1.6 Ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones polinómicas cuyos coeficientes son números reales pueden tener soluciones en el campo de números complejos; aparecen con relativa frecuencia en algunas áreas de la ciencia, es por ello que se hace necesario estudiar este tema. La forma general de las ecuaciones polinómicas es:

Las soluciones de las ecuaciones polinómicas pueden ser con números reales, números complejos o ambos. En los números reales tenemos los enteros, racionales e irracionales. Existen ecuaciones polinómicas cuyos coeficientes son números complejos. Iniciaremos nuestro estudio con las ecuaciones cuadráticas y enseguida veremos ecuaciones de grado mayor a dos. Ecuaciones cuadráticas. Para resolver ecuaciones cuadráticas podemos intentar diferentes caminos como completar el trinomio cuadrado perfecto y luego factorizar, usar la fórmula general o factorizar cuando la ecuación lo permita. Si contamos con un software como Winplot podemos saber si la solución va a ser con números reales o números complejos. Gráfica de dos ecuaciones cuadráticas una con solución real y la otra con números complejos. La siguiente gráfica nos muestra dos ecuaciones, una en color rojo y la otra en color azul. En color rojo está cuya solución paso a paso es:

√ √ las dos soluciones son reales. Vea

que la gráfica SI toca el eje x, en y .

En color azul está cuya solución se obtiene en forma similar a la de la ecuación

anterior y es los números complejos √ vea que la gráfica NO toca el eje x. Por

lo que se concluye que si la solución de una ecuación es con números reales su gráfica SI toca el eje x; pero si la solución de una ecuación es con números complejos su gráfica NO toca el eje x. Esto aplica a cualquier ecuación polinómica sin importar de que grado sea.

Gráfica de: en color rojo SI toca el eje x; en color azul NO toca el eje x.

1. Ecuación cuadrática con solución en números complejos.

Resolvamos la ecuación

Gráfica de la ecuación ; la cual NO toca el eje x. Solución en números

complejos.

VEAN LAS CUATRO NOTAS QUE ESTAN DESPUES DE ESTE EJERCICIO.

( )

a resolver y del se resuelve para

( ) √( ) √

√ √ √( )( ) √ √

(

) √

√

√( ) ( ) √

( )

( ) ( ) √ [ (

) (

)] (

)

( ) ( ) [ ( ) ]

( ) ( ) √ [ (

) (

)] (

)

( ) ( ) [ ( ) ]

√ ( )( ) ( )( ) √

√

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

√ √

√ √ ( ) { ( ) ( ) ( ) ( )

√

√ √ (

) {

(

) √ √

(

) √ √

(

)

√

√ √ (

) {

(

) √ √

(

) √ √

(

)

√

√ √ ( ) {√ [ (

) (

)]

√ [ (

) (

)]

2. Resolvamos la siguiente ecuación cuadrática en números complejos.

( ) en esta ecuación

√

( ) √( ) ( )( )

( ) √( ) ( )( )

( )

√( ) ( )

√[ ( ) ]

√( )

√

√

Calculemos la raíz cuadrada de pasando a forma polar; con la calculadora en RAD

( ) | |

| | √

| |

| | (

) (

)

Como está en el tercer cuadrante

Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

√( ) ( ) √ √

Como ( ) se tiene que:

( )

√ √ ( )

( )( ) √ [ (

) (

)]

( )( ) √ ( )

( )( ) ( )

( )( )

Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.

( )( ) √ [ (

) (

)]

( )( ) √ ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.

√ ( )( ) ( )( ) ( )

√ ( )

√

( )

Lo anterior da como resultado dos valores de .

( )

( )

y son las dos raíces de la ecuación polinómica.

Para comprobar basta con sustituir las raíces en la ecuación inicial:

( ) . Iniciamos con ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) . Seguimos con ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

ECUACIONES CÚBICAS.

Como repaso veamos la división algebraica.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) DIVISIÓN SINTÉTICA.

Resolvamos con división sintética la ecuación ( ) con el divisor

Para resolver la división sintética, el primer coeficiente que es se baja y se anota. Se

multiplica el divisor por el coeficiente anotado y se anota abajo del Ahora se

suman Se multiplica el divisor por el coeficiente calculado y se anota

abajo del Ahora se suman Se multiplica el divisor por el coeficiente calculado

y se anota abajo del Ahora se suman Este último número es el

residuo . Los números son los coeficientes de la ecuación El no es

raíz porque el residuo NO es cero. Si en una ecuación no está algún término el coeficiente es

Los coeficientes de la ecuación: son

Resolvamos la división sintética de la ecuación ( )

Para resolver, el primer coeficiente que es se baja y se anota. Se multiplica el divisor por el

coeficiente anotado y se anota abajo del Ahora se suman Se

multiplica el divisor por el coeficiente calculado y se anota abajo del Ahora

se suman Se multiplica el divisor por el coeficiente calculado y se

anota abajo del Ahora se suman Este último número es el residuo . Los

números son los coeficientes de la ecuación El no es raíz

porque el residuo NO es cero.

SOLUCIÓN DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA MAYOR DE SEGUNDO GRADO.

Para encontrar las raíces de una ecuación polinómica mayor de segundo grado se tiene que:

En el caso de que todos los términos de una ecuación sean

del mismo signo entonces NO tiene raíces positivas. Como se desean las raíces, al escribir el

polinomio, a la derecha se anota el signo igual seguido del cero (residuo ).

Ejemplo: Encontremos las raíces de ( )

Divisor:

Como el residuo es cero, el número es raíz del polinomio, entonces es el

binomio que multiplica a la ecuación: De acuerdo a esto se tiene que

( )( )

Comprobemos la multiplicación anterior.

Si a un polinomio se le aplica división sintética con un número y el residuo es cero, entonces el número es raíz del polinomio.

√

√( )

√

√

√

√

La ecuación inicial tiene tres raíces reales; una racional y dos irracionales.

√

√

La siguiente gráfica de la ecuación muestra que las intersecciones con el

√

√

Gráficas de la ecuación ( )

Ejemplo: Encontremos las raíces de ( )

La gráfica en Winplot nos ayuda a ubicar los posibles valores al checar los cruces con el eje x.

Gráficas de la ecuación ( )

Aparentemente cruza en y , . Iniciemos con .

Como el residuo es cero, el número es raíz del polinomio, entonces es el

binomio que multiplica a la ecuación: De acuerdo a esto se tiene que

( ) ( )( )

Comprobemos la multiplicación anterior.

√

( ) √( ) ( )( )

( ) √

√

√

√

y son las dos raíces de la ecuación cuadrática.

La solución de la ecuación cuadrática ( ) ( )( )

La solución de la ecuación cúbica ( ) tiene tres raíces reales.

( ) ( )( ) ( )( )( )

Los tres valores de

( )( )

( )( ) Ejemplo. Encontremos las raíces de ( )

Para resolver la primera de las tres raíces tenemos que resolver por prueba y error la división

sintética con los valores de la división anterior. Si contamos con un software como el Winplot,

podemos graficar la función y así sabremos los cruces con el eje x.

Gráfica de la ecuación ( )

⁄ |

⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ | ⁄

⁄

gráfica es irracional. Podemos confirmar el residuo sustituyendo en la ecuación original. CÁLCULO DE RAÍCES IRRACIONALES (APROXIMACIÓN)

Método: Doble división sintética.

Para resolver en forma aproximada la raíz irracional se puede usar la doble división sintética.

la primera división sintética se toma para hacer una segunda división sintética entre el mismo

divisor y tener así los dos residuos y

⁄ |

⁄ ⁄

⁄

⁄

⁄ | ⁄ ⁄ ( )

⁄

⁄

⁄ |

⁄

⁄ |

⁄ | ⁄

⁄

⁄ |

|

|

|

|

Los dos valores anteriores son: y

Vamos a sustituir este valor en la ecuación inicial para confirmar que el residuo debe estar cerca de ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

El valor es cercano a cero; se toma como raíz . Hay que obtener la ecuación cuadrática.

|

|

Entonces es el binomio que multiplica a la ecuación:

De acuerdo a esto se tiene que

( )( )

√

( ) √( )

√

√

√( )( )

√ √

La ecuación inicial tiene tres raíces irracionales; una real y dos complejas.