DIFERENCIAS FINITAS ORDINARIAS Y DIVIDIDAS

Las diferencias finitas han sido de gran importancia en el desarrollo de las matemáticas. Dada una función discreta, es decir un conjunto finito de argumentos .

Cada uno de los cuales tiene un correspondiente , y suponiendo que los argumentos igualmente espaciados, de modo que las diferencias de los valores se denota.

Ecuación 1

Y se denominan primeras diferencias.

Las diferencias de estas primeras diferencias se denotan por:

Ecuación 2

Y se llaman segundas diferencias. En general.

Ecuación 3

La tabla de diferencias es el formato usual para exhibir las diferencias finitas. Los elementos de la tabla se sitúan diagonalmente. Como resultados de las diferencias de los dos elementos más cercanos de la izquierda,

.

Cada diferencia resulta de ser una combinación de los valores de la segunda columna.

Ejemplo de Aplicación 1

Ejemplo de Aplicación 2

Ejemplo de Aplicación 3

Fórmulas para las Diferencias

Las Diferencias de una Función Constante

Donde C es constante Ecuación 4

Demostración

Sea para todo .

Ésta en una función constante, luego para todo ,

Para una Constante Multiplicada por una Función

Ecuación 5

Demostración

En esta demostración intervienen dos funciones definidas por los mismos argumentos .

Una función tiene los valores , la otra tiene valores .

La Diferencia de una Suma

La diferencia de una Suma de dos funciones.

Ecuación 6

Demostración

La Diferencia de un Producto

Ecuación 7

Demostración

Considérese dos funciones definidas para el mismo conjunto de argumento .

Sean y los valores de estas funciones. Considérese también una tercera función con valores.

Donde y son constantes.

Demostramos que:

Lo mismo lo podemos hacer para:

La Diferencia de un Cociente

Ecuación 8

Demostración:

La Diferencia de una Potencia

Ecuación 9

Esta demostración se puede hacer similar a las demostraciones utilizadas en el cálculo para las derivadas.

Diferencias Divididas

La primera diferencia dividida entre y se define como:

Ecuación 10

Lo mismo se hace con las diferencias divididas de orden superior y se pueden definir en términos de otras diferencias de orden inferior.

Ejemplo de Aplicación 4

Ejemplo de Aplicación 5

Ejemplo de Aplicación 6

Polinomios de Newton

El polinomio de colocación de Newton se puede expresar en términos de las diferencias finitas y polinomios factoriales, mediante la siguiente sumatoria.

Ecuación 11

A partir de esta fórmula se puede llegar a expresar el polinomio de colocación de Newton.

Si operamos la sumatoria, se puede expresar el polinomio de Newton en términos de , usando .

Ecuación 12

Los puntos de colocación son ; en estos puntos el polinomio toma valores .

Ejemplo de Aplicación 7

Ejemplo de Aplicación 8

Teorema del Error para la Aproximación Polinómica

Teorema

También llamado error de truncamiento.

Es la diferencia que se acepta en el momento de decidir el uso de una aproximación polinómica.

Donde es desconocido, este teorema puede ser usado para encontrar cotas de error.

El error de truncamiento es un error de tipo algorítmico.

Ejemplo de Aplicación 9