1823 cañar villegas 3erparcial

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZASARMADAS-ESPE

Canar Edisson-Villegas Bryan

NRC 1823

Departamento de Ciencias Exactas

Docente Mgs. Fabian Ordonez

16 de febrero de 2015

1

Metodos Numericos

Tercer ParcialDeber N:1

1. Sea f (x) = csc(x), con x radianes. Calcule aproximaciones a f (0,6) usando las formu-las de diferencias centradas de orden O(h2) y O(h4) toamando h = 0,1; h = 0,01;h = 0,001 con diez cifras significativas, calcule el error en cada caso, resuma la infor-macion en una tabla determine el menor error que presenta la mejor aproximacion..f (x) = csc(x)f (x) = csc(x) cot(x)f (0,6) = csc(0,6) cot(0,6) = 2,5887105840

Diferencia Centrada O(h2)

f (x) = f1 f12h

Solucion Manual:

Para h = 0,1

f (0,6) = csc 2,3+ 0,1 2,3 0,12(0,1)

= 2,6677965798

Eab = | 2,5887105840+ 2,6677965798| = 0,0790859958

Para h = 0,01

f (0,6) = csc(0,6+ 0,01) csc(0,6 0,01)2(0,01)

= 2,5894796165

Eab = | 2,5887105840+ 2,5894796165| = 0,000769032

Para h = 0,001

f (0,6) = csc(0,6+ 0,001) csc(0,6 0,001)2(0,001)

= 2,5887182722

Eab = | 2,5887105840+ 2,5887182722| = 0,0000076882

2

Metodos Numericos

Tabla de Resultados:

h f (x) Error0,1 2,6677965799 0,07908599580,01 2,5894796165 0,0007690325

0,001 2,5887182722 0,0000076882Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de ordenO(h2) con h = 0,001 se obtienela mejor aproximacion.Editor:

function [L,n]=DerivadaCent1(f,x,h)

format long

max1=3;

H(1)=h;

D(1)=(subs(f,x,x+h)-subs(f,x,(x-h)))/(2*h);

E(1)=abs(subs(diff(f),x,x)-D(1));

for n=1:2

h=h/10;

H(n+1)=h;

D(n+1)=(subs(f,x,x+h)-subs(f,x,x-h))/(2*h);

E(n+1)=abs(subs(diff(f),x)-D(n+1));

end

while n

Metodos Numericos

Command Window:

>> DerivadaCent1(sym(csc(x)),0.6,0.1)

Primera Derivada Centrada (O(h^2))

f(x)=1/sin(x)

Punto:0.60

hk | Dk | Error

------------------------------------------

0.1000 | -2.6677965799 | 0.0790859958

0.0100 | -2.5894796165 | 0.0007690325

0.0010 | -2.5887182722 | 0.0000076882


f (x) = f2 + 8 f1 8 f1 + f212h

Solucion Manual:Para h = 0,1

f (0,6) = csc(0,6+ 2(0,1)) + 8 csc(0,6+ 0,1) 8 csc(0,6 0,1) + csc(0,6 2(0,1))12(0,1)

= 2,5787915763

Eab = | 2,5887105840+ 2,5787915763| = 0,009919007

Para h = 0,01

f (0,6) = csc(0,6+ 2(0,01)) + 8 csc(0,6+ 0,01) 8 csc(0,6 0,01) + csc(0,6 2(0,01))12(0,01)

= 2,5887097256

Eab = | 2,5887105840+ 2,5887097256| = 0,0000000858

Para h = 0,001

f (0,6) = csc(0,6+ 2(h)) + 8 csc(0,6+ h) 8 csc(0,6 h) + csc(0,6 2(h))12(h)

= 2,5887105839

Eab = | 2,5887105840+ 2,5887105839| = 0

4

Metodos Numericos


h f (x) Error0,1 2,5787915763 0,0099190070,01 2,5887097256 0,0000000858

0,001 2,5887105839 0Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h4) el error es menor paralos diferentes de valores; es evidente que estas aproxiamciones son mejores quepara las generadas de orden O(h2), en especial con h = 0,001.

Editor:

function [L,n]=DerivadaCentO4(f,x,h)

format long

max1=3;

H(1)=h;

D(1)=(-subs(f,x,x+2*h)+8*subs(f,x,x+h)-8*subs(f,x,x-h)

+subs(f,x,x-2*h))/(12*h);

E(1)=abs(subs(diff(f),x,x)-D(1));

for n=1:2

h=h/10;

H(n+1)=h;

D(n+1)=(-subs(f,x,x+2*h)+8*subs(f,x,x+h)-8*subs(f,x,x-h)

+subs(f,x,x-2*h))/(12*h);

E(n+1)=abs(subs(diff(f),x)-D(n+1));

end

while n

Metodos Numericos

Command Window:

>> DerivadaCentO4(sym(csc(x)),0.6,0.1)

Primera Derivada Centrada (Oh4)

1/sin(x)

Punto:0.60

hk | Dk | Error

-------------------------------------------

0.1000 | -2.5787915764 | 0.0099190077

0.0100 | -2.5887097257 | 0.0000008584

0.0010 | -2.5887105840 | 0.0000000001

2. Sea f (x) = esin(x), realice lo solicitado en el ejercicio anterior para aproximar f (2,3).

f (x) = ex

f (x) = exf (2,3) = e2,3 = 9,9741824548


f (x) = f1 f12h


f (2,3) = e2,3+0,1 e2,30,1

2(0,1)= 9,9908144060

Eab = |9,9741824548 9,9908144060| = 0,0166319512

Para h = 0,01

f (2,3) = e2,3+0,01 e2,30,01

2(0,01)= 9,9743486920

Eab = |9,9741824548 9,9743486920| = 0,000166237

Para h = 0,001

f (2,3) = e2,3+0,001 e2,30,001

2(0,001)= 9,9741841171

Eab = |9,9741824548 9,9741841171| = 0,000001662

6

Metodos Numericos


h f (x) Error0,1 9,9908144060 0,0166319512

0,01 9,9743486920 0,00016623720,001 9,9741841171 0,0000016624

Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h2) con h = 0,001 seobtiene la mejor aproximacion.

Editor:function [L,n]=DerivadaCent1(f,x,h)

format long

max1=3;

H(1)=h;

D(1)=(feval(f,x+h)-feval(f,(x-h)))/(2*h);

E(1)=(feval(f,x)-D(1));

for n=1:2

h=h/10;

H(n+1)=h;

D(n+1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h);

E(n+1)=abs(feval(f,x)-D(n+1));

end

while n

Metodos Numericos

Command Window:>> DerivadaCent1(inline(exp(x)),2.3,0.1)

Primera Derivada Centrada

Inline function:

f(x) = exp(x)

Punto:2.300000

hk | Dk | Error

--------------------------------------------

0.1000 | 9.9908144060 | 0.0166319512

0.0100 | 9.9743486920 | 0.0001662372

0.0010 | 9.9741841172 | 0.0000016624


f (x) = f2 + 8 f1 8 f1 + f212h


f (2,3) = e2,3+2(0,1) + 8 e2,3+0,1 8 e2,30,1 + e2,32(0,1)

12(0,1)= 9,9741491679

Eab = |9,9741824548 9,9741491679| = 0,0000332869

Para h = 0,01

f (2,3) = e2,3+2(0,01) + 8 e2,3+0,01 8 e2,30,01 + e2,32(0,01)

12(0,01)= 9,9741824515

Eab = |9,9741824548 9,9741824515| = 0,0000000033

Para h = 0,001

f (2,3) = e2,3+2(0,001) + 8 e2,3+0,001 8 e2,30,001 + e2,32(0,001)

12(0,001)= 9,9741824548

Eab = |9,9741824548 9,9741824548| = 0

8

Metodos Numericos


h f (x) Error0,1 9,9741491679 0,0000332869

0,01 9,9741824515 0,00000000330,001 9,9741824548 0

Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h4) el error es menorpara los diferentes de valores; es evidente que estas aproxiamciones son me-jores que para las generadas de orden O(h2), en especial con h = 0,001.

Editorfunction [L,n]=DerivadaCentO4(f,x,h)

format long

max1=3;

H(1)=h;

D(1)=(-feval(f,x+2*h)+8*feval(f,x+h)-8*feval(f,x-h)+feval(f,x-2*h))

/

(12*h);

E(1)=(feval(f,x)-D(1));

for n=1:2

h=h/10;

H(n+1)=h;

D(n+1)=(-feval(f,x+2*h)+8*feval(f,x+h)-8*feval(f,xh)+feval(f,x-2*h))

/(12*h);

E(n+1)=abs(feval(f,x)-D(n+1));

end

while n

Metodos Numericos

Command Window>> DerivadaCentO4(inline(exp(x)),2.3,0.1)

Primera Derivada Centrada (Oh4)

Inline function:

f(x) = exp(x)

Punto:2.300000

hk | Dk | Error

------------------------------------------

0.1000 | 9.9741491679 | 0.0000332869

0.0100 | 9.9741824515 | 0.0000000033

0.0010 | 9.9741824548 | 0.0000000000

3. Usando el desarrollo de Taylor para f (x+ h), f (x h), f (x+ 2h) y f (x 2h), deduzcala formula de diferencias centradas f (3)(x) y f (4)(x).

a)

f (3)(x) =f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h)

2h3

Demostracion:

f (x+ h) = f (x) + f (x)h+ f(2)(x)h2

2!+

f (3)(x)h3

3!+

f (4)(x)h4

4!+

f (5)(x)h5

5!

f (x h) = f (x) f (x)h+ f(2)(x)h2

2! f

(3)(x)h3

3!+

f (4)(x)h4

4! f

(5)(x)h5

5!

f (x+ 2h) = f (x) + 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2

2!+ 8

f (3)(x)h3

3!+ 16

f (4)(x)h4

4!+ 32

f (5)(x)h5

5!

f (x 2h) = f (x) 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2

2! 8 f

(3)(x)h3

3!+ 16

f (4)(x)h4

4! 32 f

(5)(x)h5

5!

f (x+ h) f (x h) = 2 f (x)h+ 2 f(3)(x)h3

3!+ 2

f (5)(c)h5

5!

f (x+ 2h) f (x 2h) = 4 f (x)h+ 16 f(3)(x)h3

3!+ 64

f (5)(c)h5

5!

10

Metodos Numericos

2 f (x+ h) + 2 f (x h) = 4 f (x)h 4 f(3)(x)h3

3! 4 f

(5)(c)h5

5!

f (x+ 2h) f (x 2h) = 4 f (x)h+ 16 f(3)(x)h3

3!+ 64

f (5)(c)h5

5!

f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h) = 12 f(3)(x)h3

6+ 60

f (5)(c)h5

120

f (3)(x) =f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h)

2h3 f

(5)(c)h2

4

f (3)(x) =fi+2 2 fi+1 + 2 fi1 fi2

2h3 f

(5)(c)h2

4

b)

f (4)(x) =f (x+ 2h) 4 f (x+ h) + 6 f (x) 4 f (x h) + f (x 2h)

h4

Demostracion:

f (x+ h) = f (x) + f (x)h+ f(2)(x)h2

2!+

f (3)(x)h3

3!+

f (4)(x)h4

4!+

f (5)(x)h5

5!+

f (6)(x)h6

6!

f (x h) = f (x) f (x)h+ f(2)(x)h2

2! f

(3)(x)h3

3!+

f (4)(x)h4

4! f

(5)(x)h5

5!+

f (6)(x)h6

6!

f (x+ 2h) = f (x)+ 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2

2!+ 8

f (3)(x)h3

3!+ 16

f (4)(x)h4

4!+ 32

f (5)(x)h5

5!+ 64

f (6)(x)h6

6!

f (x 2h) = f (x) 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2

2! 8 f

(3)(x)h3

3!+ 16

f (4)(x)h4

4! 32 f

(5)(x)h5

5!+ 64

f (6)(x)h6

6!

f (x+ h) + f (x h) = 2 f (x) + 2 f(2)(x)h2

2!+ 2

f (4)(x)h4

4!+ 2

f (6)(c)h6

6!

f (x+ 2h) + f (x 2h) = 2 f (x) + 8 f(2)(x)h2

2!+ 32

f (4)(x)h4

4!+ 128

f (6)(c)h6

6!

11

Metodos Numericos

4 f (x+ h) 4 f (x h) = 8 f (x) 8 f(2)(x)h2

2! 8 f

(4)(x)h4

4! 8 f

(6)(c)h6

6!

f (x+ 2h) + f (x 2h) = 2 f (x) + 8 f(2)(x)h2

2!+ 32

f (4)(x)h4

4!+ 128

f (6)(c)h6

6!

f (x+ 2h) 4 f (x+ h) 4 f (x h)+ f (x 2h) = 6 f (x)+ 24 f(4)(x)h4

24+ 120

f (6)(c)h6

720

f (4)(x) =f (x+ 2h) 4 f (x+ h) + 6 f (x) 4 f (x h) + f (x 2h)

h4 f

(6)(c)h2

6

f (4)(x) =fi+2 4 fi+1 + 6 fi 4 fi1 + fi2

h4 f

(6)(c)h2

6

4. Determinar las aproximaciones centradas, regresivas y progresivas de orden O(h2) af (xk) en cada uno de los cuantro puntos de la siguiente tabla, presente la informacioncalculada y resumida en una tabla.

x f (x)0,00 0,989920,10 0,9991350,20 0,9982950,30 0,987480

Aproximaciones Centradas:Se pueden utilizar aproximaciones centradas con los puntos 0.10 y 0.20; debido aque solo estos possen un punto anterior y posterior, de la siguiente manera:

f (x) = f1 f12h

f (0,10) = f (0,20) f (0,00)2(0,10)

=0,998295 0,98992

2(0,1)= 0,041875

f (0,20) = f (0,30) f (0,10)2(0,10)

=0,987480 0,999135

2(0,1)= 0,058275

12

Metodos Numericos

Aproximaciones Progresivas:

f (x) = 3 f0 + 4 f1 f22h

f (0,00) = 3(0,98992) + 4(0,99135) 0,9982952(0,1)

= 0,142425

f (0,10) = 3(0,999135) + 4(0,998295) 0,9874802(0,1)

= 0,041475

Aproximaciones Regresivas:

f (x) = 3 f0 4 f1 + f22h

f (0,20) = 3(0,998295) 4(0,999135) + 0,989922(0,1)

= 0,058675

f (0,30) = 3(0,987480) 4(0,998295) + 0,9991352(0,1)

= 0,158025


x Aprox.Centradas Aprox.Progresivas Aprox.Regresivas0,00 0,142425 0,10 0,041875 0,041475 0,20 0,058275 0,0586750,30 0,158025

Editor:

function DifAp(x,fx)

n=length(x);

m=length(fx);

D(n,3)=0;

Dc(n)=0;

Dp(n)=0;

Dr(n)=0;

if n~=m

fprintf(Longitud de los valores no corresponde.\n);

return

end

h=x(2)-x(1);

D(n,3)=0;

%Aproximacion Centrada

for i=2:n-1

Dc(i)=(fx(i+1)-fx(i-1))/(2*h);

end

%Aproximacion Progresiva

13

Metodos Numericos

for i=1:n-2

Dp(i)=(-3*fx(i)+4*fx(i+1)-fx(i+2))/(2*h);

end

%Aproximacion Regresiva

for i=3:n

Dr(i)=(3*fx(i)-4*fx(i-1)+fx(i-2))/(2*h);

end

fprintf(|x| f(x)|Dif. Centradas|Dif. Progresivas|Dif. Regresivas|\n);

fprintf(-----------------------------------------------------\n);

for i=1:n

fprintf(%.2f\t %f \t,x(i),fx(i));

if Dc(i)==0

fprintf(\t\t---------\t);

else fprintf(\t\t%.6f\t,Dc(i));

end

if Dp(i)==0

fprintf(\t\t---------\t);

else fprintf(\t\t%.6f,Dp(i));

end

if Dr(i)==0

fprintf(\t\t--------\n);

else fprintf(\t%.6f\n,Dr(i));

end

end

end

Command Window:

>> DifAp([0.00 0.10 0.20 0.30],[0.98992 0.999135 0.998295 0.987480])

| x | f(x) | Dif. Centradas | Dif. Progresivas | Dif. Regresivas|

----------------------------------------------------------------------------

0.00 0.989920 --------- 0.142425 --------

0.10 0.999135 0.041875 0.041475 --------

0.20 0.998295 -0.058275 --------- -0.058675

0.30 0.987480 --------- --------- -0.158025

14

Metodos Numericos

5. Calcule cada una de las siguientes integrales, utilizando los codigos compuestos estu-diados(Trapecio,Simpson y Punto Medio). Ademas, analice el error absoluto.

a) 11(1+ x2)1dx 1

1(1+ x2)1dx = arctan(1) arctan(1) = 1,5707963267

Trapecio:Command Window:>> It=intt(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))

El valor por el Metodo de Trapecio es:

It =

1.570787993461564

Errab = |1,5707963267 1,5707879934| = 0,000008333

Punto Medio:Command Window:>> Ir=intr(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))

El valor por el Metodo del Punto Medio es:

Ir =

1.570787993461564

Errab = |1,5707963267 1,5707879934| = 0,000008333

Simpson: Command Window:>> Isc=Intsimpson(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))

El valor por el Metodo de Simpson es:

Isc =

1.570796326794896

Errab = |1,5707963267 1,5707963267| = 0

15

Metodos Numericos

b) 1

0x(sin(x))dx 1

0x(sin(x))dx = x(cos(x))10 + 10 cos(x)dx = (x(cos(x)) + sin(x))10

( cos(1) + sin(1)) sin(0) = 0,3011686789

Trapecio: Command Window:>> It=intt(0,1,200,inline(x*sin(x)))


It =

0.301171557636773

Errab = |0,3011686789 0,3011715576| = 0,0000002878

Punto Medio: Command Window:>> Ir=intr(0,1,200,inline(x*sin(x)))


Ir =

0.303275235098793

Errab = |0,3011686789 0,3032752350| = 0,002106556

Simpson: Command Window:>> Isc=Intsimpson(0,1,200,inline(x*sin(x)))

El valor por el Metodo de Simpson es:

Isc =

0.301168678939092

Errab = |0,3011686789 0,3011686789| = 0

16

Metodos Numericos

c) pi

0cos(x)exdx

u = cos(x); dv = exdu = sin(x); v = ex pi

0cos(x)exdx = cos(x)ex

pi0

ex sin(x)

u = sin(x); dv = exdu = cos(x); v = ex pi

0cos(x)exdx = x cos(x)ex + ex sin(x)

pi0

ex cos(x) pi0

cos(x)exdx = cos(x)ex + ex sin(x)

2

pi0 pi

0cos(x)exdx = cos(pi)e

pi + epi sin(pi) + cos(0)e0 e0 sin(0)2

= 0,5216069591

Trapecio: Command Window:>> It=intt(0,pi,200,inline(cos(x)*exp(-x)))


It =

0.521628409534720

Errab = |0,5216069591 0,5216284095| = 0,00002145

Punto Medio:>> Ir=intr(0,pi,200,inline(cos(x)*exp(-x)))


Ir =

0.513435026580370

Errab = |0,5216069591 0,5134350265| = 0,008171932

Simpson:El valor por el Metodo de Simpson es:

Isc =

0.521606959087782

Errab = |0,5216069591 0,5216069590| = 0

17

Metodos Numericos


f(x) [a,b] Trapecio Punto Medio Simpson(1+ x2)1 [1, 1] 0,000008333 0,000008333 0x sin(x) [0, 1] 0,0000002878 0,002106556 0

cos(x)ex [0,pi] 0,00002145 0,008171932 0

6. La longitud de una curva y = f (x) definida sobre un intervalo [a, b] viene dado por:

L = ba

1+ ( f (x))2dx

El area de la superficie del solido de revolucion que se obtiene al girar alrededor deleje OX la region limitada por la curva y = f (x) y el intervalo [a, b] viene dada por:

S = 2pi ba

f (x)

1+ ( f (x))2dx

Calcular la longitud y la superficie de revolucion de las curvas dadas, utilizando elcodigo compuesto del punto medio. Analice el error y realice las graficas respectivasde la funcion y de la superficie del solido de revolucion.

a) f (x) = ex sin(x2) para x [0, 1]

f (x) = ex sin(x2) +

ex cos(x2)

2

Longitud:

L = 1

0

1+ (ex sin(x

2) +

ex cos(x2)

2)2dx = 1,0255312361

Editor:function intr2(a,b,n,f)

dx=diff(f);

L=sqrt(1+(dx).^2);

h=(b-a)/n;

Long=0;

for i=1:n

x=a+h*i;

Long=Long+subs(L,x,x);

end

18

Metodos Numericos

Long=h*Long;

fprintf(El valor aproximado de la longitud es:%.10f\n,Long);

x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);

hold on

plot(x,y);

grid on

xlabel(X),ylabel(Y);

title(Grafica de la funcion)

Command Window:>> intr2(0,1,200,sym(exp(-x)*sin(x/2)))

El valor aproximado de la longitud es:1.0252373681

Grafica:

Error:

Errab = |1,0255312361 1,0252373681| = 0,000293868

Ere =|1,0255312361 1,0252373681|

|1,0255312361| = 0,000286551

19

Metodos Numericos

Superficie:

S = 2pi 1

0ex sin(x

2)

1+ (ex sin(x

2) +

ex cos(x2)

2)2dx = 0,8261269128


dx=diff(f);

S=f*sqrt(1+(dx).^2);

h=(b-a)/n;

Sup=0;

for i=1:n

x=a+h*i;

Sup=Sup+subs(S,x,x);

end

Sup=2*pi*h*Sup;

fprintf(El valor aproximado de la superficie es:%.10f\n,Sup);

x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);

cylinder(y),xlabel(Z),ylabel(Y),zlabel(X),axis square;

hold on

grid on

title(Grafica de la Superficie de Revolucion)

Command Window:>> intr3(0,1,200,sym(exp(-x)*sin(x/2)))

El valor aproximado de la superficie es:0.8288901418

Error:

Errab = |0,8261269128 0,8288901418| = 0,002763229

Ere =|0,8261269128 0,8288901418|

|0,8261269128| = 0,003344799

20

Metodos Numericos

Grafica:

b) g(x) = sin(x) cos(2x) para x [0, pi4]

g(x) = cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x)

Longitud:

L = pi

40

1+ (cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x))2dx = 0,985814099793


dx=diff(f);

L=sqrt(1+(dx).^2);

h=(b-a)/n;

21

Metodos Numericos

Long=0;

for i=1:n

x=a+h*i;


end

Long=h*Long;


x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);

hold on

plot(x,y);

grid on



Command Window:>> intr2(0,pi/4,200,sym(sin(x)*cos(2*x)))


Grafica:

22

Metodos Numericos

Error:

Errab = |0,985814099793 0,9864411396| = 0,000627039

Errre =|0,985814099793 0,9864411396|

|0,985814099793| = 0,000636062

Superficie:

S = 2pi pi

40

sin(x) cos(2x)

1+ (cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x))2dx = 1,0151907524Editor:function intr3(a,b,n,f)

dx=diff(f);


h=(b-a)/n;

Sup=0;

for i=1:n

x=a+h*i;


end

Sup=2*pi*h*Sup;


x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);


hold on

grid on


Command Window:> intr3(0,pi/4,200,sym(sin(x)*cos(2*x)))


Error:

Errab = |1,0151907524 1,0151595546| = 0,000031197

Ere =|1,0151907524 1,0151595546|

|1,0151907524| = 0,00003073

23

Metodos Numericos

Grafica:

c) h(x) = x3 cosh(x) para x [0, 1]

h(x) = 3x2 cosh(x) + x3 sinh(x)

Longitud:

L = 1

0

1+ (3x2 cosh(x) + x3 sinh(x))2dx = 2,0436298070


dx=diff(f);

L=sqrt(1+(dx).^2);

h=(b-a)/n;

Long=0;

for i=1:n

x=a+h*i;


24

Metodos Numericos

end

Long=h*Long;


x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);

hold on

plot(x,y);

grid on



Command Window:>> intr2(0,1,200,sym(x^3*cosh(x)))


Error:

Errab = |2,0436298070 2,0558913456| = 0,0122615386

Ere =|2,0436298070 2,0558913456|

|2,0436298070| = 0,005999882Grafica:

25

Metodos Numericos

Superficie:

S = 2pi 1

0x3 cosh(x)

1+ (3x2 cosh(x) + x3 sinh(x))2dx


dx=diff(f);


h=(b-a)/n;

Sup=0;

for i=1:n

x=a+h*i;


end

Sup=2*pi*h*Sup;


x=a:0.01:b;

y=subs(f,x,x);


hold on

grid on


Command Window:>> intr3(0,1,200,sym(x^3*cosh(x)))


Error:

Errab = |7,8626386306 8,0062060679| = 0,1435674373

Ere =|7,8626386306 8,0062060679|

|2,0436298070| = 0,0182594475

26

Metodos Numericos

Grafica:

7. Determine un valor aproximado del Ln(2) aplicando las formulas compuestas anali-zadas y obtenga en cada caso una estimacion del error relativo. Presente los datos enuna tabla de resumen.

10

dxx+ 1

Valor Real:ln(2) = 0,6931471805

Para 5 nodos:

x f (x)0 1

0,25 0,80,5 0,6666666670,75 0,571428571

1 0,5

27

Metodos Numericos

Trapecio Compuesto:n = 4

h =14 1

0

dxx+ 1

=h2( f (a) + f (b)) + h

41i=1

f (xi)

=h2( f (x0) + f (x4)) + h( f (x1) + f (x2) + f (x3))

=h2( f (0) + 2 f (0,25) + 2 f (0,5) + 2 f (0,75) + f (1))

=0,25

2(1+ 2(0,8) + 2(0,666667) + 2(0,571428571) + 0,5) = 0,6970238095

Error:

Ere =|0,6931471805 0,6970238095|

|0,6931471805| = 0,005592793

Editor:

function intt(a,b,n,f)

re=log(2);

format long

h=(b-a)/n;

It=0;

for i=1:n-1

x=a+h*i;

It=It+f(x);

end

It=h*(f(a)+f(b))/2+h*It;

err=abs(re-It)/abs(re);

fprintf(El valor por el Metodo de Trapecio es:%.10f\n,It);

fprintf(El error relativo es:%.10f\n,err)

Command Window:

>> intt(0,1,5,inline(1/(x+1)))

El valor por el Metodo de Trapecio es:0.6956349206

El error relativo es:0.0035890503

28

Metodos Numericos

Simpson Compuesto:Para conseguir 5 nodos, se toma n = 2.

10

dxx+ 1

=h3( f (a) + f (b)) +

2h3

21i=1

f (x2i) +4h3

2

i=1

f (x2i1)

=h3( f (x0) + f (x1)) +

2h3( f (x2) + f (x4)) +

4h3( f (x1) + f (x3)))

=h3( f0 + 4 f1 + 2 f2 + 4 f3 + f4)

=0,25

3(1+ 4(0,8) + 2(0,6666666667) + 4(0,5714285714) + 0,5) = 0,6932539682

Error:

Ere =|0,6931471805 0,6932539682|

|0,6931471805| = 0,0001540620Editor:

function Intsimpson(a,b,n,f)

re=log(2);

format long

h=(b-a)/(2*n);

Sp=0;

Si=0;

for i=1:n

x=a+h*(2*i-1);

Si=Si+f(x);

end

for i=1:n-1

x=a+h*2*i;

Sp=Sp+f(x);

end

Isc=h/3*(f(a)+f(b)+4*Si+2*Sp);

err=abs(re-Isc)/abs(re);

fprintf(El valor por el Metodo de Simpson es:%.10f\n,Isc);

fprintf(El error relativo es:%.10f\n,err)

Command Window:

>> Intsimpson(0,1,5,inline(1/(x+1)))

El valor por el Metodo de Simpson es:0.6931502307

El error relativo es:0.0000044004

29

Metodos Numericos

Tabla de Resultados(Manual):

Metodo Compuesto Valor ErrorTrapecio 0,6970238095 0,005592793simpson 0,6932539682 0,0001540620

Tabla de Resultados(Matlab):

Metodo Compuesto Valor ErrorTrapecio 0,6956349206 0,0035890503simpson 0,6931502307 0,0000044004

Es notable por los resultados del error que el metodo mas factible sera el com-puesto de Simpson.

30

1823 cañar villegas 3erparcial

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