1.6.04-1 conceptos fundamentales sistema óp- objeto … · cuando se acoplan dos sistemas la...

aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

CAPÍTULO 1.6.04

SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS

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1.6.04-1 Conceptos fundamentales

Un conjunto de superficies que separan medios de distinto índice de refracción constituyen un sistema óptico.Si, como caso particular, estas superficies son esféricas y tienen sus centro en una recta, forman un sistema óp-

tico centrado.La recta que une los centros de las superficies esféricas se denomina eje

del sistema.Objeto e imagenSi un punto O emite rayos de luz ante un sistema, y después de reflejarse

o refractarse en las distintas superficies lo atraviesan y van a unirse en un punto O’, a este punto se lo denomina imagen, o punto imagen de O, y al punto O, punto objeto.

Si los rayos parten realmente de O, y se cortan realmente en O’, se dice que O es un punto objeto real, y O’ un punto imagen real. [Fig. 6.03-1]

Puede ocurrir que los rayos sean divergentes después de atravesar el sis-tema, pero que sus prolongaciones se corten en sentido contrario al de propa-gación en un punto O’. A este punto se le denomina imagen virtual de O. [Fig. 6.03-2]

Cuando se acoplan dos sistemas la imagen formada por el primero sirve de objeto para el segundo.

Si hubiera más de dos sistemas acoplados, la imagen formada por cada sistema, sea real o virtual, sirve de objeto para el siguiente.

O’

O

Fig. 6.3-01

Si como ocurre en el caso de la fig. 6.03-3, la imagen O’1 del punto objeto real O1 no llega a formarse, porque los rayos son desviados antes de cortarse, se dice que O’1 sirve como objeto virtual O2 para el segundo sistema.

Un objeto virtual solamente puede darse en el caso de un acoplamiento entre dos sistemas como los de la figura 6.03-3

Fig. 6.3-02

O’

O

O’1= O2

O’2

O1

Fig. 6.3-03

Espacio objeto y espacio imagenSe considera como espacio objeto de un sistema todo el espacio geométrico en el que puede haber objetos, tanto

reales, como virtuales. Y espacio imagen, el espacio geométrico en el que puede haber imágenes, tanto reales, como virtuales.

Por consiguiente, todo el espacio es a la vez espacio objeto y espacio imagen.Suele interpretarse como espacio objeto la parte izquierda de un sistema, suponiendo que la luz se propaga de

izquierda a derecha, aunque los objetos virtuales lo prolongan por la derecha, pero entendiendo siempre que aunque un objeto virtual quede a la derecha, o, aparentemente, dentro de un sistema, se considera sumergido en el medio de la izquierda.

Otro tanto puede decirse del espacio imagen cambiando los términos izquierda y derecha.Puntos conjugadosSi un punto O’ es la imagen que forma un sistema óptico de un punto objeto O, se dice que O y O’ son puntos

conjugados.En general, de las figuras que son la una imagen de la otra, se dice que son figuras conjugadas respecto de un

sistema óptico.Sistema óptico perfectoSe dice que un sistema óptico es perfecto para dos planos P y P’, perpendiculares al eje del sistema, cuando tie-

nen las siguientes propiedades:

1

a) Todos los rayos que entran en el sistema procedentes de un punto cualquiera A del plano P concurren a la salida en un punto A’ del plano P’. Esta condición se denomina condición de estigmatismo.

b) A los puntos de una recta r, contenida en el plano P corresponden como imágenes los de otra recta r’, conte-nida en el plano P’.

c) A toda figura contenida en el plano P corresponde como imagen otra figura contenida en el plano P’, seme-jante a la anterior, siendo constante la razón de semejanza para cualquier par de elementos.

Los sistemas a los que nos referiremos de aquí en adelante serán exclusivamente sistemas centrados y supon-dremos que son perfectos.


CAPÍTULO 1.6.04



6.04-2 Óptica paraxial de los sistemas centrados

Supongamos un sistema óptico centrado ante el cual hay un objeto AB de altura y, tan pequeña como queramos, situado perpendicularmente al eje del sistema, y un diafragma D, con una abertura circular de diámetro asimismo muy pequeño, de modo que las alturas de los puntos de incidencia de todos los rayos que, procedentes del punto A, llegan la superficie S, serán muy pequeñas.

2

La imagen del punto B se obtiene trazando un rayo cualquiera, como el BI. La intersección de su rayo refractado IB’ con el eje’ es la imagen B’ de B. La imagen del punto A se obtiene trazando un rayo cualquiera, como el AV. La intersección de su rayo refractado VA’ con la perpendicular al eje trazada por B’ es la imagen A’ de A .La ima-gen del objeto AB es A’B’, de tamaño y’.

En estas condiciones, los ángulos ε y ε’ que forman, respectivamente, los rayos incidente y refractado, con la normal, los ángulos σ y σ’ que forman con el eje, y el ángulo ϕ que forma la normal con el eje, serán muy pequeños, de forma que podremos sustituir sus senos y tangentes por los ángulos medidos en radianes. Esta zona de incidencia se denomina zona paraxial, o zona de Gauss.

Se puede demostrar que en esta zona todos los sistemas centrados son perfectos para cualquier par de planos.Puede objetarse que, si todas las aberturas de los diafragmas son muy pequeñas, se producirán fenómenos de

difracción que invalidan todas las leyes de la Óptica geométrica. Sin embargo, la Óptica paraxial es de gran utilidad para resolver los problemas en la zona central que es la que se utiliza para hacer los anteproyectos de los sistemas ópticos.

6.04-3 Superficies esféricasSupongamos un objeto AB situado ante una única superficie esférica de centro C, que separa dos medios de ín-

dices n y n’.Para hallar la imagen A’B’ se sigue el mismo procedimiento que el indicado anteriormente para un sistema cen-

trado.

Fig. 6.3-04

A

B B’

A’

y

y’

v vv

V

f

f’

v’h

{ C

n n’

v’v

s

s’

r

Fig. 6.3-05

A

B

A’

B’

y

y’

D

n n’I

h

V C

f

v vv

f’

v’

v’v

{

S


CAPÍTULO 1.6.04



6.04-4 Convenio de signos

En los diferentes manuales de Óptica geométrica suelen darse diferentes normas, o reglas, referentes al convenio de signos para determinar la posición de los objetos e imágenes respecto de un sistema óptico, así como los signos de los tamaños, y los signos de los ángulos que forman los rayos con el eje, y el ángulo que forma la normal con el eje.

Todos son válidos y es cuestión de criterio personal la decisión de aplicar un convenio u otro.Si se aplican correctamente tales convenios, todos deben conducir al mismo resultado.Normas DIN 1335En lo que sigue utilizaremos las normas DIN 1335 que establecen lo siguiente:a) Para designar los elementos correspondientes a una imagen se utilizan las mismas letras que para el objeto

pero con tilde.b) Para las distancias medidas sobe el eje se considera como origen el vértice V, y se toma como sentido positi-

vo el de la luz incidente, que, mientras no se indique lo contrario, se considerará que se propaga de izquierda a de-recha. Por consiguiente, en la figura 6.03-5 la distancia s es negativa, y la distancias s’ es positiva.

c) Los segmentos normales al eje son positivos si están situados por encima del eje, y negativos en caso contra-rio.

d) Los ángulos de incidencia y refracción, ε y ε’, son positivos si, al llevar a coincidir los rayos con la normal, girándolos por el camino más corto, el sentido de giro es el de las agujas del reloj.

e) Los ángulos que forman los rayos con el eje son positivos si, al llevar a coincidir los rayos con el eje, girándo-los por el camino más corto, el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj.

En la figura 6.03-5:Son magnitudes positivas: σ’, r, h, y, ε, ε’, s’ y el ángulo ϕ.Son magnitudes negativas: y’, s, y los ángulos σv y σ’v, considerados como ángulos de incidencia y refracción.Obsérvese que el ángulo ϕ es positivo, tanto si se considera formado por un rayo que incidiese en la dirección de

la normal, con el eje, como si se considera formado por un rayo que incide en la dirección del eje, con la normal.Con estos convenios, cuando se produce una reflexión sobre una superficie, los ángulos de incidencia y reflexión

son de signos contrarios, por tanto, la ley de la reflexión en zona paraxial es:

de modo que una reflexión se puede interpretar como una refracción en un medio de índice

6.04-5 Invariante de Abbe

Vamos a determinar la posición de la imagen de un objeto, formada por una superficie esférica en zona paraxial, por medio de su distancia s’, cuando se conoce la posición s del objeto, medidas ambas sobre el eje.

I

n

n’

h

V

C OO’

r

s’s

ff’

{ v’ v

Fig. 6.3-06

Consideremos el objeto virtual O, hacia el cual se dirigen los rayos IO y SO, que después de refractarse se cortan formando la imagen real O’.

Esta figura tiene la ventaja de que, aunque el objeto O sea virtual, lo que no quita generalidad al desarrollo, todas las magnitudes son positivas.

Puesto que estamos considerando la incidencia de los rayos en zona paraxial, los senos y las tangentes de los ángulos podemos sustituirlos por los ángulos, de modo que la ley de la refracción se puede escribir en la forma,

Y de la figura se deducen las relaciones paraxiales:

ε = −ε ' [1]

[2]n ' = −n

[3]

nε = n 'ε ' [3]

ε = ϕ −σ , ε ' = ϕ −σ ', ϕ =hr, σ =

hs, σ ' =

hs '

[4]

Sustituyendo las relaciones [4] en la [3] hasta no dejar ningún ángulo, se obtiene fácilmente:

nhr−hs

"

#$

%

&' = n '

hr−hs '

"

#$

%

&' [5]

que demuestra que, una superficie esférica en zona paraxial se comporta estigmáticamente para cualquier par de puntos conjugados O y O’, ya que, para una determinada distancia s, es decir, fijada la posición del objeto, la rela-ción [5] proporciona un valor único de s’, independiente de h, ya que figura como factor común.

El mismo razonamiento se puede aplicar a un sistema formado por varios dioptrios esféricos.

3

Haciendo r = ∞ en [8] se obtiene

Esta ecuación relaciona en zona paraxial el índice n del espacio objeto, el tamaño y, del objeto y el ángulo σ que forma con el eje un rayo que parte del pie B del objeto, con las magnitudes correspondientes del espacio imagen.

Si consideramos un sistema óptico formado por una sola superficie esférica, [Fig.6.03-05], aplicando la ley de la refracción a los rayos AV y VA’ que forman ángulos σv y σ’v con el eje, que en este caso es normal a la superficie, se tiene:


CAPÍTULO 1.6.04



6.04-6 Ecuación de Lagrange-Helmholtz

4

A

B B’

A’

y

y’

v vv

V

f

f’

v’h

{ C

n n’

v’v

s

s’

r

Fig. 6.3-05

Simplificando [5], se obtiene

n1r−1s

"

#$

%

&' = n '

1r−1s '

"

#$

%

&' [6]

La expresión

n1r−1s

"

#$

%

&' [7]

cuyo valor no varía al aplicarla al espacio objeto o al espacio imagen, recibe el nombre de invariante de Abbe en honor de Ernst Karl Abbe (1840– 1905), físico y óptico alemán.

Posición de la imagen1s

Despejando de [6], se obtiene la relación

1s '=nn '1s+n '−nn '1r

[8]

Haciendo r = ∞ en [8] se obtiene

s ' =n 'ns [9]

Reflexión en un espejo esférico

Haciendo n’ = –n en [8] se obtiene1s '+1s=2r

[10]

Reflexión en un espejo plano

Haciendo r = ∞ en [10] se obtienes ' = −s [11]

De la figura se deduce,

ya queσ =hs

nσv= n 'σ '

v[12]

σv=ys=yσh

[13]

que permite hallar s’ suponiendo conocidos los restantes valores.Casos particulares

Superficie plana

http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Abbe

http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Abbe

y1

y’1 = y2 y’2 = y3 y3

v1 v’1 v2 v’2v3 v’3

Aumento angularSe define el aumento angular γ, como el cociente entre los ángulos σ'k y σ1:


CAPÍTULO 1.6.04



Análogamente,

que expresa que el producto nyσ es invariante a través de dicho sistema.

6.04-7 Aumentos de un sistema óptico

Se define el aumento lateral β, como el cociente entre el tamaño vertical de la imagen final que produce el sistema y el tamaño vertical del objeto:

Fig. 6.3-07

σ 'v=y 's '=y 'σ 'h

[14]

Sustituyendo [13] y [14] en la [12] se obtiene para una superficienyσ = n 'y 'σ ' [15]

Si se aplica esta ecuación a un sistema formado por varias superficies, se puede escribir para cada una de ellas las siguientes relaciones:

n1y1σ1= n '

1y '1σ '1

n2y2σ2= n '

2y '2σ '2

..............................

..............................nkykσk= n '

ky 'kσ 'k

[16]

y teniendo en cuenta que el segundo miembro de cada una de ellas es igual al primero de la siguiente, ya que el índice de refracción del espacio imagen de un sistema, así como la imagen y el ángulo con el eje, son, respectiva-mente, el índice de refracción del espacio objeto, el objeto y el ángulo con el eje del siguiente sistema, sumando miembro a miembro las igualdades [16], y simplificando, se obtiene la denominad ecuación de Lagrange-Helmholtz para un sistema de varias superficies:

n1y1σ1= n '

ky 'kσ 'k

[17]

Si colocamos un objeto lineal de altura y, ante un sistema, perpendicularmente a su eje, producirá una imagen de tamaño y’k.

y’kyv’kv1 β ' =

y 'k

y1

Si del pie del objeto parte un rayo formando con el eje un ángulo σ1, el rayo emergente irá a parar al pie de la imagen formando con el eje un ángulo σ'k.

[18]

De la ecuación de Lagrange-Helmholtz [17] se deducen las siguientes relaciones entre los aumentos lateral y an-gular:

En el caso particular de que el índice de salida n’k sea igual al de entrada n1, la relación es:

Fig. 6.3-08

γ ' =σ 'k

σ1

[19]

[20]β ' =y 'k

y1

=n1

n 'k

σ1

σ 'k

=n1

n 'k

1γ '

β ' =1γ '

[21]

6.04-8 Elementos cardinales de un sistema óptico

En los sistemas ópticos hay tres pares de puntos, y otros tres de planos, que tienen una especial importancia.Son los focos y planos focales, los puntos y planos principales y los puntos y planos nodales.

5



CAPÍTULO 1.6.04

SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS6

σ =hs

Foco imagen y plano focal imagenSi consideramos un objeto muy alejado de un sistema óptico, los rayos luminosos llegan al sistema paralelos a

su eje. Se dice, en ese caso, que el objeto se encuentra en el infinito.

O∞F’

Fig. 6.3-09a Fig. 6.3-09b

O∞

F’

P’

La imagen de Ο∞, si la luz se propaga de izquierda a derecha, es un punto F’ del eje que se denomina foco ima-gen.

El plano normal al eje trazado por F’ es el plano focal imagen. [Fig. 6.03-9 (a)]De la definición se deduce que

El plano focal imagen es la imagen del plano del infinito.Es decir, que

Todo haz de rayos paralelos que penetre en el sistema en cualquier dirección irá a parar a la salida a un punto P’ del plano focal imagen.

Foco imagen y plano focal imagenAnálogamente, hay un punto F sobre el eje, tal, que todos los rayos que parten de él y atraviesan el sistema,

propagándose de izquierda a derecha, salen paralelos al eje formando una imagen en un punto Ο’∞ infinitamente alejado. O bien, si entran por la derecha, concurren en dicho punto.

P

F

P’∞

FΟ’∞

Fig. 6.3-09c Fig. 6.3-09d

El punto F es el foco objeto, y el plano normal al eje trazado por F es el plano focal objeto.De la definición se deduce que

El plano focal objeto tiene su imagen en el plano del infinito.Es decir, que

Todo haz de rayos paralelos que penetre en el sistema procedente de un punto P del plano focal ob-jeto irá a parar a la salida a un punto P’∞ del infinito.

Tanto el foco objeto como el foco imagen pueden ser reales o virtuales.Planos y puntos principalesSe llaman planos principales, dos planos conjugados, (uno, imagen del otro), cuyo aumento lateral β’ es +1.

Sus puntos de intersección con el eje, H, y H’, son los puntos princi-pales, que, de la misma forma que ocurre con los focos, pueden ser rea-les o virtuales.

De la definición se deduce que todo haz de rayos que parta de un punto P del plano principal objeto y penetre en el sistema, o bien, que penetre apuntando hacia el punto P, saldrá del sistema concurriendo real, o virtualmente, en un punto P’ del plano principal imagen, de tal forma que el punto P’ está a la misma distancia del eje que el punto P y en el mismo sentido.

La obtención gráfica de estos planos principales por métodos gráficos es sencilla. Basta trazar un rayo cualquiera a, paralelo al eje, que saldrá según el rayo a’ pasando por el foco imagen F’.

El punto P’ donde se cortan las prolongaciones de los rayos a y a’ pertenece al plano principal imagen, que es un plano perpendicular al eje trazado por el punto P’, y cuya intersección con el eje determina el punto principal imagen H’.

a

b

F

P P’

H H’ F’

a’

b’

Fig. 6.3-09e

Análogamente, si trazamos el rayo emergente b’ paralelo al eje, de forma que su prolongación pase por el punto P’, deberá proceder de un rayo incidente b, que pase por el foco objeto F, y que deberá dirigirse hacia el punto P.

El punto de intersección de las prolongaciones de los rayos b y b’ determinan el punto P, que pertenece al plano principal objeto, que es un plano perpendicular al eje trazado por el punto P, y cuya intersección con el eje deter-mina el punto principal objeto H.

Se puede comprobar que los planos principales están determinados correctamente, porque si se trazan los rayos a y b dirigidos hacia el punto P del plano principal objeto, saldrán según a’ y b’, cuyas prolongaciones se cortan en el punto P’, y por tanto, es la imagen del punto P, y el plano P’H’ es la imagen del plano PH.

Los planos focales y los planos principales sólo tienen sentido físico en la zona paraxial de un sistema óptico.Casos particulares

Superficie esférica


CAPÍTULO 1.6.04



6.04-9 Utilidad de los planos principales y focos

Si se traza el rayo a, paralelo al eje, e incide en el punto P de la superfi-cie esférica, su refractado a’ pasa por el foco imagen F’.

Y el rayo b que pasa por el foco objeto F, e incide igualmente en en el punto P, sale paralelo al eje.

Por tanto, el punto P es a la vez el punto P’.Los planos principales coinciden con la superficie esférica, y los puntos

principales H y H’ coinciden con el vértice V.No debe olvidarse que estamos considerando que los rayos inciden en la

zona paraxial.Fig. 6.3-09f

a

a’

b

b’

F F’

V

P=P’

H=H’

Si se conoce la posición de los planos principales y de los focos de un sistema óptico, se pueden resolver todos los problemas que se pueden plantear en la Óptica paraxial.

Supongamos, por ejemplo, un sistema del cual se conocen F, F’, H y H’.

a’

6.04-10 Distancias focales y potencia de un sistema

Se llama distancia focal objeto f, de un sistema, a la distancia HF desde el punto principal objeto hasta el foco objeto medida en el sentido de H hacia F.

Se llama distancia focal imagen f ’, de un sistema, a la distancia H’F’ desde el pun-to principal imagen hasta el foco imagen medida en el sentido de H’ hacia F’.

Si estas distancias focales, medidas siempre con origen en los puntos principales, tienen el sentido de la luz incidente, son positivas. En caso contrario, son negativas.

Los sistemas de las figuras 6.3-10 y 6.3-11, suponiendo que la luz se propaga de izquierda a derecha, tienen la distancia focal objeto f = HF, negativa, y la distancia focal imagen f ’ = H’F’, positiva.

F F’

H H’

Potencia de un sistemaSe define la potencia objeto de un sistema como la inversa de la distancia focal objeto:

ϕ =1f

[22]

a’

b’P’

H’ F’F H

P

a

b

Fig. 6.3-10

Vamos a determinar cuál es el rayo emergente que co-rresponde al rayo incidente a.

Una vez que el rayo entra en el sistema, desconocemos la trayectoria que seguirá, pero sabemos que, si apunta ha-cia el punto P del plano principal objeto, el rayo emergente, o su prolongación, pasará por el punto P’ a la misma altura que el punto P.

Para hallar su dirección basta trazar un rayo b, paralelo al a, que saldrá según el rayo b’, paralelo al eje; y como los rayos a y b son paralelos, a la salida se cortarán en un pun-to D’ del plano focal imagen. Por tanto, el rayo b’ pasará por P’ y por D’.

D’

7


CAPÍTULO 1.6.04



8

y la potencia imagen, se define como la inversa de la distancia focal imagen:

ϕ ' =1f '

[23]

Si las distancias focales se miden en metros, las potencias se miden en dioptrías.

1.6.03-11 Distancias focales y potencias de un dioptrio esférico

La distancia focal objeto y la potencia objeto de un dioptrio esférico, como el de la figura 6.03-06, se obtienen, teniendo en cuenta que los planos principales coinciden con la superficie esférica, y los puntos principales coinciden con el vértice V, sustituyendo en la [8], s’ = ∞:

f = −nn '−n

r ϕ = −n '−nnr

[24]

La distancia focal imagen y la potencia imagen de un dioptrio esférico, como el de la figura 6.03-06, se obtienen, teniendo en cuenta la propiedad mencionada anteriormente, sustituyendo en la [8], s = ∞:

f ' =n 'n '−n

r ϕ ' =n '−nn 'r

[25]

6.04-12 Distancias focales y potencias de un espejo esférico

Sustituyendo en la [10], s = ∞, o bien s’ = ∞, se obtiene:

f = f´=r2

[26]

En general, se procura escribir todas las ecuaciones de un sistema óptico de modo que intervengan la distancia focal imagen y la potencia imagen.

6.04-13 Relación entre las distancias focales objeto e imagen de un sistema

Supongamos que conocemos los focos y los puntos principales de un sistema como el de la figura 6.03-12.

F

A

H H’

P P’

vH

v’H

A’∞

F’

f f ’

y’HyH

Fig. 6.03-12

Vamos a determinar la imagen un objeto HP, de altura y, situado en el plano principal objeto.

Para ello, se traza por el punto A, situado en el plano focal objeto a una distancia del eje FA igual a HP, un rayo paralelo al eje, que, por haber pasado por un punto del plano focal objeto, saldrá por el punto P’ del plano princi-pal imagen, a una distancia del eje, tal que H’P’ sea igual a PH, y por haber entrado paralelo al eje, saldrá pasando por foco imagen F’.

Todos los rayos que parten de A y atraviesan el siste-ma, cuyos límites no están representados, saldrán paralelos entre sí.

El rayo AH saldrá por H’, paralelo a P’F’, y la imagen se formará en el infinito.

Aplicando a los puntos H y H’ la ecuación de Lagrange-Helmholtz se obtiene:

nyHσH= n 'y

H

' σH

' [27]

De la figura se deduce que:

σH= −yH

fσH

' = −yH

'

f 'yH= y

H

' [28]

y sustituyendo las relaciones anteriores en [27], se obtiene

f 'f= −nn '

[29]


CAPÍTULO 1.6.03



De la definición se deduce que todo rayo que entre en el sistema pasando por el punto nodal objeto, for-mando con el eje un ángulo σ, saldrá por el punto nodal imagen formando con el eje un ángulo σ’ = σ.

Vamos a determinar la imagen del punto A del plano focal objeto, de la figura 6.03-13.

luego N coincide con H, y N’ con H’, y en consecuencia,Todo rayo que se dirige hacia el punto principal objeto H, sale por el punto principal imagen H’ paralelamente al rayo incidente.

9

Para sistemas en aire, o sumergidos en medios del mismo índice de refracción,

f = −f ' [30]

Se llaman puntos nodales dos puntos del eje, N y N’, conjugados, para los cuales aumento angular es +1.

γ ' =σ 'σ

= 1 [31]

Todos los rayos que parten de A saldrán para-lelos formando una imagen en el infinito.

Si trazamos el rayo AP, paralelo al eje, saldrá según el rayo P’F’.

Y el rayo AB, paralelo al P’F’, saldrá por B’, paralelo a sí mismo, ya que, como se ha indicado anteriormente, todos los rayos que parten de A saldrán paralelos formando una imagen en el infi-nito.

A’∞

A

FHNv

f

B

P P’

H’

B’

v’

F’

f ’

N’

Fig. 6.03-13

De modo que el rayo AB y la prolongación del rayo que sale por B’ determinan los punto nodales N y N’, ya que los ángulos σ y σ’ son iguales.

De la figura 6.03-13 se deduce, por paralelismo e igualdad de triángulos, que

NH = N 'H ' NN ' = HH ' FN = H 'F ' = f ' F 'N ' = FH = f [32]

ya que, los triángulos NHB y N’H’B’ son iguales, así como los triángulos AFN y P’H’F’.De donde se deduce que

La distancia entre los puntos nodales es igual a la distancia entre los puntos principales.Y que

En sistemas con índices extremos iguales los puntos nodales coinciden con los puntos prin-cipales.

ya que,FN = f ' = −f [33]

6.04-15 Ecuaciones de correspondencia

Supongamos un sistema definido por sus focos F y F’, y puntos principales, H y H’.Vamos a determinar las relaciones que existen entre la posición de un objeto de altura y, y la de su ima-

gen y’, así como la relación entre sus respectivos tamaños.

A

B

F

P

H

Q

a a’

y

z

f H’

Q’

P’

f ’

F’

y’

A’

B’

z’

Fig. 6.03-14

Designamos por z y z’ las distancias FA y F’A’, medidas en esos sentidos, y por a y a’, las distancias HA y H’A’.

Las distancias focales se miden siempre des-de los puntos principales a los focos, cualquiera que sea el origen que se tome para otras distan-cias.

Si se tiene en cuenta que HP = AB = y

y que H’P’ = A’B’ = y’

6.04-14 Puntos nodales


CAPÍTULO 1.6.04



Estas ecuaciones resuelven todos los problemas que suelen plantearse.Por ejemplo: si se conoce la distancia focal f y la posición z del objeto respecto del foco objeto, o la distancia

focal f ’ y la posición z’ de la imagen respecto del foco imagen, se calcula inmediatamente el aumento lateral β’ a partir de los terceros miembros de las ecuaciones [34] o [35], y de esta forma se determina el tamaño de la imagen respecto del objeto, y si es derecha o invertida.

Ecuación de NewtonIgualando los terceros miembros de [34] y [35], y quitando denominadores, se obtiene

10

ecuación que permite conocer z’, es decir la distancia del foco imagen a la imagen, y por tanto, su posición, cuando se conoce z.

De la ecuación [38] se deduce que, por ser negativo su segundo miembro, A y A’ están siempre a distinto lado de F y F’, lo que significa que z y z’ son siempre de signo contrario.

Orígenes en los puntos principalesSi designamos por a y a’ a las distancias de los puntos principales objeto e imagen, al objeto e imagen, respecti-

vamente, igualando los cuartos miembros de las ecuaciones [34] y [35], se obtiene

Orígenes en los focos

De la semejanza de los triángulos ABF y FHQ, y de los P’H’F’ y F’A’B’, se deducen, teniendo en cuenta los signos, los siguientes sistemas de ecuaciones:

β ' =y 'y= −fz= −

fa − f

[34]

β ' =y 'y= −z 'f '= −a '− f 'f '

[35]

zz ' = ff ' [36]

que es la denominada ecuación de Newton.Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, la relación en-

tre las distancias focales es:

f = −f ' [37]

y la ecuación de Newton para tales sistemas es:

zz ' = −f 2 [38]

fa − f

=a '− f 'f '

de donde se obtiene fácilmente,

fa+f 'a '

= 1 [39]

y teniendo en cuenta la relación [29], se obtiene

−na+n 'a '

=n 'f '

[40]

Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es

−1a+1a '

=1f '

[41]

que es la ecuación que se aplica normalmente a las lentes delgadas, siendo a y a’, las distancias de la lente al objeto e imagen, respectivamente, ya que sus planos principales coinciden con la propia lente.

Aumento lateral en función de las distancias a y a’, de los puntos principales al objeto e imagen, res-pectivamente.

Del primero y cuarto miembros de la ecuación [35] se obtiene,

β ' = −a '− f 'f '

= 1−a 'f '

[42]


CAPÍTULO 1.6.03



11

y de la [40], multiplicando lo dos miembros por a’ y dividiéndolos por n’, se obtiene,

a 'f '= 1−

nn 'a 'a

y sustituyendo en la [42],

β ' = 1−a 'f '= 1− 1−

nn 'a 'a

"

#$

%

&' =nn 'a 'a

[43]

Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es

β ' =a 'a

[44]

6.04-16 Sistemas compuestos

Supongamos que acoplamos dos sistemas (I) y (II), como muestra la figura 6.03-15, de los que conocemos sus focos y puntos principales.

H’

Fig. 6.03-15

A A’

H

H’1 H’2H1 H2F

F’1

F1 F’2F2

p

p’

v’1 v’2

v2

r

e

h h h h

v’2

F’

f’

(I) (II)

f f1

r’

f ’2f2f ’1 t

n1 n’1=n2 n’2

h

La distancia t = F’1F2, denominada intervalo óptico, es la distancia de acoplamiento entre el foco imagen F’1 del sistema (I) y el foco objeto del sistema (II) medida en el sentido de F’1 hacia F2. En la figura 6.03-15 t es posi-tivo. Si los sistemas estuvieran más próximos de manera que F’1 quedara a la derecha de F2, t sería negativo.

Supongamos que conocemos la posición de los focos F y F’ del sistema total.Para hallar la posición del plano principal imagen del sistema total se traza un rayo r1, paralelo al eje del siste-

ma, a una altura h, tal como el que pasa por el punto A. Este rayo saldrá del sistema (I) pasando por el foco ima-gen, F’1, y emergerá del sistema (II) pasando por el foco imagen F’ del sistema total, puesto que ha entrado parale-lo al eje del sistema total.

El punto A’ en que corta la prolongación del rayo r1 al r’1 pertenece al plano principal imagen del sistema total, que determina el punto principal imagen H’.

Análogamente, si se traza un rayo r2, en sentido inverso, paralelo al eje del sistema a la misma altura h, tal co-mo el que pasa por el punto A’, saldrá del sistema (II) pasando por el foco F2, y emergerá del sistema (I) pasando por el foco imagen F’ del sistema total, puesto que ha entrado paralelo al eje del sistema total.

Se debe tener en cuenta que al haber invertido el sentido de la luz incidente, el foco F2 es ahora el foco imagen del sistema (II), y el foco F es el foco imagen del sistema total.


CAPÍTULO 1.6.04



12

Y teniendo en cuenta que v2/v’2 es la inversa del aumento angular c’2 que produciría el segundo sistema de un objeto situado en F’1, de la figura se deducen las siguientes relaciones, sin olvidar que se supone que el sistema ope-ra en zona paraxial:

El punto A en que corta la prolongación del rayo r2 al r’2 pertenece al plano principal objeto del sistema total, que determina el punto principal objeto H.

De la construcción efectuada se deduce que los focos F y F2 son puntos conjugados respecto del sistema (I), y F’1 y F’, son conjugados respecto del sistema (II).

Si llamamos z1 = F1F, y z’2 = F’2F’ y aplicamos la ecuación de Newton a F y F2 como puntos conjugados res-pecto del sistema (I), se tiene:

z1d = f

1f1' [45]

y procediendo de igual forma, con los puntos F’1 y F’, como puntos conjugados respecto del sistema (II), se tiene:

De las relaciones [45] y [46] se obtienen:

z1=f1f1'

dz2' = −

f2f2'

d[47]

que nos permiten calcular las posiciones de los focos F y F’ del sistema total referidas al foco objeto del primer sis-tema y al foco imagen del segundo.

De la figura 6.03-15 se obtiene para la focal imagen f ’ del sistema total:

f ' =hσ2'=hσ1'

σ2

σ2' [48]

ya que v’1 = v2

[46](−d)z2' = f

2f2'

De la relación [20] se deduce que:1γ2'=n2'

n2

β2' [50]

Por otra parte, de la [34] se obtiene:

y sustituyendo sucesivamente [50], [51] y [52] en [54] se obtiene

[51]β2' = −

f2

a2− f2

= −f2

−t

Sabemos también que la relación entre las distancias focales de un sistema es

f2' = −n2'

n2

f2

[53]

Sustituyendo [52] y [49] en la [48]

Aplicando la relación [48] al sistema (I), se obtiene

f1' =hσ1' [52]

f ' =hσ2'=hσ1'

σ2

σ2'= f1' 1γ2'

[54]

[49]σ2

σ2'=1γ2'

f ' = f1' n2'

n2

β2' = f

1' n2'

n2

−f2

−t

"

#$$

%

&''= f1' n2'

n2

n2

n2'

−tf2'

"

#

$$$$$

%

&

'''''

= −f1'f2'

t


CAPÍTULO 1.6.03



Análogamente, se obtiene:

Conocidas las distancias focales del sistema total, basta llevarlas, teniendo en cuenta el signo, a partir de los focos, para obtener las posiciones de los planos principales.

Si en lugar de referir estas ecuaciones a la distancia t de acoplamiento entre los focos, las referimos a la distancia e = H’1H2, de acoplamiento entre los puntos principales H‘1 yH2 se deduce de la figura que:

13

De modo que la focal imagen del sistema total es

[55]f ' = −f1'f2'

t

f =f1f2

t[56]

t = e − f1' + f

2[57]

y sustituyendo [57] en la [55] se obtiene para la focal imagen del sistema total:

f ' = −f1'f2'

t= −

f1'f2'

e − f1' + f

2

[58]

y la potencia

ϕ ' =1f '= −e − f

1' + f

2

f1'f2'

= −ef1'f2'+1f2'−f2

f1'f2'= −eϕ

1'ϕ2' +ϕ

2' −1f1'

f2

f2'= −eϕ

1'ϕ2' +ϕ

2' −ϕ

1' −n2

n2'

"

#$$

%

&''= −eϕ

1'ϕ2' +ϕ

2' +ϕ

1' n2n2'

[59]

Silos sistemas se acoplan en el aire:

ϕ ' =1f '= −eϕ

1'ϕ2' +ϕ

2' +ϕ

1' [60]

6.04-17 Lentes

Se puede considerar una lente como un sistema compuesto ya que las superficies que la limitan son dos superficies esféricas de radios r1 y r2, en las cuales los puntos principales coinciden con los vértices o polos de los casquetes esfé-ricos. por tanto podremos aplicar la ecuación [59]

Suponiendo que la lente se encuentra en el aire y que su índice de refracción es n, aplicando las segundas ecua-ciones de [24] y [25], obtenemos, para la primera superficie de la lente:

ϕ1' =n −1nr1

[61]

Y para la segunda superficie:

ϕ2' =1−nr2

= −n −1r2

[62]

Sustituyendo [61] y [62] en [59]:

Fig. 6.3-04

F F’1 F’2F1 F2 F’

t

d

n

ϕ ' = −eϕ1'ϕ2' +ϕ

2' +ϕ

1' n2n2'= −d

n −1nr1

−n −1r2

"

#$$

%

&''−n −1r2

+n −1nr1

n1= d(n −1)2

nr1r2

+ (n −1)1r1

−1r2

"

#$$

%

&''

ϕ ' = d(n −1)2

nr1r2

+ (n −1)1r1

−1r2

"

#$$

%

&''

[63]


CAPÍTULO 1.6.04



14

La potencia de dos lentes acopladas en aire se calcula por medio de la ecuación [60] sin más que sustituir e por la distancia d entre ellas:

6.04-18 Lentes delgadas

Se considera que una lente es delgada cuando se espesor d es despreciable comparado con cada uno de sus radios de curvatura.

dr1r2

= 0Para hallar su potencia basta hacer en la [63], con lo que se obtiene:

ϕ ' =1f '= (n −1)

1r1

−1r2

"

#$$

%

&''

[64]

La distancia focal imagen viene dada por la inversa de [64]:

f ' =1ϕ '

=1

(n −1) 1r1

−1r2

"

#$$

%

&''

=1

(n −1)r1r2

r2− r1 [66]

ϕ ' = −deϕ1' ϕ2' +ϕ

2' +ϕ

1' [66]

6.04-19 Sistemas convergentes y divergentes

Se dice que un sistema es convergente cuando un haz de rayos incidentes, paralelo al eje del sistema, converge a la salida en el foco imagen, es decir, cuando el foco imagen es real.

Se dice que un sistema es divergente cuando un haz de rayos incidentes, paralelo al eje del sistema, diverge a la salida pasando sus prolongaciones por el foco imagen, es decir, cuando el foco imagen es virtual.

Algunos autores asignan el carácter de convergencia o divergencia al hecho de que el sistema tenga su focal ima-gen f ’, positiva o negativa, respectivamente, lo cual no indica nada acerca de su comportamiento.

Recomendación final

Se debe tener especial cuidado, a la hora de resolver problemas de sistemas centrados, con los signos de las distancias que intervienen en ellos, y no olvidar que:

Las distancias focales f = HF y f ’ = H’F’ se miden siempre de los puntos principales a los focos.Las distancias z = FO = y z’ = F’O’ se miden siempre de los focos a los puntos objeto e imagen, respecti-vamente.Las distancias a = HA = y a’ = H’A’ se miden siempre de los puntos principales a los puntos objeto e imagen, respectivamente.

1.6.04-1 conceptos fundamentales sistema óp- objeto … · cuando se acoplan dos sistemas la...

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