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(1)Factores, Múltiplos y Divisores (2) Números compuestos y primos 4.1 - 4.2

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(1)Factores, Múltiplos

y Divisores

(2) Números

compuestos y primos

4.1 - 4.2

Cuando escribimos

12 = 6 x 2

decimos que 6 x 2 corresponde a una factorización de 12.

¿Existen otras factorizaciones de 12? ¿Cuál(es) ?

12 = 3 x 4

12 = 12 x 1

Hemos encontrado tres factorizaciones de dos factores para

12.

Por lo tanto los factores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Factorización

En resumen:

La factorización de un número natural es

simplemente una expresión de multiplicación con

números naturales.

Factorización

Mencione todas las factorizaciones de dos

factores para 45.

5 x 9

15 x 3

45 x 1

¿Cuál es el conjunto de los factores de 45?

{1, 3, 5, 9, 15, 45}

Factorización - Ejercicios

Números primos y compuestos

Todo número natural mayor que 1 o es primo o es compuesto.

Un número primo es un número que es el producto solamente de 1 y sí mismo.

–Ejemplo: 2 = 2 × 1

–Ejemplo: 5 = 5 × 1

–Ejemplo: 7 = 7 × 1

Los primeros 12 primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37

Números primos y compuestos

Un número compuesto es un número natural mayor que uno que tiene más de dos factores.

–Ejemplo: 6 = 2 × 3, 6 x 1

–Ejemplo: 8 = 2 × 4, 8 x 1

Nota: El número 1 tiene un solo factor positivo, por lo tanto ni es primo ni es compuesto.

Factorización prima

Teorema de factorización única:

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores.

72 = 36 × 2

De éstos, sólo 2 es un factor primo.

72 = 6 x 6 × 2

De éstos, sólo 2 es un factor primo.

72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2

factorizacion prima

Factorización prima

La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes.

72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2

factorizacion prima en notación exponencial

Primero, ordenamos los factores

72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2

Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida.

72 = 32 × 23

Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a

determinar la factorizacón prima del un número.

Árbol de factores

1-6

Construya un árbol de factores para determinar la

factorizacón prima del cada número.

84 120

Práctica

1-6

Divisor

Si a y b son números cardinales y b 0, se dice que

a es divisible por b, o b divide a

si y sólo si el residuo es 0 cuando a es dividido por b.

Ejemplo:

132 = 12 x 11 implica que 132 12 = 11 R 0

Por lo tanto, 12 es un factor o divisor de 132 y

11 es un factor o divisor de 132

.

Ejercicios

1. La factorización prima de un número es

2 x 3 x 5. ¿A qué número le corresponde esta

factorización?

2. Si dividimos 98 entre 7 el cociente es _____ y

el residuo es _____. Por lo tanto, 7 es / no es

un factor o divisor de 98.

3. El conjunto de los divisores de 54 es:

Divisibilidad

El símbolo | , se lee “divide a”.

Ejemplo: Si escribimos 4|12 podemos leerlo

“cuatro divide a doce”.

Esto indica que al dividir 12 entre 4 el residuo es 0

y el cociente es un número natural.

• 4 es factor de 12

• 4 es divisor de 12

• 12 es divisible en 4

• 4 divide al 12

• 12 es un múltiplo de 4

Divisibilidad - Ejemplos

1. No se debe confundir el símbolo |, con el símbolo /

que se lee “dividido entre”.

2. Al realizar la división 24/6 el cociente es 4 y se

obtiene un residuo 0.

– Como el cociente es natural y el residuo es 0,

podemos escribir 6|24.

3. Al realizar la división 23/4 se obtiene cociente 5 y

residuo 3.

– El cociente es natural pero el residuo NO es 0.

Entonces, es FALSO escribir 4|23.

Pruebas de divisibilidad

Nombrar los

divisores de los

siguientes

números:

56:

116:

945:

1440:

Ejemplo

El númber 57,729,364,580 tiene demasiados dígitos

para la mayoría de las calculadoras. Determine si es

divisible por los siguientes:

a. 2 Si b. 3 No

c. 5 No d. 6 Si

e. 8 No f. 9 No

g. 10 Si

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Propiedades de la División

Para cualquier número natural a, b, n y d, d ≠ 0,

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si d | a, entonces d |(n a).

Si d | a, entonces el algoritmo de división asegura que

existe un número natural m, tal que 𝑎 = 𝑑 ∙ 𝑚. Entonces, 𝑛 ∙ 𝑎 = 𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝑚. Como n y m son naturales, 𝑛 ∙ 𝑚 es natural y por

definición de divisibilidad, d |(n a).

En palabras, si d es un divisor de un número

natural a, es divisor de cualquier múltiplo de a.

Propiedades de la División

Para cualquier número natural a, b, n y d,

b. Si d | a, y d | b, entonces d | (a + b).

c. Si d | a, y d | b, entonces d | (a − b).

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Si d | a y d | b entonces el algoritmo de división

asegura que existen números naturales m y n, tal que

𝑎 = 𝑑 ∙ 𝑚 y b = 𝑑 ∙ 𝑛 . Entonces, 𝑎 + 𝑏 =

Por definición de divisibilidad, d |(a + b).

𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑(𝑛 + 𝑚)

Por un argumento similar,

Ejemplo

Clasificar cada uno de los siguientes enunciados

como cierto o falso, x, y, y z son cardinales.

a. Si 3 | x & 3 | y, entonces 3 | xy. Cierto

b. Si 3 | (x + y), entonces 3 | x y 3 | y. Falso

Falso

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Número de divisores

Si s son primos distintos

y 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3,. . ., 𝑛𝑘 son naturales,

entonces el producto tiene

(𝑛1 + 1)(𝑛2 + 1) ∙ . . . ∙ (𝑛𝑘 + 1) divisores.

Ejemplo:

Determine la cantidad de divisores que tiene

72 = 23 ∙ 32.

Según el teorema, tiene (3 + 1)(2 + 1) =

4 × 3 = 12 divisores.

= 23 ∙ 32

Número de divisores

• Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene 100,000

100,000

= (2 ∙ 5)5

= 2555

Según el teorema, 2555, tiene (5 + 1)(5 + 1) =

6 × 6 = 36 divisores.

= 105

Determinar si un número es primo

Sea n un número natural, n > 1.

Si n NO es divisible entre ningún número primo, p,

tal que p2 ≤ n, entonces n es primo.

Ejemplo:

• Determine si 103 es compuesto o primo.

• Debemos dividir 103 entre números primos cuyos

cuadrados sean menor o igual a 103.

• Como 112 = 121 y 121 103, entonces debemos dividir

103 por 2, 3, 5 y 7 para determinar si es primo o no.

103÷ 2 = 51 𝑅 1

103÷ 3 = 34 𝑅 1

103÷ 5 = 20 𝑅 3

103÷ 7 = 14 𝑅 5 103 es primo.