1.elementos principales de un sistema de control de datos discretos. el muestreador es un mecanismo...
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1.Elementos Principales de un sistema de control de Datos Discretos.
El muestreador es un mecanismo que entrega un tren de pulsos cuya amplitud corresponde a los valores de la señal análoga a muestrear en el instante que se produce el muestreo.
Muestreador FiltroProceso
Controlado
Señal de entrada continua al muestreador
t0
e(t)
t0
e(t)
Salida discreta del muestreador
Ejemplo de Sistema de Control Digital
PrefiltroProceso
ControladoA/DControl Digital DA
+
-
+
-S
1
Control automático para un eje para el pilotaje automático de un avión.
Giroscopio
Transduct. Posición
º Comando
Altitud
PrefiltroProceso
ControladoA/DControl Digital DA
+
-
Sistema con muestreo múltiple
Los muestreadores adquieren muestras de la señal con frecuencia constante, se cumple un periodo de muestreo.
Los retenedores mantienen el valor de la señal retenida hasta que llega un nuevo valor correspondiente a una nueva muestra.
Giroscopio
TX PosiciónRetenedor
Retenedor
S1
º
1T
2T
Comando
Altitud
La Bucla Típica de Control Realimentada
Computador Digital ActuadorDA
+
-
SensorA / D
Reloj
Planta Proceso
)(KTR )(ˆ KTe
)(ˆ KTe
)(KT )(T
)(TW
)(Tc
)(TN
Tratamiento (Data Login):
• Recoger la máxima información sobre el funcionamiento del proceso.
• Medición de variables y parámetros.
• Pretratamiento: - Normalizar
- Convertir unidades
- Linealizar parámetros
Procesamiento: - Cálculos
- Análisis estadística
- Almacenamiento en dispositivos
- Presentación en plantilla o impresora
Funciones de un Computador de Proceso
•Supervisión: - Alarmas: verificar el correcto funcionamiento del proceso - aviso de falla.
- Asistencia: facilitar las operaciones normales del operador.
- Indicación de acciones a ejecutar.
•Presentación: entrega información importante para la toma de decisiones en la operación de mando y control.
CUANTIZACIÓN: En el proceso de conversión A / D o el proceso de representar una señal en un número finito de estados discretos, la precisión depende del # de bits de la palabra de cuantización.
MuestraCuantización en
tiempoCodificaciónCuantización en
amplitud
Se define un nivel de cuantización Q que corresponde a la distancia entre dos niveles adyacentes de decisión.
n = # de bits de la palabra de cuantización.
El error de redondeo es:
X = señal análoga.
Xq = señal digital
nQ
2
escala plena de Rango
qXXte )(
q q2 q3
qX
X X
q
El teorema del muestreo especifica que una señal de tiempo continua con componentes de frecuencia hasta WC rad/seg, teóricamente puede ser reconstruida sin distorsión si se muestrea a una velocidad mayor de 2WC rad/seg.
En procesos con constantes de tiempo mayores se podrá utilizar un tiempo de muestreo más grande.
Debe tenerse en cuenta:
a) El equipo de medida: se recomienda diseñarlos con una Wcorte = ancho de banda de red cerrada.
b) El rechazo a las perturbaciones: Se recomiendan frecuencias de muestreo entre 5 y 20 veces el ancho de banda de la respuesta al ruido en red abierta. En la medida en que se exijan tiempo de muestreo más altos, se requiere de conversores y microprocesadores más rápidos.
Selección del Periodo de Muestreo.
c) La calidad del control: Generalmente disminuye con periodos de muestreos largos.
- Muestrear entre 8 y 10 veces durante el ciclo de oscilación amortiguada en la señal, si el sistema es sub-amortiguado.
- Muestrear de 8 a 10 veces la frecuencia del ancho de banda de red cerrada, el límite inferior teórico es 2.
- Muestrear de 8 a 10 veces durante el tiempo de subida si es sobreamortiguado.
Tipos de Señales
Señal de Tiempo Continuo:
(a) (b)
)(tc )(tc
t t
Es una señal que tiene valores para todo instante de tiempo.
Señal Análoga:
Es una señal de tiempo continuo con un rango continuo de valores.
)(tc
t
Señal de Tiempo Discreto:
Es una señal definida solamente en instantes del tiempo generalmente iguales.
Señal de datos muestreados Señal Digital
01
10
11
00
01
11
00
TTT 320 TTT 32
Si la amplitud asume un rango continuo de valores se denomina señal de datos muestreado. Si los posibles valores están registrados a un conjunto de valores se denomina señal digital.
Muestreo y Cuantificación
Existen varios tipos de muestreo:
• Muestreo Periódico: es el más usual, los instantes de muestreo están igualmente espaciados cada T segundos, sea
T = KT, T: es el periodo de muestreo, con K =0,1,2,3,…
• Muestreo de Orden Múltiple: El patrón de tK`s se repite periódicamente: tK + r- tK = constante, para todo tK.
• Muestreo Múltiple: Sistemas de múltiples lazos que debido a la dinámica de cada lazo requieren diferentes periodos de muestreo.
• Muestreo Aleatorio: La variable tK es una variable aleatoria.
Tipos de Sistemas
De acuerdo al tipo de señal:
• Sistema Análogo:
Si sólo existen en él señales análogas se describen mediante ecuaciones diferenciales.
• Sistema de Tiempo Discreto:
Si sólo existen en él señales discretas, se describen mediante Ecuaciones de diferencias.
•Sistema de Datos Muestreados:
Tienen señales discretas (pulsos de amplitud modulada) y señales de tiempo continuo
•Sistema Digital:
Si incluye señales de tiempo continuo y señales digitales en forma de código numérico.
• Sistemas Discretos:Es el que procesa secuencia, es decir recibe una secuencia y
entrega otra, la cual corresponde a una frecuencia preestablecida de la secuencia de entrada.
Secuencia de salida = f (secuencia de entrada)En bloque funcional:
Los sistemas discretos se clasifican en: Estática Dinámicos
a) Causalesb) No causales
SISTEMA DISCRETO
)(k }{Yk
Sistema Discreto Estática
• Sistema discreto estático:
La salida en un instante de muestreo depende de la entrada en ese instante de muestreo
• Sistema Discreto Dinámico:La salida puede ser función de la entrada y la salida de índices
de diferente orden al actuar
)(k )}({)( kfkY
SistemaDiscreto Dinámico
k
,2,1,,1,2...
,2,1,,1,2...
kYkYkYkYkY
kkkkkfkY
• Sistema Discreto Dinámico Causal:El elemento de salida puede estar influenciada por las salidas
anteriores y por las entradas hasta el instante de muestreo en que se produce la salida.
• Sistema no causal:Este sistema puede generar elementos de índice superior al
elemento de entrada, realizar una función a través de un algoritmo considerando los elementos generados y entregar una secuencia de salida
Sistema DiscretoDinámico Casual
)(k
2,1,...
,2,1,
kYkYkY
kkkfkY
Sistema DiscretoDinámico no casual
)(k 1131 kkkkY
• Secuencias: Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se
hace corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.
Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.
Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.
Ejemplo:
3,2,1,012 ,, XXXXXXX K
De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.
Puede también especificarse
xk
3
6
8
9
10
,...8,6,4,1,0KX
xk 610983 21012
,,,,
3 2 10
1 2 3K
• Secuencia impulso unitario:
Secuencia escalón unitario:
00
01
k
kk 1
0
k
00
01
k
kk
k
1 2 3
0
1
• Secuencia exponencial:
2
kkX ak
kX
10 a 01 a
kX
2 1 1 20
k 01 1
2
kX
1a1a
kX
11
2k
0 0k
22 21
1
• Secuencia Sinosoidad
SenkCoskejk
• Muestreo de Señales Continuas:
El muestreador es un dispositivo lineal, cumple con el principio de superposición
tYY
*
T
Durante el instante del muestreo el muestreador toma la señal continua y toma la forma de la Fig. (a) para el desarrollo matemático el muestreador actúa en un
, el área bajo el impulso es igual al valor o magnitud de la señal continua en el instante del muestreo, el impulso en el punto del muestreo es dado por:
Donde es el impulso muestrario.Un muestreador con salida como la ecuación es
como muestreador impulso ideal.
La secuencia de impulsos a la salida del muestreador es:
ktt
0t
kttktykty *
ktt
ty*
...22
...21****
TttyTttytoy
ttut yyyy
• Nota: Tomando TL a ambos lados de la ecuación
tfktykTtfkTyyKTS
kk
00
*5
kTtkTytk
y
0
*
KTS
k
KTyy
0
*5
Reconstrucción de señales continuas a partir de señales discretas
• Considere la señal de control producida intermitentemente cada T segundos por un computador expresado por una serie de impulsos:
TtTmTtu mmmx
u ,
*
,...222*
TtTmm
*m
TT1 T2 T3 T4 T5 T6
)(a
tm
TT1 T2 T3 T4 T5
)(b
tm
TT T2 T3 T4 T5
Retenedor de orden cero Ideal
)(c Retenedor de primer orden
• Una simple manera de convertir una señal discreta en una señal continua es sostener la señal discreta en el valor constante ___________ hasta que el siguiente valor llegue. Entonces si es el resultado de la señal continua,
TtT 32
tm KTmtm TKtKT 1 ,...2,1,0k
Tt 0 0mtm
TtT 2 Tmtm
para
En particular,
para
y
para
para ,...2Tmtm
La ecuación anterior corresponde al retenedor de orden cero
• Considerando dos valores discretos sucesivos,
TKm 1 KTm
TKtKT 1
T
KTtTKmKTmKTmtm
1
TKtKT 1
,...4,3,2,1K
y se asume que el siguiente periodo
, la señal continua puede ser dada por una
extrapolación lineal de los dos valores previos
para y
La ecuación anterior corresponde al retenedor de primer orden.
El retenedor de primer orden requiere al menos de dos valores para hacerlo. Construcción de la señal continua, en tanto que el de orden cero requiere de un solo valor.
Nota: 1. El fundamento matemático del retenedor independiente del orden es:
Considere una señal continua , el cual debe ser constante de valores discretos
)(tm TmTmTm 3,2,
)(KTmLa serie de Taylor alrededor del valor muestreado es dado por:
...2
1 2
2
2
KTtdt
mdKTT
dt
dmKTmtm
KTtKTt
Si consideramos solo el término de orden cero, entonces el retenedor de orden cero es:
KTmtm TKtKT 1,
Si consideramos el término constante y el de primer orden:
KTtdt
dmKTmtm
KTt
KTtdt
dm
T
TKmKTm
dt
dm
KTt
1
KTtT
TKmKTmKTmtm
1
La derivada de , puede ser aproximada por:
Entonces el elemento retenedor de primer orden:
2. La salida del elemento retenedor de orden cero es un pulso con una altura constante igual a y una duración KTm
TLa transformación de Laplace del retenedor es:
S
eKTmsm
ST1
La F. de T. del retenedor de orden cero es:
s
esH
ST
10
3. De igual forma la F. de T. del retenedor de primer orden es:
2
1
11
S
e
T
STsH
ST
Conversión de modelos continuos o modelos discretos
Control Digital
D/AConvert.
retenedor proceso
A/DConvert. KTy
ty
Ref.
+
-
Caso modelo discreto del retenedor digital PID
Sea el valor muestreado en el instante de muestreo, al compararlo con el valor del resulta en: , la acción central proporcional es:
La acción de control integral es basado en la integración del ERROR sobre un periodo de tiempo como los valores del ERROR son variables en modo discreto, entonces la
Puede ser aproximado por integración numérica (usando integración rectángular)
KTy
KTyKTyKTe sp KTeK c
dtte
Área = dtteKTeTm
K
0
e
t0T T2 T3 T4 T5 T6
Entonces la acción de control en modo integral está dado por:
KTeTi
KcT m
K0
Para el modo derivativo necesitamos una evaluación numérica de la derivada
dt
de
dt
de
T
TKeKTe
1
te
t TK 1 KT
La aproximación de primer orden para la derivada es:
dt
de
T
TKeKTe
1
Entonces la acción de control en el modo derivado es:
TKeKTeT
TK
dt
deKcTd Dc 1
La acción de control para el PID digital es modulada:
sDc
m
Ki
cc eTKeKTe
T
TKKTe
T
TKKTeKKTe
10
La ecuación anterior es conocida como ecuación de diferencias
Ejemplo: modelo en tiempo discreto de un proceso de primer orden.
Dado un proceso no lineal de primer orden:
myfdt
dy,
Aproximando la derivada por diferencia de primer orden
T
yy
dt
dy KK 1 ; entonces en un instante de tiempo
dado KTt
KKKK myTfyy ,1
Para un sistema lineal de primer orden
Kpmydt
dyTp
Usando la aproximación de la derivada, entonces resulta en:
KKK mTp
KpTy
Tp
Ty
11
Ejemplo: modelo discreto para un proceso de segundo orden
Dado el sistema linealmKy
dt
dyT
dt
ydT ,2
22
La aproximación de la derivada de primer orden
T
yy
dt
dy KK 1
;
Para la segunda derivada
KKKKKKKKK yyy
TT
yy
T
yy
TT
yy
dt
d
dt
dy
dt
d
dt
yd
122
11212
2
211
Entonces al reemplazar en la ecuación del modelo
mkKyyyT
Tyyy
T
TpKKKKKK 1122
2 22
mkT
TKy
T
TTy
Ty p
KKK 2
2
2
2
12 12
12