1º bachillerato ccss 2010

Colegio Internacional Pinosierra

Departamento de Matemáticas

R-MATCNSI 1

CÁLCULO NUMÉRICO 1º Potencias y radicales

1.- Halla el valor de las siguientes expresiones:

324

222

43153

23

5

21

3

21

2

1

3

814

2

3)

104

5

3

5

5

1

2

32

4

111

3

1)

2

3

3

4

5

3

5

3

5

3)

c

b

a

2.-Simplifica y reduce las siguientes expresiones a potencias:

a)

3

x

1x b)

31

10

21

3223

32

32

c) 8

8

6

3

4

8 7

5 46 5

4 3

3 2

aa

a

aa

a

.

a

a.a

aa

a

d)y

xx3

e) cxba

cbax

31

2

1631

1

f) 24363 20423

5 22323232

yxxyxxxyx

xxyxyyx g)

2

4 32

5 34 5

b

a

cb

a

c

ba

h)

a

aa

aa

a

93

8

6

4

:

i)

23

5 34

2

3 2

2:

cb

a

cb

a j) 3 554 233 bacbaabc

3.- Efectúa las siguientes sumas y restas y racionaliza en el caso que sea necesario:

a)2

2

2

22 ab

abb

a

a

b

b

a b)

3

342

2

426 4

d

cb

c

d

db

ca

a

db

cd

a

a

cd

c) 125,0

.

9

222

1818,0

3,0

43

22

2

2

ca

cc

ac

a

b

b

a

b

ab d) 6 364 2222 )(.)( nmcbnmnama

4.- Realizar los siguientes ejercicios como radicales

a) 4 32

33 23

a

baab

babab b)

6 32

4 3223

yxxy

yxyx c)

232-3 42

4 223

)(a

a b

bba

aba

d) 6 22

4 323 4

yxxy

yxxy e)

4 2223

33 22

)(

ab b

baba

baa f)

332

3 2

)(

yx

yxxy



R-MATCNSI 2

5.- Opera y simplifica

a)5003

1254802203 b) 2222 )2.()2()2.()2( yxyxyxyx

c) 32

3

32

1

31

32 d)

aaa

a

a

a

1

1

1 e)

40

12528020

f) 6

56415024 g)

3

2

33

5

232

3 h)

31

31

1

31

31

1

2º Logaritmos 1.- Aplicando la definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:

a) log2 64 = x g) log343 7 = x n) x3

51 625log

b) log3 81 = x h) 35

125

1log =x ñ) log2/3 81/16 = x

c) log101 10201 = x i) 9

3log 27 =x o) log5/3 27/125 = x

d) log16 0,5 = x j) log125 1/ 5 = x p) log8 4 2 = x

e) log10 0,00001 = x l) 128

1log

2=x q) x

343

1log

7

f) x5

31 81log m) x3

16 2log r) x32

1log

2

2.- Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:a) loga 4=2 b) loga 9=2

c) loga 0,125=3 d) loga 125 = 3/2

e) loga 1/3 = -1/2 f) loga 0,001=-3

3.- Halla el resultado de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los

logaritmos y su definición: a) log5 625 – log3 243 + log4 256 c) log2 4 + log3 81 – log6 216 + log4 64 b) log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 d) log3 1/9 – log5 0,2 + log6 1/36 – log2 0,5 4.- Considerando que log2 5 = 2,322 y que log2 6 = 2,585, calcule los valores de los siguientes logaritmos sin usar calculadora:

a) log 2 10 ; b) log 2 40 ; c) log 2(5/4) ; d) log 2 30 ; e) log 2 125 ; f) log 2 (36/5) 5.- Utilizando las propiedades, exprese con un solo logaritmo: a) log 6 + log 8 – log 3 ; b) log 9 + log 28 – ( log 7 – log 9 ) c) 3(1 – log a) ;

d) ln (et ) – ln (e/t) ; e) 2log 3 + log 5 ; f) -1+ 2

1log 5

Considerando que log6 2 = 0,387 y que log6 3 = 0,613, calcule los valores de los siguientes logaritmos sin usar calculadora:



R-MATCNSI 3

a) log 6 72 ; b) log 6 0,5 ; c) log6 2 24 ; d) log63

3

23

32 e)log6

5 122

1

3º Binomio de Newton Desarrolla

1. 7

ba

2. 5

ba

3. 4

2nm

4. 8

1a

5. 5

2x

6. 5

2x

7. 4

4

1

3

1ba

8. 62 cba

9. 7

ba

10.

5

3

1

3

1

yx

11. 5

32 22a

12. 722 2xa

13. 55

2

1

2

1aa

14. Halla el noveno término del desarrollo de 12

yx

15. Halla el quinto término del desarrollo de 15

21

a

16. Halla el sexto término del desarrollo de 8

yx

17. Halla el término central del desarrollo de 8

yx

18. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del desarrollo de 14

2

1a

19. Halla el término medio del desarrollo de

6

2

1

ba

20. Halla los dos términos medios del desarrollo de 7

1,0x

21. Halla el término que ocupa el lugar 505 en el desarrollo de 50623 cba

22. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de a en el desarrollo de 10

2 a

23. Hallar el término medio en el desarrollo de 6

33 yx

24. Justifica del modo más rápido la igualdad: 164

4

3

4

2

4

1

4

0

4

25. Encuentra una regla que generalice el cálculo anterior y que permita obtener el valor

de n

nnn...

10



R-MATCNSI 4

CÁLCULO ALGEBRÁICO

1º Polinomios

1º FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM Conceptos

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.

Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen mas raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores mas simples.

Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Procedimientos 1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces

Ruffinipor dos quemayor grado de es Si

grado 2º de ecuaciones lasen como procede se dos grado de es Si

c) Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....

2) Calcular el MCM

a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior. b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios

elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

Ejemplo: Factorizar 2x5 – 6x

3 + 4x

2 ;

Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos 2x

2(x

3 – 3x + 2)

El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación

Ejemplo: x3 – 3x + 2 1 0 -3 2 x

3 – 3x + 2 = (x – 1)(x

2 +x – 2)

Raíz = 1 1 1 -2

1 1 -2 0

x2 +x – 2 = 0; x =

2

31

2

91

2

)2.(1.411; de donde x = 1; x = -2

Por lo tanto x2 +x – 2 se factoriza del siguiente modo: x

2 +x – 2 = (x –1)(x + 2)

La factorización final de 2x5 – 6x

3 + 4x

2 será:

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x

3 – 3x + 2) = 2x

2(x – 1)(x

2 +x – 2) = 2x

2(x – 1)(x –1)(x + 2)

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x – 1)

2(x + 2)

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x

5 – 4x

3; 2x

5 – 6x

3 + 4x

2; x

2 + 4x +4.

x5 – 4x

3 = x

3(x – 2)(x + 2)

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x – 1)

2(x + 2)

x2 + 4x +4 = (x + 2)

2

MCM = 2x3(x + 2)

2(x – 1)

2(x + 1)(x – 2)



R-MATCNSI 5

2º IGUALDADES NOTABLES

a) (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ej: (3x3 – 5xy) (3x3 + 5xy) = (9x6 – 25x2y2)

b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ej: (5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2

c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ej: (6y2 – 2y)2 = 36y4 – 24y3 + 4y2 d) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ej: (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 e) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Ej: (x2 – 2x)3 = x6 – 6x5 + 12x4 – 8x3

Ejercicios 1.- Aplica las fórmulas de las igualdades notables a las siguientes operaciones: a) (2x – 4)(2x + 4) b) (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) c) (3y + 2x)2

d) (2x3 – 5y)2 e) (5 – 3x)3 f) (2y – 3)3

2.- Factorizar los siguientes trinomios en cuadrados perfectos 1. a2 − 2ab + b2 2. x2 + 4x + 4 3. b2 − 2b + 1 4. m2 − 2mn + n2 5. x2 − 10x + 25 6. a2 − 2a + 1 7. 1/25 + (1/3)x + (25/36)x2 8. 1 − (2/3)c + c2 9. (9/4)c2 − 6x + 1 10. 4a2 − 12ab + 9b2

11. a8 − 18a4 + 81 12. x6 − 2x3y3 + y6 13. m6/16− 2m3n2 + 16n4 14. 9c6 − 30c3 + 25 15. 1 − 2(x − y) + (x − y)2 16. 4 − 4(1 − x) + (1 − x)2 17. x2 + 2x(b + c) + (b + c)2 18. (x + y)2 − 2(x + y)(y + z) + (y + z)2 19. (a + b)2 + 2(a + b)(a − c) + (a − c)2 20. (a + b + c)2 + 2(a + b + c)(b + c − a) + (b + c − a)2

3.- Utiliza las fórmulas de las igualdades notables para factorizar los siguientes

polinomios, cuando sea posible: a) (9 – x2) b) (4x2 – 9) c) (x2 – 6x + 9) d) (x2 + 2x + 1) e) (2x2 – 20x +25) f) (x3 + 6x2 + 12x + 8) g) (x3 – 12x2 + 48x – 64) h) (x 4- 5x3 - 2x2 + 24x) i) (x4 – 4x3 – x2 +16x – 12) j) (2x3 – x2 – 2x + 1)

k) 14 2x

l) 25102 xx

m) 25102 xx

n) 92x

o) 4

12 xx

p) 49 2x

q) 242025 xx r) a2(x – y) + 2ab(y – x) – b2(y – x) s) (x – 5)2 – 22



R-MATCNSI 6

3º Fracciones algebraicas 1.- Opera y simplifica:

a) 2

1 +

x

1 : x -

x

4 b)

x

4-x .

)2+(x

2+x 2

2 c)

2+x

1 :

x

2 .

2

x2

d) x . 1+x

1 - x :

1+x

1 +

x

2 e) x2 .

2-x

1+x -

x

2+x +

x

3 2

2

2.- Haz las operaciones indicadas y simplifica:

a) x

y -

y

x .

y+x

y-x -

y-x

y+x b)

y+x

2xy .

xy

y+x +

y

1 -

x

1

c) x

1 - x .

1+x

x -

1-x

1+x

3.- Simplifica:

a)

2-x

8+8x-x2 :

2/8 + 3/4

4-2x

x+x3

x-x3

x-9

x+6x+9

2

32

32

2

2

·

b)4x-x

2x-x +

4-x

2-x

4+5x-x

5+6x+x2

3

22

2

·

c)

0x+x-x

x :

x2-x+x

2x+2x

1x

x-x

1x

1xx

23

2

2

2

5202

5

5250

014

44·

2

23

2 d)

10+7x-x4-x

1+x :

2-x+x

2+2x

1-x

10-8x-x2

1+2x+x

1-x

232

2

2

2

·

e)

2x

12+12x+x3_

6-3x+x3

2x-x2

4+4x+x

2-x+x :

2+3x-x

3-2x+x .

9-x

6-11x+x6-x

2

2

2

2

2

2

2

2

23

f)1 -

3-x

3+x3

3+x -

x

3+x

_

3x

x-33+x

3-x + 1

g)x+x

6+5x-x :

9x+x6+x

9 - x_

x+x

6x-x+x2

2

23

2

2

23

h)

y-xy

y-x

y

x + 1

2

22 i)

b-a

b+a - 1

b-a

b+a + 1

j))1-(a

1+2a-a_

a

1+a :

1-a

1+a -

1+a

1-a

1-a

1+a -

1+a

1-a

2

222

2

2

2

k) 42

1

2

1:

2

1122 xxxx

l)

yy

yxx

y

y

x

11 m) n)

xx

x

x

x

x

x 4

121

1

42

1

2

1:

2

1122 xxxx



R-MATCNSI 7

2º Ecuaciones

1º Ecuaciones bicuadradas y de grado superior Resuelve las siguientes ecuaciones

1) 01x2x2

2) 02x12x2

3) 6

1232 11 x

xx

4) 04

1

4

5 24 xx

5) 01241553 2345 xxxxx

6) (x-1)3-x3=0 7) x5+x4-8x3+14x2-8x=0 8) x3-x2-17x-15=0

9) 010029 24 xx

10) 24 40169 xx

11) 2

2 22534

xx

12) 0)4( 22x

13) 09

28

4

322

2

x

x

14) 072

16

9

2 2

2

x

x

15) 33

3

23

22 xxx

xx

x

16) 324

2

4xx

xx

17) 3

22

2

2

4

4 22

24 xx

xx

18) 2

532

42

222 xx

xxxx

xx

19) 3

322

2

2

4

4

2

224

x

xxx

20) 2221212122

xxxx

21) 04454 222 xx

22) 132

13

23

21

14

32

1

xx

xxx

23) 3

13

2

2

6

2 22

xxx

24) 3 2 4 4 0 x x x

25) 4 3 23 3 11 6 0 x x x x

26) 4 3 24 3

110 24

x x xx

x

27) 3 22 6 12

2

x x xx

x

28) 2 60( 5 13) 77x x x

x

29) x6 – 9x3 + 8 = 0

30) 4

11

44

9

3

22

4

3

11

62

22 xxxx

x

31) 3

41

xx

32) 024048 xx

33) 11012

1

xx

34) 05

1

3

4

3

191

3

20xx

x

35) 21619 36 xx

36) )2-(x = 2

3)-(x x + 2)-(x 3)-(x

2

37) 0 = 2

x+x - 1)+(x x

38) 4 - )2-(x = 2

2)+(x 2)-(x -

3

2+x - x 2)-(x

2

39) x6+28x3+27=0 40) x6+7x3-8=0 41) x6-26x3-27=0



R-MATCNSI 8

2º Ecuaciones irracionales Procedimiento:

Si la ecuación tiene sólo un término con raíz cuadrada: Ejemplo: 3

1259

xx ;

Quitando denominadores 121593 xx

1) Se deja la raíz sola a un lado del signo =. 16293 xx

2) Se elevan los dos términos de la igualdad al cuadrado. 22

16293 xx

9(9 + x) = 4x2 + 216 + 64x 3) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 81 + 9x = 4x2 + 216 + 64x

4x2 + 55x –135 = 0; x = 8

21605555 2

(terminar)

Si la ecuación tiene dos términos con raíz cuadrada: Ejemplo 6412 xx

1) Se deja una raíz a cada lado del signo =. 4612 xx

2) Se elevan los dos términos al cuadrado. 22

4612 xx

412)4(3612 xxx

3) Se deja la raíz que queda sola un lado de la igualdad.

2x – 1 – 36 – (x + 4) = -12 4x ; x – 41 = -12 4x

4) Se vuelve a elevar al cuadrado. 22

41241 xx ; )4(1448216812 xxx

5) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 05761448216812 xxx ; x2 + 226x + 1105 = 0 (resolver) Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

1. 56x1x

2. 3

363

xxx

3. 1411

11

11

11 2

22

22

22

22

xxx

xx

xx

xx

4. 4

3

55

1

55

1

xxxx

5. x

xx

212

1 1

6. 11233 xx

7. 496263 xxx

8. 134 xx

9. 4

144

x

xxx

10. 28164 432 xxx

11. 16

122

5

12 xx

12. 274211 xxx

13. 2525 x

14. 57142 xxx

15. 213

13

x

x

16. xaaxa 21221 22

17.

18. 2

1

232

132 9

3

13 xxxx

19. 2

5

2

6

6

2

x

x

x

x

20.

4

3

55

1

55

1

xxxx

xxx

212

1 1



R-MATCNSI 9

3º Ecuaciones racionales Procedimiento:

1) Descomponer los polinomios de los denominadores como producto de factores primos (factorizar los denominadores).

1

1

1

2

1 2xx

x

x

x;

)1)(1(

1

1

2

1 xxx

x

x

x

2) Calcular el MCM de los denominadores. MCM de (x – 1); (x + 1); (x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x + 1)

3) Multiplicar los dos lados de la ecuación por el MCM simplificando en cada término.

(x – 1)(x + 1)1

2

1 x

x

x

x = (x – 1)(x + 1)

)1)(1(

1

xx

)1)(1(

)1)(1(

1

)1)(1)(2(

1

)1)(1(

xx

xx

x

xxx

x

xxx; simplificando x(x +1) – (x – 2)(x – 1) = 1

4) Operar y proceder como en una ecuación normal hasta obtener el valor o valores de x.

operando; x2 + x – x2 + x +2x –2 = 1; 4x = 3; x = 4

3

Ejercicios: Resolver :

1. 212

1

3

21

xx

2. 274

3

4

4122

xx

x

3.2

134

1

7

1

12

x

x

x

x

x

x

4.

xx

x

x

x

21

2

11

11

5. 99

12

5

815

xx

6.246

10

42

1

63

12

2

x

x

x

x

x

x

7. 19

74

3

7

3

4 x

x

xx

8.

3

1

13

1

x

x

x

9. 09

28

4

322

2

x

x

10. 12

1

2

1

11

x

x

11. 246

16

1x

xx

x

12. 0 = 1-x

2 -

1-x

2 +

1+x

x-

2

2

13. 0 = 1+x

2 -

1-x

2 -

1+2x-x

3+x2

14. 0 = 2+x

5+x -

2+x

1+x +

1+x

2+x

15. 6-x-x

x5+3x =

2+x

x -

3-x

x+12

2

16. 1-x

1+x =

1+x

3 +

1-x

x2

17. 2 - 1+x

2+x =

1+2x+x

x2

2

18. 4-x

2+7x =

2+x

x +

2-x

1+x2

19. 2

1

12

1

11

x

xx

x

20. 11

11

11

2

x

x

xx

x

21. x

1- =

1+x

1-x - 1

1 - x

4

3-x -

2

3-x



R-MATCNSI 10

4º Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1) 2log x – log (x –16) = 2 2) log x = 1 + log (22 – x) 3) log (3x – 1) – log (2x + 3) = 1 – log

25 4) log 8 + (x2 – 5x + 7)log 3 = log 24

5) log (5x + 4) – log 2 = 2

1log (x + 4)

6) (x2 – x – 3)log 4 = 3log 7) (x2 – 4x + 7) log 5 + log 16 = 4

8) lg(22-x)2+x+lg1250=4

9) 2)5lg(

)11(lg2lg 2

x

x

10) 2lg x =3 + lg (x/10)

11) 3lgx -lg32 =lg(x/2)

12) 2

7

log

125loglog

5

55

xx

13) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2

14) 9

323

32

25 lgxlg

xlg

xlg

15) 513213 lgxlgxlg

16) log6 (2x - 3) = log6 12 - log6 3

17) log2 (9x-1 + 7) = 2 + log2 (3x-1 + 1)

18) xx loglog

19) xlog5

1+ 1

log1

2

x

20) 32log)3log(5 x

21) 1log53log xx

22) log (x - 5)- 1/2 log (3x - 20) = log 2

23) 10log xx

24) log (x3)- 1/2log x = 5

25) x 1log x =100

26) 1;01lg1lg 22 xxxxx

27) 2

3loglog

11 xx

28) 1)2(loglog 1212 xx

29) 4log)1log(1log xxx

30) 2+log2x=log2(x+6)

31) 2)2(log

log2

3

3

x

x

32) logx 100 – Logx 25 =2

33) 255

77 Logx

Log

34) Log 2 + 4xLog =Log 132 x

35) 2)3(

2

xLog

LogLogx

2.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1) xx 212.12

2) 1255.12425xx

3) xx 113 33

4) 252x-1= 35

1

x

5) 22x+2 = 0,52x-1

6) 23x-1=328

1

x

7) 52x-2= 3125

1

x

8) 162x-1=322

1

x

9) x 2

3

x

10010

10

10) 1x 5x21x x5 aa

11) aaaa xxx

12) 2.3x-1+3x=5 13) 2.9x+1-6=4.3x+1

14) 43

13

1x

x

15) 72x+3 –8.7x+1 +1=0

16) 4x+1 +2x+3 –320 =0 17) 52x- 6. 5x+1+125=0 18) 2x-1+2x-2+2x-3+2x-4=960 19) 4e -3x -5e -x+ex =0 20) 5x -97·5x/2 +64 =0 21) 32(x+1) -28·3x +3 =0

22) 250055 212 xx

23) 0)(5 12 xxx eeee

24) 4x-3.2x+1+8=0 25) 81+x+23x-1=17/16 26) 71+2x-50.7x+7=0

27) 9x-2.3x+2+81=0

28) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984



R-MATCNSI 11

3º Inecuaciones

Procedimientos Grado 1: Se trabaja como en una ecuación normal, salvo que si tenemos un número negativo

multiplicando a la variable y lo pasamos al otro lado de la desigualdad dividiendo (o viceversa), la desigualdad cambia de sentido. Se da como solución a la inecuación el

intervalo de la recta real (- , a) o (a, ), según corresponda.

Ejemplo: 6

35210

4

15

3

2 xx

xx; se calcula el MCM para quitar los denominadores

MCM = 12; 4(2x) – 15(1 - x) < 120x + 24 + 2(5x – 3); 8x – 15 + 15x < 120x + 24 +10x – 6 ;

23x – 15 < 130x + 18; - 107x < 33; x > 107

33; Solución: ,

107

33

Grado 2 o mayor que 2: Se buscan las raíces de la ecuación y se hace una tabla de signos para

la ecuación. Se dan como solución los intervalos que correspondan al signo de la inecuación.

Ejemplo: x4 – 2x2 + x > 0, (se nos piden los valores de x tales que al sustituirlos en el polinomio nos den valores mayores de 0 , es decir, valores positivos).

Calculamos las raíces de esta ecuación, para ello sacamos x factor común y al polinomio resultante le hacemos Ruffini por ser un polinomio de grado 3. x(x3 – 2x +1) = x(x – 1)2(x + 2), de donde se deduce que las raíces que hemos obtenido son x = 0; x = 1; x = -2.

Tabla de signos del polinomio: + - + + -2 0 1 Los signos de la tabla se han obtenido sustituyendo la x por –3, -1, 0,5 y 2 en el polinomio.

Solución: (- , -2) U (0, 1) U (1, ) Inecuaciones racionales: Se procede como en el apartado anterior haciendo una tabla de

signos con los valores que anulan el numerador y el denominador.

Ejemplo: 02 x

3 -2x , Haciendo una tabla de signos tenemos:

2x – 3 = 0 x = 3/2 + + Solución = (- , -2) 3/2. )

x + 2 = 0 x = -2 -2 3/2 Ejercicios: 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 21

65

10

7

14

15

20

113 xxxx

2) 16

26

4

9

6

3

2

5 xxxx

3) 20

1311

15

23

10

3

5

34 xxxx

4) 0432 xx 5) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2

6) 04 53 xx

7) 22)5( xxx

8) 2

1

4

11

3

1232

xxxx

9) 01212 xxxx

10) 011 22 xx

11) 0132 xxxx

12) 021123

xxx

13) 06116 23 xxx



R-MATCNSI 12

2.- Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

1. 212

1

3

21

xx

2. 06

232

2

xx

xx

3. 01

92

2

xx

x

4. 054

312 xx

xxx

5. 2

3

2

1

4

42

2

x

x

xx

x

6. 274

3

4

4122

xx

x

7. 2

134

1

7

1

12

x

x

x

x

x

x

8.

xx

x

x

x

21

2

11

11

9. 99

12

5

815

xx

10. 246

10

42

1

63

12

2

x

x

x

x

x

x

11. 2

2

9

)62(

x

xx 0

12. 2

2

9

)63(

x

xx 0

13. 0)3)(6)(1(

)7)(1(

xxx

xx

14. 1

1

1

1

x

x

x

x

15. 04

1582

2

x

xx

16. 2

1

5

12

x

x

17. 2

1

5

12

x

x023 xx

18. 016 2xx

19. 05312 xx

20.

21.

22.

4º Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss 1. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas.

El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. (1 libra = 0,615 Euros; 1 dólar = 0,896 Euros)

2. La suma de las edades de tres personas es 73 años, en el momento actual. Dentro de diez años, la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la más joven. Hace doce años, la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Halla las edades de las tres personas.

3. Una tienda tiene tres tipos de conservas cárnicas A,B y C . Un cliente compra el primer mes 30 unidades de tipo A, 20 de B y 10 de C , teniendo que abonar 840 € Al mes siguiente compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 690€ Sabiendo que el precio medio de los tres productos es 15€ halla el precio de cada una de las unidades

023 xx

016 2xx

05312 xx



R-MATCNSI 13

4. Sea un triángulo de vértices A(1, a), B(5, b) y C(3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otras dos, y que b y c son números naturales consecutivos, siendo c > b.

5. En un instituto, donde se imparten primero y segundo ciclo de enseñanza obligatoria y bachillerato hay en total 20 grupos de alumnos . Si se suman los grupos de bachillerato y de segundo ciclo de enseñanza obligatoria se tiene el triple del número de grupos del primer ciclo. Si hubiera un grupo más del segundo ciclo , su número igualaría al de bachillerato. ¿Cuántos grupos hay de cada uno?

6. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro . Se sabe que en total hay 36 euros. El número de monedas de A excede en dos a la suma de las monedas de las otras cajas . Si traslada una moneda de la caja B a al caja A , esta tendrá el doble de monedas que B averigua cuantas monedas hay en cada caja

7. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. Resolver el problema. Sol, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión

8. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Resolver el sistema. Sol 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

9. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas: Sol se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes.

10.- Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. Sol: 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera

11.-Una persona disponía de 60.000 € y los repartió en tres fondos de inversión diferentes (A, B y C), obteniendo así 4.500€ de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirtió el doble que en los fondos B y C juntos; sabemos también que el rendimiento de la inversión realizada en los fondos A, B y C fue del 5%, 10% y 20% respectivamente. Plantear y resolver un sistema para determinar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos.

12.- Parte de los 63 huéspedes de un pequeño hotel se encuentra en el comedor; en el mismo momento otra parte se encuentra en la sala de estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan del comedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora, ha quedado el mismo número de personas en cada una de las tres estancias. Plantear y resolver un sistema para determinar cuántas personas se encontraban inicialmente en cada habitación.



R-MATCNSI 14

13.- Una tienda de música ha obtenido unos ingresos de 12768 C= al vender 600 discos compactos de tres grupos musicales. Los discos se vendían a 24 C=; sin embargo, los del segundo y tercer grupo, al ser menos recientes, se vendieron con descuentos del 30% y del 40% respectivamente. Sabemos que el número de discos vendidos con descuento fue la mitad que el número de discos que se vendieron a su precio original. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para determinar cuantos discos de cada grupo se vendieron.

14.- Una empresa ha vendido 42000 artículos de papelería, bolígrafos, gomas y rotuladores, al precio de 1.2, 1.5 y 2 € respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a 64000 €. Se sabe, además, que el número de bolígrafos que se ha vendido es el 40% del número total del resto de artículos vendidos.

a) Plantear un sistema para determinar el número de cada tipo de artículos vendidos.

b) Resolverlo

15.- Una librería ha vendido 3900 libros de matemáticas, correspondientes a tres editoriales diferentes, A, B, y C. Sabemos que de la editorial B se han vendido el doble de ejemplares que de la editorial A. Sabemos, también, que la razón entre el número de ejemplares vendidos de las editoriales B y C es igual a 2/3 Plantear un sistema para determinar el número de libros vendidos de cada editorial. Resolverlo

16.-Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3 . El importe total de la edición es de 18750 €. Los costes, en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2 y que, si al triple del número de ejemplares de L1 se le suma el número de ejemplares de L3 , se obtiene el doble de ejemplares de L2.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos libros de cada tipo se han editado.

b) Resuelve dicho sistema

23.- Un autobús urbano transporta en hora punta 90 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 1 €; estudiantes que tienen un 25% de descuento al presentar el carnet; jubilados de la localidad que únicamente pagan el 50% del precio del billete. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 64 €. Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de jubilados era el mismo que el número del resto de viajeros.

24.- Una empresa tenía, en el año 2001, cierto número de empleados, unos hombres y otros mujeres. En el año 2002 aumentaron en 5 los trabajadores de la empresa y en 6 el número de trabajadoras, quedando así doble número de mujeres que de hombres. En el año 2003 aumentaron en 2 las trabajadoras y se redujo en 4 el número de trabajadores, resultando quedar el triple de mujeres que de hombres. Plantea un sistema para determinar el número de hombres y mujeres que trabajan en dicha empresa en el año 2003. Resuélvelo si es posible.

25.-Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 50.49 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 41.47 €. Calcula el precio de una unidad A, otra de B y otra de C.



R-MATCNSI 15

26.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado

27.- Un estado compra 540 000 barriles de petróleo a tres suministradores diferentes que lo venden a 27, 28 y 31 $ el barril, respectivamente. La factura total asciende a 16 millones de $. Si del primer suministrador recibe el 30% del total del petróleo comprado, ¿cuál es la cantidad comprada a cada suministrador?.

Resolver

a)

6323

432

22

zyx

zyx

zyx

b)

5475

123

2352

zyx

zyx

zyx

c)

7547

42

1323

zyx

zyx

zyx

d)

343

4222

22

zyx

zyx

zyx

e)

2774

432

132

zyx

zyx

zyx

f)

365

22

143

zyx

zyx

zyx

g)

753

432

242

zyx

zyx

zyx

h)

4233

2342

2

zyx

zyx

zyx

i)

353

4222

333

zyx

zyx

zyx

j)

9532

1023

632

zyx

zyx

zyx

k)

2774

432

132

zyx

zyx

zyx

l)

1523

22

143

zyx

zyx

zyx



R-MATCNSI 16

5º PROGRAMACIÓN LINEAL PROCEDIMIENTO:

1º) Se plantean las inecuaciones (restricciones) y la función Z objeto de la maximización o

minimización.

2º) Se dibujan las rectas dadas en las restricciones haciendo tablas de valores y se ralla el recinto

determinado por las inecuaciones.

3º) Se calculan los vértices de este recinto como puntos de corte de dos rectas, resolviendo el

sistema de ecuaciones que forman las rectas.

4º) Se sustituyen las coordenadas de los vértices en la función Z

5º) Se da la solución al problema observando en qué vértice se maximiza o minimiza la función Z

según se pida

Se recuerda que:

a) En recintos acotados (cerrados) siempre hay solución para máximo y mínimo.

b) En recintos no acotados superiormente sólo hay solución para mínimo

c) En recintos no acotados inferiormente sólo hay solución para máximo

EJERCICIOS

1.- a) En un ejercicio de programación lineal con dos variables, ¿cómo ha de ser necesariamente la región

factible para que se alcance, necesariamente, en algún punto determinado de la misma, el valor óptimo de

la función objetivo?.

b) En la región determinada por: x + y 2; x y; x 0 e y 0, hallar las coordenadas de los

puntos en los que la función f(x, y) = 3x + 4y alcanza su valor mínimo y máximo. (Jun. 1996,

3 ptos)

2.- Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes A y B, para sufragarse los

gastos de un viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco

participaciones de lotería; cada lote del tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos

participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido los alumnos obtienen un beneficio de

1225 ptas y por cada lote de tipo B de 1250 ptas.

Por razones de almacenamiento pueden disponer a lo sumo de 400 cajas de mantecados . Los

alumnos sólo cuentas con 1200 participaciones de lotería y desean maximizar sus beneficios.

a) Determínese la función objetivo y exprésense mediante inecuaciones las restricciones del

problema.

b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los alumnos para que el beneficio

obtenido sea máximo?. Calcúlese dicho beneficio. (Jun. 1999, 3 ptos)

3.- En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda

se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre

debe haber mas bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 2000

bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en el inventario al menos 50 bidones. El

gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 ptas y el de uno de gasolina de 30. Se

desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje

sea mínimo.

a) Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.

b) Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la misma.

c) Resuélvase el problema. (Jun. 2001, 3 ptos)



R-MATCNSI 17

4.- Considerar el siguiente problema de programación lineal:

Minimizar z = -3x – 2y

Sujeto a –2x + y 2

x – 2y 2

x 0; y 0

a) Mediante la resolución gráfica del problema discutir si existen soluciones factibles y si

existe solución óptima.

b) Si se añade la restricción x + y 10, discutir si existe solución óptima y en caso afirmativo

calcularla. (3 ptos)

5.- Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma

empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B, y C. En una semana el grupo G1 es

capaz de asfaltar 3 unidades en la zona A, 2 en la zona B y 2 en la C. El grupo G2 es capaz de

asfaltar semanalmente 2 unidades en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la C. El coste semanal se

estima en 3300 € para G1 y 3500€ para G2. Se necesita asfaltar como mínimo 6 unidades en

la zona A, 12 en la zona B, y 10 en la zona C. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo

para finalizar el proyecto con el mínimo coste?. (3 ptos) (Junio 2002)

6.- Determinar los valores máximo y mínimo de la función Z = 3x + 4y sujeta a las siguientes

restricciones:

3x + y 3

x + y 5

x -2 (3 ptos) (Sep 2002)

y 10

y 0

7.-Un centro dedicado a la enseñanza personalizada de idiomas tiene dos cursos, uno básico y otro

avanzado, para los que dedica distintos recursos. Esta planificación hace que pueda atender

entre 20 y 65 estudiantes del curso básico y entre 20 y 40 del curso avanzado. El número

máximo de estudiantes que puede atender en total es de 100.

Los beneficios que obtiene por cada estudiante del curso básico es de 145 € y de 150 € para

cada estudiante del curso avanzado. Halla el número de estudiantes que debe haber en cada

curso para obtener el máximo beneficio. (Muestra 2003, 3 ptos)

8.- Determinar los valores máximo y mínimo de la función z = 5x + 3y, sujeta a las siguientes

restricciones:

5

50

6

43

x

y

yx

yx

(3 ptos) (Sep 2003)

9.- Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de

baño, 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la

oferta de dos tipos de lotes: el lote A que produce un beneficio de 8€ formado por un bañador,

un gorro y unas gafas y el lote B que produce un beneficio de 10€ formado por 2 bañadores y

unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1500€ a deducir de

los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a

cuánto asciende este. (Sept. 2004) (3 ptos)



R-MATCNSI 18

10.- Una compañía naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El

barco A debe hacer tantos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar 12 viajes.

Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más de 20. La naviera obtiene un

beneficio de 18000 € por cada viaje del barco A y 12000 € por cada viaje de B. Se desea que

las ganancias sean máximas.

a) Expresar la función objetivo

b) Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente

el recinto definido.

c) Hallar el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo beneficio.

Calcular dicho beneficio máximo. (Modelo 2005)

11.- Una empresa de alimentación dispone de 24 kg de harina de trigo y 15 de maíz, que se utilizan

para obtener dos tipos de preparados A y B. La ración del preparado A contiene 200 g de

harina de trigo y 300 g de maíz, con 600 cal de valor energético. La ración de B contiene 200

g de harina de trigo y 100 g de maíz, con 400 cal de valor energético. ¿Cuántas raciones de

cada tipo hay que preparar para obtener el máximo rendimiento energético total. Obtener el

rendimiento máximo. (Sep 2005)

12.- Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un

avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose

2 m para instalar una fila de clase preferente y 1,5 m para las de clase turista. La aerolínea

precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como

mínimo el triple que las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son 152€ y

de 206€ para la clase preferente.

¿Cuántas filas de clase preferente y de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio

máximo?. Calcular dicho beneficio. (Sep 2007, 3 ptos)

13.- a) representar la región del plano de finida por el siguiente sistema de inecuaciones.

40311

40

60

yx

yx

yx

(Modelo 2008, 3 ptos)

b) Maximizar la función f(x, y) = 10x – y en la región obtenida.

c) Minimizar la función g(x, y) = x – 10y

14.- Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las

almazaras A y B venden el aceite a 200 y 3000 € por tonelada, respectivamente. Cada

almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda,

el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar

como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite

debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste?.

Determinar dicho coste mínimo. (Jun. 2008, 3 ptos)

15.- Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000€, distribuidos entre

acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10%

anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30000e y un máximo de 81000€. Las

acciones de tipo B garantizan una ganancia anual del 5%, siendo obligatorio invertir en ellas

un mínimo de 25000€. La cantidad invertida en acciones del tipo B, no puede superar el triple

de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión

para maximizar la ganancia anual?. Determinar dicha ganancia máxima. (Sep. 2008, 3 ptos)



R-MATCNSI 19

ANÁLISIS

1º Funciones Dominio: Es el conjunto de números reales para los cuales existe imagen mediante la

función f(x).

Dom f(x) = x R f(x)

Funciones polinómicas.- f(x) = P(x), Dom f(x) = R

Funciones racionales.- f(x) = Polinomio/Polinomio, Dom f(x) = R - x R tales que

anulan el polinomio del denominador .

irracionales.- Funciones

x2 – 5x + 6 = 0, x= 2, x= 3, + + Dom f(x) = (- , 2 3, ) 2 3

Ejemplo 2: f(x) =2 x

3 -2x , , Haciendo una tabla de signos

tenemos:

2x – 3 = 0 x = 3/2 + + Dom f(x) = (- , -2) 3/2. )

x + 2 = 0 x = -2 -2 3/2

Funciones exponenciales.- f(x) = ag(x), Dom f(x) = R - Problemas de g(x) . f(x) = ax, Dom f(x) = R

Ejemplo 1: f(x) = 32 3xe , Dom f(x) = R

Ejemplo 2: f(x) = 4/3 xe , Dom f(x) = R - 4 .

Funciones logarítmicas.- f(x) = log(g(x)), Dom f(x) = x R / g(x) > 0

Ejemplo: f(x) = Ln(x2 – 4) x2 – 4 >0, hacemos x2 – 4 = 0 x = 2 y x = -2

Hacemos una tabla de signos para x2 – 4 + + -2 2

Por lo tanto Dom f(x) = (- , -2) (2, ) Funciones trigonométricas.-

f(x) = sen(g(x)) Dom f(x) = R - Problemas de g(x) .

f(x) = cos(g(x)) Dom f(x) = R - Problemas de g(x) .

f(x) = tang (g(x)) Dom f(x) = R - x R / cos (g(x)) = 0 .

f(x) = Cosec (g(x)) Dom f(x) = R - x R / sen (g(x)) = 0 .

f(x) = Sec (g(x)) Dom f(x) = R - x R / cos (g(x)) = 0 .

f(x) = Cotang (g(x)) Dom f(x) = R - x R / sen (g(x)) = 0 . Puntos de corte con los ejes:

Eje OX Si y = 0, despejando se obtienen los valores de x.

Eje OY Si x = 0, sustituyendo se obtiene el valor de y.

02 x

3 -2x

0 g(x) / R x f(x) Dom ,)()( xgxf

3 - R f(x) Dom , 9 x

3 -2x f(x) :Ejemplo

2

radicando el para signos de Tabla 0, 6 5x - x, 6 5x - x f(x) :1 Ejemplo 22



R-MATCNSI 20

Simetrías:

Par Se tiene esta simetría cuando f(-x) = f(x). En este caso la función es simétrica respecto del eje OY.

Impar Se tienen esta simetría cuando f(-x) = -f(x). En este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, el punto (0, 0).

EJERCICIOS

1º Funciones dadas por tablas ( Interpolación) 1.- El gasto en fotocopias de una oficina viene dado por la tabla:

Meses Enero Febrero Marzo Gasto 10 12 17

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado y deducir el gasto de fotocopias para el mes de abril.

2.- El número de alumnos matriculados en miles en las pruebas de selectividad de la Universidad de Murcia en tres años fue el siguiente:

Años 1984 1988 1989 Alumnos 10 15 18

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado para estimar el número de alumnos matriculados en 1986 y el número de alumnos que se matricularán en 1996.

3.- El número de funcionarios de una Comunidad Autónoma en tres años fue el siguiente:

Años 1989 1991 1995 Funcionarios 3000 3800 4100

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado para estimar el número de funcionarios en 1992 y el número en 1998. ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?.

4.- El gasto en material de oficina en euros de una empresa viene dado por la tabla:

Meses Abril Mayo Junio

Gasto 110 150 155

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado y deducir el gasto de fotocopias para el mes de julio.

5.- La temperatura en grados Fahrenheit (ºF) puede ser expresada como una función de primer grado de la temperatura x en grados Celsius (ºC). En la escala Fahrenheit el agua se congela a 32ºF y hierve a 212 ºF; en la escala Celsius, se congela a 0 ºC y hierve a 100 ºC. Expresar la temperatura Fahrenheit , y, como una función de la temperatura Celsius, x. Si la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 ºF, ¿a qué temperatura corresponde en la escala Celsius?.

6.- De una función f(x) se conocen los valores f(1) = 4, f(2) = 7 y f(4) = 31. 1) Calcular la función de interpolación cuadrática que toma dichos valores. 2) Calcular el valor de la función de interpolación para x = 3.

7.- Dada la tabla de la función f(x): Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolación cuadrática

utilizando los otros tres valores de la tabla.

x 1 2 3 4

f(x) 3 -5 6 -2



R-MATCNSI 21

2º Concepto de función 1.-Se quiere construir un pozo en forma cilíndrica de 2 m. de diámetro. Expresa el volumen del

agua que cabe en el pozo en función de su profundidad x.

2.- El radio de un círculo mide 10 cm. Expresa el área de un rectángulo inscrito en el mismo en función de la medida x de la base. ¿Cuál es el dominio?

3.- En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2 de luz. Si x es la longitud del lado de la base, obtén el perímetro en función de x. ¿Cuál es el

dominio?

4.- Se dispone de una cartulina de 100 x 40 cm y se quiere construir una caja con tapadera cortando un cuadrado en dos esquinas y dos rectángulos en las otras dos. Halla la expresión del volumen en función del lado x del cuadrado.

5.- El coste de la energía eléctrica se obtiene mediante un sumando fijo y otro proporcional a la cantidad de energía gastada. En dos meses distintos se ha pagado 35,70 € por 340 kwh y 31,14 € por 283 kwh. ¿Cuál es el sumando fijo?

6.- Feliciano quiere comprar un coche; tiene muy claro el modelo pero no sabe si comprarlo de gasolina o de gasóleo. El primero vale 18000 € y el segundo 20000 €. El precio de la gasolina es de 1,08 €/l, y el del gasóleo 0,90 €/l. Supongamos que el consumo de un coche diesel es de 5 litros cada 100 km y el de un coche de gasolina de 6 litros cada 100 km.

a) Di la función que relaciona el coste (precio del coche más precio del combustible) con el número de kilómetros de cada coche. b) Representa estas funciones. Observa el punto de corte. ¿Qué significa?

7.- Los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un niño tiene un piojo en su cabeza, y que todos viven:

a) ¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días? b) Escribe la función y represéntala. c) Si en el momento inicial un niño tenía 10 piojos, contesta a los apartados a) y b).

8.- La cantidad Q(t) que queda de una masa M mg de una sustancia radiactiva al cabo de t días viene expresada por la fórmula:

Q(t) = M . e-0,1 . t 1) Al cabo de cuanto tiempo la masa M se ha reducido a la mitad 2) Si la masa inicial M es de 27 mg, ¿cuánta sustancia quedará aproximadamente al cabo

de 10 días?. Representar en este caso la masa aproximada de Q(t).

9.- Un lago está repoblado por una nueva especie de peces. Actualmente se estima una población de 136.000 peces y tres años antes de 17.000 peces. Suponiendo que la población de peces crece de forma exponencial ( y = k.at ), calcular:

a) La función que expresa el número de peces en función del tiempo. b) ¿Cuándo habrá 1.000.000 de peces? c) ¿Cuántos años hace que se introdujeron los 132 primeros ejemplares?

10.- Después de invertir en bolsa un individuo pasa de tener 1000 euros a tener 1300 euros en un mes. Si sabemos que la inversión que realiza sigue una ley exponencial ( y = k.at ), calcular:

a) La función que expresa el dinero en función del tiempo b) Cuánto dinero tendrá al cabo de un año c) En qué mes tendrá 66541 euros

12.- El nivel de contaminación de una ciudad a las 7 de la mañana es de 20 partes por millón y crece de forma lineal 15 partes por millón cada hora. Sea y la contaminación en el instante t después de las 7 de la mañana.



R-MATCNSI 22

1) Hallar la ecuación que relaciona y con t. 2) Hallar el nivel de contaminación a las 5 de la tarde.

13.- Para fomentar la utilización del transporte público entre dos puntos de una determinada ciudad, una compañía de transportes ofrece sus servicios en unas determinadas condiciones: 1. Si el número de viajeros es menor o igual que 20 el billete costará 80€ por persona. 2. A partir de 20 viajeros el precio por billete se obtendrá restando de 80 € el número de

viajeros que excedan de 20.

14.-Teniendo en cuenta que en cada autobús caben como máximo60 viajeros y designando como x el número de personas por viaje, se pide: a) La expresión algebraica y la representación gráfica de la función P(x) que proporciona

el precio que ha de pagar cada viajero. b) La expresión algebraica y la representación gráfica de la función I(x) que proporciona

los ingresos por viaje de la compañía. c) Obtener el número de viajeros que proporciona el máximo ingreso por viaje a la

compañía, así como el valor de dicho ingreso.

15.- A las nueve de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difunde a un ritmo de e2t + 1000 personas /hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce de la mañana.

16.- Se sabe que cuando comienza el invierno el número de moscas de una región decrece y

dicho número viene dado por la función tbeatN ..)( , donde t es el tiempo en días y a y b

son dos constantes no nulas. a) Determinar el signo de las constantes a y b justificadamente b) Sabiendo que al cabo de 64 días el número de moscas se ha reducido una 64ª parte de la población inicial, determinar el valor de b

c) Si en esta población se estima que el numero de moscas al comenzar el invierno es de 10,000 ¿Cuántas quedarán al cabo de 60 días?

d) en el supuesto anterior cuánto tiempo tiene que pasar para que queden la mitad de moscas

17.- Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una nueva especie de pinos. Actualmente hay 25.000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la función N = AeBt, donde A y B son dos constantes. El tiempo t se considera expresado en años desde el momento de la repoblación.

a) Determina la función que expresa el número de pinos en función del tiempo b) ¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200.000 ejemplares?

18.- El crecimiento de una colonia de mosquitos viene dado por la función A(t)=A0.ek.t

Donde A0 y k son constantes no negativas y t es el tiempo en días a) Razona el signo de A0 y k b) Si inicialmente había 1000 mosquitos y al cabo de un día aumento a 1800, determina la

función que expresa el número de mosquitos en función del tiempo en días c) ¿ Cuánto tiempo tiene que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

19.- El crecimiento de una colonia de abejas viene dada por la siguiente función

tetP

.37,0.5,561

230)(

a) ¿Cuántas abejas había inicialmente? b) ¿Cuánto tiempo le tomará a la abejas tener una población de 180?



R-MATCNSI 23

20.- La función Xxf

.)09,1.(4991

1200)( da la venta en x días después del lanzamiento de un

video juego a) ¿Cuántos video juegos se vendieron el primer día? b) ¿Cuántos días tienen que pasar para que se vendan 6000 juegos?

21.- Se administran 50 mg. de anestesia aun paciente al principio de una operación. Se sabe que la concentración en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la función f(x) = k ⋅0'95x , donde K es la cantidad inicial y x el tiempo, en minutos, que ha transcurrido desde su administración.

a) ¿Cuántos mg. de anestesia quedan en la sangre del paciente a la hora y media de su administración? b) ¿Cuanto tiempo tiene que transcurrir para que le quede en sangre la mitad de la anestesia

22.- Una empresa tiene unos ingresos brutos a lo largo de los años que siguen una función del tipo i(t)=0’5t2, con unos gastos que se adaptan a una función del tipo g(t)=2t.

a) Representa gráficamente ambas funciones. b) ¿Qué función nos da los beneficios de la empresa a lo largo del tiempo, b(t)? c) ¿En cuánto tiempo empezará a tener beneficios? d) ¿Qué función h(t) nos indica a lo largo de los años, cuántas veces son mayores los ingresos que los gastos?

3º Dominios

1º Dadas las siguientes funciones calcular su dominio, puntos de corte :

1) 4

65)(

2

2

x

xxxf

2) 4)( xxf 3)

4

65)(

2

2

x

xxxf

4)4

65)(

2

2

x

xxxf

5) 5

32)(

x

xxf 6)

13

3)(

x

xxf 7)

13

3)(

x

xxf 8)

5

4)(

2

x

xxf

9)5

32)(

x

xxf 10)

9

5)(

x

xxf 11)

3

1)(

2

x

xxf 12)

4

9)(

2

x

xxf

13) 25

42)(

2x

xxf 14)

25

42)(

2x

xxf 15)

25

42)(

2x

xxf 16)

1

4)(

2

2

x

xxf

17) 24x-xf(x) 3 18) xxf 28)( 19)

2

1)(

2

x

xxf 20)

1

12)(

2x

xxf

21) 45)( 24 xxxf 22) 4

3)(

2x

xxf

23)

45

2)(

24 xx

xxf

24) 6

62)(

2 xx

xxf

25) xx

xy

5

42

2

26)

0 xsi 5

o xsi 1

7

)( 2xxf 27) 3 1)( xxf

28)23

2 23

x

xxxy

29)1

2

x

xy

30)

-1 xsi 5

-1 xsi 1

)( xxf 31)

92x

xy 32)

x

xy

1

33) )45(log 24

2 xxy 34)

2

2)(

x

xLnxf 35) 12

)( xexf 36) 110)( xxf



R-MATCNSI 24

4º Composición de funciones y función recíproca

1º Dadas las funciones f(x)= x2 + 1 y g(x)= x3 , halla: a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)

2º Dadas las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) =x3 escribe: a) (f o f)(x) b) (f o g)(x) c) (g o f)(x) d) (f o (f o f))(x)

3º Dadas las funciones 93

2)(

xxf y 2)( xxg , calcular la expresión y el dominio

de las funciones f+g, f-g, f·g y f/g

4º Dadas las funciones del apartado anterior, realizar g o f y f o g, indicando el dominio de cada una de ellas.

5º Sean las funciones 12)( xxf , 1)( 2xxg y

1

1)(

xxh , comprobar con ellas la

propiedad asociativa de la composición, es decir, que se cumple . Calcular el dominio de la función resultante.

6º Calcula la función inversa de 45)( xxf y comprueba el resultado.

7º Calcula la inversa de la función 43

12)(

x

xxf , compruébalo y calcula los dominios de

ambas.

8º Realizar las composiciones indicadas con las funciones propuestas:

a) 1x2xf , 3xxg 2 , 2

5xxh

xgf , xgh , xhgf

b) 2x

3x3xf ,

1x2

1x2xg ,

x

1xh

xff 1 , xhf , xghf

c) xxf , 2x

1xg , 3xxh

xhf , xgh , xfg , xgfh

9º Calcular la función recíproca de las siguientes funciones, comprobando el resultado:

a) 4x3xf b) 5x2xf c) 2

1xxf d)

3

2x5xf

e) 6

7x2xf f)

5

x21xf g)

7

9x2xf h)

9

2x7xf

i) 1x

2xxf j)

x1

2x3xf k) 2x3xf l)

2x

1xf



R-MATCNSI 25

2º Continuidad y derivabilidad Definición 1: Continuidad

Se dice que la función f(x) es continua en x = a sí se verifica:

a) La función está definida en x = a, es decir, f(a). b)Existe f(x)

axLim . Para ello es necesario que f(x) y f(x)

axax

LimLim y ambos sean

iguales. c) El valor del límite coincide con el valor de la función en el punto, es decir,

f(a) f(x)ax

Lim .

Por lo tanto, el valor de una función en un punto debe ser el que le asigna el límite en ese punto. De no ser así se dice que la función f(x) es discontinua en el punto x = a.

Una función f(x) es continua en el intervalo a, b cuando lo es en todos los puntos del intervalo.

Clasificación de las discontinuidades: Discontinuidad evitable en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando f(x)

axLim , pero

no existe f(a). Geométricamente corresponde a una gráfica que tiene un agujero en x = a. Para hacer que la función sea continua en este punto basta con definir f(x) f(a)

axLim .

Discontinuidad de 1ª especie en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando y f(x)

axLim

f(a) , Pero toman valores distintos. Gráficamente corresponde a una gráfica donde el

punto (a, f(a)) está fuera de su lugar. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando

existen los límites laterales en x= a pero toman valores distintos. Geométricamente corresponde a una gráfica que en el punto (a, f(a)) está rota y presenta una especie de escalón.

Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito en x = a: Esta discontinuidad se tiene

cuando alguno de los límites laterales en x = a tiende a ó a - . Geométricamente la función tiene una asíntota vertical en ese punto.

Definición 2: Derivabilidad

Se dice que la función f(x) es derivable en x = a si: a) Es continua en x = a. b) Existe f ´(a), es decir, existe f+´(a) y existe f-´(a) y son iguales Aparte de los problemas de continuidad las funciones valor absoluto tienen problemas de

derivabilidad en los valores de x que anulan el interior del valor absoluto.



R-MATCNSI 26

Ejercicios 1º Dadas las siguientes funciones, estudiar su continuidad y derivabilidad

a)

x si x 2

f (x) 1 si 2 x 5

x 6 si x 5

b)

5x 2 si x 1

f (x) 2 si x 2

1x si x 2

2

c)

2x 4 si x 2

f (x) x 2

3 si x 2

d)

x 2 si x 3

f (x) x 2 si x 3

x 2

e)

1 si 8 x 4

f (x) x 2 si 4 x 2

8 si 2 x

x

f) 2x 4 si 4 x 4

f (x)2x 1 si x 4

g) 2

2x si x 0

f (x) x 1 si 0 x 4

1 si x 4

x 4

h) 2

x si 4 x 0

2

f (x) x si 0 x 2

x 6 si 2 x 4

2

i) 2

2

3 si x 2

3x 3 si 2 x 0f (x)

x 2x 3 si 0 x 3

x 9x 18 si x 3

j)

2 x4-x

6-3x

2x14x

1 x22

)(

x

xf

k)

2 x9- x

2x14x

1 x13

)(

2

x

xf

l) 0 xsi 32

0 xsi 1)(

2

x

xxf

2º Calcular los valores los parámetros para que la función sea continua en R. Estudiar la

derivabilidad para esos valores

1)

2 x33x

2x1 2

1 x1

)( bx

ax

xf

2)

2 x2x

2x1

1 x2

)( bx

ax

xf

2 x3x

2x1 1

1 x

)( )3 bx

ax

xf

0 si 2

0 si )( )4

xax

xexf

ax

0 sibx

0 si a5x-)( )5

2

2

xx

xxxf

0 si

0 si x -)( )6

3

xbax

xxxf

1 si )1(

1 0 si ln)( )7

1 xea

xxxxf

x



R-MATCNSI 27

3º Dada la siguiente función :

0 xsi

0 xsi 2 x

)(

k

xsen

xf

¿ Hay algún valor de k para el cual f(x) sea continua en x=0 ?

4º Considera la función 0 xsi 0

0 xsi )x

1sen(x)(

n

xf Siendo n un número natural

a) Demuestra que f es derivable en x=0 para n=2 b) Demuestra que f no es derivable en x=0 para n=1

5º Estudia analíticamente la continuidad y derivabilidad de las funciones:

0 xsi 12x

0 xsi 1

0 xsi x

x

)( º1

2 x

xf

1 xsi 1x1-x

1

1 xsi 1-x

)( º22

xf

-2 xsi 42x

44x

-2x5- si 2x

-5 xsi 5

)( º3

2 x

xf

0 xsi x

1

0 xsi 1

)( º42

xf

0 xsi x

x

0 xsix

)( º5 2 xxf

0 xsix -1

0 xsi e )( º6

-x

xf

2 xsi 6-3x

2 xsi 1)-ln(x )( º7 xf

3 xsi 23xx-

3x0 si 1

0 xsi

)( º8

2

xe

xf

3º Representar, escribir como una función a trozos y estudiar la continuidad y

derivabilidad de:

a)f(x) = x2 - 1 . b) f(x) = sen x . c) f(x) = x2 – 3x - 4 .

d) )2(log)( 2 xxf e) )1(log)(2

1 xxf f) 82)( 2 xxxf

4º Calcula el valor de "k" para que las siguientes funciones sean continuas:

a) 1> xsi kx-3

1 xsi 1+x=f(x)

2

b) 0 xsi

2

4x

0= xsi

=f(x)

23

2

xx

k

c)

x 1 si 3 kx

1 x si 1 x)(

2

xf

5º Estudiar la continuidad y representar gráficamente las discontinuidades de:

a)34

1)(

2

2

xx

xxf b)

6

4)(

2

2

xx

xxf c)

65

9)(

2

2

xx

xxf



R-MATCNSI 28

3º Límites 1.- Calcular los siguientes límites de funciones:

1. 2

43lim

2

2

1 xx

xx

x

2. 24

3

0

3lim

xx

xx

x

3. 1

26lim

3

2

2 x

xx

x

4.

x

x x

x

32

42lim

5. 2

22lim

2 x

x

x

6. 26

4lim

2

2 x

x

x

7. 62

21lim

3 x

x

x

8.

2

23

3lim

x

x x

x

9. 39lim 2 xxx

10. 9

1

3

1lim

23 xxx

11. 2

1

2 22

43lim

x

x x

x

12. xxx

2lim

13. 107

113lim

22 xx

x

x

14. 1

2

1

13lim

21 xx

x

x

15. x

x

x x

x12

53

23lim

16.

x

x x

11lim

17.

3

2

2

2

234

532lim

x

x

x xx

xx

18. 2

12

52

43lim

x

x x

x

19.

x

x x

xx

43

13lim

2

2

20. 223

2lim

2 x

x

x

21. 32

1lim

2

x

x

x

22. 11lim 22 xxx

23. 2

37lim

2 x

x

x

24. x

xx

1.lim 2

0

25.

x

x xxx

xxx

4410

8635lim

23

23

26. 96

9lim

2

3

3 xx

xx

x

27. x

xx1lim

0

28. x

x

x xx

xx1

3

3

2

410

8615lim

29. 11

2lim 2

1x

x

x

x

30.

1

2

2

1

11lim

x

x x

31. xxx

xxx

x 44

863lim

23

23

2

32. 1

3 2

3

23lim

x

x

x x

x

33. xx

x

x 1lim

2

34. 254

35lim

23

23

1 xxx

xxx

x

35. x

x x

x3

3

4lim

36. x

x

x x

xx1

2

2

2

1

14lim

37. 2

2

x 24

53lim

xx

x

38. xx

x

x 32

65lim

4

39. 2

4

25

727lim

xx

xx

x

40. 2

2

2

2 31

12

8lim

n

n

n

n

n

41. 1

2

1

5lim

2 n

n

n

n

n

42. 294

3lim

2nn

n

n

43. 2

314lim

2

4

nn

nn

n

44. 3 4

2

12

5lim

nn

n

n

45. xxx

3lim

46. xxx

3lim

47. )12(14lim 2 xxx

48. 12

25lim

23 3 nxx

x

x

49. x

x x

x3

4lim

50. 26

53

33lim

x

x x

x

51. 2

5

2

2

2

24

53lim

x

x

x xx

xx

52. 32

lim2

2

1 xx

xx

x



R-MATCNSI 29

4º Asíntotas

Verticales: Son rectas verticales x = a en las que se verifica que y a las cuales se

acerca la función sin llegar a cortarlas cuando se dispara hacia ó - . Están entre los valores para los que no existe f(x).

Horizontales: Son rectas horizontales y = b a las que la función se acerca sin llegar a cortarla

cuando x tiende a hacia ó - . Se debe verificar que bxfLimx

)(

Hori Oblícuas: Son rectas de la forma y=mx+n a las que se acerca la cuando x tiende a hacia ó - .

para calcularlas x

xfLimmx

)( y ))(( mxxfLimn

x

Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2

3

32

37

xx

x b) f(x) =

x

xx 22

c) f(x) = x

x 12

d) f(x) =2

2

x

x e) f(x) =

1

62x

x f) f(x) =

5

452

x

xx

g) f(x) = 4

42

2

x

x h) f(x) =

5

112

x

x i) f(x) =

2

3

1 x

x

5º La derivada

1.- Tasa de variación media Responde a la pregunta ¿cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la

variable x?. Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo, medido en

metros es, S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad media entre t = 2 y t = 6 segundos. Como la velocidad es la variación del espacio

respecto del tiempo, se tiene:

2.- Tasa de variación instantánea

Es el límite de la tasa de variación media, cuando los intervalos donde se mueve la variable independiente se hacen cada vez más pequeños. Estudia como varía la función en un punto.

Si la función varía positivamente es que por ese punto pasa creciendo, y si la función varía negativamente es que por ese punto la función pasa decreciendo.

)(xfLimax

h

xfhxf

xx

xfxf

x

y )0

()0

(

12

)1

()2

(

mt

m 23 4

11103

26

)2()6(

mt

SS

x

y

h

xfhxf

xx

xfxf

xx

y )0

()0

(

0hLim

12

)1

()2

(

12x

Lim 0x

Lim i

t



R-MATCNSI 30

Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es, S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad del móvil en el instante t = 2.

5 )35(

0

)2()2(

0hLim

it h

hLim

h

ShS

1) S(2 + h) = 3(2 + h)2 – (2 + h) + 1 = 11 + 5h + 3h2 2) S(2) = 3.4 – 2 + 1 = 11 3) S(2 + h) – S(2) = 5h + 3h2

4) 3h 5 h

3h 5h

h

S(2) - h) S(2 2

3.- Derivada de una función en un punto La derivada de una función en un punto x = a es

Coincide con la tasa de variación instantánea de la función en el punto a. Ejemplo: Calcula la derivada de la función en el punto xo = -1

4.- Función derivada Se llama función derivada de la función f(x) y se escribe f ´(x) a la función: Ejemplo: Calcular la derivada de la función

5.- Interpretación geométrica de la derivada Geométricamente la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta

tangente a la función en ese punto. Pendiente de la recta tangente = mt = f ´(x0) La ecuación de la recta tangente es: y – f(x0) = f ´(x0)(x – x0) Ejemplos: 1.- Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = 3x3 – 2x + 1 en el punto x0 =

2. Necesitamos f(2) y f ´(2) = mt, f(2) = 3.8 – 2.2 + 1 = 21; f ´(x) = 9x2 – 2;

f ´(2) = 9.4 – 2 = 34 rt : y – 21 = 34(x – 2); 34x – y – 47 = 0

3

2)(

x

xxf

2

3

2

3

0)2(

3

0

31

2

3)1(

)1(2

0

)1()1(

0)1(́

hhLim

hh

h

hLim

h

h

h

hLim

h

fhf

hLimf

h

xfhxf

ohLimxf

)()()(́

23)(x

6

)3)(3(

6

0)3)(3(

6

0

3

2

3)(

)(2

0

)1()(

0)(́

xhxhLim

hxhx

h

hLim

h

x

x

hx

hx

hLim

h

fhxf

hLimxf

X0

F(x0)

3

2)(

x

xxf

h

afhaf )()(

0hLim ´(a) f



R-MATCNSI 31

2.- En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2 – 6x + 8 la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante, (y = x). (Rectas paralelas significa que tienen la misma pendiente).

La pendiente de la bisectriz y = x es m = 1, por lo tanto mt = 1

Como mt = f ´(x0), esto significa que f ´(x0) = 1, de donde 2x0 – 6 = 1 x0 = 7/2 Para calcular la segunda coordenada del punto sólo tenemos que sustituir este valor en

la función, y0 = f(x0) = f(7/2) = (7/2)2 – 6(7/2) + 8 = -3/4 El punto de tangencia es el punto P(7/2, -3/2)

6.- Reglas de derivación para las operaciones de funciones

cadena) la de (regla )´()).(´())).((´()))´((((

)(

)()´()().´(

)(

)(º3

)´().()().´())´().((2º )´()´())´()(( º1

2

xhxhgxhgfxhgf

xg

xfxgxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxfxgxfxgxf

7.- Tabla de derivadas f(x) = a f´(x) = 0 (a = constante) f(x) = xn f´(x) = nxn-1 (n = nº) f(x) = un f´(x) = unn-1.u´ (u = f(x))

f(x) = n x f´(x) = n nxn 1

1 f(x) = n u f´(x) = ´.

1

1u

unn n

f(x) = Ln(x) f´(x) = x

1 f(x) = Ln(u) f´(x) = u´ .

u

1

f(x) = loga(x) f´(x) = ea.logx

1 f(x) = loga(u) f´(x) = .u´.log

u

1ae

f(x) = ax f´(x) = ax.Lna f(x) = au f´(x) = au.Lna.u´ f(x) = ex f´(x) = ex f(x) = eu f´(x) = eu.u´ f(x) = sen(x) f´(x) = cos(x) f(x) = sen(u) f´(x) = u´.cos(u) f(x) = cos(x) f´(x) = -sen(x) f(x) = cos(u) f´(x) = -u´.sen(u)

f(x) = tang(x) f´(x) = )(cos

12 x

= sec2(x) = (1 + tg2(x))

f(x) = tang(u) f´(x) = )(cos

12 u

.u´ = u´.sec2(u) = u´.(1 + tg2(u))

Tasa de variación. Aplicaciones de la derivada

1º El crecimiento de una población de bacterias sigue la ecuación p(t)=3t2-2t+1. Calcular: a) Velocidad media de crecimiento b) Velocidad instantánea de crecimiento c) Velocidad instantánea en el instante t=2

2 º El espacio recorrido por un móvil tiene la siguiente ecuación s(t)=2t2-8t+1. Calcular: a) Velocidad media en el intervalo [2,4] b) Velocidad instantánea c) Velocidad instantánea en el instante t=2

3 º El crecimiento de una población de micro organismos sigue la ecuación p(t)=5t2-3t+5. Calcular: a) Velocidad media de crecimiento b) Velocidad instantánea de crecimiento c) Velocidad instantánea en el instante t=1



R-MATCNSI 32

4º Halla la T.V.M. de la función f (x) = –x2 + 5x – 3 en el intervalo [2, 2 + h] y, con el resultado obtenido, calcula f ' (2).

5ºHalla la tasa de variación media de la función f (x) = ex en el intervalo [2; 2,001] y comprueba que su valor está muy próximo a e2.

6º Ecuación de la tangente a las curvas de ecuación: a) y=6x2-x-1 en x0=1

b) y=3x2+8 en (0,8)

c) y=6x3-4x

2+3 en (1,5)

d) f(x)=x2 en el punto x=2

e) en el punto x=0

f) 1 xsi2x -x

1 xsi 2 )(

2xf en el punto x=-1

g) 1 xsiLnx

1 xsi 24x-2x )(

2

xf en el punto x=-1

7º ¿En que punto de la gráfica de la función f(x)=x3+5x2-8x+2 la recta tangente es paralela a la recta y=5-8x?

8º ¿En que puntos de la gráfica de la función y=x3-x la recta tangente es paralela a la recta y=2x-1?

9º ¿En que punto de la gráfica de la función f(x)=x2-6x+8 la tangente es paralela al eje de

abscisas? ¿Y a la bisectriz del primer cuadrante?

10º Una recta tangente a la curva y = x3 tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0 , - 2). ¿Cuál es el punto de tangencia?

11º Halla la ecuación de la tangente a la curva y = ln x que es paralela a la recta y = 3x – 2.

12º ¿Cuáles son los puntos singulares de las funciones y = sen x e y = cos x en el intervalo [0, 2π]? 12º ¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y = tg x?

13º Escribe la ecuación de la tangente a la curva f (x) = e2 – x en el punto donde corta el eje de ordenadas. 14º Determina el punto de la curva f(x) = x2 – 5x + 8 en el que la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe la ecuación de dicha tangente.

DERIVADAS Funciones no compuestas:

1) 323 33

23)( xxxxxf 2)

3

24 632

2

3

4)(

xx

xxxf 3)

3 22

31)(

xxxxxxxf

4) 4 3

42

5

23)(

x

xxxxxf

5)

xsenxxxxf 2logln)( 6) tgx

xxxxf

1ln)( 3

7) xesenxexf xx cos)( 8)

14

25)(

2x

xxf 9)

x

senxxxf

ln)(

3

10) xsenx

xsenxxf

cos

cos)( 11)

3

ln)(

x

xxxf 12)

x

x

ex

exxf )(

13) x

xx

xxf

lnln2

1)(

14) senxxexf x)( 15) xexxf )(

16) xetgxxf xx ln10)( 17) xxsenxxxf cos)( 2 18) tgxesenxxxf x ··)( 2

1 xsi x

1 xsi 1-x )(

2xf



R-MATCNSI 33

Funciones compuestas:

1) 173 264 xxy

2) 63 24 xxy

3) 3 2 5

1

xy

4) 5

cos xsenxy

5) 3

tgxxy

6) 3521 senxxy

7) 3

12

1

xy

8) xsenxseny 33 2

9) )(coscos 33 xxy

10) )(ln senxy

11) xseny log

12) xx

xxy

cos

cos

13) 21 xseny

14)

3

5cos5

5cos5

xxsen

xxseny

15) 2

11cos

xy

16) x

xtgy

1

1

17) 2

2 1

x

xseny

18) xeseny 1

19) 1ln 2xx eey

20) 6

1

5 xexy

21) x

sen

y

1

8

22) x

xy

2

2

cos1

cos1ln

23) 22)1(log xxxy

24) a

xsenaxay 22

25) a

xsenaxaxy 222

27) 422 ln24

2xxx

xy

28) 1ln 2xxy

29) )(ln)(ln xsensenxy

30) 21 x

xseny

31) x

xy

1

1lnlnln

32) xsensenseny 222

33) )(arccos

1cos

senxy

34) xxxy

35) xtgtgy 2

36) y= sen4(x3-2xe )

37) x

senxy

38) 3x

senxy

39) y= tgx.ln2x

40) y= 3 2 1x

41) y=x

senxx

4cos

2

42) y=cos5x-cosx3-3 43) y=5.e4x-2.3x+1 44) y=x2.lnx 45) )(tgxseny

46) )4ln(4=y x

47) 1+x

1)+Ln(x=y

48) y= cos x3 + cos3x 49) y=ex.senx

50) 2

x)-(1=y

3

51) 2)+Ln(x =y

52) y= 3x+ x3

53) 234

12

2

xx

xy

54) Lnx

xe=y

55) 54)+(x

5=y

56) y=x.senx+5.cosx

57) Lnx-x3.7=y



R-MATCNSI 34

58) x+1

x-1Ln=y

59) 1x

1Ln=y

2

60) 1

arcsenxLn=y

2

2

x

61) 1

1

x

xy

62) tgxxey .2

63) 1-x

1+xsen=y

64) y=senx-1

senx+1Ln

65) )1(.2

5 xsenxy

66) y=senx.ecosx

67) tgxey x .2

68) tgxxy 1.2

69) y=tg(lnx) 70) y=ln(senx3)

71) x

x

e

ey

1ln

72) y=ln3(senx)

73) 1. 2xey tgx

74) )1(.52

xseny x

75) 2

xx eey

76) 1

322

2

x

xxy

77) )1(sen)1sen( 22 xxy

78) )1sen( 2xey

79) )12sen().1

1cos( x

x

xy

80) y = tg 3x + tg x3 + tg3 x

81) y = e3x. 12x

82) y =1

12

2

x

x

83) 1

1

10 x

x

y

84) x

xLny

)1( 2

85) )tg

sen1(

x

xLny

86) x

xxy

2

sen2

87) x

xy

2

2

sen1

sen1

88) 4

32

3

x

xy

89) 3

12

2

x

xLny

90) 3

1

x

xLny

91) xy 5sen

92) 5sen xy

93) 52

3 )5(xyx

xy

2

2

cos1

cos1ln

94) f(x) = (2x4 + 5x2 +5)3 - 4 )25( xCos

95) f(x) = Ln3

3

52

52

x

x

96) f(x) = e6x-3.Cos(7x)

97) f(x) = 75x + 7tan( 35 2x

98) f(x) = )16(

)16(3

3

xLn

xLn

99) f(x) = )35(

)35(4

4

xLn

xLn

100) f(x) = (6x3 –2x2 +5)4 - 3 )43( xSen

101) f(x) = Ln3

3

25

25

x

x

102) f(x) = e3x-6.tang(2x)

103) f(x) = 54x + 7Cos( 26 2x

104) 325 2

)( xxexf

105) )25cos().13()( xxsenxf

106) 3 )25tan()( xxf

107) 343 2

10)( xxxf

108) )84().63cos()( xsenxxf



R-MATCNSI 35

Problemas de funciones. Derivadas

1.- El elemento radio se descompone según la expresión Y(t) = n.e-0,0004t, donde Y(t) es la cantidad en gramos en el instante t, t es el tiempo en años, y n es la cantidad inicial en gramos. Si se empieza con 500 gramos:

a) ¿Cuántos gramos quedarán al cabo de 500 años? b) ¿Cuál será la velocidad de descomposición al cabo de t años? c) ¿Cuál será la velocidad de descomposición a los 1000 años? d) ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que la velocidad de descomposición sea igual a –

0,1637?.

2.- El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de enero ha venido dado por la función Y(t) = 100 + 200e0,2t donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de enero de 1996. a) ¿Cuántos enfermos había el 1 de enero? b) Calcular la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución

del número de enfermos al cabo de t días c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha

sido igual a 803,42 enfermos/día.

4.- Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R(x) = –0,001x2 + 0,04x + 3,5

a) ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad? b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?

5.- El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C (q) = 3q2 + 5q + 75 dólares.

El coste medio por unidad es M(q) = C(q)/q a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C(q) y M(q) para el valor de q que has hallado en el apartado a).

6.-La función f (x) = 9

602x

xy indica los beneficios obtenidos por una empresa desde que

comenzó a funcionar ( f (x) en miles de euros, x en años, x = 0 indica el momento de constitución de la empresa).

a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el contexto del problema.

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta.

7º Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva abierta, t, es N(t ) = 80t – 10t 2. a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? ¿Cuántos clientes hay en ese momento?

c) ¿A qué hora cerrará la discoteca?

8º Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión: B(n) = –8n3 + 60n2 – 96n Determina razonadamente: a) El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.



R-MATCNSI 36

b) El valor de dichos beneficios máximos.

9º El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t semanas

viene dado por la función: N(t ) =832

3502 tt

t siendo t 0

Calcula el máximo de personas ingresadas y la semana en que ocurre. ¿A partir de qué semana, después de alcanzar el máximo, el número de ingresados es menor que 25?

10º Se sabe que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por: r(t) = 300t(1- t) siendo 0 < t < 1

a) Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b) ¿Cuándo se anula?. c) ¿Cuándo es máximo?

11º Una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (en grados centígrados) varió con el tiempo t (en horas) según la función T(t) = t 2 - 9t + 8 si 0 £ t £ 12 .

a) ¿Qué temperatura había a las dos de la mañana? b) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? c) ¿Cuál fue la temperatura máxima?¿A qué hora se produjo? d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0 horas hasta las 12 horas? e) Dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0,12] horas

12º Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho número corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: R(t) = 30t - 10,5t 2 + t3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la

jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento.

13º Supongamos que el coste total de fabricación de 20 artículos viene dado por:

483)( 2 xxxC euros.

a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 20 artículos? b) ¿Cuál es el coste de fabricación del vigésimo artículo? c) Exprese el coste de fabricación medio por artículo como función de x. d) ¿Para qué valor de x es mínimo el coste medio?



R-MATCNSI 37

6º Estudio y representación gráfica de funciones

Monotonía: Es el estudio del signo de la primera derivada en el dominio de la función. Se hace del siguiente modo:

Obtenemos ceros y polos de f ´(x) y hacemos una tabla de signos para f ´(x) en el dominio de f(x).

Si f ´(xo) > 0 f(x) es creciente en el punto xo.

Si f ´(xo) < 0 f(x) es decreciente en el punto xo.

Si f ´(xo) = 0 xo es un posible máximo o mínimo relativo para la función f(x).

Máximos y mínimos (relativos): Son puntos x = a que anulan la primera derivada (f ´(a) = 0) y en los cuales cambia la monotonía de la función. Para calcular los máximos y

mínimos de una función se puede seguir cualquiera de los dos métodos siguientes: Método 1 a) Se hace la primera derivada de la función y se iguala a cero (f ´(x) = 0), obteniendo así

los puntos singulares (x = a) de la función, (posibles máximos o mínimos). b) Se hace la segunda derivada de la función y se sustituyen en ella los puntos singulares

antes calculados, presentándose las siguientes posibilidades:

1ª) f ´´(a) > 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un mínimo relativo.

2ª) f ´´(a) < 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un máximo relativo.

3ª) f ´´(a) = 0 En el punto (a, f(a)) la función puede tener un punto de inflexión. Método 2 a) Se estudia la monotonía de la función b) En los puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos

una asíntota vertical), de ser decreciente a ser creciente, la función tiene un mínimo relativo. En los puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos una asíntota vertical), de ser creciente a ser decreciente, la función tiene un máximo relativo.

Curvatura: Es el estudio del signo de la segunda derivada en el dominio de f(x). Se hace

del siguiente modo: Obtenemos ceros y polos de f ´´(x) y hacemos una tabla de signos para f ´´(x) en el dominio

de f(x).

Si f ´´(xo) > 0 f(x) es cóncava hacia arriba en el punto xo.

Si f ´´(xo) < 0 f(x) es convexa en el punto xo.

Si f ´´(xo) = 0 xo es un posible punto de inflexión para la función f(x). Puntos de inflexión: Son puntos x = a que anulan la segunda derivada (f ´´(a) = 0) y en los

cuales cambia la monotonía de la función. Para calcular los puntos de inflexión de una función se puede seguir cualquiera de los dos métodos siguientes:

Método 1 a) Se hace la segunda derivada de la función y se iguala a cero (f ´´(x) = 0), obteniendo así

los posibles puntos de inflexión (x = a) de la función. b) Se hace la tercera derivada de la función y se sustituyen en ella los puntos singulares

antes calculados, presentándose las siguientes posibilidades:

1ª) f ´´´(a) 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un punto de inflexión.



R-MATCNSI 38

2ª) f ´´´(a) = 0 Hay que hacer la siguiente derivada de la función. Si la primera derivada que no se anula en el punto x = a es una derivada de orden impar en el punto (a, f(a)) la función tiene un punto de inflexión, y si la primera derivada que no se anula en el punto x = a es una derivada de orden par, en el punto (a, f(a)) la función tiene un máximo o mínimo relativo dependiendo del signo del número que quede al sustituir.

Método 2 a) Se estudia la curvatura de la función b) En los puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos

una asíntota vertical), de ser cóncava a ser convexa, o viceversa, la función tiene un punto de inflexión.

EJERCICIOS 1.- Estudia y representa la gráfica de las siguientes funciones:

1. )4()2)(5()( 2 xxxxf 2. f(x)= x4 – 8x2 + 7 3. f(x)= 3x4 + 4x3 – 36x2 4. f(x) = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x 5. f(x)= x3 – 3x

6. f(x) = x4 – 2x2

7. f(x) = x3 – 3x2 8. f(x) = 3x4 – 4x + 1 9. f(x)= x4 + 2x2

10. f(x)=x3-3x2-9x

2. En la función y= x ekx , determina k para que en x=1 tenga un máximo.

3. Calcula los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las curvas:

a) y=senx.cosx; x 0 2, ; b) y= e x2

; c) y=1

3x; d) y=

x

x

3

2 12

4. Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de inflexión a las curvas

a) y x x x3 23 7 1 b) y= x4 1

8. Encontrar las funciones polinómicas dcxbxaxxf 23)( , cuya segunda derivada

sea 1x . ¿Cuál o cuáles de ellas tienen un mínimo relativo en el punto (4, -1/3)? 9. Estudia el crecimiento y decrecimiento de las funciones:

a) y= 1

x; b) y= senx; c) y=

e ex x

2; d) y= 2 3 12 103 2x x x

10. Estudia los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

a) y= e x xx 2 82 ; b) y= x x x x4 3 26 12 10 8 ;

c) y=x

x

2

2

1

1 , d)y= x x4 28 3

11. La función y= ax bx2 6 se anula para x=1 y tiene un mínimo para x=2. Halla a y b.

12. Dada la función 135)( 23 xxxxf , calcula máximos y mínimos, intervalos de

crecimiento y decrecimiento. Estudia su curvatura.



R-MATCNSI 39

13. Determina k para que la función x

kxxf )( tenga un máximo para 1x

14. Demostrar que la función 1

1ln

x

xy es creciente en todo su dominio.

15. Determina, de forma razonada, todas las funciones f que sean polinómicas de tercer

grado y que verifiquen 0)1()1( '' ff . ¿Puede existir alguna de las funciones

determinadas anteriormente que verifique 0)1()0( ff ?

16. Estudia el crecimiento de la función xe

xxxf

32)(

2

. Determina, si existen, sus

máximos y mínimos relativos.

17. Estudia el tipo de curvatura y la existencia o no de puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) 23 92)( xxxf b) x

xf2

)( c) 812)( 24 xxxf

d) 4)( 2xxf e) xexxf 2)( f) )4ln()( xxf

18. Estudiar y representar las siguientes funciones:

1) f(x) = x4 –2x2 2) f(x) = 3) f(x) =

4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) =

7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) =

10) f(x) = 1

222

x

xx 11) f(x) =

2

3

)1(x

x 13) f(x) =

1

542x

x

14) f(x) = x +1 - x

2 15) f(x) = e2x+1 16) f(x) = Ln(x – 3)

17) f(x) = Ln(x2 -4) 18) f(x)= 19) f(x)=

20) f(x)= 21) f(x)=ex(x-1) 22) f(x)=

19. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3 – 24x2 + 72x – 15 en su punto

de inflexión. 20. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 4x3 – 12x2 – 10 en su punto de

inflexión.

x

xx 22

x

x 12

2

2

x

x

1

62x

x

5

452

x

xx

4

42

2

x

x

5

112

x

x2

3

1 x

x



R-MATCNSI 40

APLICACIONES DEL ESTUDIO DE FUNCIONES

Problemas de funciones con parámetros Criterios para determinar el valor de los coeficientes de una función bajo diferentes

condiciones de monotonía y curvatura

a) Si f(x) pasa por el punto (x0, y0) Significa que f(x0) = y0.

b) Si f(x) tiene un máximo o un mínimo relativo en x0 Significa que f’(x0) = 0.

c) Si f(x) tiene un punto de inflexión en x0 Significa que f’’(x0) = 0.

d) Si la recta tangente en x0 tiene de pendiente m Significa que f’(x0) = m (que dos rectas sean paralelas significa que tienen la misma pendiente).

La aplicación de estas condiciones dará lugar a un sistema de ecuaciones que hay que resolver.

Realiza los siguientes ejercicios:

1) Calcula los valores de a, b y c para que la siguiente función f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo en el punto (0, 2) y un punto de inflexión en x0 = 2.

2) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 2, un punto de inflexión en (-1, 0) y su recta tangente en x0 = 0 sea y = 3x + 1.

3) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, -1) y un máximo relativo en (1, 0).

4) Calcula los valores de a, b, c, d y e para que la función f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante (y = x), que tenga un mínimo relativo en el punto (-1, 0) y un máximo relativo en x0 = 2. . Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, -1) y un máximo relativo en (1, 0).

5) Calcula los valores de a, b, c, y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente es y=x y tenga un mínimo relativo en el punto (-1, 0). 14.

6) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, 2) y un máximo relativo en (-1, 0).

7) Calcula los valores de a, b, c, y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente es y = 2x y tenga un mínimo relativo en el punto (1, 0).

8) Calcula los valores de a, b y c para que la siguiente función f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo en el punto (0, 2) y un punto de inflexión en x0 = 2.

9) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 2, un punto de inflexión en (-1, 0) y su recta tangente en x0 = 0 tenga de pendiente 3.

10) . Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 1, un punto de inflexión en (2, 0) y su recta tangente en x0 = 0 tenga de pendiente 2.



R-MATCNSI 41

11) .La función y= x mx nx p3 2 tiene un máximo en x=-1 y un mínimo en x=3 y pasa

por (0,5). Halla m, n, p.

12) La función y= ax bx cx d3 2 pasa por (1,7); tiene sus extremos en x=0 y x=4 y un punto de inflexión en x=2. Calcula a, b, c, d.

13) Sea la función y= ax bx cx d3 2 . Calcula a, b, c, d para que tenga un máximo en (-1,20) y un mínimo en (3,-12).

14) La función y= x mx nx p3 2 pasa por el punto (-1,0), tiene un mínimo en x=1 y un

punto de inflexión en x=-1/3. Calcula m, n , p.

15) La función f(x)= x ax x b3 2 4 tiene un punto de inflexión en x=2/3 y se anula en x=3. Calcula los valores de a y b y los extremos de la función.

16) Halla un polinomio de tercer grado cuyo coeficiente del término de grado 3 sea 1,con un punto de inflexión en (1,1) y que como tangente en ese punto tenga a la recta x+y=2.

17) Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y = 2x – 3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, –2).

Problemas de máximos y mínimos

Para hacer problemas de máximos y mínimos debes seguir los siguientes pasos: 1) Dibuja el elemento geométrico y nombra sus lados. 2) Plantea una ecuación que relacione las variables y una función que hay que optimizar. 3) Despeja en la ecuación una variable en función de la otra y sustitúyela en la función. 4) Calcula los valores de x que hacen máxima o mínima la función, según se pida. Para

ello haz la primera derivada, iguálala a cero con lo que obtienes los puntos críticos de esa función (posibles máximos o mínimos). Haz la segunda derivada y sustituye en ella los puntos críticos. Si al sustituir te queda un valor positivo, para ese valor hay un mínimo, y si al sustituir te queda un valor negativo, para ese valor hay un máximo.

ÁREAS Y VOLUMENES (PARA PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

Paralelogramo Triángulo Trapecio

b= base

h= altura

B

Área = b . h Área =2

h.b Área= h.

2

bB

Polígono regular Sector circular Círculo

Área=2

a .perímetro Área Sector=

360º

r 2 2

Área= 2r

Perímetro= r 2

b

r

α

a

h h

b

b

h

r



R-MATCNSI 42

Prisma regular recto Pirámide regular recta Cilindro

SL= Superficie lateral

PB= Perímetro de la base

SL=Superficie lateral

la altura: es la perpendicular

desde el vértice a la base.(h)

la apotema: es la altura del

triángulo de una cara (ap)

Área lateral : SL = PB . h

Área total : ST = SL +2 SB

Volumen: V = SB . h

Área lateral: 2

. PBL

aPS

Área total: BLT SSS

Volumen: hSV B .3

1

Área lateral : SL = PB . h = 2 rg

Área total : ST = SL + 2 SB =

2 r (g+r)

Volumen: V = SB . h = r2 h

Cono Esfera

Área lateral: 2

. PBL

aPS = rg

Área total: BLT SSS =

= r (g+r)

Volumen: hSV B .3

1=1/3 r

2 h

Superficie: S = 4 R2

Volumen: V = 4/3 R3

EJERCICIOS: 1º Dividir el número 8 en dos sumandos no negativos, tales que el cubo del primero mas el

cuadrado del segundo dé el mínimo valor posible.

2º Dos números no negativos suman 40. ¿Cuál es el mínimo valor que pueden tomar la suma del cubo del primero más el triple del cuadrado del segundo, y cuánto valen los números en este caso?

3º En una amplia pradera atravesada por un camino recto se quiere vallar un campo rectangular tomando como uno de sus lados el camino. Se sabe que el metro de valla del lado del camino vale a 100 € el metro y la de los otros lados a 20 € el metro. ¿Cuál es la medida del mayor campo que se puede vallar con 36000 €?

4º Dos números no negativos suman 10 . ¿ Hallar el máximo y el mínimo del producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro?

5º Se quiere construir una ventana rectangular con 2 m2 de luz. Se sabe que el precio del marco vertical es de 80 €/metro y el horizontal 10 €/metro. ¿Cuáles serán las medidas del marco más económico?

g=h

r

r

g

h



R-MATCNSI 43

6º Se quieren vallar dos campos de deporte rectangulares iguales con un lado común con 600 m de valla (se trata de vallar el contorno de ambos y el lado de separación). Halla las dimensiones si el cercado encierra una superficie máxima.

7º Dividir un segmento de 60 cm con la condición de que los dos triángulos equiláteros construidos sobre ellos sean mínimas.

8º De entre todos los rectángulos de perímetro 28 . ¿Cuál es el que tiene mayor área?

9º La suma de todos los lados de un prima recto de base cuadrada es 72 x Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo Volumen prisma = área base . altura

Área cuadrado = Lado. Lado

10º De entre todos los rectángulos de perímetro 40 cm determinar el que tiene la diagonal menor.

11º Se desea cercar un terreno rectangular de 60m2 . Si la tela metálica cuesta 200 pts el metro . Determinar las dimensiones para que el gasto sea mínimo.

12º Las cinco caras de un estanque de base cuadrada tienen un área de 192m2. Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo. Volumen prisma = Área de la base . altura

Área cuadrado = lado. lado Área rectángulo = base . altura

13º Hallar el volumen máximo del cono que puede generar un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos , sabiendo que dichos catetos suman 12.

14º De una pieza de cartón de 12cm de lado se recorta un cuadrado en cada esquina , para formar , doblando los bordes , una caja de base cuadrada. Calcular la longitud de los lados de los cuadrados que se deben cortar, para que la caja tenga capacidad máxima.

12

15º Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

16º Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

17º Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo

y

y

x

x

x

x

y

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

x

12-2x



R-MATCNSI 44

18º Un rectángulo de perímetro 12 gira alrededor de un lado y genera un cilindro, calcular las dimensiones del rectángulo para que el volumen del cilindro sea máximo.

Volumen cilindro = Área de la base . altura

19º Un rectángulo de perímetro 20 gira alrededor de un lado y genera un cilindro, calcular las dimensiones del rectángulo para que el volumen del cilindro sea máximo.

Volumen cilindro Área de la base . altura

Área del círculo r2

20º La suma de todos los lados de un prima recto de base cuadrada es 48

Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo Volumen prisma = área base . altura Área cuadrado = Lado. Lado 21º De entre todos los rectángulos de perímetro 20 cm determinar el que tiene la diagonal

menor.

22º Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular

23º Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima.

24º Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

25º Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las

dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

26º Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

27º Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible?

28º Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares

29º Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máxima

30º Una empresa inmobiliaria ha decidido convertir un hotel en 65 estudios.

Alquilando a 600€ cada estudio, conseguiría alquilarlos todos, y por cada 20€

que aumente el alquiler, alquilaría uno menos. Si cada estudio alquilado requiere 60€ mensuales

de gastos, ¿a cuánto debe alquilarlos para obtener máximo beneficio?.

y y

x



R-MATCNSI 45

ESTADÍSTICA

1ºDistribuciones estadísticas unidimensionales

Definiciones: Población: Conjunto de elementos objeto de estudio Muestra: Subconjunto de la población sobre la que se realiza el estudio. Su tamaño es N

Carácter: Característica que se estudia. Puede ser cualitativo o cuantitativo Variable estadística (xi): Conjunto de valores que toma un carácter cuantitativo Variable estadística discreta: cuando puede tomar un número finito de valores Variable estadística

continua: cuando puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta real

Frecuencia absoluta (fi): Es el número de veces que se repite cada valor de la variable estadística xi

Frecuencia absoluta acumulada (Fi): Para un valor de xi es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi, mas la de xi. Fi = f1 + f2 + .....+ fi.

Frecuencia relativa (hi): Para un valor de xi es N

f i

Frecuencia relativa acumulada (Hi): Para un valor de xi es la suma de todas las frecuencias

relativas de todos los valores anteriores a xi, mas la de xi. Hi = h1 + h2 + .....hi. Tablas de frecuencias: Son tablas de conteo donde ponemos los valores de xi ordenados y las

cuatro frecuencias Representaciones gráficas: Se emplean diagramas de barras para variables estadísticas

discretas e histogramas para variables estadísticas continuas, a no ser que se nos pida alguna otra representación específica.

Cálculo de parámetros: Parámetros de centralización

Discretas Continuas

Media aritmética =

n

1 i

ii

N

fx X

Moda

Mo: Valor de xi que tiene mayor

frecuencia, fi

Obtenemos el intervalo modal (el de mayor frecuencia)

Mo = Li + C21

1

D D

D

Li = límite inferior del intervalo modal C = amplitud de la clase D1 = diferencia de la frecuencia de la clase con la frecuencia de la clase anterior D2 = diferencia de la frecuencia de la clase con la frecuencia de la clase posterior



R-MATCNSI 46

Mediana

M: Valor de xi que ocupa en la

tabla la posición 2

1 N

La posición se mira en la columna de Fi

Obtenemos el intervalo de mediana (en el que se encuentra la

posición 2

! N)

M = Li + Ci

1

f

F - 2

Ni

Fi – 1 = frecuencia acumulada del intervalo anterior al de mediana fi = frecuencia absoluta del intervalo de mediana

Cuartiles: Valores de xi que dividen la distribución en 4 partes iguales

Q1: Valor de xi que ocupa la

posición N/4. Q2: Mediana. Q3: Valor de xi que ocupa la

posición 3N/4.

Q1 Intervalo de posición N/4

Q1 = Li + C i

1-i

f

F - 4

N

Q2 = Mediana

Q3 Intervalo de posición 3N/4

Q3 = Li + C i

1-i

f

F - 4

3N

Quintiles: Valores de xi que dividen la distribución en cinco partes iguales. K1: Valor de xi que ocupa la posición N/5 K2: Valor de xi que ocupa la posición 2N/5 K3: Valor de xi que ocupa la posición 3N/5 K4: Valor de xi que ocupa la posición 4N/5

Deciles: Valores de xi que dividen la distribución en diez partes iguales

Percentiles: Valores de xi que dividen la distribución en cien partes iguales Parámetros de dispersión:

Rango: Diferencia entre el mayor valor de xi y el menor

Varianza: S2 = 2

n

1 i

i

2

i

X - N

fx

Desviación típica:

S = 2S

Desviación media:

Dm = N

fx - xn

1 i

ii

Intervalos de confianza Para distribuciones unimodales y simétricas o ligeramente asimétricas, se verifica que:

1.- En el intervalo ( x , - x ), se encuentran el 68% de los datos

2.- En el intervalo ( 2 x ,2 - x ), se encuentran el 95% de los datos

3.- En el intervalo ( 3 x ,3 - x ), se encuentran el 99% de los datos

Comparación de puntuaciones. Puntuaciones típicas

Se llaman puntuaciones típicas de la variable X a los valores: S

Xx i

Se utilizan cuando se quieren comparar puntuaciones obtenidas en diferentes estudios, o una puntuación respecto de 2 o más conjuntos de datos.

Coeficiente de variación

D = X

S. Relaciona una medida de dispersión (S), con una medida de centralización ( X )



R-MATCNSI 47

Ejemplos 1.- El consumo de unidades de un determinado producto en 100 establecimientos de

una ciudad fue el siguiente: 28, 32, 45, 6, 12, 93, 36, 74, 10, 16, 49, 5, 32, 47, 76, 80, 8, 95, 16, 68, 35, 73, 59, 27, 9, 86, 42, 19, 58, 37, 29, 6, 88, 20, 5, 90, 91, 13, 46, 29, 97, 38, 56, 12, 7, 63, 24, 91, 85, 73, 92, 26, 8, 42, 35, 97, 91, 43, 64, 92, 57, 23, 54, 6, 21, 39, 63, 47, 55, 61, 94, 52, 23, 74, 67, 9, 18, 39, 61, 86, 25, 47, 69, 73, 12, 5, 42, 7, 39, 45, 6, 93, 18, 75, 41, 23, 52, 37, 21, 95 Construir una tabla de frecuencias de datos agrupados en seis intervalos de igual amplitud comenzando en 3,5 y representar su frecuencia absoluta. Calcular la media aritmética, mediana, moda, primer y tercer cuartil, percentil 90, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

Intervalo

s

marca de clase xi

fi

Fi

hi

Hi

xifi

xi2fi

(3,5, 19,5) 11,5 23 23 23/100 23/100 264,5 3041,75

(19,5, 35,5) 27,5 17 40 17/100 40/100 467,5 12856,25

(35,5, 51,5) 43,5 19 59 19/100 59/100 826,5 35952,75

(51,5, 67,5) 59,5 14 73 14/100 73/100 833 49563,5

(67,5, 83,5) 63,5 10 83 10/100 83/100 635 40322,5

(83,5, 99,5) 91,5 17 100 17/100 1 1555,5 142328,25

100 4582 284065

82,45100

4582X

Intervalo modal: (3,5, 19,5

Mo = 68,47623

231635

Intervalo de mediana: (35,5, 51,5)

M = 92,4319

4050165,35

Intervalo de Q1: (19,5, 35,5)

Q1 = 38,2117

2325165,19

Intervalo de Q3: (67,5, 83,5)

Q3 = 7,7010

7375165,67

Intervalo de P90: (83,5, 99,5)

P90 = 08,9017

8390165,83

S2 = 1776.741)82,45(100

284065 2 , S = 22,271776,741 , d = 27,22/45,82 = 0,59

23

17 19

14

10

17

0

5

10

15

20

25

Fre

cu

en

cia

s A

bso

luta

s

Intervalos



R-MATCNSI 48

2.- Las calificaciones de 40 alumnos de una determinada clase en una asignatura son las siguientes:

xi 3 4 5 6 7 8 9 10

fi 2 3 7 8 6 6 5 3 Construir una tabla de frecuencias y representar los datos en un diagrama de barras y

en un diagrama de sectores. Calcular la media aritmética, mediana, moda, primer y tercer cuartil, percentil 90, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

xi fi Fi hi Hi xifi xi2fi

3 2 2 2/40 2/40 6 18

4 3 5 3/40 5/40 12 48

5 7 12 7/40 12/40 35 175

6 8 20 8/40 20/40 48 288

7 6 26 6/40 26/40 56 392

8 6 32 6/40 32/40 48 384

9 5 37 5/40 37/40 45 405

10 3 40 3/40 1 30 300

40 280 2010

740

280X , d =

7

11,1 = 0,15

Mo = 6

Posición de la mediana = 21.5; M = 2

76 = 6,5

Posición de Q1 = 10; Q1 = 5 Posición de Q3 = 30; Q3 = 8 Posición de P90 = 36; P90 = 9

Varianza = S2 = 2740

2010 = 1,25, S = 25,1 = 1,11

EJERCICIOS 1.- La siguiente tabla da las edades a las que comenzaron a sentarse los niños de una muestra

particular: a) Obtener las frecuencias

relativas b) Construir el diagrama de barras c) ¿Cuál es la mediana?

2.- Los pesos en kg. de 20 alumnos de un cierto centro son: 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61. 1) Agrupar los datos en clases de amplitud cinco, siendo el extremo inferior del primer intervalo 37,5. 2) Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media de los datos agrupados

3.- Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron: 8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10.

1) Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas y dibujar el correspondiente diagrama de barras.

2) Calcular la media y mediana del conjunto de datos. 4.- Los pesos en kilogramos de 20 alumnos de un colegio son: 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43,

60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61.

Meses 12 11 10 9 8 7 6 5

Frecuencia 1 6 7 14 28 35 21 10

3 4

5

6

7 8

9

10



R-MATCNSI 49

1) Agrupar los datos en clases de amplitud cinco siendo el extremo inferior del primer intervalo 37.5. Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media de los datos agrupados.

2) Comparar la proporción de observaciones en el primer intervalo con la que cabría esperar bajo una distribución Normal con media 50 y desviación típica 6,4.

5- Los pesos en miligramos de 20 recién nacidos son: 3686,3724, 3547, 2539, 4042, 3959, 3519, 3180, 3401, 2524, 3515, 3426, 3436, 3146, 2891, 3191, 2565, 1764, 3948, 2945.

1) Construir una tabla de distribución de frecuencias cuyo primer intervalo sea [1600, 2200) y todos los intervalos tengan la misma amplitud. 2) Determinar gráficamente entre que pesos estará el 90% de la muestra, considerados

excluidos el 5% con peso más bajo y el 5% con peso más alto.

6.- El histograma de frecuencias agrupadas para ciertos datos es:

Frecuencias

1

6

10

13

8

4 3

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

Extremos de intervalos

Calcular la media y la desviación típica

7º Con la variable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la siguiente tabla de frecuencias:

1) Completar la tabla de frecuencias 2) Calcular la media y la desviación estándar

usando la tabla. 8º Se han obtenido las pulsaciones de un equipo de

atletas después de una carrera. Los datos obtenidos son los siguientes:

Se pide: 1) Las marcas de clase 2) El intervalo mediano 3) El coeficiente de

variación, es decir, el coeficiente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media. 9º El número de días que faltaron al colegio los niños de una clase se recogen en la siguiente

tabla: 1) Calcular la media y la desviación

típica. 2) Calcular el tercer cuartil 10º Los alumnos de un centro obtuvieron las siguientes notas finales en un examen de

selectividad: 5.4, 5.6, 5.6, 5.7, 5.7, 5.7, 5.8, 5.9, 5.9, 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.7, 7.1, 7.8, 8.3, 9.4, 9.5. 1) Dibujar el histograma correspondiente a las notas agrupadas en cinco intervalos de la

misma amplitud. 2) Utilizar la distribución anterior para calcular un parámetro que refleje la dispersión de

esta muestra

Edad en años

Frecuencia acumulada

[10 - 30) 10

[30 - 50) 30

[50 - 70) 60

[70 - 90) 84

Pulsaciones 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99

Número de atletas 3 3 7 10 12 8

Número de días 0 1 2 3 4 5 6 7 10 12

Frecuencia 9 5 4 3 2 2 1 1 1 1



R-MATCNSI 50

2ºDistribuciones estadísticas bidimensionales

Se estudian conjuntamente 2 variables estadísticas y se pretende saber que tipo de relación existe entre ellas.

Variable estadística bidimensional: (X, Y) Tablas: tablas de doble entrada o tablas largas Representación: mediante una nube de puntos

Cálculo de parámetros

Covarianza: Sxy = YXN

fyn

i

ii

1

ix

Coeficiente de correlación lineal: r = yx

xy

SS

S

El coeficiente de correlación lineal indica el tipo de relación o dependencia existente entre

las variables X e Y El valor de r siempre está entre –1 y 1 -1 r 1 Correlación

A partir de la nube de puntos podemos indicar si la correlación entre las variables es lineal o curvilinea, positiva ( ) o negativa ( ), funcional (recta perfecta), fuerte o débil.

Dependencia o correlación funcional: r = 1

Dependencia aleatoria o correlación lineal: r 1

Dependencia o correlación positiva: 0 < r 1

Dependencia o correlación negativa: -1 r < 0 Independencia aleatoria o variables incorreladas: r = 0 Dependencia o correlación fuerte: Cuando r está próximo a 1 ó a –1 Dependencia o correlación débil: Cuanto más lejos está r de 1 ó de –1

Regresión Se trata de buscar la ecuación de la recta que haga mínima la suma de las desviaciones de los puntos de la nube respecto de los correspondientes de las rectas.

Las ecuaciones de las rectas de regresión son:

Recta de regresión de y sobre x: )xx(S

Syy

2

x

xy Conocido un valor de la variable x

hace mínimo el error cometido al calcular el correspondiente valor de la variable y

Recta de regresión de x sobre y: )yy(S

Sxx

2

y

xy Conocido un valor de la variable y

hace mínimo el error cometido al calcular el correspondiente valor de la variable x

Consecuencias:

1.- Todas las rectas de regresión pasan por el punto ( y ,x ).

2.- Sólo es aconsejable hacer regresión cuando la correlación es fuerte, pues en caso contrario las estimaciones obtenidas no son fiables.

3.- La pendiente de la recta de regresión tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación lineal r.

4.- La pendiente de la recta de regresión indica la inclinación de esta, no la dispersión de la nube de puntos. La dispersión de la nube de puntos sólo la mide r.



R-MATCNSI 51

Ejemplo Las calificaciones que han obtenido 40 alumnos de 1º de bachillerato en Matemáticas (X) y en idioma (Y), vienen expresadas en la siguiente tabla de doble entrada:

X 5

6

7

8

9

10 Y

5 3 2 4

6 3

8 5 6

10 7 6 4

Representar el conjunto de datos. Indicar que tipo de correlación existe. Construir la tabla larga relativa al conjunto de datos y calcular el coeficiente de correlación lineal. A la vista de este coeficiente ¿es aconsejable hacer regresión en este caso?

xx yi fi xifi yifi xi2fi yi2fi xiyifi

5 5 3 15 15 75 75 75

5 6 3 15 18 75 108 90

6 5 2 12 10 72 50 60

6 8 5 30 40 180 320 240

7 5 4 28 20 196 100 140

8 8 6 48 48 384 384 384

8 10 7 56 70 448 700 560

9 10 6 54 60 486 600 540

10 10 4 40 40 400 400 400

40 298 321 2316 2737 2489

A la vista de la nube de puntos existe una correlación lineal positiva no muy fuerte

45,740

298X , 03,8

40

321Y

Sx2 = 4,2)45,7(40

2316 2 Sy2 = 94,3)03,8(40

2737 2

Sx = 54,14,2 Sy = 98,194,3

Sxy = 4015,203,8.45,740

2489, r = 78,0

98,1.54,1

4015,2

Con este coeficiente de correlación no es muy aconsejable hacer regresión, pues al no ser la correlación muy fuerte las estimaciones que se establezcan al realizar la regresión tendrán un error considerable.



R-MATCNSI 52

EJERCICIOS 1.- Se ha medido el contenido en oxígeno Y, en mg/litro, de un lago a una profundidad de X

metros, obteniéndose los siguientes datos:

La recta de regresión es Y - 4,22 = (-38,59/360,5)[X - 40,71] Se pide: a) Coeficiente de correlación y conclusión estadística b) Para una profundidad comprendida entre 75 y 80 metros, ¿qué contenido en oxígeno se

podría predecir?

2.- Dos conjuntos de datos bidimensionales tienen como coeficientes de correlación lineal

r1 = -0,87 y r2 = 0,37.

1) Razonar en cual de los dos conjuntos es mejor el ajuste mediante una recta de una variable en términos de la otra.

2) Representar dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones se correspondan aproximadamente con las dadas.

3- En la siguiente tabla se dan las marcas femeninas de cierta reunión de atletismo:

Distancia (metros) 100 200 400 800 1500 Tiempo: minutos

Segundos 0 11

0 22

0 48

1 54

3 53

1) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre las distancias (metros) y los tiempos

medidos en segundos. 2) Sin efectuar cálculos, razonar si debemos esperar correlación positiva o negativa entre

las variables velocidad y distancia.

4.- Dos conjuntos de datos bidimensionales, tienen como coeficiente de correlación r1 = -0,83.

r2 = 0,51.

1) Representar gráficamente dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones reflejen aproximadamente las dadas.

2) Razonar cuál de los dos conjuntos estará más concentrado respecto de sus correspondientes rectas de regresión.

5.- Considérese el siguiente conjunto de datos bidimensionales:

1) Sin efectuar cálculos razonar cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3, -0,1,-0,9, 0,92 y cuál de las siguientes rectas es la de regresión de y sobre x:

y = 2,03 - 0,37x, y = 5,53 + 0,37x, y = -2,03 - 1,37x, y = 2,03 + 0,72x. 2)Para el valor x = 3,5 ¿qué predicción de la variable y es razonable efectuar?.

6.- En una empresa se seleccionaron cinco trabajadores, se anotaron sus años de servicio y el tiempo de permiso en horas solicitado en el último mes. Los resultados obtenidos fueron:

1) Representar gráficamente los datos anteriores. Razonar si los datos muestran algún tipo de correlación.

2) Calcular el coeficiente de correlación e interpretarlo en términos de la situación real.

X 15 20 30 40 50 60 70

Y 6,5 5,6 5,4 6 4,6 1,4 0,1

X 1 1 2 3 4 4 5 6 6 Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4

X 1 3 2 4 5 4

Y 1 1 3 4 6 5



R-MATCNSI 53

7.- Considérense las siguientes nubes de puntos:

Graf. 1 Graf. 2 Graf. 3 1) Asociar razonadamente las siguientes rectas de regresión de y sobre x a cada una de las

gráficas: x + y = 4, 0,3x + y = 2,6, 0,5x - y = 1. 2) Razonar en cuál de las gráficas la recta de regresión permitiría predicciones más

precisas.

8.- Un conjunto de datos bidimensionales (X, Y) tiene coeficiente de correlación r = - 0,8 y las

medias de las distribuciones marginales son X = 3, Y = 10. Sin efectuar cálculos, razonar porqué las siguientes ecuaciones no pueden corresponder a la recta de regresión de y sobre x:

y = -2x + 16, y = 1,5x + 1, y = -3,5x – 1.

9.- Se tomaron ocho medidas de la temperatura de una batería y de su voltaje, obteniéndose los siguientes datos:

X: Temperatura 10 10 23,1 23,5 34 34,5 45 45,6

Y: Voltaje 430 425 450 460 470 480 495 510

1) Sin efectuar cálculos, razonar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de y sobre x para los datos anteriores: y = 350 - 2,1x, y = 406 - 2,1x, y = 406 + 2,1x.

2) Para 25 grados ¿qué voltaje sería razonable suponer?. 10.- Se experimentó en 8 coches un aditivo, obteniéndose los siguientes resultados relativos a

la reducción de óxidos de nitrógeno:

1) Representar en el plano el conjunto de datos. Razonar si tiene correlación y en caso afirmativo indicar de que tipo es.

2) Obtener la recta de regresión de y sobre x.

11- Tres conjuntos de datos bidimensionales C1, C2, C3 tienen de coeficientes de correlación

r1 = -0,95, r2 = 0,65, r3 = -0,7, respectivamente.

1) Representar gráficamente tres conjuntos de puntos cuyas correlaciones se correspondan aproximadamente con las dadas.

2) Ordenar razonadamente los conjuntos de mayor a menor ajuste lineal de una variable en términos de la otra.

12.- En una empresa de transportes trabajan 6 conductores. Los años de antigüedad de sus

permisos de conducir y el número de infracciones cometidas en el último año por cada uno de ellos son los siguientes:

1) Representar gráficamente los datos anteriores. Razonar si los datos muestran correlación y en caso afirmativo indicar de qué tipo es.

2) Calcular el coeficiente de correlación e interpretarlo en términos de la situación real.

X: Cantidad de aditivo 1 1,5 2 2,5 3 4 4 6

Y: Reducción de óxidos 1 5 11 10 13 15 20 21

X: Años de antigüedad 3 4 5 6

Y: Infracciones 4 3 2 1



R-MATCNSI 54

13.- Un conjunto de datos bidimensionales (xi, yi) tiene coeficiente de correlación r = -0,9,

siendo las medias de las distribuciones marginales X = 1, Y = 2. Se sabe que cada una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de y sobre x:

y = -x + 2 3x - y = 1 2x + y = 4 y = x + 1 Seleccionar razonadamente esta recta.

14.- En cinco alumnos se observaron dos variables: X = puntuación obtenida en un determinado test e Y = nota alcanzada en un examen de Matemáticas. Los resultados se indican en la tabla siguiente:

a) Hallar la recta de regresión. b) Sabiendo que un alumno obtuvo un 100 en el test, pero no realizó el examen de

Matemáticas, predecir, si es posible, la nota que hubiera obtenido. 15.- Se tomaron las medidas de la presión sistólica de cinco personas diferentes. Los resultados

fueron los siguientes: a) Dibujar un diagrama de dispersión

para los datos. b) Determinar la recta de regresión.

16.- Se ha medido el contenido en oxígeno Y

(en mg/litro) de un lago a una profundidad de X metros obteniéndose los siguientes datos:

La recta de regresión es y - 4,22 = -38,59 (x - 40,71). Se pide:

360,5

1) Coeficiente de correlación y conclusión estadística. 2) Para una profundidad de 35 metros ¿qué contenido en oxígeno se podría predecir?.

17.- Los valores de la variable talla medida en centímetros, en una muestra de 50 estudiantes se recogen en la siguiente tabla:

1) Calcular la media y la desviación típica. 2) ¿Cuál es la clase que contiene a la mediana?.

18.- Una persona está realizando un régimen para adelgazar. Su tabla de pesos desde que empezó el régimen es la siguiente:

1) Explica si existe correlación lineal. En caso afirmativo razona de qué tipo es.

2) Indica cuál de las dos rectas y = -1,7x + 73,5, y = 1,7x + 73,5, es la recta de regresión

X 110 140 90 120 130

Y 6 9 5 7 8

X: Edad en años 20 30 50 60 70

Y: Presión en mm de Hg 100 110 140 160 165

X 15 20 30 40 50 60 70

Y 6,5 5,6 5,4 6 4,6 1,4 0,1

Talla 155-164 165-174 175-184 185-194 195-204

Número de estudiantes 23 12 10 4 1

Semanas 1 2 3 4

Peso en Kg. 72 70 68 67



R-MATCNSI 55

19.-

a)Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidimensionales b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa? c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables? d) Ordena de menor a mayor las correlaciones. 20.-Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres puede ser el coeficiente de correlación: a) r = 0,98 b) r = –0,87 c) r = 0,5

21º Dada la tabla

Halla:

a) X , Y , Sx, Sy, Sxy. b) El coeficiente de correlación, r.

Interprétalo. c) Las dos rectas de regresión 22º La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg, y la de sus

estaturas, 170 cm. Sus desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm. La covarianza es 40 kg · cm. Halla:

a) Coeficiente de correlación. b) La recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas. c) Estima el peso de un individuo de 180 cm de estatura perteneciente a ese colectivo. 22º Observa estas distribuciones bidimensionales

Asigna razonadamente uno de los siguientes coeficientes de correlación a cada gráfica: 0,2 – 0,9 – 0,7 0,6

23º La recta de regresión de Y sobre X de una cierta distribución bidimensional es y = 1,6x – 3.

Sabemos que X = 10 y r = 0,8.

a) Calcula . Y b) Estima el valor de y para x = 12 y para x = 50. ¿Qué estimación te parecemás fiable?



R-MATCNSI 56

PROBABILIDAD

1º Combionatoria Es una herramienta de la probabilidad. que sirve para contar. Para distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones nos haremos las siguientes preguntas: 1.- ¿Pueden aparecer elementos repetidos?

SI: ¿En todos los elementos cada objeto se repite el mismo número de veces?

SI ermutaciones con repetición ns! n2! n1!

m!Pm

ns n2, n1,

NO Variaciones con repetición VRm,n = mn

NO: 2.- ¿En cada elemento escribimos todos los objetos?

SI Permutaciones Pm = m!

NO: 3.- ¿Importa el orden?

SI : Variaciones ordinarias Vm,n = m(m-1)(m-2).....(m-n+1)

NO : Combinaciones Cm,n =

n)!(mn!

m!

n

m

EJEMPLOS ¿Cuántos número de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,6?

VR6,4 = 64 = 1296

¿De cuántas maneras se pueden repartir seis juguetes entre cuatro niños de forma que cada niño reciba un sólo juguete?

V6,4 = 6.5.4.3 = 360

Cinco amigos van al teatro. ¿De cuantas formas pueden colocarse en las cinco butacas adquiridas?

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Si queremos que una quiniela tenga 7 unos, 4 equis y 3 doses. ¿De cuantas formas podemos rellenarla?

120.1207!4!3!

14!P14

7,4,3

En un grupo de cuarenta alumnos se eligen tres para formar una comisión. ¿De cuantas formas puede constituirse la comisión?

C40,3 = 09883.2

40.39.38

3!37!

40!

3

40



R-MATCNSI 57

2º El lenguaje de los sucesos Experimento aleatorio: Es en el que no se sabe el resultado de antemano.

Experimento determinista: Es el que se sabe el resultado de antemano. Espacio muestral, E: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un cierto experimento aleatorio. E = Card(E) = n

Suceso aleatorio: Es cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral E.

Espacio de sucesos, S: Es el conjunto d todos los sucesos de un cierto experimento aleatorio.

S = Card(S) = 2n

.

Verificación de sucesos: Se dice que un suceso se verifica si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que componen el suceso.

Inclusión de sucesos: Se dice que el suceso A está incluido en el suceso B (A B) si siempre que se verifica A también se verifica B.

Distintos tipos de sucesos: Suceso seguro E Suceso imposible Suceso elemental: Formado por un sólo elemento Suceso compuesto: Formado por varios elementos

Suceso contrario A Ac A : Es el formado por los elementos del espacio muestral que no están

en el suceso A. Ac = E - A.

Sucesos incompatibles: Dos ó más sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. En caso contrario se llaman compatibles. Operaciones con sucesos: Unión de sucesos A B: Cuando se verifica A ó B Intersección de sucesos A B: Cuando se verifican A y B simultáneamente Propiedades: Unión A (B C) = (A B) C Asociativa A B = B A Conmutativa A = A Elemento neutro A E = E Elemento universal A A = A Idempotente Intersección A (B C) = (A B) C Asociativa A B = A B Conmutativa A E = A Elemento neutro A = Elemento universal A A = A Idempotente

Distributivas A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Suceso contrario

A Ac = E A A

c =

Ec =

c = E

A = A

Leyes de Morgan

BA)BA( BA)BA(

Diferencia de sucesos: A - B = A B



R-MATCNSI 58

Sistema completo de sucesos: Se llama sistema completo de sucesos a todo conjunto de sucesos

A1, A2,......An que cumple las siguientes condiciones:

1.- Ai= E

2.- Ai Aj = i j (Incompatibles 2 a 2)

Experimentos compuestos: Son los formados por varios experimentos simples.

Espacio compuesto: Es el espacio muestral de un experimento compuesto.

Frecuencia de un suceso:

- Frecuencia absoluta, f: Es el número de veces que se verifica un suceso.

- Frecuencia relativa, fr: Es la frecuencia absoluta/Nº de veces que se realiza el experimento.

Propiedades de las frecuencias:

0 fr(A) 1

fr(E) = 1

Si A y B son sucesos incompatibles entonces fr(A B) = fr(A) + fr(B)

Probabilidad de un suceso:

Def. clásica, (Laplace):

P(A) = nº casos favorables/nº de casos posibles.

Los sucesos elementales deben ser equiprobables.

Def. axiomática, (Kolmogorov):

Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se llama probabilidad en E a toda

aplicación que asigna a cada suceso un número, de tal forma que cumpla las siguientes

propiedades:

1.- 0 P(A)

2.- P(E) = 1

3.- Si Ay B son sucesos incompatibles entonces, P(A B) = P(A) + P(B)

Consecuencias de los axiomas:

1.-Para todo suceso A, 0 P(A) 1

2.-P(Ac) = 1 - P(A)

3.-P( ) = 0

4.-Si A B entonces P(A) P(B)

Probabilidad de la unión de sucesos, ó, alguno, al menos uno :

-Sucesos incompatibles (los que no tienen nada en común, A B = ):

P(A1 A2 An) = P(A1)+P(A2)+....+P(An)

-Sucesos compatibles (los que tienen algo en común, A B :

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C).

*En el caso de tres o más sucesos calcularemos la probabilidad de su unión utilizando el suceso

contrario y las leyes de Morgan.

P(A B C) = 1 - P( CBA )

Probabilidad condicionada, sabiendo que / Sea A un suceso tal que su probabilidad es distinta

de cero; para cualquier suceso B, llamaremos probabilidad de B condicionado por A

P(B/A) = P(A)

B)P(A



R-MATCNSI 59

Consecuencias: Probabilidad de la intersección de sucesos, Y, ni

-Teorema de la probabilidad compuesta P(A B) = P(A)P(B/A)

P(A B) = P(B)P(A/B)

-Sucesos independientes y dependientes:

A y B son independientes si P(B) = P(B/A); es decir si P(A B) = P(A)P(B)

A y B son dependientes si P(B) P(B/A); es decir si P(A B) P(A)P(B)

-Propiedades de los sucesos independientes:

P(A B) = P(A)P(B)

P(A1 A2 An) = P(A1)P(A2).....P(An).

-Propiedades de los sucesos dependientes:

*Si sabemos contar P(B/A) P(A B) = P(A)P(B/A)

P(A1 ) = P(A1)P(A2/A1)...P(An/ A1 )

P( )A/B)P(AP()BA

*Si no sabemos contar P(B/A) B)P(A 1)BAP( . Lo mejor es dibujar los diagramas

B)P(A P(A) )BP(A

Teorema de la probabilidad total:

Se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso situado al final de un diagrama de árbol, al cual

se puede llegar por diferentes caminos:

P(S) = P(S C1) + P(S C2) + ...........+ P(S Cn)

Teorema de Bayes:

Se utiliza en problemas donde conocemos cual ha sido el resultado final del experimento y nos

piden la probabilidad de que se haya llegado a ese resultado por un determinado camino:

P(Cn/S) = P(S)

))P(S/CP(C nn , en el denominador de esta fórmula siempre tenemos que utilizar el

teorema de la probabilidad total.

Consejos útiles Los problemas de probabilidad se pueden agrupar, en general, en cuatro grandes tipos:

1.- Experimentos donde las probabilidades son porcentajes fijos (sucesos independientes). Para resolverlos debemos:

Escribir el suceso Cuando importe el orden dentro del elemento debemos poner un número combinatorio precediendo a la probabilidad del suceso Las operaciones que hay que realizar son: productos (dentro de cada elemento del suceso) y sumas (de unos elementos respecto de otros)

2.- Experimentos donde las probabilidades no son porcentajes fijos (sucesos dependientes, donde casi siempre se trata de extraer elementos de un conjunto). Para resolverlos debemos:

Escribir el suceso Cuando importe el orden dentro del elemento debemos poner un número combinatorio precediendo a la probabilidad del suceso Las operaciones que hay que realizar son: productos (dentro de cada elemento del suceso) y sumas (de unos elementos respecto de otros)

3.- Teóricos. Dentro de estos tenemos dos tipos, los teóricos puros y aquellos en los que nos

dan P(A), P(B) y P(A B) y ocurre que P(A).P(B) P(A B). Para resolver estos problemas se utilizan las siguientes fórmulas:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P( )B P(A - 1 )BA )(1)( BAPBAP (Leyes de Morgan)



R-MATCNSI 60

B)P(AP(B)B)AP(

B)P(AP(A))BP(A

P(B)

B)P(AP(A/B) , para cualquier otra probabilidad condicionada se recomienda

dibujar el diagrama de conjuntos para saber exactamente que tenemos que calcular. EJERCICIOS Clasifica estos ejercicios según el tipo al que pertenezcan y resuélvelos.

1.-El 38% de las vacas del Reino Unido padece una determinada enfermedad. Estudiadas 6 vacas al azar calcular las siguientes probabilidades:

a)escribir el espacio muestral b)que al menos 4 estén enfermas c)que dos estén enfermas d)que alguna esté enferma

2.-De una población de 200 gallinas sólo 160 ponen huevos. Estudiadas 4 gallinas al azar calcular las siguientes probabilidades:

a)escribir el espacio muestral b)las cuatro gallinas ponen huevos c)alguna gallina pone huevos d)como máximo dos gallinas ponen huevos

3.-Se lanzan tres monedas al aire. Calcular las siguientes probabilidades: a)escribir el espacio muestral b)que salgan más de dos cruces c)que salgan dos caras d)que salga alguna cruz

4.-Se lanza una moneda trucada, donde la probabilidad de salir cara es del 60%, tres veces. Calcular las siguientes probabilidades:

a)escribir el espacio muestral b)que salgan más de dos cruces c)que salgan dos caras d)que salga alguna cruz

5.-Se dispone de dos bomboneras, la primera contiene 7 bombones de praliné y 2 de chocolate blanco, la segunda 3 de chocolate negro, 5 de praliné y 4 de chocolate blanco. Se tira un dado y si sale un número menor o igual que 4 se elige la primera bombonera y si sale un número mayor que 4 se elige la segunda bombonera y se saca un bombón. Calcular las siguientes probabilidades:

a)realizar el diagrama de árbol b)que se saque un bombón de praliné c)que se saque un bombón de praliné de la segunda bombonera d)que se elija la segunda bombonera y que se saque un bombón de praliné e)que se saque un bombón blanco o de praliné

6.-Pepe, Juan y Antonio participan por este orden en la final de tiro con arco de su municipio, esta se disputa a un sólo disparo de cada uno. La probabilidad de que Pepe haga blanco es del 85%, de que Juan haga blanco es del 89% y de que Antonio haga blanco es del 90%. Calcular las siguientes probabilidades:

a)que los tres hagan blanco b)que Pepe y Antonio hagan blanco c)que alguno haga blanco d)escribir el espacio muestral

7.-Un dado está cargado de modo que la probabilidad de que salga una cara es inversamente proporcional al número de esa cara. Calcular las siguientes probabilidades:

a)que salga un número par b)que salga un tres o un seis c)que salga un número primo

8.-Una urna contiene 7 bolas rojas y 5 bolas amarillas, se extraen dos bolas de la urna a)sin reemplazamiento b)con reemplazamiento. Calcular las siguientes probabilidades en cada uno de los casos anteriores:

1)que las dos bolas sean del mismo color



R-MATCNSI 61

2) que las dos bolas sean de diferente color 3)que la segunda bola sea amarilla

9.-El 35% de los vehículos de un concesionario son de gama baja, el 55% de gama media y los restantes son de gama alta. La probabilidad de que un coche de gama alta tenga algún defecto es del 5%, para los coches de gama media es del 15% y para los de gama baja es del 22%. Elegido al azar un coche de ese concesionario hallar la probabilidad de que no tenga defecto. Si elegimos un coche de este concesionario y observamos que tiene defecto, calcular la probabilidad de que sea de la gama alta. Calcular la probabilidad de que un coche elegido al azar sea de la gama baja y no tenga defecto.

10.-El 48% de la población italiana tiene teléfono móvil, el 30% tiene ordenador y el 11% tiene ambas cosas. Calcular las siguientes probabilidades. Elegida una persona al azar: a)que tenga alguna de las dos cosas b)que no tenga ninguna de las dos cosas c)que tenga teléfono móvil sabiendo que no tiene ordenador

11.- Dados tres sucesos A, B y C, expresar, (mediante las operaciones con sucesos) los siguientes sucesos:

a) Ocurre exactamente un suceso de los A, B, C. b) Ocurren exactamente dos de los sucesos A, B, C. c) Ocurren al menos dos sucesos de los A, B, C.

12.- Consideremos dos sucesos A y B, con probabilidades respectivas P(A) = 0,4 y P(B) = 0,7.

Determinar los posibles valores del máximo y del mínimo de P(A B) y las condiciones en las que se consigue cada uno de estos valores.

13.- Una urna contiene 10 bolas blancas, 5 amarillas y 5 negras. Se extrae una bola al azar de la urna y se sabe que no es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

14.- Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Suponiendo que la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.

15.- Un banco tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno de los cuales tiene una probabilidad 0,9 de funcionar en caso necesario. Si se produce un robo calcular:

a) Probabilidad de que ninguna alarma se active. b) Probabilidad de que al menos una alarma se active.

16.- La probabilidad de que un proyectil dé en el blanco es de 0,8. Si se lanzan 5 proyectiles, se pide: 1) Probabilidad de que los 5 den en el blanco 2) Probabilidad de que alguno dé en el blanco.

17.- Una Universidad sabe que el 75% de sus graduados obtiene empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada Universidad al azar. Se pide: a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo en el primer año. b) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo.

18.- Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces. Se pide: a) construir el espacio muestral b) Suponiendo que la moneda esté cargada y que la probabilidad de que salga cara es de

0.6, ¿cuales son las probabilidades de los sucesos elementales?.



R-MATCNSI 62

19.- Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 y P(A B) = 0,1. Calcular las siguientes probabilidades:

P(A/B), P(A/A B), P(A B/A B), P(A/A B).

20.- De una urna con 3 bolas blancas y 7 negras se extraen tres bolas simultáneamente. Hallar la probabilidad de que al menos una sea blanca.

21.- Una fábrica de coches tiene tres cadenas distintas de producción que fabrican, respectivamente, 1/2, 1/4, 1/4 del total de los coches producidos. La probabilidad de que un coche sea defectuoso es: para la primera cadena 1/2, para la segunda 1/4 y para la tercera 1/6. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche sea defectuoso? 2) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la primera cadena?

22.- La probabilidad de que deje de funcionar un motor de un avión es de 1/2 con independencia de que funcionen o no los restantes. Para que un avión pueda volar es necesario que funcionen al menos la mitad de sus motores. ¿Qué avión es más seguro: uno de dos motores o uno de cuatro?.

23.- Sea A el suceso:"El aspirante a una póliza de vida supera el examen médico", B el suceso: "El aspirante puede pagar las primas" y C el suceso:"La compañía de seguros autoriza la póliza". Describir las probabilidades expresadas por:

P(C/A), P(C/Bc), P(C/A B), P(A C/Bc)

24.- Una caja contiene 8 fusibles de los cuales dos son defectuosos. Se extraen sin reemplazamiento cuatro fusibles. Se pide: a) Probabilidad de extraer cuatro buenos. b) Probabilidad de extraer al menos 1 defectuoso.

25.- El volumen diario de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0,8% y 2% respectivamente. Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar esta sea defectuosa.

26.- En una urna hay 6 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen sucesivamente tres bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que alguna bola sea negra.

27.- Un grupo consta de 16 personas de las que 10 son varones y 6 mujeres. Se eligen al azar 3 personas del grupo. Se pide: a) Probabilidad de seleccionar exactamente a 2 varones. b) Probabilidad de seleccionar al menos un varón.

28.- Se lanza una moneda 4 veces. Calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces

29.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industria y el 15% para consumo directo. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcular la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

30.- Parar elegir a un jurado se dispone de cinco mujeres y de diez hombres. Se tiene que seleccionar al azar a seis personas. Se pide:

a) Probabilidad de que haya cinco mujeres y un hombre. b) Probabilidad de que haya al menos una mujer.



R-MATCNSI 63

31.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. b) Probabilidad de que el número sea mayor de tres.

32.- Juan propone a Luis el siguiente juego: Lanzar una moneda 10 veces, si salen 4, 5 ó 6 caras gana Luis y en caso contrario gana Juan. ¿Cuál es la probabilidad de que gane Juan?.

33.- Se lanzan tres monedas. La primera de 5 pts, la segunda de 25 pts y la tercera de 100. Se consideran los sucesos siguientes: A = aparecen dos caras, B = Aparece cara en la moneda de 100, C = aparecen caras en las monedas de 5 y de 25. Se pide:

a) P(A/B) b) ¿Son independientes B y C?.

34.- Una cadena metálica está compuesta por 4 eslabones. La probabilidad de ruptura de cada eslabón a un peso de 100 Kg. es de 0,6. Se somete la cadena a un peso de 100 Kg. y se pide:

a) Probabilidad de que no se rompa la cadena. b) Si se quiere que la probabilidad de que no se rompa la cadena, sea de 0,81, ¿cuál debe

ser la probabilidad de ruptura de cada eslabón?.

35.- En una caja de golosinas hay 6 caramelos y 4 chocolatinas. Un niño toma al azar cuatro golosinas. Determinar:

a) Probabilidad de que sólo coja chocolatinas. b) Probabilidad de que coja dos caramelos y dos chocolatinas. 36.- En su camino al trabajo una persona pasa por tres semáforos cada mañana. Los semáforos

operan independientemente. La probabilidad de una luz roja es de 0,4, 0,8 y 0,5 respectivamente para cada uno de los tres semáforos. Se pide:

a) La probabilidad de que la persona encuentre los tres semáforos en rojo. b) La probabilidad de que encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde o

ámbar.

37.- En un juego contra un adversario igual, tal que el juego no puede acabar en empate, ¿qué es mas probable, ganar exactamente 3 juegos de 6 ó exactamente 5 de 10?.

38.- Se lanza al aire cuatro veces una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de que: a) Salga alguna cara b) Salga un número impar de caras

39.- La urna A contiene cinco bolas blancas y tres negras y la urna B tiene tres bolas blancas y dos negras. Se toma al azar una bola de A y sin mirarla se introduce en B. A continuación de extraen con reemplazamiento dos bolas de B. Hallar la probabilidad de que sean de distinto color.

40.- De un baraja de cuarenta cartas se extraen 4 cartas. Calcular la probabilidad de que: a) Las cuatro sean del mismo palo. b) Las cuatro sean copas.

41.- Un psicólogo hace pruebas a un niño de primer curso de primaria. De anteriores experiencias en niños de la misma edad y colegio ha estimado que la probabilidad de resolver con éxito la primera prueba es 0,4 y la probabilidad de resolver con éxito la segunda habiendo pasado la primera es 0,6. ¿Cuál es la probabilidad de pasar con éxito las dos pruebas?.

42.- Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 7 preguntas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?.



R-MATCNSI 64

43.- Se lanza cinco veces una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de que no salga más de una cara.

44.- En una urna hay 1 bola blanca, 3 rojas y 4 verdes. Se considera el experimento que consiste en sacar primero una bola, si es blanca se deja fuera, y si no lo es se vuelve a introducir en la urna; a continuación se extrae una segunda bola y se observa su color.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 bolas del mismo color? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola blanca salga en la 2ª extracción?

45.- La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uno lanza un penalti,

a) Halla la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos jugadores. b) Halla la probabilidad de que al menos uno marque gol.

46.- Un grupo de 40 personas acaba de tomar un autobús. De los 40 sólo 10 son fumadores. Entre los fumadores el 70% se marea y entre los no fumadores esta cantidad baja al 40%.

a) Como el trayecto es largo se permite fumar a quien lo desee. 2 individuos se han sentado juntos y no se conocen ¿Cuál es la probabilidad de que ambos no sean fumadores?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero no se maree?

47.- Se dispone de 2 urnas idénticas. La primera contiene 3 bolas negras y 4 bolas verdes. La segunda contiene 4 bolas negras y 3bolas verdes.

a) Extraemos al azar una bola de cada urna. Halla la probabilidad de que ambas sean de color negro. b) Se saca una bola de la 2ª urna y sin mirarla se introduce en la 1ª urna. De ésta, a continuación, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que sea de color verde.

48.- Se dispone de tres monedas. La 1ª de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª también está trucada, de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide:

a) Obtener el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y en el orden indicado. b) Probabilidad de que se obtenga exactamente 2 cruces. c) Probabilidad del suceso A = "(cara, cruz, cara)". d) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.

49.- En unas votaciones a consejo escolar de un cierto centro sabemos que la probabilidad de que vote una madre es del 0'28, la probabilidad de que vote un padre es del 0'21 y la probabilidad de que voten los dos es de 0'15.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos vote? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no vote ninguno de los dos?

50.- En una oficina el 70% de los empleados son asturianos. También se sabe que el 41% son hombres y un 24% son mujeres no asturianas.

a) ¿Qué porcentaje de empleados son hombres asturianos? b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer.

c) Calcula la probabilidad de que un empleado sea hombre o asturiano.

51.- Una clase de 2º Bachillerato está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido Cerámica como asignatura optativa. Elegido un alumno al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico o estudie Cerámica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie Cerámica?



R-MATCNSI 65

4º SELECCIÓN DE EJERCICIOS DE PAU

1.- Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras, una segunda urna B contiene 5 bolas blancas y

2 negras. Se selecciona una urna al azar y se extraen de ella dos bolas sin reemplazamiento.

Calcular la probabilidad de que:

a) Las dos bolas sean blancas

b) Las dos bolas sean del mismo color

c) Las dos bolas sean de distinto color. (Jun. 1996)

2.- De una baraja española de 40 cartas se eligen al azar simultáneamente cuatro cartas. Hallar:

a) La probabilidad de que se hayan elegido al menos dos reyes.

b) La probabilidad de que tres de las cuatro cartas sean del mismo palo. (Jun. 1996, 2 ptos)

3.- La cuarta parte de las participantes en un congreso son españolas. La probabilidad de que una

congresista desayune té si es española es un octavo y la probabilidad de que tome té si es

extranjera , es un tercio. Si se elige una congresista al azar,

a) ¿cuál es la probabilidad de que desayune té?

b) ¿cuál es la probabilidad de que no sea española si desayuna té?

c) ¿cuál es la probabilidad de que sea española si no desayuna té? (Sep. 1996)

4.- La probabilidad del suceso A es 2/3, la del suceso B es ¾ y la de la intersección es 5/8. Hallar:

a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos.

b) La probabilidad de que no ocurra B

c) La probabilidad de que no se verifique ni A ni B (Sep. 1996, 2 ptos)

d) La probabilidad de que ocurra A si se ha verificado B

5.- Se realiza la experiencia compuesta consistente en lanzar al aire un dado y a continuación

introducir una nueva bola en una urna que contiene 2 bolas blancas y 4 negras, de modo que si el

número obtenido en el dado es par se introduce en la urna una bola blanca y si es impar una bola

negra.

a) Calcular la probabilidad de obtener al azar, dos bolas blancas al realizar dos extracciones

sucesivas y sin reemplazamiento de la urna, sabiendo que al lanzar el dado hemos obtenido un

número par.

b) Si se sacan simultáneamente dos bolas al azar de la urna después de haber lanzado el dado,

¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?. (Jun 1997, 3 ptos)

6.- Se lanza un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, dos veces consecutivas.

a) Calcúlese la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea igual a 4.

b) Calcúlese la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido un uno, sabiendo que la

suma es 4. (Jun. 1998, 2 ptos)

7.- Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.

b) B = Se obtiene un doble

c) A B

d) A B (Sep. 1999, 2 ptos)

8.- Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) =0,6; P(B) = 0,2 y P(

7,0BA

a) Calcúlese P(A B) y razónese si los sucesos A y B son independientes o dependientes.



R-MATCNSI 66

b) Calcúlese P(A B). (Jun. 2000, 2 ptos)

9.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de

que un caso se deba remitir al bufete A es 0,3; de que se deba remitir al bufete B es de 0,5 y de

que se remita al bufete C es de 0,2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea

ganado en los tribunales es de 0,6; para el bufete B esta probabilidad es de 0,8 y para el C de

0,7.

a) Calcúlese la probabilidad de que la empresa gane un caso.

b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determínese la probabilidad de que lo haya llevado el

bufete A. (Sep. 2000, 2 ptos)

10.- Una fábrica produce tres modelos de coche: A, B y C. Cada uno de los modelos puede tener

motor de gasolina o diesel. Sabemos que el 60% de los modelos son de tipo A y el 30% de tipo

B. El 30% de los coches fabricados tienen motor diesel; el 30% de los coches del modelo A son

de tipo diesel y el 20% de los del modelo B tienen motor diesel. Se elige un coche al azar. Se

piden las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) El coche es del modelo C

b) El coche es del modelo A sabiendo que tiene un motor diesel.

c) El coche tiene motor diesel sabiendo que es del modelo C. (Jun. 2001, 2 ptos)

11.- Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora la máquina A fabrica 600 tornillos, la B

300 y la C 100. Las probabilidades de que las máquinas fabriquen tornillos defectuosos son,

respectivamente, de 0,01 para A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar una hora se

juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la máquina A, sabiendo que no es

defectuoso?. (Jun. 2001, 2 ptos)

12.- En un video club quedan 8 copias de la película A, 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes

consecutivamente y cada uno elige una copia al azar. Calcúlese la probabilidad de que :

a) Los tres escojan la misma película.

b) Dos escojan la película A y el otro la C. (2 ptos) (Sep 2001)

13.- Un proveedor suministra lotes de materia prima y el 5% de ellos resultan ser defectuosos.

Seleccionando al azar tres lotes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean defectuosos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el máximo de lotes defectuosos sea 2? (2 ptos)

14.- Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras tres veces consecutivas:

a) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga el seis doble.

b) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un doble distinto del seis

doble. (2 ptos) (Junio 2002)

14.- Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras; la segunda 5

negras; y la tercera 4 blancas y tres negras.

a) Se elige una caja al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída

sea negra?

b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la

segunda caja?. (2 puntos) (Junio 2002)

15.-Sobre los sucesos A y B se sabe que: P(A) = 0,7; P(B) =0,5; P(A B) = 0,45. Calcular

a) P(B/A)



R-MATCNSI 67

b) P(Ac

Bc) (Muestra 2003, 2 ptos) (Muestra 2004)

16.- Se elige un número natural entre el 1 y el 20 de manera que todos tengan la misma

probabilidad de ser escogidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible

por 2 o por 3?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por 3 y no por 6?. (2 ptos) (Sep

2003)

17.- Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los

indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer

indicador es 0,95 y de que se active el segundo 0,90.

a) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores

b) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de los

indicadores. (Sept. 2004) (2 ptos)

18.- Se dispone de la siguiente información: P(A) = 0,6; P(B) = 0,2; P(A B) = 0,12.

a) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos (A B) y (A/(A B)).

b) ¿Son compatibles?, ¿son independientes?, ¿por qué? (2 ptos modelo 2005, modelo

2006)

19.- Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado

equilibrado. Se pide:

a) Describir el espacio muestral del experimento.

b) Determinar la probabilidad del suceso: Obtener una cara en la moneda y un número en el

dado. (2 ptos modelo 2005, Junio 2006, modelo 2007)

20.- Un ajedrecista gana una partida con probabilidad 0,6, la empata con probabilidad 0,3 y la

pierde con probabilidad 0,1. El jugador juega dos partidas.

a) Describir el espacio muestral y la probabilidad de cada uno de los resultados de este

experimento aleatorio.

b) calcular la probabilidad de que gane al menos una partida. (Modelo 2005, 2 ptos))

21.- En un centro de enseñanza hay 240 estudiantes matriculados en 2º de bachillerato. La siguiente

tabla recoge su distribución por sexo y por opción que se cursa:

Chicas Chicos

Científico - Tecnológica 64 52

Humanidades y C. Sociales 74 50

Se elige un estudiante al azar, calcular la probabilidad de que :

a) No curse la opción Científico – Tecnológica (Modelo 2005, 2 ptos))

b) Si es chico, que curse la opción de Humanidades y C. Sociales

22.- Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 2

1; P( B ) =

5

2; P( BA ) =

4

3. Calcular:

a) P(B/A) (Septiembre 2005, 2 ptos)

b) P( )/ BA

23.- Los tigres de cierto país proceden de tres reservas: el 30% de la primera, el 25% de la segunda

y el 45% de la tercera. La proporción de tigres albinos en la primera reserva es 0,2%, 0,5% en la

segunda y 0,1% en la tercera. ¿Cuál es la probabilidad de que un tigre de ese país sea albino?.

(Sep 2006, 2 ptos)



R-MATCNSI 68

24.- Según cierto estudio, el 40% de los hogares europeos tiene contratado internet, el 35% la

televisión por cable y el 20% ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por cable?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios?

(Jun 2007, 2 ptos)

25.- En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100

yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur

esté caducado es de 0,01 para la marca A, 0,02 para la B y 0,03 para la C. Un comprador elige

un yogur al azar.

a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado

b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca

B?. (Sep 2007, 2 ptos)

26.- Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que

P(A) = 4

3; P(B)=

2

1; P( BA ) =

20

1.

Calcular: P(A U B), P(A∩ B), P( )/ AB , P( )/ BA (Sep 2007, 2 ptos)

27.- Un instituto tiene dos grupos de 2º de bachillerato. El grupo A está formado por 18 alumnas de

las cuales 5 juegan al baloncesto, y 12 alumnos, 7 de los cuales juegan el mismo deporte. El

grupo B está formado por 12 alumnas, 4 de ellas jugadoras de baloncesto y 13 alumnos, 7 de los

cuales practican baloncesto. (Modelo 2008, 2 ptos)

a) Se elige un estudiante de 2º de bachillerato al azar, calcular la probabilidad de que sea

mujer.

b) ¿En que grupo es mas probable elegir al azar un estudiante que juegue al baloncesto

28.- En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis

caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien

exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.

a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane

b) Se sabe que una persona ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al

lanzar las monedas. (Junio 2008, 2 ptos)

29.- Se consideran dos actividades de ocio A = ver televisión y B = visitar centros comerciales. En

una ciudad la probabilidad de que un adulto practique A es de 0,46; la probabilidad de que

practique B es 0,33 y la probabilidad de que practique A y B es 0,15.

a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que no practique

ninguna de las dos actividades anteriores?.

b) Se elije al azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿Cuál es

la probabilidad de que practique las dos?. (Sep 2008, 2 ptos)



R-MATCNSI 69

4º Distribución binomial y normal

1.-Distribución binomial:

Una distribución aleatoria correspondiente a una variable aleatoria discreta, es una distribución binomial si: Realizamos n veces un experimento aleatorio con las siguientes características

a)Sólo tiene dos posibles resultados (sucesos)

A = Éxito A = Fracaso b)La probabilidad del suceso A es constante durante todo el experimento

P(A) = p; P( A ) = 1 – p = q c)Los sucesos son independientes en las n veces que se repite el experimento.

En este caso decimos que la distribución de probabilidad con la que trabajamos es una distribución binomial de parámetros n (número de repeticiones), p (probabilidad de éxito); B(n, p).

Cálculo de probabilidades En estos ejercicios nos preguntamos cuál es la probabilidad de obtener 0, 1, 2, 3, , n éxitos, es decir P(x = k), probabilidad de obtener k éxitos

P(x = k) = kn

.pk.qn-k, donde kn

es un número combinatorio, k)! -k!.(n

n!

kn

.

Media y desviación típica

= np; = npq

Ejemplo: Una Universidad sabe que el 75% de sus graduados obtiene empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada Universidad al azar. Se pide:

a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo en el primer año. b) Probabilidad de que 6 tengan empleo en el primer año. c) Probabilidad de que alguno tenga trabajo en el primer año.

Es una distribución B(8, 0,75), donde A = Encontrar trabajo durante el primer año y

A = No encontrar trabajo durante el primer año . X = nº de graduados que encuentran trabajo durante el primer año.

a) P(X 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 6

8.0,756.0,252 +

7

8.0,757.0,25 +

8

8.0,758

b) P(X = 6) = 6

8.0,756.0,252

c) P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 - 0

80,258



R-MATCNSI 70

2.- Distribución normal Una distribución aleatoria correspondiente a una variable aleatoria continua es una distribución normal cuando su función de densidad es una curva de Gauss o campana de Gauss: (Recordemos que una función de densidad es una función tal que siempre es positiva y el área que encierra entre su curva y el eje OX es de una unidad) Las características fundamentales de

esta curva son que: El área encerrada entre esta curva y el eje OX es 1.

El intervalo ( - , + ) contiene el 68% de los datos.

El intervalo ( - 2 , + 2 ) contiene el 95% de los datos.

El intervalo ( - 3 , + 3 ) contiene el 99% de los datos. En este caso decimos que tenemos una distribución de probabilidad normal, de parámetros

(media), (desviación típica), N( , ). Cálculo de probabilidades

En estos ejercicios se nos pide P(x k), y esta corresponde a una parte del área encerrada

bajo la curva de la N( , ). Hay unas tablas para la distribución N(0, 1) en las que se nos dan las áreas

correspondientes a las probabilidades P(z k), a las que llamaré f(k).

a)Lo primero que debemos hacer es transformar la N( , ) en una N(0, 1). Esto se hace tipificando la variable X:

Tipificar: X Z = -k

, P(x k) = P(z -k

) = f(k)

b)Debemos dibujar para tener claro en cada momento cual es el área que queremos calcular y cual es la que nos da la tabla:

P(x k) = f(k) (tabla 1)

P(x k) k P(x > k) = 1 -f(k) (tabla 1) P(x > k) k

P(k1 < x k2) = f(k2) – f(k1) (tabla 1)

P(k1 < x k2) k1 k2

P(k1 < x k2) = f(k2) – (1 – f(k1)) (tabla 1)

P(k1 < x k2) k1 k2

- +



R-MATCNSI 71

Ejemplo: El tiempo necesario para terminar un determinado examen sigue una Distribución

Normal con media 60 minutos y desviación estándar 10 minutos. Se pide: a) ¿Cuánto debe durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen?.

b) ¿Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos?. c) ¿Qué porcentaje de personas tardarán entre 55 y 75 minutos en terminarlo?

En este problema hay dos tipos de variables a determinar, en el apartado a) la variable que hay que determinar es xi = tiempo y en los apartados b) y c) hay que determinar un porcentaje = probabilidad = área.

a)P(X < xi) = P(X < P95) = 0,95, P(Z < 10

60P95 ) = 0,95

Buscamos en la tabla 1, en la zona de los porcentajes 0,95 y nos da el valor xi = 1,645

de donde 10

60P95 = 1,645, P95 = 16,45 + 60 = 76,45. El examen debe durar 76 minutos y

45 segundos. (Si trabajamos con la tabla 2 habríamos buscado el porcentaje 0,45)

b)P(X < 75) = P(Z < 10

6075) = P(Z < 1,5) = 0,9332 = 0,5 + 0,4332

c)P(55 < X 70) = P(-0,5 < Z 1) = 0,8413 – (1 – 0,6915) = 0,3413 + 0,1915

3.- Aproximación de la binomial por la normal En algunas distribuciones binomiales el número de veces que se repite la prueba, n, es muy grande y resulta demasiado largo trabajar con las fórmulas de la distribución binomial para responder a las probabilidades pedidas. En estos casos cuando se verifique

que: 5 nq

5 np

(fórmulas de Moivre) se puede pasar una distribución normal N(np, npq ), de tal forma

que las probabilidades que nos da esta distribución son las mismas que las de la distribución binomial de partida. Ejemplo: La probabilidad de que un corredor que comienza la vuelta ciclista a España, la termine, es del 68%. Si este año comienzan La vuelta 216 corredores, calcular las siguientes probabilidades:

a) Probabilidad de que terminen más de 160 b) Probabilidad de que terminen entre 140 y 165 corredores c) Probabilidad de que terminen 100

a)Este problema corresponde a una distribución B(216, 0,68) pues tenemos sólo dos sucesos:

A = Terminar la carrera y A = no terminar la carrera , donde la P(A) = 0,68 = p es constante y los sucesos son independientes entre si. Como np = 216. 0,68 > 5 y nq = 216. 0,32 > 5 (se verifican las fórmulas de Moivre), podemos aproximar esta Distribución Binomial por una Distribución Normal de

parámetros = np = 216 . 0,68 = 146,88 y = npq = 32,0.68,0.216 = 6,85

N(146,88, 6,85)

P(x > 160) = P(z > 85,6

88,146160) = P(z > 1,91) = 0,5 – 0,4719 = 1 – 0,9719



R-MATCNSI 72

b)P(140 < x <165) = P(85,6

88,146164 z

85,6

88,146140) = P(-1,004 < z 2,49) =

0,3413 + 0,4936 = 0,9936 – (1 – 0,8413)

c)P(x = 100) = P(99,5 < x 100,5) = P(85,6

88,1465,100 z

85,6

88,1465,99) =

P(-6,91 < z -6,77) = 0,5 – 0,5 = 1 – 1 = 0 EJERCICIOS

1.- Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Suponiendo que la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55. Se pide:

a)Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b)Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.

2.- Un banco tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno de los cuales tiene una probabilidad 0,9 de funcionar en caso necesario. Si se produce un robo calcular:

a) Probabilidad de que ninguna alarma se active. b) Probabilidad de que al menos una alarma se active.

3.- Se lanza una moneda 90 veces. Calcular: a) Probabilidad de obtener más de 50 caras. b) Probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 40 y 50.

4.- La probabilidad de que un proyectil de en el blanco es de 0,8. Si se lanzan 5 proyectiles se pide: a) Probabilidad de que los 5 den en el blanco. b) Probabilidad de que alguno de en el blanco.

5.- Un estudio ha mostrado que en un cierto barrio el 60% de los hogares tiene al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan, cuando menos, dos televisores?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares tengan, cuando menos, dos televisores?.

6.- Se ha observado durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en mantenimiento y reparaciones de una fábrica , tiene distribución Normal de media 400 $ y desviación típica 20 $. Si el presupuesto para la próxima semana es de 450 $. ¿Cuál es la probabilidad de que los costes reales sean mayores de lo presupuestado?. ¿Cuál es la probabilidad de que el coste sea menor de 560 $?.

7.- Una Universidad sabe que el 75% de sus graduados obtiene empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada Universidad al azar. Se pide:

a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo en el primer año. b) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo en el primer año.

8.- Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más preguntas?. ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?.



R-MATCNSI 73

9.- Un fabricante de cera para suelos desarrolla dos nuevos productos A y B con igual probabilidad de ser elegidos por las amas de casa. Las dos ceras A y B se aplican en 8 casas elegidas al azar.

a)¿Cuál es la probabilidad de que 6 ó más amas de casa prefieran la marca A?. b)¿Cuál es la probabilidad de que ninguna ama de casa prefiera la marca B?.

10.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.

11.- En un proceso de fabricación el porcentaje de piezas defectuosas es del 1% . Si se fabrican 330 piezas por día. Calcular la probabilidad de que el número de piezas defectuosas fabricadas en un día sea superior a 4.

12.- El tiempo necesario para terminar determinado examen sigue una Distribución Normal con media 60 minutos y desviación estándar 10 minutos. Se pide:

a) ¿Cuánto debe durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen?. b) ¿Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos?.

13.- Una cadena metálica está compuesta por 4 eslabones. La probabilidad de ruptura de cada eslabón a un peso de 100 Kg. es de 0,6. Se somete la cadena a un peso de 100 Kg. y se pide:

a) Probabilidad de que no se rompa la cadena. b) Si se quiere que la probabilidad de que no se rompa la cadena, sea de 0,81, ¿cuál debe

ser la probabilidad de ruptura de cada eslabón?.

14.- Se lanza 5 veces una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de que no salga más de una cara.

15.- La nota de Matemáticas II en una convocatoria de Selectividad tenía aproximadamente una distribución normal de media 6,1 y desviación estándar 0,8. ¿Qué proporción de estudiantes obtuvo una nota entre 4 y 5 puntos?.

16.- En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

17.- Se sabe que las notas de un determinado examen siguen una Distribución Normal. El 15,87% tiene nota superior a 7 puntos y el 15,87% tiene nota inferior a 5 puntos. Calcular:

a) Porcentaje de alumnos cuya nota está entre 5 y 7 puntos. b) Nota media del examen.

18.- Supongamos una Distribución Normal de media = 50 en la que la probabilidad de obtener un valor por encima de 70 es de 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica?. ¿Cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45?.

19.- Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

1º bachillerato ccss 2010

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