INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ZACATECOINGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

ACADEMIA DE COMPUTACIÓN

ANÁLISIS NUMÉRICOPROFESOR: BERNAL MENDOZA JOSÉ ANTONIO

4CV1

Secante, Bairstow, Lyn y Horner

ALUMNOS:AVALOS ATILANO MARTINBUTRON GONZALEZ ADRIANGARCÍA SANABRIA LUIS ENRIQUEHERRERA TOVAR CESAR IVANVARELA LÓPEZ CARLOS JAVIER

BOLETA:20123001672012300278201230077420113021782012302216

ZACATENCO, GUSTAVO A. MADERO, DISTRITO FEDERAL, MÉXICO, A MIERCOLES 26 DE FEBRERO DE 2013.

ÍNDICE

ÍNDICE..............................................................................................................................2

ÍNDICE DE FIGURAS.......................................................................................................3

ÍNDICE DE TABLAS........................................................................................................3

RESUMEN........................................................................................................................3

GLOSARIO DE TÉRMINOS.............................................................................................4

OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES.....................................................................4

JUSTIFICACIÓN..............................................................................................................5

INTRODUCCIÓN..............................................................................................................6

MARCO TEÓRICO...........................................................................................................6

SECANTE.............................................................................................................................6

BAIRSTOW...........................................................................................................................8

LYN Y HORNER...................................................................................................................8

DESARROLLO DE LOS MÉTODOS...............................................................................9

SECANTE.............................................................................................................................9

BAIRSTOW.........................................................................................................................11

LYN Y HORNER.................................................................................................................12

PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE UN CONTEXTO REAL................................14

Método de la secante........................................................................................................14

Método de Bairstow..........................................................................................................17

LIN Y HORNER..................................................................................................................19

CONCLUSIONES...........................................................................................................20

BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................................21

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Representación grafica del método de secante......................................................................7Figura 2:Representacion geométrica de las iteraciones al aplicar el método de secante......................7Figura 3: Primera iteración aplicando el método de la secante de la función f(x)=x^2-4......................10

Página 2

Figura 4: Grafica Secante.................................................................................................................... 15

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Resultado al aplicar el método de la secante.........................................................................10Tabla 2: Resultado Secante.................................................................................................................16Tabla 3: Resultado Método de Bairstow...............................................................................................18

RESUMEN

El método de Horner es práctico para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0 cuando f(x) es un polinomio en x.

Aunque el método toma el nombre de William George Horner, quien lo describió en 1819, el método era ya conocido por Isaac Newton en 1669, e incluso antes por el matemático chino Ch'in Chiu-Shao en el siglo XIII.El método o algoritmo de Horner, llamado así por William George Horner, es un algoritmo para evaluar de forma eficiente polinomios de una forma monomial.

El método de Bairstow, al igual que el de Lin permite encontrar factores cuadráticos del polinomio: p(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an´ apoyándonos del método de Newton R y de la formula general para la raíz polinomio, sin importar que esta nos determine raíces imaginarias, claro que al final los complejos (x ± iy) serian ceros de p(x). Al final, al momento de programar esto se puede facilitar ocupando la regla de Cramer.

Todos y cada uno de los métodos numéricos tiene fundamental aplicación en las áreas de la ingeniería, es la herramienta principal de todo ingeniero.

GLOSARIO DE TÉRMINOS

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Estriba: (De estribo).1. intr. Dicho de una cosa: Descansar en otra sólida y firme. 2. intr. Fundarse (‖ apoyarse). 3. intr. Arg. Dicho de un jinete: Calzar el pie en el estribo. 4. prnl. Dicho de un jinete: Quedar colgado de un estribo al caer del caballo.Derivada: En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.

OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES

Objetivo General: Conocer, entender, analizar y llevar a la práctica (mayormente asociada a la ingeniería en comunicaciones y electrónica) los métodos de raíces investigados a continuación.

Objetivos Particulares: Comprender y estudiar más a fondo cada uno de los métodos mencionados a continuación para conocer cuál es el método adecuado para resolver un problema especifico ya sea planteado en clase o en dado caso un tema cotidiano con el cual podamos comprobar y de ser posible mejorar tanto el resultado como los procedimientos del problema, ya sea en sus cálculos o en su resolución.

JUSTIFICACIÓN

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Estos métodos están justificados de una manera simple y sencilla, ya que, comparados con los métodos de bisección o quizás Newton – Raphson, por mucho, son más eficaces y, por eficaces me refiero a lo siguiente. No se requiere forzosamente de una derivada o de igualar la función a cero después de hacer mas de 3 despejes dejando una ecuación mucho más grande de la original, estos métodos permiten que nos acerquemos de una manera mucho más sencilla al error aproximado deseado (según las cifras significativas utilizadas) en un numero mucho menor de iteraciones y sin necesidad de hacer que una ecuación planteada (según sea el problema a resolver) se vuelva más complicada, entregándonos datos certeros con el uso de formulas plateadas por el mismo método, facilitando y acelerando el proceso para el cual se utilice, ya sea conocer solo algún dato del problema o llevarlo a la práctica como en la creación de algún materia o el envasado y empaquetado de algún producto en especifico.

Esta justificación está hecha de manera que quede claro que los métodos no mencionados no son menos certeros o que sean menos “populares”, sino que, basándose en esos métodos se pudieron crear unos métodos con un uso especifico, según la ecuación planteada o el problema en cuestión, hacen de un modo u otro más rápido y por ende más ligero el trabajo que se realiza para llegar al resultado requerido, se busca que los problemas sean resueltos más rápido y con menos cálculos, de modo que la resolución de problemas sea mayor.

Como un ejemplo digamos que, en un día, basándonos en método de Newton logramos darle resolución a cinco problemas, pero, cuando aplicamos alguno de los métodos investigados, en lugar de la resolución de solo cinco problemas, quizás se logre la resolución de diez problemas o cuestionamientos, los cuales hacen que en un negocio o en el oficio que se requieran utilizar, logren una mayor ganancia tanto en dinero como en tiempo y esfuerzo.

INTRODUCCIÓN

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Entendemos como ecuación una igualdad entre expresiones matemáticas (algebraicas, diferenciales, integrales, etc.) que solamente se verifica para unos determinados valores denominados incógnitas o variables, los cuales están representados por medio de letras.

Se denomina ecuación no lineal a una ecuación del tipo f(x)=0 en la cual f es una función real o de variable real. La función puede ser polinomio, trascendente, e incluso implícita.

Llamamos raíz o solución de una ecuación no lineal f(x)=0 a un valor α tal que f(α)=0. Si existe se dice también que α es un cero de f.

Aproximación numérica:

Su objetivo en general, consiste en construir una sucesión de valores que converja hacia la raíz buscada. Esta construcción se hará, normalmente, de manera iterativa partiendo de valores iniciales que supondremos suficientemente próximos a la raíz buscada: a partir de x0, … , xm, obtendremos xm+1=G(xk, …,x0) y, de una manera más general los iterados xk+1=G(xk, …,xk-m).

En general, las raíces de una ecuación no lineal pueden ser calculadas de forma exacta. El objetivo de este trabajo se basa en el estudio de diversas estrategias para el cálculo de las raíces enteras y racionales de dicha ecuación.

A continuación se presentan algunos métodos de aproximación deraíces.

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MARCO TEÓRICO

SECANTE

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Figura 1: Representación grafica del método de secante

Una forma de evitar el cálculo de f’(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

f ´ ( xo )=f (x1 )−f (x0 )x1−x0

Esta variante se conoce con el nombre de método de la secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

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x2=x1−x0

f (x1 )−f (x0 )f (x1)

La sucesión queda expresada en términos generales como:

xn=xn−1−[ xn−1− xn−2

f (xn−1 )−f (xn−2 ) ] f (xn−1)

A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El algoritmo deberá parar cuando |xn+1 - xn | sea menor que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Forma de hacerlo: Primero hay que definir algunos conceptos como: Xn Es el valor actual de X xn-1 Es el valor anterior de X xn+1 Es el valor siguiente de X Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz. Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las x que se llaman A y C. Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula B=((Af(C))-(C(f(A)))/(f(C)-f(A)). A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la fórmula para seguir con el método. Aquí solo se usan 2 columnas, una de xn y otra de f(xn)

BAIRSTOW

Dado un polinomiof n(x) se encuentra dos factores, un polinomio cuadrático f 2( x)=x 2−r x y f n−2(x )El procedimiento general para el método de Bairstow es:1. Dado f n(x)y r0 y s0

2. Utilizando el método de newton raspón se calcula f2(x)=x2-r0x-s0 y fn-2(x), tal que el residuo de fn(x)/f2(x) sea igual a cero 3. Se determina las raíces f2(x), utilizando la formula general 4. Recalcula fn-2(x)=fn(x)/f2(x) 5. Se hace fn(x)=fn-2(x)

Figura 2:Representacion geométrica de las iteraciones al aplicar el método de secante

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6. Si el grado del polinomio es mayor que tres se regresa al paso 27. Si no se terminaLa principal diferencia entre este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias)

LYN Y HORNER

En 1941, S.N. Lin publico un procedimiento que se fundamenta en el resultado

R=ft=b0=b1t+a0

Y en que si t es una raíz de pnx=0, entonces:

R=0=b1 t+a0

O

t=−a0 /b1(t)

Se ha escrito b1(t) en lugar de b1 para hacer énfasis en que el valor de b1 (y de las demás b ) depende del valor t donde se evalúa f(x) y así ver el lado derecho de la ecuación 2.38 como una función de t . Lo que puede escribirse como:

t=−a0 /b1t=g (t)Y se le puede aplicar el método de punto fijo, empezando con un valor inicial t0 cercano a la raíz t, de modo que:

t=−a0 /b1(t 0)=g (t 0)

Restando en ambos lados t0:

t 1−t 0=a0+t 0b1 (t 0)b1(t 0)

O

t 1=t 0−R (t 0)b1(t 0)

Y se obtiene el algoritmo de Lin. Este método no requiere el cálculo de las c como el de Birge-Vieta, por lo que el trabajo por iteración se reduce a la mitad. Esta reducción contrasta con un orden bajo de convergencia y la inestabilidad propia del método de punto fijo.

La estabilidad del método puede mejorarse en una raíz xk, si se conoce una buena aproximación a xk. Para esto se incorpora el parámetro λ a la ecuación anterior de Lin y queda

t 1=t 0−λ Rb1

Donde :

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λ=−f (0)t 0 f ( t 0)

con t 0=2.88, λ=0.018555 y la formula modificada de Lin, en general es:t=t−λRb1

DESARROLLO DE LOS MÉTODOS

SECANTE

Usar el método de la secante para calcular f (x)=x2−4Comenzando con:x0=4x1=3Hasta que |Er|<=1%Aplicamos la primera iteración con la formula

x2=x1−x1−x0

f (x1 )−f ( x0 )f (x1)

Se tendrá el valor x2= 2.2857. Si se calcula el error relativo con los valores x2 como valor real y x1 como valor aproximado se tendrá

∈r=|3−2.28572.2857 |∗100 %=31.25 %

Ahora si se calcula en una segunda iteración

x3=x2−x2−x1

f (x2 )−f (x1)f ( x2)

Se tendría un valor para x3= 2.0541 , con un error relativo

∈r=|2.2857−2.05412.0541 |∗100 %=11.28 %

Ahora si se continúa realizando los cálculos iterativamente, se tendrán valores como los mostrados en la siguiente tabla.

Figura 3: Primera iteración aplicando el método de la secante de la función f(x)=x^2-4

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Tabla 1: Resultado al aplicar el método de la secante

i X i X1 i+2 X i+2 ∈a ∈r %0 4 3 2.2857 0.7143 31.251 3 2.2057 2.0541 0.2316 11.282 2.2057 2.0541 2.0036 0.0505 2.523 2.0541 2.0036 2.0000 0.0036 0.18

Se termina el proceso iterativo con la encontrada de la raíz para x5=2.0000

BAIRSTOW

Empiece el método de Bairstow para determinar las raíces del polinomio

F5(x)=x5-3.5x4+2.75x3-3.875x+1.25Use los valores iniciales de r=s=-1 e iterando a un nivel de es=1%Se utilizan las ecuaciones adecuadas para calcular:b5=1b4=-.45b3=6.25b2=0.375b1=-10.5b0=11.375Luegoc5=1c4=-5.5c3=10.75c2=-4.873c1=-16.375Así, las ecuaciones simultáneas para resolver Δr y Δs son-4.875Δr+1.75Δs=10.5-16.375Δr-4.875Δs=-11.375Las cuales pueden resolverse para Δr=0.3558 y Δs=1.1381. Por lo tanto los valores iniciales pueden corregirse como:R=-1+0.3558=-0.6442

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S=-1+1.1381=0.1381Y el error aproximado puede ser calculado así:

|εa ,r|=| .3558−0.6442|∗100 %=55.23 %

|εa , s|=|1.13810.1381|∗100 %=824.1%

El siguiente cálculo es repetir usando los valores para r y s b5=1b4=-4.1442b3=5.5578b2=-2.0276b1=-18013b0=2.1304Y luegoc5=1c4=-4.7884c3=8.7806c2=-8.7806c1=4.7874Por lo tanto se debe resolver -8.3454Δ+8.7806Δs=1.80134.7874Δr-8.3454Δs=-2.1304Para Δr=0.1331 y Δs=0.3316, los cuales pueden usarse para estimar la raíz correcta como R=-0.6442+0.1331=0.5111S=0.1381+0.3316=-2.1304

||εa , r|=26 %||εa , s|=70.6%

El cálculo puede continuar, con el resultado después de cuatro iteraciones, el método converge a los valores r= -0.5 (|Ea,s|=0.063%) y s=0.5(|Ea,s |=0.040%). La formula general puede emplearse para evaluar las raíces como

En este punto, l cociente es la ecuación cúbica

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El método de Bairstow puede aplicarse a este polinomio usando resultados del paso anterior, r=-0.5 y s=0.5, como valores iniciales. Cinco iteraciones dan un estimado de r=2 y s=-1.249, el cual puede usarse para calcular

x=2±√(2)2+4 (−1.249)

2=1±0.499 i

En este punto el polinomio que puede ser directamente evaluado para determinar la quinte raíz 2.

LYN Y HORNER

MÉTODO DE LIN (FACTORES CUADRÁTICOS)

Sea el polinomio

fx=xn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0 (2.42)

Si an no es uno, fxpuede dividirse entre an para obtener la ecuación2.42. Al dividir la ecuación 2.42 entre la expresión cuadrática

x2+px+q (2.43)

fx=xn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0

= (x2+px+q) ( xn-2+bn-3xn-3+…+b1x+b0) + Rx + S (2.44)

Donde Rx + S es el residuo lineal de la división, y R y S dependen de p y q.

Para la ecuación 2.43 sea un factor cuadrático de la 2.42(es decir, que la divida exactamente) es necesario que el residuo lineal sea cero o simbólicamente que

R (p,q)=0 y S(p,q)=0

De donde nuestro objetivo será encontrar p y q, tales que se cumplan las ecuaciones 2.45.

Conviene tener un método que permita calcular R y S sin verificar la división de la 2.42 por la 2.43. Para obtenerlo, se igualan los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la ecuación 2.44

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bk=ak+2-pbk+1-qbk+2 para k=n-3,n-4,…,0

Con

bn-1=0 y bn-2=1

El método de Lin consiste en:

Paso 1: Proponer aproximaciones iniciales de los valores desconocidos p y q (puede llamarse p0 y q0)

Paso2: Emplear las ecuaciones

bk=ak+2-pbk+1-qbk+2 para k=n-3,n-4,…,0 Con bn-1=0 y bn-2=1 para obtener aproximaciones de bn-3,bn-4,… ,b1,b0.

Paso 3: Calcular R y S. si son cero o suficientemente cercanas a este, el problema esta terminado. En caso contrario, se estiman nuevos valores de p y q (pueden llamarse p1 y q2).

p1=a1- q0b1b0

Y

q1=a0b0

Para volver al paso 2.

MÉTODO DE HORNER (DIVISIÓN SINTÉTICA)

Supóngase dos polinomios Px y Qx de la forma

Px=a1xn+a2xn-1+…+anx+an+1=i=1n+1aixn-i+1

Qx=b1xn-1+b2xn-2+…+bn-1x+bn=i=1nbixn-i

Donde a1≠0. Si la relación entre Px y Qx esta dada por

Px=x-x0Qx+bn+1

Se tiene que b1=a1 y bn+1=Px0 y

bk=ak+bk-1x0

Para k=2,3,…,n+1

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Lo anterior puede realizarse mediante una tabla de la siguiente manera

x0 a1 a2 a3 b1x0 b2x0 … an an+1… bn-1x0 bnx0 b1= b2= b3=a1 a2+b1x0 a3+b2x0 … bnbn+1… an+bn-1x0an+1+bnx0

El polinomio Px,

Px=a1xn+a2xn-1+…+anx+an+1=i=1n+1aixn-i+1

Puede ser representado por el vector de sus coeficientes,

a=a1 a2 … an an+1'

De la misma manera Qx puede ser representado por el vector

b=b1 b2 … bn'

Dado quePx=x-x0Qx+bn+1

P'(x)=Qx+x-x0Q'x

Por lo tanto

P'(x0)=Qx0

Es decir, que P'x0 puede evaluarse obteniendo el residuo de la división de Qx por x-x0 y evaluando Qx0.

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PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE UN CONTEXTO REAL

Método de la secanteSea la función fx=e-x-x, calcule la aproximación a la raíz de la función por el método de Secante, con un valor real de 0.56214329 utilizando 5 cifras significativas.

Figura 4: Grafica Secante

Los intervalos seleccionados con respecto a la grafica de la función son:x1=1, x0=0, el error relativo seria ε≤1%.

1- Primera iteración:

x2=1-f(1)1-0f1-f(0)

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x2=0.61270

ε≤1-0.612700.61270*100%=63.21%

2- Segunda iteración:

Con el nuevo valor x2=0.61270 y x1=1, utilizando la formula correspondiente nuevamente:

x3=0.61270-f(0.61270)0.61270-1f0.61270-f(1)

x3=0.56384

≤0.61270-0.563840.56384*100%=8.66%

3- Tercera iteración:

Una vez obtenido un nuevo valor x3=0.56384 y x2=0.61270 se obtiene el siguiente de la tercera iteración:

x4=0.56384-f(0.56384)0.56384-0.61270f0.56384-f(0.61270)

x4=0.56717

ε≤0.56384-0.567170.56717*100%=0.58%

4- Cuarta Iteración:

Con los valores obtenidos se calcula la próxima x5 :

x5=0.56717-f(0.56717)0.56717-0.56384f0.56717-

f(0.56384) x5=0.56714

ε≤0.56717-0.567140.56714*100%=0.0053%

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-43.875 16.75108.125

-43.875

La siguiente tabla muestra los valores obtenidos después de las 4 iteraciones:

Tabla 2: Resultado Secante

k xk xk+1 εr

0 0 1 -

1 1 0.61270 62.21%

2 0.61270 0.56384 8.66%

3 0.56384 0.56717 0.58%

4 0.56717 0.56714 0.0053%

Método de BairstowEjercicio1.

Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.

Solución.

Iteración 1.

La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado

f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}

Aplicando el método de Newton tenemos

dr -30.75 ds61.75

Página 18

27.628006 14.542693

208.148405 27.62800

13.83497

7.44182

65.679212

13.83497

De donde

r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213 s1

= 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796

Iteración 2.

La división sintética con el polinomio f2(x) = x2

-1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado

f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x -1.776754563401905

Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}

Aplicando el método de Newton tenemos

dr -51.75640

ds -105.68578

De donde

r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 =1.7164010597228012s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 =3.934267834965644

Iteración 3.

La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 -1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado

f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x +1.3261878347051992

Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}

Aplicando el método de Newton tenemos

Dr -12.65471

Ds -28.18814

De donde

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r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 =1.599731546665486s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 =2.4506807689726524

En resumen

Tabla 3: Resultado Método de Bairstow

k r S Residuo0 -1 2 30.75 -61.751 1.76368 7.403374 51.756406 105.685782 1.71640 3.93426 12.65471 28.188143 1.599731 2.450680 2.89958 8.154674 1.33354 2.18666 0.760122 2.5222285 1.11826 2.11302 0.271940 0.6076886 1.02705 2.02317 0.04313 0.111857 1.00165 2.00153 0.00277 0.006348 1.00000 2.00000 1.13930E-5 2.67534E-5

La solución es:

f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2

Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son

x1 = 2 x2= -1

Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 -2.53x2 + 2.25x - 0.625, podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.

LIN Y HORNER

Metodo de Lin

Con la formula modificada de Lin, aproxime una raíz real de la ecuación

fx= x4-3x3+2x-1=0,

Use como valor inicial t0 = 2.8

Sol.

f0=-1; f2.8=19.248

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λ = -(-1)/2.8/19.248 = 0.0185555

1ª iteración

R(2.8) = 0.2096; b1(2.8) = 0.432;

t1=t0-λR(t0)/b1(t0)=2.8 – 0.018555(0.2096)/0.432 = 2.791

2ª iteración

R(2.791) = 0.03808; b1(2.791) = 0.37194;

t2=t1-λR(t1)/b1(t1)=2.791 – 0.018555(0.03808)/(0.37194) = 2.7891

Al continuar las iteraciones se encuentra la raíz 2.78897

Método de Horner

Si Px=2x4-3x2+3x-4 y x0=-2

-220-3 -48 3-4-1014 2-4 5 -7 10

De donde Px=x+22x3-4x2+5x-7+10 y P-2=10

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CONCLUSIONES

Como equipo, después de algunas discusiones y explicaciones de parte de cada uno de los integrantes, llegamos a la conclusión de que los métodos investigados anteriormente son de suma importancia para la realización de tablas iterativas (mejor conocidas como búsqueda de raíces) ya que basándonos en las formulas y claro, dependiendo del problema que deseemos resolver (y por problema nos referimos al tipo de ecuación que debemos utilizar) podemos usar cualquiera de estos métodos, pero no sin antes haber comprendido completamente lo que dice el problema y ciertamente cual es la problemática, para asi, modificar o aplicar una ecuación y un método especifico para su resolución de manera eficaz y de ser posible mucho más sencilla que de algún otro modo.

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BIBLIOGRAFÍA

1. http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r68950.PDF 2. http://www.uscovirtual.com/file.php/1/documentos/metodos_numericos/Bairstow.pdf 3. http://lema.rae.es/drae/?val=estriba 4. http://serdis.dis.ulpgc.es/~maleman/an/PDF/Apuntes%20AN%202005-06.pdf

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