docente: MSc. Joanny Ibarbia Pardo

Ecuaciones Diferenciales

Clase no. 1

Pensamientos

“Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad. Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres son capaces de comprender.”

Richard Phillips Feynman

“Lo que oyes, lo olvidas; lo que vez, lo recuerdas; lo que haces, lo entiendes”. Proverbio popular

“Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.”

Jaume Perich

Pensamientos

PensamientosBase cognoscitiva para la resolución de ecuaciones diferenciales

Derivadas

Diferenciales

Integrales

Operaciones algebraicas

Factores comunes

Comunes denominadores

Derivación compuesta

Propiedades de los logaritmos

Pensamientos¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra..

¿Para qué se pretende resolver una ecuación?

Para encontrar el valor de la o las incógnitas tal que reemplazada(s) en dicha ecuación verifiquen la igualdad planteada.

Pensamientos¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

Una ecuación diferencial fundamentalmente está formada por una variable, una función y las derivadas de dicha función.

F (x, y, y’, y’’, y’’’...) = 0

Pensamientos¿Qué es resolver una ecuación diferencial?

En la ecuación diferencial la incógnita es la expresión analítica de una función.

y= (…………..)

Es dar respuesta a la interrogante ¿a qué función es igual y=(….)?

Si esa expresión analítica de la función se reemplaza en la ecuación diferencial original se verificará la igualdad.

Ejemplo solucióndy/ dx = 2x ó y’ = 2x

¿Es una ecuación diferencial?¿Por qué?

¿Cómo la resolvemos?

¿Qué tenemos que buscar?

¿Cómo obtengo la función y?

¿La integración y la diferenciación son operaciones inversas?

¿Cuándo integramos indefinidamente se suma una constante de integración?

¿Una ecuación diferencial depende de tantas constantes como el orden que tenga esa ecuación diferencial?

¿Cómo representar el resultado obtenido en una ecuación diferencial?

y = f(x)

dy = f’(x) dx

dy = y’ dx

dy/dx = y’

Pensamientos¿Dónde se utilizan?

¿Dónde se utilizan?(Continuación)Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.

Pensamientos

Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...

Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton:

Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …

Notaciones

...,,,......xxx

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

5 ey dxdy x

PensamientosLas ecuaciones diferenciales se clasifican por:

•Tipo

•Orden

•Linealidad

PensamientosEcuación diferencial ordinaria (EDO):

Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Ejemplo de EDO:

Una EDO puede contener más de una variable dependiente:

Clasificación por tipo:

PensamientosEcuación diferencial parcial (EDP):

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ejemplos:

PensamientosClasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Ejemplo:

Luego, es una EDO de segundo orden.

Clasificación según el orden (continuación)

PensamientosClasificación según el grado:

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

EjemploLa siguiente ecuación diferencial:

Es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

Clasificación según el grado (continuación)

PensamientosClasificación según la linealidad:

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).

Una ecuación diferencial es lineal si todos sus términos son lineales con respecto a la variable dependiente y sus derivadas, en caso contrario es no lineal.

Ecuación lineal

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

Lineal homogénea: El término independiente g(x) es cero.

Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) No es constante.

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

Interpretación geométrica de la diferencial

Geométricamente la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva si no hasta la tangente.

Métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales1-Método de ecuaciones diferenciales de variables separables.

2-Método de ecuaciones diferenciales de 1er orden por factor integrante.

3-Método de ecuaciones diferenciales exactas.

4- Método de ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

5- Método de ecuación diferencial homogénea

PensamientosEjercicios

1-Diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y grado de cada ecuación:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

PensamientosEjercicios

2- Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales

a) y’ = x2 / y

b) y’ = y / y (1+x3)

c) –x2dy = xydx

Pensamientos

MUCHAS GRACIAS