1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

“Lo que observamos no es la naturaleza en si misma sino la naturalezaexpuesta a nuestros métodos de indagación.”

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

1.1 Introducción.¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipo

de problemas permite resolver? ¿Es imprescindible aprenderlo?

El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo como también suele llamarse, se desarrollóa lo largo de la historia de una manera no muy diferente ni especial al desarrollo de otras ramasde las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyóen forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.

Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquí-medes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueronlos árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hastaque en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica comometodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, lahistoria del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, eldesarrollo y la formalización (ver Figura 1.1).

Figura 1.1: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo.

Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitospara encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa dedesarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todasestas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del sigloXIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos entérminos de límite de funciones numéricas y sucesiones. El reduccionismo es un término de

la sociología que se utiliza para de-nominar el proceso mediante el cualse quieren explicar los fenómenos deuna ciencia con los términos y pro-cedimientos de otra. Se dice que unaciencia es reducida a otra cienciamás general.

Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útilespara explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía.Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica,el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.

En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferenciale integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a travésde la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, lacomposición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc.Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación

2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional,etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad demoléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria.

Otras áreas de la matemática apare-cen en las ciencias naturales apor-tando sus estructuras en otro tipode modelos, tales como los mode-los geométricos en la estructura delADN o en la conformación de na-notubos, la teoría de grafos en lasredes neuronales, la teoría de sime-trías en la estructura de los cristales,la estadística, etc.

Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establecea través de la noción de modelo. En particular, los modelos matemáticos basados en elcálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varíanlos sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. Laposición de un automóvil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosaen la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza unareacción química varía según la temperatura.

Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción delconocimiento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar:

La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4.https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw

1.2 Modelos matemáticos.La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosa

o descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos pararepresentar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema realque es de nuestro interés.

C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosméticay belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelode desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (elniño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modeloasociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisióna qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones.

Sistema Real

Modelo 1

Modelo 2

...

Modelo n

No existe el modelo del sistema.

Figura 1.2: Esquema orientativo so-bre diferentes modelos que puedenrepresentar a un mismo sistema.

Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multi-plicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. Laelección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 1.2).

Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, porlo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de lasmúltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemassimplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a lasvariables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales(biología, química, física, etc.) se denomina modelo.

Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma.Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclararque no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben entérminos matemáticos. Cuando nos referimos amodelo matemático nos referimos entonces ala utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguajematemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientasmatemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas dela matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades,la teoría de grafos, etc.

C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza entérminos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios.El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y elconcepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos omás cantidades numéricas.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 3

A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre elmodelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuestose testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de maneraaproximada, dentro de un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales(datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado devalidez delmodelo construido y funcionar como sistema de retroalimentación. En algunos casosse requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamenteel modelo.

En la Figura 1.3 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente.

Sistema real(físico, químico, biológico, etc.)

Modelo matemático.Ecuaciones, definiciones, fórmulas.Generalizaciones, simplificaciones.

Teoría, hipótesis, marco teórico.

Resultadosexperimentales

Prediccionesteóricas

Comparación.Confrontación.

Se construye.

Se aplica sobre el modelo.

Figura 1.3: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría.

Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las cienciasexperimentales:

el sistema real, yel modelo construido.

Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucedeque hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que seestá considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modeloconstruido que no tienen su correspondiente en el sistema real.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas.Lo detallado en la Sección 1.2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo

determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre losacontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posibledeterminar el sistema en su todo completo. Se establecen leyes o fórmulas que permiteninterrelacionar las magnitudes del sistema en forma exacta. Claro está que, al ser los modelosuna simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificaciones que serealizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nunca sonaccesibles con 100% de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizan entérminos probabilísticos.

Existen otros modelos matemáticos, denominados modelos empíricos o modelos esta-dísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que se

4 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

pretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna leypropia del sistema. En estosmodelos estadísticos las predicciones se realizan al ajustar algúnmodelo determinista a los datos experimentales que sea lo más sencillo posible sin dejar de serrepresentativo de la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos.

C La palabra ajustar tiene varios significados en el lenguaje castellano usado coloquial-mente. Por eso es necesario remarcar que en el contexto de los modelos estadísticos serefiere como sinónimo de adecuar. O sea, se propone un modelo determinista que seaadecuado a los datos experimentales recolectados. No hay que confundirse con otrossignificados de la palabra ajuste, como por ejemplo: un ajuste económico (recorte en laeconomía), un ajuste de cuentas (saldando alguna deuda como en la mafia), entre otrasopciones.

A continuación presentamos tres ejemplos de conjuntos de datos recolectados en distintassituaciones. En cada caso, el conjunto de datos se presenta acompañado (en azul) por unacurva que pretende ser un ajuste posible.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(a) Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanasde gestación de 32 bebés.

1,800 1,850 1,900 1,950 2,000

0

50

100

150

200

250

Año

Población(enmillones)

(b) Población de EEUU (en millones de personas)extraído de los censos realizados en cada década(cada 10 años).

6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

Cantidad de semanas

Riesgo

hospitalario

(c) Riesgo hospitalario en 112 pacientes vs. la canti-dad de semanas de hospitalización.

1.4 Modelos lineales 5

Enfatizamos ahora lo anteriormente dicho. Losmodelos estadísticos no pretenden estableceruna relación de causa-efecto entre las magnitudes involucradas. Los modelos estadísticosno pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación. No está dentro de susposibilidades metodológicas. En ambos casos demodelado matemático es común que inclusoluego de ya haber logrado formular el sistema en estudio, la etapa de comparación experimentalpermite avanzar en el grado de comprensión del sistema manipulando algunos parámetrosnuméricos del modelo y contrastando con sistemas similares pero distintos.

1.4 Modelos linealesComo primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modelos

lineales, en ambas versiones: deterministas y estadísticos.

1.4.1 Modelos lineales deterministasTodas las conversiones de mediciones (pesos, temperaturas, longitudes, etc.) se consideran

relaciones lineales. En particular, la fórmula que relaciona la temperatura en grados Celsius[◦C] con la temperatura en grados Fahrenheit [◦F] es

[◦F] =95[◦C] + 32

Actividad 1.1 Respondan las siguientes consignas, referidas a la conversión de gradosCelsius y grados Fahrenheit.

a) Se dice que el punto de congelación del agua pura (H2O) es de 0◦C. ¿A cuántosgrados Fahrenheit equivalen? ¿Y respecto al punto de ebullición del agua pura?

b) ¿Es cierto que 5◦C es equivalente a 41◦F? ¿Es cierto que 0◦F equivalen a −18◦C?

c) En el siguiente sistema de ejes cartesianos, representen la relación lineal de laconversión entre grados Celsius y grados Fahrenheit.

0 10 20 30 40 50

40

60

80

100

120

grados Celsius

grados

Fahrenheit

Figura 1.5: Relación lineal de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit.

�

6 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Actividad 1.2 La presión del aire suministrada por el regulador a un buzo varía linealmentecon la profundidad del agua. Cuando el buzo está a 10 metros, el regulador entrega 2.02atmósferas, mientras que a 20 metros, el regulador entrega 3.04 atmósferas. Encuentren lapresión de aire entregada en la superficie (0 metros de profundidad), a los 15 metros deprofundad, y a los 40 metros de profundidad (la profundidad máxima permitida para elbuceo recreativo). �

Otros ejemplos de relaciones deterministas que quizás conozcan previamente son:• Determinación del perímetro de una circunferencia:

Perímetro = π × diámetro• Ley de Hooke, relación entre el alargamiento de un resorte sometido a una fuerza:

Y = a + bX , donde Y = tamaño del estiramiento del resorte, y X = fuerza aplicada

1.4.2 Modelos lineales estadísticosComo primer ejemplo de modelo lineal estadístico trabajaremos con un estudio realizado

con 32 bebés en el que se consignaron los datos de la cantidad de semanas de gestación almomento de nacer y el peso (en kilogramos) del bebé al momento del nacimiento. Los datosse presentan en la Tabla 1.1 y en la Figura 1.6.

Semanas degestación Peso al nacer

36 2.42038 2.94038 3.13034 2.45039 2.76035 2.44040 3.22642 3.30137 2.72940 3.41036 2.71539 3.09539 3.13039 3.24435 2.52039 2.92841 3.52342 3.44638 2.92039 2.95742 3.53038 2.58037 3.04042 3.50041 3.20039 3.32240 3.45942 3.34635 2.61941 3.17538 2.74036 2.841

Tabla 1.1: Peso al nacer (en kg) de32 bebés y la cantidad de semanasde gestación al nacer.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.6: Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas de gestación de 32 bebés.

Actividad 1.3 Discutan en el grupo y escriban un párrafo que describa los datos tal como seobservan en la Figura 1.6. Por ejemplo, es interesante intentar responder las preguntas ¿losdatos están alineados? ¿tienen una forma específica? ¿alguna característica que se puedadestacar? �

Los datos recopilados se encuentran dispersos de manera tal que la elección de algúnmodelo determinista simple representa un problema no sencillo de resolver. Sin embargo, porla disposición de los puntos en el sistema de ejes cartesianos y también por un criterio desimplicidad, se propone comenzar con modelos lineales.

El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de la mejormanera posible. Para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “lamejor manera posible”.

Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente y la ordenada al origenbuscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada al origen) para que la recta

1.4 Modelos lineales 7

p = ms + b

se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados.En este caso, hemos decidido tomar a

• s como la variable en el eje horizontal asociada a la cantidad de semanas de gestación,

• p como la variable en el eje vertical asociada el peso del bebé al nacer (en kilogramos).

Hay infinitas rectas posibles para elegir. A continuación presentamos 4 opciones de rectaspara ajustar a los datos recolectados.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(a)Modelo lineal 1: p = 0.15s − 2.76.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(b) Modelo lineal 2: p = 0.21s − 5.1.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(c)Modelo lineal 3: p = 0.15s − 2.8.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(d) Modelo lineal 4: p = 0.1s − 0.73.

Figura 1.7: Cuatro modelos lineales propuestos para ajustar los datos observados de peso y semanas de gestación de la Tabla 1.1.

Actividad 1.4 Discutan en grupo, estableciendo algún criterio consensuado, ¿cuál de los 4modelos lineales propuestos es el mejor.

�

8 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

1.4.3 Error cuadrático medio (ECM)Tomaremos el primer ejemplo de los 4 presentados anteriormente para definir una idea de

error en el ajuste.

34 36 38 40 42

2.5

3

3.5

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.8:Modelo lineal p = 0.15s − 2.76.

La recta no pasa por todos los puntos. Se observa, ver Figura 1.8, que hay puntos alejadosde la recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran porarriba de ella.

Hay diferencia entre los valores observados (valores experimentales de la Tabla 1.1) y losvalores correspondientes a la recta. Esquematizamos esas diferencias en la siguiente figura.

Figura 1.9: Representación de la diferencia vertical existente entre los valoresexperimentales y los valores de la recta.

Definición 1.4.1 — Residuo. Las diferencias verticales entre los valores observados y losvalores correspondientes a la recta se denominan residuos.

En general pasa que algunos residuos son positivos y otros residuos son negativosdependiendo si los valores observados son mayores o menos que los valores correspondientesal modelo. Si se suman todos los residuos podrían cancelarse y dar como resultado cero aunquehaya varios puntos que no estén sobre la recta. De modo que sólo sumar los residuos puede noser determinante para analizar la exactitud de un modelo lineal. En la bibliografía tradicionalpara determinar el error del ajuste se elevan al cuadrado los residuos y luego se calcula elpromedio de todos los residuos al cuadrado. El valor que se obtiene se llama error cuadráticomedio (ECM) y es el que tradicionalmente se utiliza para analizar qué tan buena es la rectaelegida. El criterio que utilizaremos para decidir si una recta es mejor que otra será estudiandolos errores cuadráticos medios asociados a cada una eligiendo la que tenga el menor ECM.

1.4 Modelos lineales 9

Definición 1.4.2 — Error cuadrático medio ECM. Se denomina error cuadrático medio(ECM) al promedio de los residuos elevados al cuadrado.

El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida:

a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0.b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente

por todos los puntos experimentales.c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima

de los puntos experimentales.

A continuación calcularemos el ECM para el modelo p = 0.15s− 2.76 asociado a los datosdel peso y las semanas de gestiación de los 32 bebés.

Semanas de gestación Peso al nacer Modelo p = 0.15s − 2.76 Residuos al cuadrado

36 2.420 0.15(36) − 2.76 = 2.64 (2.42 − 2.64)2 = 0.048438 2.940 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.94 − 2.94)2 = 038 3.130 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.92 − 3.13)2 = 0.044134 2.45 2.34 0.01239 2.76 3.09 0.10935 2.44 2.49 0.00340 3.23 3.24 0.00042 3.30 3.54 0.05737 2.73 2.79 0.00440 3.41 3.24 0.02936 2.71 2.64 0.00639 3.10 3.09 0.00039 3.13 3.09 0.00239 3.24 3.09 0.02435 2.52 2.49 0.00139 2.93 3.09 0.02641 3.52 3.39 0.01842 3.45 3.54 0.00938 2.92 2.94 0.00039 2.96 3.09 0.01842 3.53 3.54 0.00038 2.58 2.94 0.13037 3.04 2.79 0.06342 3.50 3.54 0.00241 3.20 3.39 0.03639 3.32 3.09 0.05440 3.46 3.24 0.04842 3.35 3.54 0.03835 2.62 2.49 0.01741 3.18 3.39 0.04638 2.74 2.94 0.04036 2.84 2.64 0.040

ECM: 0.0285

Tabla 1.2: Determinación del EMC para el modelo p = 0.15s − 2.76 asociado a los datos de la Tabla 1.1.

Se ha calculado que el ECM del modelo p = 0.15s − 2.76 es: 0.0285.

De la misma manera, calculamos los ECM para los otros 3 modelos propuestos en la 1.7

10 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Semanas de gestación Ecuación ECM

Modelo 1 p = 0.15s − 2.76 0.0285Modelo 2 p = 0.21s − 5.1 0.0594Modelo 3 p = 0.15s − 2.8 0.0287Modleo 4 p = 0.1s − 0.73 0.0447

Tabla 1.3: Determinación de los EMCs para cuatro modelos de la Figura 1.7.

Se observa que el menor ECM encontrado corresponde, precisamente, al modelo 1.

Actividad 1.5 Hemos calculado el ECM de cuatro modelos elegidos como ejemplo. No estámuy claro por qué elegimos esos cuatro y no otros.

a) ¿Hay otros modelos lineales que se puedan utilizar? Propongan dos distintos a losutilizados previamente.

b) ¿Es posible que los modelos propuestos en el inciso anterior tengan un ECM menoral encontrado 0.0285?

C Para poder calcular el ECM de los nuevos modelos tendríamos que utilizar algunaplanilla de cálculo o software de manera de agilizar los cálculos. No lo haremos enesta oportunidad.

Los interesados pueden obtener una copia de los datos para cargar en la planilla decálculo en el siguiente link:https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing

�

En la siguiente sección estudiaremos un método que permite determinar el modelo linealque posee elmenor ECM posible de manera que, desde este punto de vista, determinaremosel modelo lineal que mejor se ajusta a los datos experimentales.

El método de mínimos cuadrados es,desde su creación por el astrónomoy matemático francés Lagrange en elsiglo XVII, el más usado de los mé-todos estadísticos. El motivo de supopularidad es principalmente su fá-cil aplicación y que siempre permiteuna respuesta explícita.

1.4.4 Método de mínimos cuadrados.¿Cómo encontrar la recta o modelo lineal con el ECM más cercano a cero posible para

garantizar que hemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a estapregunta está en el método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar lapendiente y la ordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrollaen el curso de Análisis de datos y ahora lo utilizaremos con el software Desmos disponible enforma gratuita y libre para smartphones, iphones, tablets, notebook, netbook y computadoras.

Hemos decidido no utilizar en estaoportunidad el software Geogebraporque su versión para celular no esamigable con los entornos de tablasy determinación de ajustes de datosexperimentales.

Online: https://www.desmos.com/calculatorPara smartphones, tablets o iphones:https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419

https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8

Tutorial de Desmos: https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do

1.4 Modelos lineales 11

El símbolo∼ delPaso 3 se encuentraen la última fila del teclado.

Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados utili-zando Desmos en un smartphone.

Paso 1: Al iniciar Desmos aparece la pantalla principal.

Paso 2: Cargar los datos experimentales mediante la opción de Tabla. Cambiar losencabezados de las columnas por s (para la columna de las semanas) y p parala columna de los pesos.

Paso 3: Una vez cargados todos los datos. En la siguiente casilla de instrucción escribirla forma del modelo propuesto de la siguiente manera.

12 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Paso 4: Inmediatamente luego de escribir la fórmula, elDesmos responde con el ajustelineal correspondiente al método de mínimos cuadrados.

Se obtuvo m = 0.131093 y b = −2.04726. Analizando las unidades de lascantidades involucradas tenemos que:• El peso p de los datos tiene unidad de medida kg por lo tanto, tanto m.s

como b deben estar en kg.• Dado que s está dada en cantidad de semanas, entonces la pendiente m

tendrá como unidad kg/[cantidad de semanas].

Por lo tanto,• Pendiente m = 0.131093 kg/[cantidad de semanas]• Ordenada al origen b = −2.04726 semanas.

El modelo lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados es

p = 0.131093s − 2.04726

Paso 5: Los residuos están representados en el Desmos por la variable e1. Si queremosconocer el ECM del modelo lineal podemos escribir el comando:

Se obtuvo: ECM = 0.0260436795937.

Paso 6: Desmos también realiza la gráfica de los valores cargados y del modelo linealencontrado. Moviendo la pantalla y ajustando el zoom. Ver Figura 1.10.

Recordar que el ECM se calcula ha-ciendo el promedio (mean, en inglés)de los residuos al cuadrado.

Figura 1.10: Captura de pantalla dedatos y ajuste lineal elaborada en elPaso 6.

34 36 38 40 42

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.11:Modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726.

El modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726 es elmejor modelo lineal que se ajusta a losdatos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacer según el criterio deerror cuadrático medio.

1.4 Modelos lineales 13

Actividad 1.6 Los datos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacerde la Tabla 1.1 fueron clasificados según se tratase de madre fumadoras o madre nofumadora como se presenta a continuación.

Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora

38 3.130 No 38 2.940 Sí34 2.450 No 36 2.420 Sí40 3.226 No 39 2.760 Sí37 2.729 No 35 2.440 Sí40 3.410 No 42 3.301 Sí39 3.095 No 36 2.715 Sí39 3.244 No 39 3.130 Sí35 2.520 No 39 2.928 Sí41 3.523 No 42 3.446 Sí38 2.920 No 39 2.957 Sí42 3.530 No 38 2.580 Sí37 3.040 No 42 3.500 Sí39 3.322 No 41 3.200 Sí40 3.459 No 42 3.346 Sí35 2.619 No 41 3.175 Sí36 2.841 No 38 2.740 Sí

Tabla 1.4: Clasificación de los datos observados según si la madre es fumadora o no.

Los datos se presentan a continuación

34 36 38 40 42

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

Madres fumadorasMadres no fumadoras

a) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres fuma-doras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuenciasimilar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madresfumadoras.

b) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres nofumadoras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuenciasimilar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madresno fumadoras.

c) Grafiquen los modelos lineales encontrados y, discutiendo en el grupo, expliquen lasdiferencias y coincidencias entre los modelos encontrados.

�

14 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano?En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido;

es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan)cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido”de los grillos?

Chirridos porminuto

Temperatura(°C)

176 26.944185.6 25.833174.4 25.556140 23.056130.4 20.000115.6 18.889110.8 18.333102 16.38981.5 13.88950 12.778144.8 22.500140 22.222132.4 21.667126 20.556115.2 19.16785.2 15.556151.2 23.889148 22.91794.64 16.11174 11.111110.8 18.333104 17.22286.8 15.000

Tabla 1.5: Chirridos por minuto ytemperatura de una especie de grillosen Nebraska.

Actividad 1.7 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que sepuede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contarla cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4.Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinenuna expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridosdescripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. �

La Tabla 1.5, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado enColorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridosde una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en gradosCelsius.

Actividad 1.8 Utilicen Desmos para realizar las actividades:a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En

el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura.Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero.

b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen algráfico anterior la recta obtenida.

c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproximamejor los datos?

d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estosmodelos?

e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos?f ) ¿Cómo puedemejorarse la precisión delmodelo determinado pormínimos cuadrados?g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano?

�

Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre elproblema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sidocompletas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y elproblema biológico. Con el debido cuidado, nos permite apreciar cómo se usan las matemáticasy alguna de sus limitaciones.

La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí.Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto devista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantansólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C.

Las preguntas e) y f ) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modeladomatemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a lastemperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente,los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se hanrecolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados).En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 11°C y los 27°C. Que esapropiada para las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunquealejado un poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche deverano con amigos.

La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. Elmodelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay unaexplicación del fenómeno que permita deducir cómo influye la temperatura ambiente en lafrecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo unacorrelación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismoy la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luego

1.6 Ejercitación 15

vendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos enuna habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo?

Actividad 1.9 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres-pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperaturaambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperaturadado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzcamás chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad1.8 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de latemperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21◦C.�

1.6 EjercitaciónEjercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condicionesmencionadas:a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente −

13

b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1)d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3)e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3)f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0)g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el putno (3, 2).

�

Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas �

Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que sonperpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. �

Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0).¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. �

Temperatura (◦C) Potencia

0 380 430 3410 3210 2610 3320 1920 2720 2330 1430 1930 21

Tabla 1.6: Potencia de los antibióticos.

Ejercicio 1.5 En un experimento para observar el efecto de la temperatura de almacenamientoen la potencia de un antibiótico se almacenaron tres porciones de 1 gramo del antibiótico sealmacenaron durante tiempos iguales a cada una de las siguientes temperaturas: 0◦C, 10◦C,20◦C y 30◦C. Las lecturas de potencia observadas al final del período experimental son lasque se muestran en la Tabla 1.6.La potencia o actividad de los antibióticos se calcula comparando la inhibición de microor-

16 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

ganismos sensibles y específicos determinada por concentraciones conocidas del antibióticoanalizado y una sustancia de referencia.

a) Determinen, a partir de los datos presentados, el ajuste lineal correspondiente.b) ¿Qué unidades corresponden para la pendiente y la ordenada al origen del modelo

encontrado?c) Según el modelo lineal encontrado, ¿cuál es la potencia esperada de un gramo de

antibiótico almacenado a una temperatura de 25◦ C?d) Se observa la potencia de un gramo de antibiótico y resulta 18. ¿Cuál es la temperatura

de almacenamiento que se estima según el modelo lineal encontrado?�

Figura 1.12: Amplitud entre párpados.

ASO (cm2) Amplitud (cm)

0.4 1.020.48 0.880.57 1.520.7 1.50.75 1.80.78 1.630.84 20.99 2.481.12 3.051.15 3.181.25 3.681.25 3.821.3 4.271.34 3.121.4 3.751.43 4.11.49 3.771.58 4.211.6 4.92

Tabla 1.7: ASO vs. amplitud de lospárpados.

Ejercicio 1.6 Los problemas visuales y muscoesqueléticos relacionados con el uso demonitores se han vuelto bastantes recientes. Se estudia la relación entre el área de superficiedel ojo (ASO, en cm2) y la amplitud entre los párpados (en cm) de 19 individuos y sepresentan los resultados en la Tabla 1.7.

a) Determinen el ajuste lineal de mínimos cuadrados correspondiente.b) ¿Qué unidades corresponden a la pendiente y a la ordenada al origen del modelo

encontrado?c) Según el modelo lineal encontrado, ¿qué amplitud entre párpados se espera para un

individuo cuya superficie ocular es de 1 cm2?�

Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P dependelinealmente de la tempertura T . Luego, podemos escribir la ecuación

P = kT + b,

para algunas constantes k y b.a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la

presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mmde Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando susunidades).

b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentrenla temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior.

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