1batxillerat - tabarca llibres · 2015-09-02 · s’inclou un conjunt d’exercicis per a poder...

batxillerat1

Matemàtiques

Rodolfo EsteveMaribel DeusaPascual Montesinos

Antonio J. RamírezErnesto Veres

BAVV5714_Fr 9/9/08 07:26 Página 1

©ÉS PROPIETAT

Maribel Deusa FrancésRodolfo Esteve ArolasPascual Montesinos EstevanAntonio J. RamírezErnesto Veres FerrerEditorial ECIR, S.A.

Disseny d’interior:Disseny gràfic ECIR

Edició: Editorial ECIR

Impressió: Indústries Gràfiques Ecir (IGE)

Il·lustracions:Disseny gràfic ECIR / Salvador Lorente

Disseny i il·lustració coberta: Valverde i Iborra / Disseny gràfic ECIR

Fotografia:Arxiu ECIR/Istockphoto

Dipòsit legal: V-3384-2008

I.S.B.N.: 978-84-9826-436-4

Vila de Madrid, 60 - 46988 - P. I. Font del Gerro - PATERNA (València)Tels: 96 132 36 25 - 96 132 36 55 - Mòbil: 677 431 115 - Fax: 96 132 36 05E-mail: [email protected] - http://www.ecir.com

batxillerat1

Qualsevol forma de reproduc-ció, distribució, comunicaciópública o transformació d’a-questa obra només pot ser re-alitzada amb l’autorització delsseus titulars, llevat les excep-cions previstes per la llei.Adre-ceu-vos a CEDRO (Centre Es-panyol de Drets Reprogràfics,www.cedro.org) si necessiteufotocopiar o escanejar algunfragment d’aquesta obra.

Matemàtiques

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 2

Pre

senta

ció

En confeccionar el present text de Matemàtiques s’han desenvolu-pat els continguts especificats per a aquest curs pel nou currículum dela LOE i s’han tingut molt en compte els criteris necessaris que facilitenals alumnes el trànsit de Secundària Obligatòria a Batxillerat.

En la nostra experiència docent hem pogut constatar que una de lesmajors dificultats amb què es troba un alumne és la falta de mètode,tant en el plantejament i la resolució de problemes com en el raona-ment o en l’adquisició de tècniques elementals. Per això, s’ha elaboratun text per a ser llegit i utilitzat per l’alumne i que li permetrà endinsar-se de manera progressiva en el mètode matemàtic, ja que s’utilitza unllenguatge clar i precís, no exempt del rigor necessari, i es justifiquentots aquells resultats que els alumnes poden assumir com a necessaris.

També som conscients que allò que no es diu, difícilment pot serdescobert per l’alumne; per això, després de l’exposició teòrica, enquè els resultats més importants apareixen ressaltats, apareixen eexxeemm--pplleess que en realitat són autèntics exercicis resolts. A continuació, l’alumnat sempre trobarà una selecció d’eexxeerrcciicciiss pprrooppoossaattss, destinatsa consolidar el que aprén.

En la part final de cada unitat es desenvolupa un apartat dedicat ala rreessoolluucciióó ddee pprroobblleemmeess. En ells l’alumne pot trobar la forma d’abor-dar i presentar la solució d’un exercici. Després d’ells s’ha introduït unffoorrmmuullaarrii que revisa les principals fórmules tractades en el tema.Després es troben els eexxeerrcciicciiss ffiinnaallss, en nombre suficientment elevatperquè el professor puga seleccionar els que estime oportú.

Una pprroovvaa dd’’aauuttooaavvaalluuaacciióó amb resposta múltiple pot servir d’indi-cador si els continguts de la unitat han sigut adquirits.

També s’ha elaborat un lllliibbrree ddeell pprrooffeessssoorr que conté la solució detots els exercicis proposats en el text, material complementari, així comcomentaris i justificacions didàctiques.

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 3

Cada unitat es presenta mitjançant unaimatge acompanyada d’una citació otext relacionat amb els continguts deltema.

PPrreesseennttaacciióó ddee llaa uunniittaatt

Les explicacions teòriques van acom-panyades de molts exemples i notesmarginals que serveixen per a una millorcomprensió del tema tractat. A més, tro-bem també exercicis per a repassar allòque s’ha après abans de seguir avant.

DDeesseennvvoolluuppaammeenntt ddee llaa uunniittaatt

La gran quantitat d’exercicis resolts queapareixen al llarg de cada tema servei-xen per a reforçar els continguts i facili-ten la comprensió d’allò que s’ha estu-diat en cada tema.

EExxeerrcciicciiss rreessoollttss

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 4

Aix

í és

el t

eu ll

ibre

Aquesta pàgina apareix abans dels exercicis finals de cada temai val de resum de tot el que s’ha estudiat anteriorment per apoder tindre els conceptes clars abans de passar a l’apartatsegüent.

PPààggiinnaa ffoorrmmuullaarrii

En les últimes pàgines de cada temas’inclou un conjunt d’exercicis per apoder treballar els conceptes desenvo-lupats en la unitat i aplicar així la teoriaestudiada.

EExxeerrcciicciiss ffiinnaallss

El tema conclou amb una autoavaluació tipus test que val per aposar a prova l’assimilació dels continguts estudiats. Al mateixtemps, permet treballar l’autonomia i la iniciativa personals.

AAuuttooaavvaalluuaacciióó

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 5

TTEEMMAA 11.. EELLSS NNOOMMBBRREESS RREEAALLSS

1. Nombres irracionals.................................................................................................................................................. 11

2. Aproximacions decimals i errors ............................................................................................................................ 12

3. Arrels d’índex n ........................................................................................................................................................ 14

4. Racionalització .......................................................................................................................................................... 16

5. Potències d’exponent fraccionari ............................................................................................................................ 17

6. El conjunt dels nombres reals: la recta real............................................................................................................ 18

7. Intervals...................................................................................................................................................................... 19

8. Valor absolut: distància en la recta.......................................................................................................................... 20

9. Inequacions de primer grau amb una incògnita.................................................................................................... 22

TTeemmaa 22:: EEQQUUAACCIIOONNSS II SSIISSTTEEMMEESS DD’’EEQQUUAACCIIOONNSS

1. L’equació ax + by + c = 0 ........................................................................................................................................ 35

2. Sistemes de dues equacions amb dues incògnites .............................................................................................. 36

3. Discussió de sistemes .............................................................................................................................................. 37

4. Inequacions lineals amb dues incògnites .............................................................................................................. 39

5. L’equació de segon grau.......................................................................................................................................... 41

6. Propietats de les arrels ............................................................................................................................................ 43

7. Equacions reductibles a quadràtiques.................................................................................................................... 44

8. Altres sistemes d’equacions .................................................................................................................................... 46

TTEEMMAA 33:: CCOOMMBBIINNAATTÒÒRRIIAA

1. Permutacions ordinàries .......................................................................................................................................... 57

2. Variacions ordinàries ................................................................................................................................................ 58

3. Variacions amb repetició .......................................................................................................................................... 59

4. Permutacions amb repetició .................................................................................................................................... 60

5. Combinacions ordinàries.......................................................................................................................................... 61

6. Nombre combinatori ................................................................................................................................................ 62

7. El triangle de Tartaglia i el binomi de Newton ...................................................................................................... 64

TTEEMMAA 44:: SSUUCCCCEESSSSIIOONNSS DDEE NNOOMMBBRREESS RREEAALLSS

1. Successions de nombres reals ................................................................................................................................ 77

2. Successions aritmètiques ........................................................................................................................................ 78

3. Suma de termes consecutius d’una successió aritmètica .................................................................................... 81

4. Successions geomètriques ...................................................................................................................................... 82

5. Suma dels n primers termes d’una successió geomètrica.................................................................................... 83

TTEEMMAA 55:: RRAAOONNSS TTRRIIGGOONNOOMMÈÈTTRRIIQQUUEESS DD’’UUNN AANNGGLLEE AAGGUUTT

1. Raons trigonomètriques d’un angle agut .............................................................................................................. 93

2. Ús de la calculadora ................................................................................................................................................ 94

3. Altres raons trigonomètriques ................................................................................................................................ 95

4. Raons dels angles de 0°, 30°, 45°, 60° i 90° .......................................................................................................... 96

5. Resolució de triangles rectangles .......................................................................................................................... 97

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 6

TTEEMMAA 66:: RRAAOONNSS TTRRIIGGOONNOOMMÈÈTTRRIIQQUUEESS:: GGEENNEERRAALLIITTZZAACCIIÓÓ

1. Angles orientats. Reducció al primer gir ................................................................................................................ 109

2. Raons trigonomètriques d’angles qualssevol ........................................................................................................ 110

3. Les raons en el cercle trigonomètric ...................................................................................................................... 112

4. Obtenció de l’angle coneguda una raó ................................................................................................................ 113

5. Relacions entre raons d’angles diferents................................................................................................................ 115

6. Fórmules d’addició .................................................................................................................................................. 118

7. Raons de l’angle doble i de l’angle meitat ............................................................................................................ 120

8. Fórmules de transformació en producte ................................................................................................................ 121

9. Equacions trigonomètriques.................................................................................................................................... 121

10. Resolució de triangles qualssevol .......................................................................................................................... 122

11. Casos de resolució de triangles .............................................................................................................................. 124

12. Àrea del triangle i radi del cercle circumscrit ........................................................................................................ 126

TTEEMMAA 77:: EELLSS NNOOMMBBRREESS CCOOMMPPLLEEXXOOSS

1. Nombres imaginaris.................................................................................................................................................. 139

2. Nombres complexos ................................................................................................................................................ 140

3. Representació gràfica .............................................................................................................................................. 141

4. Operacions ................................................................................................................................................................ 142

5. Forma polar d’un nombre complex ........................................................................................................................ 144

6. Operacions en forma polar...................................................................................................................................... 146

TTEEMMAA 88:: VVEECCTTOORRSS

1. Vector fix .................................................................................................................................................................... 161

2. Vectors iguals. Vector lliure ...................................................................................................................................... 162

3. Producte d’un nombre per un vector .................................................................................................................... 162

4. Suma i resta de vectors ............................................................................................................................................ 163

5. Combinació lineal de vectors. Base........................................................................................................................ 164

6. Base ortonormal. Components d’un vector en una base ortonormal ................................................................ 165

7. Les operacions en funció de les coordenades ...................................................................................................... 166

8. Producte escalar de dos vectors ............................................................................................................................ 167

9. Conseqüències i propietats .................................................................................................................................... 168

TTEEMMAA 99:: LLAA RREECCTTAA EENN EELL PPLLAA

1. Equacions de la recta en el pla .............................................................................................................................. 181

2. Angle de dues rectes................................................................................................................................................ 184

3. Paral·lelisme i perpendicularitat de rectes ............................................................................................................ 185

4. Distància d’un punt a una recta .............................................................................................................................. 187

5. Feixos de rectes ........................................................................................................................................................ 188

6. Bisectrius de l’angle de dues rectes ...................................................................................................................... 189

Índex

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 7

TTEEMMAA 1100:: LLEESS CCÒÒNNIIQQUUEESS

1. Lloc geomètric .......................................................................................................................................................... 199

2. Les còniques.............................................................................................................................................................. 200

3. Equació de la circumferència .................................................................................................................................. 201

4. Posicions relatives d’una recta i una circumferència ............................................................................................ 202

5. L’el·lipse .................................................................................................................................................................... 204

6. Altres equacions de l’el·lipse .................................................................................................................................. 206

7. La hipèrbola .............................................................................................................................................................. 207

8. Altres equacions de la hipèrbola ............................................................................................................................ 209

9. La paràbola................................................................................................................................................................ 210

10. Altres equacions de la paràbola .............................................................................................................................. 211

TTEEMMAA 1111:: LLEESS FFUUNNCCIIOONNSS

1. Funció real de variable real...................................................................................................................................... 223

2. Idees per al càlcul del domini.................................................................................................................................. 225

3. Funcions usuals ........................................................................................................................................................ 226

4. Funcions definides a trossos.................................................................................................................................... 229

5. Operacions amb funcions ........................................................................................................................................ 231

6. Composició de funcions .......................................................................................................................................... 232

7. Funció inversa d’una altra ........................................................................................................................................ 233

TTEEMMAA 1122:: LLÍÍMMIITTSS DDEE FFUUNNCCIIOONNSS.. CCOONNTTIINNUUÏÏTTAATT

1. Límit d’una funció en un punt.................................................................................................................................. 241

2. Límits laterals ............................................................................................................................................................ 243

3. Límits infinits. Asímptotes verticals ........................................................................................................................ 244

4. Límits en l’infinit. Asímptota horitzontal ................................................................................................................ 245

5. Continuïtat d’una funció .......................................................................................................................................... 246

6. Càlculs de límits ........................................................................................................................................................ 248

TTEEMMAA 1133:: FFUUNNCCIIOONNSS TTRRIIGGOONNOOMMÈÈTTRRIIQQUUEESS

1. El sistema circular...................................................................................................................................................... 261

2. Funcions periòdiques .............................................................................................................................................. 263

3. La funció sinus .......................................................................................................................................................... 263

4. La funció cosinus ...................................................................................................................................................... 264

5. La funció tangent ...................................................................................................................................................... 265

6. Funcions trigonomètriques inverses ...................................................................................................................... 266

TTEEMMAA 1144:: LLEESS FFUUNNCCIIOONNSS EEXXPPOONNEENNCCIIAALL II LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA

1. La funció exponencial .............................................................................................................................................. 273

2. La funció f(x) = ex ...................................................................................................................................................... 275

3. Problemes exponencials .......................................................................................................................................... 276

4. Logaritme d’un nombre .......................................................................................................................................... 278

5. La funció logarítmica ................................................................................................................................................ 280

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 8

TTEEMMAA 1155:: DDEERRIIVVAADDAA DD’’UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓ.. AAPPLLIICCAACCIIOONNSS1. Taxa de variació mitjana d’una funció .................................................................................................................... 2932. Derivada d’una funció en un punt .......................................................................................................................... 2953. Interpretació geomètrica de la derivada ................................................................................................................ 2974. Funció derivada ........................................................................................................................................................ 2985. Derivada d’algunes funcions.................................................................................................................................... 2996. Derivada de les operacions .................................................................................................................................... 3007. Derivada de la funció composta ............................................................................................................................ 3028. La derivada i el creixement i decreixement .......................................................................................................... 3039. Extrems condicionats................................................................................................................................................ 305

TTEEMMAA 1166:: DDIISSTTRRIIBBUUCCIIOONNSS BBIIDDIIMMEENNSSIIOONNAALLSS.. RREEGGRREESSSSIIÓÓ II CCOORRRREELLAACCIIÓÓ1. Distribucions bidimensionals .................................................................................................................................. 3172. Paràmetres ................................................................................................................................................................ 3183. Covariància ................................................................................................................................................................ 3194. Correlació lineal ........................................................................................................................................................ 3205. Rectes de regressió .................................................................................................................................................. 322

TTEEMMAA 1177:: PPRROOBBAABBIILLIITTAATT1. Successos .................................................................................................................................................................. 3372. Idea intuïtiva de la probabilitat .............................................................................................................................. 3393. Probabilitat de Laplace ............................................................................................................................................ 3414. Successos intersecció i unió .................................................................................................................................... 3425. Probabilitat de la unió de dos successos .............................................................................................................. 3436. Probabilitat condicionada ........................................................................................................................................ 3457. Successos dependents i independents .................................................................................................................. 3478. Taules de contingència i diagrames d’arbre .......................................................................................................... 3489. Probabilitat total i teorema de Bayes .................................................................................................................... 350

TTEEMMAA 1188:: LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓ BBIINNOOMMIINNAALL1. Variable aleatòria ...................................................................................................................................................... 3632. Funció de probabilitat .............................................................................................................................................. 3653. Funció de distribució................................................................................................................................................ 3664. Paràmetres d’una variable aleatòria discreta ........................................................................................................ 3695. La distribució binomial ............................................................................................................................................ 3716. Funció de distribució de la variable aleatòria binomial ........................................................................................ 374

TTEEMMAA 1199:: LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓ NNOORRMMAALL1. Variable aleatòria contínua ...................................................................................................................................... 3832. Funció de densitat i funció de distribució.............................................................................................................. 3833. La distribució normal ................................................................................................................................................ 3854. Distribució normal tipificada.................................................................................................................................... 3875. Ús de taules .............................................................................................................................................................. 3876. Tipificació de la variable .......................................................................................................................................... 3907. La normal com a aproximació de la binomial ........................................................................................................ 392

SSOOLLUUCCIIOONNAARRII ................................................................................................................................................................ 403

BAVV5714_Fr 4/9/08 10:46 Página 9

10

Tema 1ELS NOMBRES REALS

«Proven que la diagonal del quadratés incommensurable amb el costat,mos-trant que si s’admet que és commensu-rable, un nombre imparell seria igual queun de parell.» (Aristòtil,Analítics poste-riors. I, 23).

Plató i Aristòtil (els dos personatges del centre de la imatge).Detall de L’escola d’Atenes, de RAFAEL.Museus vaticans.

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 10

Tema 1. Els nombres reals 11

En el Teetet de Plató (147d-148b) esconta com Teodor havia demostrat queles arrels dels enters no quadrats per-fectes són irracionals.

π és la relació entre la longitud i el dià-metre d’una circumferència.

e és la base d’un sistema de logaritmesque estudiaràs més endavant.

Φ (nombre auri) és la proporció entrela diagonal i el costat d’un pentàgonregular (considerada perfecta en la Grè-cia antiga).

1. Nombres irracionalsComplementant els nombres racionals (fraccions de nombres enters)

es troben els nombres irracionals.

Exemples de nombres irracionals són:

• 1,23456789101112131415…

• 0,102030405060708090100110120130…

• 3,1122334455667788991010111112121313…

Un nombre irracional no és el quocient de dos enters. Aquestacaracterística ja va ser estudiada per l’escola pitagòrica, la qual fins i tot vademostrar la «irracionalitat» d’alguns nombres, en particular del nombre

mitjançant una brillant demostració basada en el mètode de reduccióa l’absurd.

Demostració que és irracional:Suposem que el que es vol demostrar és fals, és a dir, suposem que

és un nombre racional.

Si és racional, llavors es pot escriure com la fracció irreductible ,

és a dir: amb a i b enters i primers entre si.

Si llavors ; per tant a2 és un nombre parell

(és múltiple de 2), per tant, a no pot ser imparell, ja que si ho fóra, el seuquadrat seria imparell. Així doncs, a és parell, per tant a = 2k.

Si a = 2k llavors a2 = 4k2 i, per tant 4k2 = 2b2 o el que és el mateix b2 = 2k2

i es dedueix, igual que abans, que b2 és parell i, per tant, b és parell.Hem obtingut que tant a com b són parells, per tant, no són primers

entre si i aquest resultat contradiu la hipòtesi inicial; per tant, és necessari

negar-la i concloure que no és un nombre racional. 2

ab

a b2

22 2= ⇒ =2 22 =

ab

2 =ab

ab

2

2

2

2

A més del comentat uns altres irracionals famosos són:

π, e, Φ = . Ací els tens amb les seues 30 primeres xifres decimals:

π = 3,141592653589793238462643383279...

e = 2,718281828459045235360287471352...

Φ = 1,618033988749894848204586834363...

1 52

+

2

El conjunt dels nombres irracionals es denota per I.

Un nombre irracional és un decimal amb infinites xifres decimals noperiòdiques.

El mètode de reducció a l’absurdés un mètode de demostració que con-sisteix a suposar cert el contrari del quees vol demostrar i arribar així a una con-tradicció o absurd.

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 11

12

En resum: Un nombre irracional és un decimal amb infinites xifresdecimals no periòdiques que no es pot escriure com el quocient dedos nombres enters.

2. Aproximacions decimals i errorsAtés que un nombre irracional té una expressió decimal infinita no periò-

dica, només és possible escriure’l mitjançant una aproximació decimal fini-ta. Els nombres 3,14 o 3,1416 són aproximacions decimals de π, així com1,618 és una aproximació decimal de Φ. En la pràctica no té sentit dir, per

exemple, que la longitud d’un pal és 4 m, ni tampoc dir que aquesta lon-gitud és 5,656854249 m, per tant, és necessari treballar amb aproxima-cions decimals que comporten un error que hem de conéixer.

2

Aquest arredoniment es fa fins a un ordre, i aquest ordre determina elnombre de xifres que es consideren.

Una vegada conegut l’ordre de l’arredoniment, se segueix la regla següent:

Si el valor exacte d’un nombre a se substitueix per a', s’ha comés unerror denominat error absolut.

E = |a – a'|.S’anomena error relatiu al quocient entre l’error absolut i el real.

Si e es multiplica per 100, s’obté el percentatge d’error relatiu.

ea a

a=

| – '|| |

1. Si la primera xifra que no es considera és menor que 5, el nombrees deixa com està.

2. Si és major o igual que 5, se suma una unitat a la última xifra conser-vada (si aquesta és 9, es reemplaça per un 0 i s’augmenta en 1 laxifra anterior).

Arredonir un nombre és aproximar-lo a un altre amb el menor error possible.

Donat el nombre A = 4,256197 es té:a) Arredoniment enter: A = 4.

b) Arredoniment a centèsimes (a 10–2) : A = 4,26 (ja que la primera xifra no considerada és 6).

c) Arredoniment a mil·lèsimes (a 10–3) : A = 4,256 (ja que la primera xifra no considerada és 1).

d) Arredoniment a centmil·lèsimes (a 10–5) : A = 4,25620 o també A = 4,2562.

Exemples

1

Moltes obres d’art han sigut construï-des amb dimensiones àuries, com elTemple de la Concòrdia d’Agrigent, aSicília.

Quan es mesura es cometen errors quepoden ser sistemàtics (originats perdefectes en els instruments de mida) oaccidentals (degut a imperfeccionscomeses pel lector).

errorabsolut

a' a

valorobtingut

valorexacte

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 12


Com que en la pràctica no se sol conéixer el valor exacte d’un nombrea, no és possible trobar l’error absolut ni el relatiu, en aquest cas, el queés fa és determinar quotes o marges d’error, és a dir, nombres positiusmés grans que el valor absolut de l’error.

En la pràctica, és costum presentar els resultats corresponents a dadescientífiques (a) de manera que s’observe tant el valor estimat (a') com laquota de l’error (ε) de la manera: a = a' ± ε.

ε és la lletra grega èpsilon.

Es diu que a' és un valor aproximat de a amb error menor que ε si|a – a'| < ε. Al nombre ε se l’anomena quota de l’error absolut.

a – ε a + εa

a´

Exemples

En mesurar la longitud d’un pont de 500 m s’ha obtingut un valor de 499 m i en trobar l’amplària d’un carrer de20 m s’ha obtingut 21 m. En els dos casos l’error absolut és 1 m i això indica que considerar solament l’errorabsolut no dóna una idea clara de la qualitat del mesurament.

Els respectius errors relatius són:

En el pont: = 0,002 = 0,2 %. En el carrer: = 0,05 = 5 %.

El menor error relatiu comés en el mesurament del pont deixa clar que és més exacte aquest mesurament que el

realitzat per a trobar l’amplària d’un carrer.

120

1500

2

Exemples

Sabem que π = 3,141592654… per tant:

3,14 és un valor aproximat de π amb error menor que 0,01 ja que |π – 3,14| < 0,01.

3,15 també és un valor aproximat de π amb error menor que 0,01 ja que |π – 3,15| < 0,01.

S’ha mesurat la longitud d’un full del quadern d’un alumne i s’ha obtingut que aquesta longitud està entre 21,7cm i 21,8 cm. Com que la longitud real � del full és desconeguda, pareix raonable dir que aquesta longitud és elvalor mitjà 21,75 cm i assignar una quota d’error de 0,05 cm. Per a aquesta forma es pot dir que la longitud �del full és � = 21,75 ± 0,05 cm.

3

4

Exercicis

1

2

3

4

Donats els nombres A = ; B = 2 + ; C = π – es demana donar de cadascun un arredoniment d’ordre:

a) enter; b) a dècimes; c) a centèsimes; d) a mil·lèsimes.

352717

Dóna l’error absolut i el relatiu que es comet en fer els arredoniments anteriors.

S’ha mesurat una longitud de 500 m amb un «metre» la longitud exacta del qual és de 98 cm. Determina l’errorabsolut i l’error relatiu comés.

Sabent que 1,414 213 562… Indica quina és la quota d’error comés en arredonir com:

a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21.

22 ≈

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 13

14

3. Arrels d’índex nEl concepte d’arrel quadrada es pot ampliar per a representar les solu-

cions de l’equació xn = a mitjançant el símbol (radical d’índex n).an

L’exemple anterior posa de manifest que les arrels d’índex parell existei-xen únicament si el radicand és positiu o nul, mentre que les arrels d’índeximparell existeixen sempre i tenen el mateix signe que el radicand.

Operacions

Un radical no varia si es multipliquen o divideixen l’índex i l’exponent delradicand per un mateix nombre no nul.

a apn pmnm=

a) = 2 ja que 24 = 16; b) = – 3 ja que (– 3)3 = –27

c) = 15 ja que 153 = 3375; d) no existeix ja que x6 ≥ 0 per a qualsevol valor de x.−36633753

−273164

Quocient

Producte

a

b

ab

bn

nn= ≠( )0

Potència a anp

pn( ) =

Exemples

5

Exemples

6

= arrel cúbica; = arrel quarta43

Comprova si la teua calculadora disposade la tecla per a obtindre arrels dequalsevol índex.

an n nb a b× = ×Atenció!

a+b a + bn n n

Les operacions entre radicals d’índex diferent s’han de realitzar trans-formant-los prèviament a un mateix índex. Per a aconseguir-ho, has de tin-dre en compte la regla següent:

a) 32

b)

3 × = × = = =

= = =

2 32 2 64 4 4

224

7

2247

32

3 3 3 33

5

55 5 22 2

4 4 2 2

55

42

24 44

=

( ) = = =c)

L’expressió = x implica que xn = a quan n és l’índex de l’arrel, a és

el radicand i x és l’arrel n-sima de a. Evidentment = a.ann

an

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 14


Exemples

7 a) (multiplicant índex i exponent per 2)

b) (simplificant per 4)

c)

d)a

b

a

b

ab

23

4

812

312

8

312= =

2 3 2 3 2 3 64823 36 46 3 46 6× = × = × =

b b812 23=

6 6 363 26 6= =

L’arrel d’una arrel és una altra arrel que té el mateix radicand i l’índexde la qual és el producte dels índexs.

a apn np

=

Exemples

8 a) b) )a a x x c3 6 8 22 3 2= = =; ; ·

Arrel d’arrel

Extracció i introducció de factors

Pots extraure factors d’un radical quan hi ha factors d’exponent major oigual que l’índex.

La introducció de factors sempre és possible i l’operació es realitza ele-vant el factor a l’índex del radical.

Factor és allò que multiplica. En el radi-

cand de hi ha dos factors i en el de

hi ha dos sumands, no factors.a b+

ab

Exemples

Extraure els factors possibles dels radicals:

a) o també si dividim 9 : 3 = 3 ⇒ = x3

b) Per a extraure factors del radical , fem:

Introducció de factors:

2 3 2 3 32 3 9625 5 25 5 25 75x x x x x x x= = =( ) ·

a a a a a a a a a94 44 44 4 4 2 4= = =· · · ·a94

x 93x x x x x x x x93 33 33 33 3= = =· · · · ;

a) b)93 94x a;9

10

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 15

16

Racionalitzar una fracció és transformar-la en una altra d’equivalent queno continga cap radical en el denominador.

Exercicis

5

6

7

8

9

Usa la descomposició factorial dels radicands i calcula:

Calcula:

Calcula:

Extrau els factors possibles dels radicals:

Escriu de la manera els radicals: an

a) 27443 b) 0 00164 , c) 493 d) −5123

a) 2 9 273 · b) 2 12 3 234 2 23· · · c)9

27

23

6

a b

ad)

2 8

16

35

3

x x

x

·

a) 2 2 2 2 4+ + + + b) 27 24 36 c) 2 2 2 2 4 d) 2564

a) 2565 b) 3 4 63 x y c) 8 3 12x y d) 36 8 56 a a

a) 3 23 4 2x y y b) −3 43ab a c) ( )a b a b− + d)32

23

3x x

4. Racionalització

Anàlogament:

Es fa:

Alguns dels possibles casos són:

1. El denominador és un radical quadràtic:

2. El denominador és un radical d’índex n:

m

a

m

apn

3. El denominador és una suma o diferència amb, com a mínim, un radicalquadràtic:

m

a b

m a b

a b a b

m a ba b+

=−

+ −=

−

−

·( )

( )·( )

·( )

m

a b

m a b

a b a b

m a ba b−

=+

− +=

+

−

·( )

( )·( )

·( )

m

a

m a

a a

m a

a

m aa

= =

( )=

·

·

·2

Farem:m

a

m a

a a

m a

a

m apn

n pn

pn n pn

n pn

p n pn

n p= = =

−

−

−

+ −

−·

·

· · nn

a

Es multiplica i es divideix pel radical qua-dràtic del denominador.

En aquest cas has d’operar amb el radical«convenient» a fi d’aconseguir índexs iexponents iguals.

Ací es multiplica i es divideix per l’expres-sió conjugada del denominador, sabentque l’expressió conjugada de A – B és A + B i recíprocament.

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 16


Exemples

11 a)

b)

10

3 5

10 5

3 5 5

10 53 5

2 53

2

3

2 3

3 33

23

3 2

= = =

=

·

·

··

·

· 33

3

33

32 9

3

2 93

1

3 2

1 3 2

3 2 3 2

= =

+=

−

+ −=

· ·

·( )

( )·( )

(c)

33 23 2

3 2−

−= −

)

Exercicis

10 Racionalitza els denominadors: a) b) c) d)5

7e)

22

5+ 3

3

6

3

2 12

2

4 25; ; ; ;

−

5. Potències d’exponent fraccionari

El concepte de potència s’amplia al cas d’exponent fraccionari definint:

Admetem que les regles per al càlcul amb potències d’exponent entercontinuen sent vàlides per a potències amb exponent fraccionari.

Si l’exponent és negatiu, el signe menys correspon al numerador.

Així, per exemple: 3 313

12 1− −= =

am n mn a/ =

Ara podem justificar la propietat

En efecte:

També: a a a a a apn p n p

np n pn np

= ( ) = ( ) = = =×

1 11

1 1 1

a a a apmnmpmnm

pn pn= = =

a apn pmnm=

Si no disposes de la tecla la tecla

de la teua calculadora també et

permet calcular arrels de qualsevol índex.

Exemples

12 a) b) c)3 3 4 4 64 8 8 818

1 3 3 3 2 3 1 3 13 3a a/ / /; ;= = = = = =− − == =1

8

123

Exercicis

11 Opera les expressions següents i dóna el resultat sense exponents fraccionaris:

a) b)4

6c) d)(2

1/23 2

235 2

1 21 2 1 2 3 4· ; ; ;/

// / /

−−a b c aa)1/3( ) ( )/ /3 2 1 4 5 1 6a ab −

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 17

18

6. El conjunt dels nombres reals: La recta real

El teorema de Tales permet representar els nombres racionals en la

recta. Per exemple, per a representar els nombres i es faria:−23

35

En representar els nombres racionals en la recta no has de pensar queaquesta s’ompli per complet, ja que hi ha «buits» que seran omplits pelsirracionals.

Per a representar alguns nombres irracionals pots fer la construcciósegüent basada en les relacions del teorema de Pitàgores.

El conjunt format pels nombres racionals Q i els irracionals I rep el nomde conjunt dels nombres reals R.

0 35

1–1 23

–1

23

12

34

5 s

20 1

1 11

2 52–3–

2

5

3

Els nombres irracionals omplin els buits deixats pels racionals i d’aques-ta manera a qualsevol nombre real se li pot fer correspondre un únic puntde la recta i recíprocament. Els nombres reals omplin per complet la recta.Aquesta recta s’anomena recta real.

Qualsevol nombre racional o irracional es diu que és un nombre real.

20 1 5 3–1 910

–74

–52

– –2–3 25

RELACIONS

Els nombres naturals estan continguts enel conjunt dels nombres enters

NN ZZ

Els nombres enters estan continguts enel conjunt dels nombres racionals

ZZ QAixí doncs:

NN ZZ Q

Entre Q i I no hi ha cap relació d’inclusióencara que els dos formen el conjunt Rdels nombres reals

RR = Q ∪ IPer tant:

NN ZZ Q RR

⊃⊃⊃

⊃⊃

⊃

⊃

Si es tracta d’una fracció pròpia (numera-dor menor que el denominador), s’agafendes del zero tantes parts iguals com indi-ca el denominador. Unint la darrera ambl’1 i traçant paral·leles obtens els puntsque representen les diferents fraccionspròpies totes amb igual denominador.

Si la fracció és impròpia (numeradormajor que el denominador), s’escriu en la

forma on c és el quocient i r

la resta de la divisió de a entre b. Ara la

fracció ja és pròpia.rd

ab

= c +rd

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 18


Si a i b són dos reals tals que a ≤ b, la notació utilitzada és:

Interval tancat [a, b] Interval obert ]a, b[

Interval semiobert a l’esquerra ]a, b] Interval semiobert a la dreta [a, b[

Els nombres a i b són els extrems de l’interval.

Observa que en un interval tancat per un extrem indica que aquestextrem sí que pertany a l’interval. Si l’interval és obert, l’extrem no hipertany.

Es pot generalitzar el concepte per a definir els intervals d’extrem infi-nit.

7. Intervals

Un conjunt de nombres reals és un interval de R si, i únicament si,conté tots els nombres compresos entre dos qualsevol dels seus ele-ments.

a bx

a ≤ x < b

Semirectes tancades Semirectes obertes

a x

bx bx

[a, +∞[ = {x ∈ R i a ≤ x} ]a, +∞[ = {x ∈ R i a < x}

]–∞, b] = {x ∈ R i x ≤ b} ]–∞, b[ = {x ∈ R i x < b}

Com a casos extrems hem d’anomenar l’interval {a} = [a, a] i l’intervalbuit Ø = ]a, a[.

El conjunt R seria, per tant, l’interval ]–∞, +∞[.

a bx

a ≤ x ≤ b

a bx

a < x < b

a x

a bx

a < x ≤ b

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 19

20

Quan x és un nombre real. S’anomena valor absolut o mòdul de x is’escriu |x | el nombre positiu definit així:• si x és positiu o nul, llavors |x | = x• si x és negatiu, llavors |x | = –x.

Exemples

Determina el conjunt P = (]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[) ∪ ]2, 5[

Anomenant A = ]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[

Per tant P = [–1, 2[ ∪ ]2, 5[

13

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

]–3, 2 [

[– 1, 5]

]–4, 3 [

A

]2, 5 [

P

Exemples

a) |8| = 8; |7,5| = 7,5; |–5,8| = 5,8; |–1| = 1; b) |π – 3| = π – 3 ja que π – 3 és positiu.14

Exercicis

12

14

13

Vertader o fals?

a) [2, 3[ ]2, 3[; b) ]2, 3[ [2, 3[; c) [1, 3] ]– ∞, 3]; d) [–3, 2] [– 4, 4]

Determina el conjunt A = {[1, 4[ ∪ ]5, 8]} ∩ {[–1, 2] ∪ ]3, 6[ ∪ ]7, 9]}

Determina el conjunt B = {]–1, 2[ ∩ [0, 3[ ∩ ]–5, 1[} ∪ ]1, 3].

⊃⊃⊃⊃8. Valor absolut: distància en la recta

Propietats

Siguen els nombres que siguen x i y, es verifica:

La intersecció de dos intervals és un interval, però la unió de dos inter-vals no és necessàriament un interval. Observa l’exemple següent:

1. |x | = |–x | 2. |x · y | = |x | · |y |

3. (amb y ≠ 0) 4. |x + y | ≤ |x | + |y |xy

xy

=| || |

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 20


A més, si α ≥ 0 és fàcil comprendre que:

Propietats de la distància

Siguen els nombres reals que siguen x, y, z es verifica:

1. d(x, y ) ≥ 0 i d(x, y ) = 0 si i únicament si x = y

2. d(x, y ) = d(y, x )

3. d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) (propietat triangular)

Exemples

a) |3 – 7| = |7 – 3| = 4; b) |(– 8) × 4| = |– 8| × |4| = 8 × 4 = 32

c) d) |– 8 + 5| ≤ |– 8| + |5| ja que |– 8 + 5| = 3 i |– 8| + |5| = 8 + 5 = 13| |

| |54

54

54

54−

=−

= − =

15

|x | = α |x | ≤ α |x | > α

x = – α ó x = α– α ≤ x ≤ α

x ∈ [– α, α]x < – α ó x > α

x ∈ ]– ∞, – α[ ∪ ]α, +∞[Equival a

Gràficament−α α0

x

−α α0

x

−α α0

x

d(x, y)

x y

La distància entre dos punts x i y de la recta real es defineix:d(x, y ) = |x – y |

Exemples

a) d(3, 8) = |3 – 8| = 5;

b) d(–2, 5) = |(–2) –5| = |–7| = 7;

c) d(–8, –4) = |–8 – (–4)| = |–8 + 4| = |–4| = 4

16

Exercicis

15

17

16

Dóna el valor absolut dels nombres següents: a) 4,6; b) π + 3; c) 5 – ; d) 5–2; e) –32; f) 28000.

Calcula: ||–2| – |–4| – |–3 × 5|| – |2 × (–5)|

Troba x en les equacions següents: a) |x | = 7; b) |x – 2| = 3; c) |2 – 3x | = 1

26

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 21

22

Exemples

Resoldre la inequació:

Es multiplica tota la inequació pel m.c.m. (3, 6, 2) que és 6: 2(x – 3) – 23 ≥ 18(x – 1) – 3(4x + 3)

Es realitzen les operacions indicades: 2x – 6 – 23 ≥ 18x – 18 – 12x – 9

Transposant termes queda: 2x – 18x + 12x ≥ –18 – 9 + 6 + 23

Simplificant: –4x ≥ 2

Per a aïllar x cal dividir per –4 amb la qual cosa la desigualtat canvia de sentit:

La solució és o l’interval

Gràficament:

−∞ −⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥,

12

x ≤ −12

x ≤ −12

xx x

−− ≥ − − +

33

236

3 112

4 3( ) ( )17

9. Inequacions de primer grau ambuna incògnita

En ocasions, l’enunciat d’un problema es tradueix al llenguatge alge-braic mitjançant l’ús de desigualtats. En aquestos casos cal resoldreinequacions en què cal utilitzar les propietats següents:

1. Si a < b llavors a + c < b + c

2. Si a < b i c > 0 llavors a × c < b × c i

3. Si a < b i c < 0 llavors a × c > b × c i ac

bc

>

ac

bc

<Tot i que aquestes propietats s’hanescrit amb els signes < i > continuensent vàlides per als altres símbols dedesigualtat.

0–1 12–

Exercicis

18

19

Resol les inequacions següents i expressa la solució gràficament sobre la recta i com un interval:

Mateix exercici:

b) 3x + 2 – (5x + 1) ≤ – (2x + 3) + x – 6;

a) b) c)5x – 9

3d)2

13

0100

10 07 5

233x

x xx− ≤ − > >

+−−; ; ; 66 3 4≤ − x

c)x x x−

−−

>−2

31

56

3;

a)6 5

39 8

411 10

120

−−

−−

−<

x x x;

d) 21 2

32

2x

x x−

+> +

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 22


EXERCICIS RESOLTS

Vertader o fals?a) La diferència de dos nombres irracionals és un irracional.b) El producte de dos nombres decimals és un decimal.c) L’arrel quadrada d’un enter positiu és un nombre irracional.

d) Qualsevol racional es pot escriure de manera única de la forma amb a i b primers entre si.

Solució:

a) Fals. Els nombres i són irracionals i A – B = 2 que no és irracional.

b) Fals. Els nombres i són decimals i tot i això C × F = 1.

c) Fals. Si el nombre és quadrat perfecte, la seua arrel quadrada no és irracional. Així, els nombres 1, 4, 9, 16, … n2

tenen arrel quadrada entera.d) Vertader. És una propietat dels nombres racionals.

Demostra que és irracionalSolució:

Per reducció a l’absurd.

Suposem que és racional, és a dir, suposem que amb a i b enters i primers entre si.

Llavors , per tant a2 = 3b2 (*) i així a2 és múltiple de 3, per tant a2 = 3k i així a ha de ser múltiple de 3, ja

que si no ho fóra, el seu quadrat tampoc no ho seria.

Si a = 3p és a2 = 9p2 i de (*) tenim que 9p2 = 3b2, és a dir b2 = 3p2 i raonant anàlogament, b seria també múltiplede 3 en contra de la hipòtesi que a i b eren primers entre si.

Per tant, és necessari negar la hipòtesi, no és racional, per tant, és irracional.

Representa en la recta real els nombres , i .

Solució:

Partint de la representació de feta en el tema solament cal considerar que:

i així és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 1 i .

Anàlogament: per tant, es la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 1 i 2.

Finalment: per tant, és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 1 i .

La representació seria:

566 1 52 2= +( )

55 1 22 2= +

233 1 22 2= +( )

2

653

3

ab

2

23=

3 =ab

3

3

F = =611

0 54,�C = =116

183,�

B = 2A = +2 2

ab

1

2

3

20 1 2 5

2

53

3

6

6

111 1

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 23

EXERCICIS RESOLTS

Dóna un arredoniment amb la precisió p indicada dels nombres següents:

a) (p = 10–4); b) (p = 10–2) c) (p = 10–1); d) (p = 10–3)

Solució:Observant les expressions decimals de cada un dels nombres, els arredoniments buscats són:

a) b) c) d)

a) Calcula l’expressió de l’àrea d’un triangle equilàter en funció del seu costat.

b) Calcula l’àrea dels triangles equilàters de costats 1 cm i cm.

c) L’àrea dels triangles equilàters és sempre un nombre irracional?

Solució:a)

Per tant

b) Si l = 1 cm és cm2.

Si cm és cm2.

c) No, solament cal considerar per exemple el triangle equilàter de costat l’àrea del qual és

Calcula i dóna un resultat simplificat.

Solució:Com que m.c.m.(2, 3, 4) = 12 es transformen tots els radicals en altres equivalents d’índex 12.

2 4 23 23 4ab a b b· ·

S = = =( ) ·

.12 3

412 3

432

4 22cm

124

S = =( )3 3

43 3

4

2l = 3

S =3

4

S =×

=l

ll2

3

23

4

2

h = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − = =l

ll

l l l22

22 2

2 434 2

3

3

113

0 077≈ ,113

3 7≈ , ;127438

0 29≈ , ;1317

0 7647≈ , ;

113

113

127438

1327

24

4

5

6

��

��

��

2 4 2 2 4 23 23 4 3 612 2 412 312ab a b b ab a b b⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =( ) ( ) ( )

= 22 4 2 2 4 26 6 1812 4 8 412 3 312 6 4 3 6 8 18 4a b a b b a a b b b⋅ ⋅ = 3312 =

17 14 2512 2 5 2122 2 2= =a b ab a b

BAVV5714_01 9/9/08 07:35 Página 24


Simplifica l’expressió:

Solució

Racionalitzem el radicand:

Calcula i simplifica l’expressió:

Solució:

Racionalitza els denominadors següents:

Solució:

Simplifica l’expressió

Solució:

Racionalitzant cada un dels sumands:

Així doncs tots els denominadors són 1 excepte el primer que és –1.

1

2 5

1

2 3

1

3 2

1

2 1

2 54 5

2 34 3

3 23 2

2

++

++

++

+=

−

−+

−

−+

−

−+

− 112 1

5 2 2 3 3 2 2 1 5 1

−

= − + − + − + − = −

1

2 + 5+

1

2 + 3+

1

3 + 2+

1

2 + 1

a)

b)

3

2 5

3 5

2 5 5

3 52 5

3 510

3 32

23

2 23

= =⋅

=

=⋅xy

x y

xy xy

x 223 23

2 23

3 33

2 23233 3

3y xy

xy xy

x y

xy xyxy

y xy⋅

=⋅

=⋅

=

cc)

d)

2

3 2

2 3 2

3 2 3 2

3 2 2

3 2

3 2 27

3

2−=

+

− +=

+

−=

+

+

( )

( )( )

22 2

5 4 2

3 2 2 5 4 2

5 4 2 5 4 2

15 12 2 10 2

−=

+ +

− +=

+ +( )( )

( )( )

++

−=

+

−

1625 32

31 22 217

a) b) c) d)3

2 5

3 2

3 2

3 2 2

5 4 2

2

23; ; ; .

xy

x y −

+

−

ab

ba

ab

ba

a bb a

ab

32

32

26 6=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

ab

ba

3

3 1

3 1

3 1 3 1

3 1 3 1

3 1

3 1

32

2 2

−

+=

− −

+ −=

−

−=

( )( )

( )( )

( )

( )

−−

−=

−=

−

⋅=

−1

3 1

3 1

2

3 1 2

2 2

6 22

( )

3 – 1

3 + 17

8

9

10

BAVV5714_01 9/9/08 07:35 Página 25

EXERCICIS RESOLTS

Converteix en potències d’exponent fraccionari les expressions següents:

a) ; b) ; c) ; d)

Solució:

Resol l’equació: |x + 6| = |x – 2|

Solució:

Cadascun d’aquestos valors absoluts és en realitat una distància. Quan A i B són els punts d’abscissa –6 i 2 res-pectivament, i M és el punt d’abscissa x.

L’equació |x + 6| = |x – 2| equival que MA = MB per tant, M és el punt mitjà del segment AB.

Per tant, la solució de l’equació inicial és x = –2.

a) b) c) d)5 532

32

21 2 31 3

4 1 4= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = +/

//( )x y x y 22 2 2 2 22 34 3 4= ⋅ = = /

2 2x +y432

35

Representa com a intervals els conjunts de nombres que verifiquen:

a) |x | ≤ 2 b) |x – 2| ≤ 4 c) |x | ≥ 3 d) d(x, 3) < 2 e) d(x, –1) ≤ 1

Solució:

a) |x | ≤ 2 equival a –2 ≤ x ≤ 2, per tant: x ∈ [–2, 2]

b) |x – 2| ≤ 4 equival a –4 ≤ x –2 ≤ 4, per tant: –4 + 2 ≤ x ≤ 4 + 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 6. Així: x ∈ [–2, 6]

c) |x | ≥ 3 equival a x ≤ –3 o x ≥ 3. Si x ≤ –3 llavors x ∈ ]–∞, –3]. Si x ≥ 3 llavors x ∈ [3, +∞]. Per tant, |x | ≥ 3 equivala: x ∈ ]–∞, –3] ∪ [3, +∞[

d) d(x, 3) < 2 equival a |x – 3| < 2 o bé –2 < x –3 < 2 ⇔ –2 + 3 < x < 2 + 3 ⇔ 1 < x < 5. És a dir x ∈ ]1, 5[

e) d(x, –1) ≤ 1 equival a |x – (–1)| ≤ 1, és a dir: |x + 1| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ –1 –1 ≤ x ≤ 1 – 1⇔ x ∈ [–2, 0]

11

12

13

0 1 5[ [

–2[ [

0

0–2 2[ [

0–2[

6[

0–3 3[ [

26

0

A M B

–6 2–2

BAVV5714_01 9/9/08 07:46 Página 26


Resol la inequació:

Solució:

Multiplicant-la pel m.c.m. (3, 2, 6) que és 6:

2x – 3(5x – 4) ≤ 6x – (12 – 5x)

2x – 15x + 12 ≤ 6x – 12 + 5x

Transposant:

2x – 15x – 6x – 5x ≤ –12 – 12

–24x ≤ –24

D’on: . S’ha canviat el sentit de la desigualtat perquè s’ha dividit per un nombre negatiu.

La solució és x ≥ 1 o bé x ∈ [1, +∞[

Gràficament:

x ≥2424

1=

x xx

x

3

5 4

2

12 5

6−−

−−≤≤ −−

−−


Solució:

Desenvolupant el producte del primer membre:

per tant: 4x – 10 ≥ 4x + 3 ⇒ 0 ≥ 13

i com que aquesta desigualtat és falsa, la inequació proposada no té solució.


Solució

Operant en cada membre:

multiplicant la inequació per 10, que és el m.c.m. (2,5) s’obté:

–15x + 26 ≤ 20x + 8 – 35x + 18 ⇒ –15x – 20x + 35x ≤ 8 + 18 – 26

És a dir: 0 ≤ 0

I com que aquesta expressió és sempre certa, qualsevol valor de x és solució de la inequació.

−+ + − +

32

135

245

72

95

xx

x≤

x x x x2

135

2 245

72

95

++ −− ++ −− −−⎛⎛

⎝⎝⎜⎜

⎞⎞

⎠⎠⎟⎟

2 54 3

2x

x−

+≥

25

2

4 3

2x −−

++⎛⎛

⎝⎝⎜⎜

⎞⎞

⎠⎠⎟⎟

x

14

15

16

0 1[

x

BAVV5714_01 9/9/08 07:46 Página 27

FORMULARI

Errors i quota d’error

Si el valor exacte d’un nombre a sesubstitueix per a' l’error absolut és

E = |a – a'|

i l’error relatiu és

Es diu que a’ és un valor aproximat dea amb error menor que ε si |a – a'| < εquan ε és la quota de l’error absolut.

ea a

a=

−| '|| |

Arrels d’índex n

L’expressió implica que x n = a.a xn =

Intervals

L’interval s’anomenai és un conjunt denombres x tals que

[a, b] tancat a ≤ x ≤ b

]a, b[ obert a < x < b

[a, b[ semiobert a la dreta a ≤ x < b

]a, b]semiobert

a l’esquerraa < x ≤ b

[a, +∞[ ó ]–∞, a] semirecta tancada x ≥ a ó x ≤ a

]a, +∞[ ó ]–∞, a[ semirecta oberta x > a ó x < a

Valor absolut

S’anomena valor absolut o mòdul del nombre real x i s’escriu |x | al nombre positiu definit així:• si x és positiu o nul, llavors |x | = x • si x és negatiu, llavors |x | = –x

|x | = α equival a x = α ó x = –α

|x | ≤ α equival a –α ≤ x ≤ α o bé x ∈ [–α, α]

|x | > α equival ax < –α o bé x ∈ [–∞, α[

x > α o bé x ∈ ]α, +∞[

Distància entre punts

La distància entre dos punts x i y dela recta real és:

d(x, y ) = |x – y |

28

( )a an p pn=a

b

ab

bn

nn= ≠( )0a b a bn n n× = ×

a am n mn/ =a apn np

=a apn pmnm=

0–

0[ [

–

0[

–[ {

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 28


EXERCICIS FINALS

Digues quins nombres pertanyen a Q i quins a I.

a) ; b) ; c) ;

d) 4,323232…; e) 2,010010001…

f) ; g) ; h) π2

És cert que ? Raona la resposta.

En la figura següent és OB = 7 cm i CD = 5 cm.

355113

= π

23

7 324,

0 04,410

Dóna el valor exacte i un arredoniment a mil·lèsimesde la mesura del segment AB.

Dóna la mesura exacta i un arredoniment a centèsimesdels segments AB, BC i BD del tangram següent:

Quin és l’error absolut i relatiu que es comet enarredonira) 16,7528 a mil·lèsimes?b) π a centèsimes?

c) a enters?

d) 1,2345678… a deumil·lèsimes?

Expressa de la forma a = a' ± ε una mesura de laqual se sap que el seu valor està entre:a) 24,96 i 25,12b) 10,52 i 10,84

2

c) –6,4 i –6,28d) 5 i 6Indica en cada cas quina és la quota de l’errorabsolut comés.

En un reconeixement mèdic s’estableix l’estaturad’un individu en 183 cm quan la seua estatura realés 181 cm. La longitud d’una pista d’atletisme ésde 100,5 m quan hauria de ser de 100 m. Quin delsdos mesuraments comet menor error absolut?Quin té menor error relatiu?

Indica quin percentatge d’error relatiu es cometquan es fa un arredoniment a desenes del nombre15,86352.

Ordena de manera creixent els radicals:

Escriu de la manera amb b el menor possible:

Justifica que:

(amb a > b)

(amb a > b)

Calcula:

a)

b)

c)

12

2 4 872

64

32452

812

18 64

576

4 6 4

4 6 4

+ + + −

− + −

66 3 34 3

6 10 8

12

8135

811

103993

5 8 3 32 8 16 24

− + −

− − +d)118

c)1

2 1

1

3 23 1

++

+= −

b) ( )a b ab a b+ − = −2 4

a) ( ) ( )a b a b a b a b2 2− +( ) = + −

f) 324 xye) x x3 63− ;

d) x y2 2− ;c) 3 2 56 4 7 115⋅ ⋅ ⋅x ;

b) 20003 ;a) 1200 ;

a bn

2 3 6 3 43 4 4 3; ; ; ; .

20

21

22

23

24

25

28

29

30

31

27

26

O

D BA

C

D

B

A

C

8 cm

8 cm

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 29

EXERCICIS FINALS

30

32

33

35

36 41

40

39

38

37

Calcula i dóna el resultat utilitzant una sola arrelcom a màxim.

Mateix exercici:

Calcula i simplifica:

Justifica que:

Simplifica:

A

B

=−

+

= − +

5 2

5 2

17 2 30 17 2 30·

3 2

6

2 3

2 33 2 2

12

−+

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

a)

b)

c)

( )( )

( ) ·

( )(

10 25 10 25

2 31

2 3

5 3 5

3 3

23

− +

−−

−

aa

++

− −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

9

5 3 3 5 5 5 3 3

21

2

4

2

3 3

)

( )( )

( )

d)

e)

f) a b (( )a ab b23 3 23+ +

f)2

32

23

3 34

ab a b

a b

·e)

8

2

64 a

a;d)

3 24

12

4

3

a;

c)50

50

3

4;b)

8

2

4

;a)200

25

3

3;

Introdueix en el radical tots els factors possibles:

Calcula:

Escriu les expressions següents davall d’un solradical i simplifica’n el resultat:

Racionalitza:

Escriu sense radicals les expressions següents:

i)8

4 3 45

xy

x yh)

2

3 24

a

a;g)

3

33;

f)22

+−

xx

;e)85

;d)6

2;

c)15

3;b)

25

15;a)

1

5;

h) x y235( )g) a b3

3( ) ;

f) ( ) ;43 4e) 4 8 2563 4 ;

d) 919

33 ;c) 2 3 9 ;

b) 2 2;a) 83 ;

108 2 56 1715 0 6253 3 3 3, , , ,− + −

f)3 22 34a b abe)( ) ;a b a−

d)( ) ;a b a b+ −c)2 3 23xy y ;

b)3 2a b;a)4 2;

D = − +⎡⎣

⎤⎦

( )( )2 1 2 12

C = −( )2 3 3 5 2

a)

b)

c)

d)

5 15 75

2 8 32

2 8 64

30 7

3 4

4 8

4 56 26

· ·

· ·

· ·

·

x x x

55 180

3 8 24

2 3 18

45

34 3 56

3

a a

ab a b a b

xy z z y

·

· ·

· ·

e)

f) 224

a)1

3; b) 93 ; c) 2

14

4 + ;

d) 8; e)5 3 3

15 3

3·;

x

xf) 8 83 +

34

BAVV5714_01 9/9/08 07:50 Página 30


a) 512x ; b) ( ) ;4 2

23x c) 4

12

−;

d) 5 312· ;

−e)

5

2 112 −

; f) ( )112−

−x

a) 4 212x x= b) 27 323 2 3a a= /

c) 4 0 512

−= , d)

5

3 5

53

=

Escriu les expressions següents sense exponentsfraccionaris ni negatius:

Vertader o fals?

Indica quins nombres representen els punts P, Q, Ri S representats a continuació.

Del 45 al 53. Determina els nombres reals que veri-fiquen l’equació o inequació proposada.

a) |x | = 5; b) |x | = ; c) |x – 2| = 5

a) |x – 1| = 0; b) |x + 5| = 3

a) |x + 2| + 3 = 0; b) |2x – 3| – 1 = 0

a) |x | ≤ 5; b) |x | ≥ 1; c) |x | <

a) |x – 4| ≤ 4; b) |2x – 1| < 3

a) |3 – 2x | ≤ 3; b) ≥ 2x −12

54

32

a) |–x – 2| < 1; b) |–x + 1| >

|x + 3| = |x – 1|

Calcula les interseccions següents:A = ]–2, 5[ ∩ [–1, 7]

B = ]–∞, 6] ∩ [–3, 10]

Calcula les unions següents:C = ]– 6, 8] ∪ [–3, 10[

D = ]–∞, 3[ ∪ [0, 12]

Expressa com un interval el conjunt de valors de xque verifiquen:

a) x > 5 b) x ≥ 3x < 8 x < 4

c) x < 1 d) –2 < x ≤ 10x ≥ –4 –8 < x < 5

Expressa com a intervals:

a) [–1, 3] – {0}

b) [2, 5[ – {2}

c) RR – {–2, 3}d) RR – [–5, 0[

Del 58 al 62. Resol les inequacions següents irepresenta’n la solució sobre la recta real.

4x – 2(x – 3) > 7 + 3x

4 54

2−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟> −

xx

26

514

xx

x−+

−≥

xx

xx

−−

+ −−6 2

42 2

32

≤

x x x+−

+ −12

35

2 32

≥

xx

−= +

22

1| |

12

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

0 1 2 3P Q

2

1 1

20 1–2 –1 RS

{ {{ {

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 31

AUTOAVALUACIÓ

32

L’error absolut comés en arredonir 15,1326 a mil·lèsimes és:

2 0,003 0,0004 cap de les anteriorsDCBA

1

L’error relatiu comés en arredonir fins a centèsimes és:

0,004 menor de 2 mil·lèsimes cap de les anteriorsDCBA

2

2 141

2

− ,

2

La diagonal d’un quadrat de costat fa:

2 cap de les anteriorsD2 2C2BA

23

L’altura d’un triangle equilàter de costat fa:2

3

cap de les anteriorsDCBA

4

36

33

6

3

2

6

El nombre és igual a:

0,3419952 cap de les anteriorsDCBA

2,56 1,083 3–5

15

53 1483 ,

L’expressió és igual a:4ab · a b

a b

2 3 26

2 33


6

24 6

512

a

b23 ab4 46 a b

En racionalitzar l’expressió queda:4x

xy+

5

x – 534


7

4 5 55

34 x yy

xx

++

−

4 5 55

34x xy

xx

++

−( ) 4 5 5

25

34 x yy

xx

++

−( )

El nombre és igual a:5 1

5 + 1

12

12

–

–1 cap de les anteriorsDCBA

8

3 5

2

−

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 32


Si un nombre x verifica que –2 ≤ x + 2 ≤ 1 llavors:

x ∈ [–2, 3] x ∈ [– 4, –1] x ∈ ]– 4, 3[ cap de les anteriorsDCBA

9

La solució de la inequació és:

]–∞, 0[ [0, +∞[ no té solució cap de les anteriorsDCBA

2x + 13

–x – 1

59x + 8

15≤

10

MISCEL·LÀNIA MATEMÀTICA

Els secrets pitagòricsEls Pitagòrics havien considerat com a nucli dogmàtic de la seua filoso-

fia que «els nombres són l’essència de l’univers», no obstant això, el seupropi teorema atempta contra els fonaments de la seua doctrina perquè elquadrat, que és una de les figures geomètriques més simples, proporcionauna terrible realitat: la seua diagonal no és commensurable amb el costat.El mateix passa entre la diagonal i el costat del pentàgon. Així, els nombres(ells anomenaven nombres solament als enters positius) no podien mesurar-ho tot. La geometria no mesurava sempre amb exactitud. Va aparéixer lamagnitud incommensurable, allò irracional –no expressable mitjançantraons–, «l’alogon», i va provocar una crisi sense precedents en la història dela matemàtica. Amb el descobriment dels incommensurables quedavenafectades i havien de ser reconstruïdes totes les proves pitagòriques delsteoremes en què calga comparar raons de magnituds geomètriques. S’ex-plica, per tant, el consegüent secretisme dels pitagòrics sobre la qüestióirracional i la llegenda del castic per la seua divulgació. La commoció queel nou ens va provocar en la matemàtica grega queda reflectida en elsegüent escrit de Jàmblic (Vida de Pitàgores. XXXIV, 246-247, p. 141).

«Es diu que el primer que va revelar la natura de la commensurabilitat ila incommensurabilitat als indignes de participar d’aquestos coneixementsva ser avorrit [per la comunitat pitagòrica] fins al punt que no sols el vanexpulsar de la vida i de l’habitatge en comú, sinó que fins i tot li van erigiruna tomba com si ell, que havia sigut una vegada company, haguera aban-donat la vida entre els homes. [...] Altres afirmen que la divinitat es va enut-jar contra qui va divulgar la doctrina de Pitàgores, morint com un impiu enla mar per sacríleg en haver revelat la doctrina dels nombres irracionals i laincommensurabilitat.»

Pitàgores. Detall de L’escola d’Atenes,de Rafael.

BAVV5714_01 4/9/08 11:08 Página 33

1batxillerat - tabarca llibres · 2015-09-02 · s’inclou un conjunt d’exercicis per a poder...

Documents