15+turbinas+pelton

Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)

1

Capítulo 15

Turbinas Pelton


2


3

TURBINAS PELTON

Triángulo de velocidades:

Velocidades: xV : Velocidad absoluta del fluido.

xW : Velocidad relativa del fluido respecto al rotor.

xU : Velocidad lineal/periférica/de arrastre del rotor.

mxV : Componente meridiana /radial del vector velocidad absoluta.

uxV : Componente acimutal del vector velocidad absoluta.

Fórmulas (triángulos de velocidades):

60

DnU

π= ; ( )222 º180cos β−−= WUV xu ; 2222

22

2 cos2 αUVUVW −+= ; ( )

g

VVUH u

u21 −=

Fórmulas varias:

nu gHuK 2/= Coeficiente de velocidades de la turbina

h

un

HH

η=

ϕHHH bn −= Siendo ϕH la pérdida de carga en la conducción hasta la turbina.

=D

Lf

g

VH

2

2

ϕ Siendo D el diámetro de la tubería y f el factor de fricción.

4

2tub

tub

DA

π= V

qA tub

tub =

uLn HHH += Siendo LH la altura de pérdidas de carga.

salLrozLinyL HHHH ++=

( )21 vnLiny CHH −= Pérdida de carga en el inyector.

g

WWHLroz

22

21 −= Debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara

g

VHsal 2

22= Pérdida de carga en la salida.


4

tnt gQHW ηρ= Siendo hvt ηηηη 0= ete WW η=

salrozinyh ϕϕϕη −−−=1 Siendo salroziny −−ϕ las pérdidas por unidad de salto neto.

( ) QQQQ fefiv /−−=η Si no hay fugas ni internas ni externas, 1=vη

Tipos de turbinas:

Velocidad específica Tipo de turbina 5 – 30 Pelton con un inyector 30 – 50 Pelton con varios inyectores 50 – 100 Francis lenta 100 – 200 Francis normal 200 – 300 Francis rápida 300 – 500 Francis doble gemela rápida o express

+ 500 Naplan o hélice

4 5

735/

n

sH

Wnn = Siendo sn la velocidad específica en rpm

Eje Horizontal: 2º ≤inyn Eje vertical: 2º >inyn

Inyectores:

4

2iny

ch

DA

π=

inych qAV =1 Siendo chA el área del chorro (inyector) turbinyturbiny nnQq /ºº/=

nv gHCV 21 = Siendo vC ó coK el coeficiente de velocidad en las toberas de los

inyectores inyvC η=

Número de pares de polos: Número de polos (50Hz) = 3000/n Número de pares de polos (60Hz) = 3600/n Unidades magnitudes y otras:

Pacm

kg981001 2 = 2m

NPa= WCV 7351 = radrev π21 =

4 5

75,0

t

ts

p

WW

∆

Ω=

ρ

60

2πn=Ω nt QgHp =∆


5

Problema 15.1.- (C.U. 161) Una turbina Pelton es impulsada por chorros de velocidad ,

siendo la velocidad periférica del rodete. El ángulo de salida de las cucharas es . Despreciando todas las pérdidas por choque y por fricción, demostrar que el máximo rendimiento se obtiene cuando Solución:

UUU == 21

UVW −= 11

Demostrar que el máximo rendimiento se obtiene cuando El rendimiento hidráulico de la turbina es:

Al despreciar las pérdidas, el salto neto será igual a la altura correspondiente a la energía del chorro incidente:

Según la ecuación de Euler el salto útil es:

( )g

VVU

g

UVUVH uuuu

u2121 −=−=

En las turbinas Pelton:

11 VVu =

1v

u 2β

uv 21 =

uv 21 =

n

uh H

H=η

g

vH n 2

21=


6

Por lo tanto:

( ) ( )g

VVU

g

VVUH uuu

u2121 −=−=

Del triángulo de velocidades a la salida del rodete se deduce:

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Euler:

( ) ( )( )[ ]g

WUVU

g

VVUH u

u22121 º180cos β−−−=−=

De dónde:

( )[ ]221 º180cos( β−−−= WUVUgHu

Teniendo en cuenta qué:

UVWW −== 121 (Por considerar despreciables las pérdidas 0=fϕ )

( ) 22 cosº180cos ββ −=−

( )( )( )[ ] ( )( )[ ]211211 coscos ββ UVUVUUVUVUgHu −+−=−−−−=

( )( )[ ] 22

212

1211 coscoscos βββ UUVUUVUVUVUgHu +−−=−+−=

( ) ( )22

2122

212

1 cos1cos1coscos ββββ −−−=+−−= UUVUUVUUVgHu

Derivando:

( ) ( )221 cos12cos1 ββ −−−=∂∂

UVU

Hu

0=∂∂

U

Hu => ( ) ( ) 0cos12cos1 221 =−−− ββ UV => UV 21 =

UV 21 =

( )222 º180cos β−−= WUVu


7

Problema 15.2.- (C.U. 161) Se quiere diseñar una turbina Pelton de un chorro con un salto neto y un caudal . Se supondrá un coeficiente de velocidad en

la tobera del inyector . Se tomará un coeficiente de velocidad de la turbina

obtenido a partir de la siguiente expresión, que lo relaciona con la

velocidad especifica :

La relación entre los diámetros del chorro y del rodete, d/D, deberá ser próxima a

para poder conseguir el máximo rendimiento hidráulico, que se supondrá

.

Determinar la velocidad de giro del rodete, el número de pares de polos del alternador y los diámetros del rodete y del chorro. Solución:

mH n 300= smQ /48,0 3=98,0=vC

nu gHuK 2/=

sn

us Kn 580280−=

sn310*2,4 −

9,0=hη


8


9

Problema 15.3.- (C.U. 161) Se quiere diseñar una turbina Pelton con un único chorro, que debe funcionar bajo un salto neto nominal mHn 550= y una velocidad de giro

rpmn 750= . En estas condiciones nominales, la turbina funciona en el punto de máximo rendimiento para una relación entre el diámetro del rodete y el diámetro del chorro

16/ =dD . Como en el problema 15.2, se supondrá la siguiente relación entre el

coeficiente de velocidad de la turbina nu gHUK 2/= la velocidad especifica

us Kn 580280−=

Y el máximo rendimiento hidráulico, que en este caso se tomará igual a 0,8 se obtiene para

snDd 310*2,4/ −=

Se supondrá un coeficiente de velocidad en la tobera del inyector 98,0=vC , independiente

del caudal. Determinar:

a) Diámetro del rodete. b) Diámetro del chorro en condiciones nominales. c) Potencia útil nominal.

Para un salto neto mHn 600= y la velocidad de giro nominal, determinar:

d) Diámetro del chorro necesario para mantener el máximo rendimiento. e) Potencia útil. (se supondrá que el máximo rendimiento posible en estas condiciones

sigue siendo igual a 0,8) Solución: Triángulos de velocidades de la turbina Pelton

Resumen de Datos Rodete Turbina Pelton Cucharas

16/ =dD mHn 550=

snDd 310*2,4/ −= rpmn 750=

us Kn 580280−= 98,0=vC

8,0=hη

nu gHUK 2/=

sn


10

a) Diámetro del rodete.

πn

UD

60=

Por lo que debemos hallar la velocidad periférica. En el enunciado nos dan la relación que debe existir para alcanzar el máximo rendimiento y el valor del máximo rendimiento hidráulico

sn310*2,416/1 −= => 88,14=sn

snDd 310*2,4/ −=

Cómo también nos dan la relación:

us Kn 580280−= uK58028088,14 −= => 457,0=uK

Por lo que la velocidad periférica teniendo en cuenta la expresión dada:

nu gHUK 2/=

Será:

smmsmgHKU nu /473,47550*/81,9*2457,02* 2 ===

msm

n

UD 209,1

*750

/473,47*6060 ===ππ

mD 209,1=

b) Diámetro del chorro en condiciones nominales. De la relación de máximo rendimiento dada en el enunciado:

16/ =dD => mm

d 0756,016

209,1 ==

cmd 56,7=

16/ =dD


11

c) Potencia útil nominal.

hnu gQHW ηρ=&

Dónde desconocemos el caudal, pero podemos conocer la velocidad del chorro incidente y la sección del mismo:

smmsmgHCV nv /802,101550*/81,9*298,02 21 ===

23222

10*483,44

0756,0*

4m

mdAch

−=== ππ

Por lo que el caudal será:

smmsmAVQ ch /456,010*483,4*/802,101 3231 === −

Por lo que la potencia útil será:

WmsmsmmkggQHW hnu 160.970.18,0*550*/456,0*/81,9*/1000 323 === ηρ&

kWWu 970.1=&


12

Para un salto neto y la velocidad de giro nominal, determinar:

d) Diámetro del chorro necesario para mantener el máximo rendimiento.

4375,0600*81,9*2/473,472/ === nu gHUK

Por lo tanto:

22,264375,0*580280580280 =−=−= us Kn

mmDnd s 133,021,1*22,26*10*2,410*2,4 33 === −−

cmd 3,13= e) Potencia útil. (Se supondrá que el máximo rendimiento posible en estas condiciones sigue siendo igual a 0,8) La nueva velocidad del chorro será:

smmsmgHCV nv /329,106600*/81,9*298,02 21 ===

El caudal para la nueva condición:

( ) smmsmdVQ /483,1133,0*4

/329,1064

3221 === ππ

Por lo que la potencia útil será:

WgQHW hnu 550.984.68,0*600*483,1*81,9*1000 === ηρ

kWWu 985.6=

mH n 600=


13

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana. Febrero 2006. Duración 2h (2,5 P)

Problema 15.4.- 4.- Una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores funciona con un salto neto ,500mHn = una velocidad de giro sradw /5,78= y un caudal smQ /1 3= .

El diámetro del rodete es mmD 1200= . Las cucharas desvían el chorro 165º y la pérdida de carga debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara se ha estimado en

g

w

21,0

21 , siendo 1w la velocidad del chorro relativa a la cuchara. El coeficiente de velocidad

en las toberas de los inyectores es 98,0=vC y el rendimiento mecánico de la turbina

88,00 =η . Determinar:

a) Diámetro de los chorros. b) Altura útil. c) Potencia en el eje de la turbina.

Solución: Triángulos de velocidades de la turbina Pelton

Resumen de Datos Inyectores Rodete Turbina Pelton Cucharas

98,0=vC mmD 1200= mHn 500= º1652 =β

sradw /5,78= smQ /1 3= ( )gwroz 2/1,0 2

1=ϕ

88,00 =η


14

a) Diámetro de los chorros. Puesto que el caudal viene dado por:

11 * AVQ = Dónde 1A es el área del chorro:

4

2

1

dA

π=

Siendo d el diámetro de cada uno de los dos chorros.

21 4* dVQch

π= 1*

*4V

Qd ch

π= d

La velocidad del chorro 1V viene dada por:

gHCV v 21 =

smmsmV /06,97500*/81,9*298,0 21 ==

Por lo tanto:

msm

sm

V

Qd ch 0809,0

/06,97*

/2/1*4

*

*4 3

1

===ππ

cmd 1,8= Los demás valores del triángulo de entrada son:

smm

sradD

wU /100,4722,1

*/5,7821 === smU /100,471 =

smUVW /965,49100,47065,97111 =−=−= smW /965,491 =

smVVu /065,9711 == (propiedad de las turbinas Pelton) smVu /065,971 =


15

b) Altura útil. b.1) La altura útil viene dada por la ecuación de Euler:

( )g

VVU

g

VUVUH uuuu

u212211 −=−= (En la turbina Pelton UUU == 21 )

Dónde, la única incógnita, es la componente acimutal de la velocidad de salida 2uV

( )222 º180cos β−−= WUVu

Nos dicen que las pérdidas por rozamiento vienen dadas por: g

wroz 2

1,021=ϕ

g

w

g

wwH Lroz 2

1,02

21

22

21 =−= => 2

12 9,0 ww =

Sustituyendo el valor de 1w calculado en el apartado anterior:

( ) smsmw /401,47/965,499,0 22 ==

( ) smsmsmVu /314,1º15cos*/401,47/1,472 =−=

Por lo qué la altura útil será:

( ) ( )m

g

VVUH uu

u 722,45981,9

314,1065,971,4721 =−=−=

mHu 72,459=


16

b.2) La altura útil viene dada por la altura neta menos la altura de pérdidas.

Lnu HHH −=

La altura de pérdidas es la suma de:

LsalidaLrozLinyL HHHH ++=

- Altura de pérdidas en el inyector: ( )21 vnLiny CHH −=

( ) ( ) mmCHH vnLiny 8,1998,015001 22 =−=−=

- Altura de pérdidas por rozamiento en la superficie de las cucharas: g

wwH Lroz 2

22

21 −=

( ) ( )m

sm

smsm

g

wwH

rozL 724,12/81,9*2

/401,47/965,49

2

2222

21 =−=−=

- Altura de pérdidas a la salida: g

VH Lsalida 2

22=

Del triángulo de velocidades a la salida, aplicando el teorema del coseno, tenemos:

( )2222

222

22 º180cos*2 β−−+= WUWUV

( ) 22222

2 /238,152º15cos*401,47*1,47*2401,471,47 smV =−+=

msm

sm

g

VH Lsalida 759,7

/81,9*2/238,152

2 2

2222 ===

mmmmmHHH Lnu 717,459759,7724,128,19500 =−−−=−=

mHu 72,459=


17

c) Potencia en el eje de la turbina. La potencia en el eje de la turbina o potencia total podemos hallarla como:

tnt gQHW ηρ=

O bien: 0ηηηη hvt = 1=vη nuh HH /=η 88,00 =η

0ηρ ut gQHW =

WmsmsmmkggQHW ut 816,670.968.388,0*72,459*/1*/81,9*/1000 3230 === ηρ

MWW 968,3=


18


19

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2007. Duración: 2h (4 P)

Problema 15.5.- 4.- Se quiere aprovechar un salto de agua en un determinado emplazamiento en el que se ha estimado que se podrá obtener un salto neto mHn 500= y

un caudal smQ /15 3= . Para este tipo de saltos las turbinas que ofrecen más ventajas son las de tipo Pelton. En la selección del número de rodetes e inyectores se tratará de utilizar el menor número de rodetes posibles limitando el número máximo de inyectores por rodete a 6. Para evitar que el tamaño de las cucharas sea excesivamente grande se limitará el diámetro máximo de los chorros a 25 cm. En la primera aproximación se considerará que las pérdidas en el inyector, en la cuchara y de salida son, respectivamente, el 4, 2 y 3 % del

salto neto, y el coeficiente de velocidad de la turbina 48,02/ == nu gHuK . La velocidad

de giro del rodete se elegirá de tal forma que la velocidad específica sea menos que 30.

a) Determinar el número mínimo de inyectores que deben instalarse y el número de rodetes. Justificar la disposición más adecuada del eje de los rodetes (horizontal /vertical) y de los inyectores alrededor de de éstos.

Supóngase en lo que sigue que se decide utilizar un solo rodete con cuatro inyectores. Determinar:

b) El rendimiento hidráulico y la potencia mecánica en el eje del rodete c) Número de pares de los polos del alternador y velocidad de giro del rodete. d) Diámetro del rodete y de los chorros. e) Triángulo de velocidades a la salida. f) Par nominal y de arranque de la máquina.



cmd 25max = 30<sn mHn 500=

48,02/ == nu gHuK

smQ /15 3=

niny H04,0=ϕ nsalida H03,0=ϕ nroz H02,0=ϕ


20

a) Determinar el número mínimo de inyectores que deben instalarse y el número de rodetes. Justificar la disposición más adecuada del eje de los rodetes (horizontal /vertical) y de los inyectores alrededor de de éstos. Nos dan el caudal de la turbina y datos para calcular la velocidad del chorro y la sección de cada chorro, es decir:

smQ /15 3= => TAVQ 1=

niny H04,0=ϕ => 96,004,01 =−=inyη

cmd 25max = => ( ) 2222 10*909,44/25,04/ mmdAchorro−=== ππ

Y como:

nv gHCV 21 =

Dónde:

inyvC η= => 98,096,0 ==vC

smmgHCV nv /065,97500*81,9*298,021 ===

Puesto que:

22

1

1545,0/065,97

/15m

sm

sm

V

QAT ===

Luego el número de inyectores será:

148,304909,0

1545,0 2

=== m

A

An

chorro

Tiny

Por lo tano son necesarios:

4 inyectores y 1 rodete


21

Supóngase en lo que sigue que se decide utilizar un solo rodete con cuatro inyectores. Determinar: b) El rendimiento hidráulico y la potencia mecánica en el eje del rodete El rendimiento hidráulico en una turbina Pelton viene dada como:

91,003,002,004,011 =−−−=−−−= salidarozinyh ϕϕϕη

91,0=hη

El rendimiento hidráulico también viene dado como:

n

uh H

H=η

Dónde la altura útil la podemos hallar como:

( )g

VVUH uu

u21 −= (Ecuación de Euler)

Lnu HHH −= (Altura neta menos altura de pérdidas)

Puesto que nos dan las pérdidas en los inyectores en las cucharas y en la salida, optaremos por la segunda posibilidad.

LsalidaLrozLinyL HHHH ++=

mmHHHH nnnL 45500*09,003,002,004,0 ==++=

mmmHHH Lnu 45545500 =−=−=

91,0500

455===n

uh H

Hη

91,0=hη

Potencia mecánica

hngQHW ηρ=

WmsmsmmkggQHW hn 250.953.6691,0*500*/15*/81,9*/1000 323 === ηρ

MWW 953,66=


22

c) Número de pares de los polos del alternador y velocidad de giro del rodete.

4/5

735/

ns H

Wnn = => ( ) 2/1

4/5

735/W

Hnn ns=

( ) ( ) rpmW

Hnn ns 235

735/66953259

500*30

735/ 2/1

4/5

2/1

4/5

===

rpmn 235=

319,15235360060

º ===n

Hosparesdepoln z

16º =osparesdepoln

d) Diámetro del rodete y de los chorros.

DnU60π= =>

πn

UD

60=

Dónde:

48,02/ == nu gHuK => smgHU n /542,47500*81,9*248,0248,0 ===

rpmn 235=

Por lo tanto:

mn

UD 864,3

235542,47*6060 ===

ππ

mD 864,3=

Puesto qué:

21 4* chorrochorro dVq

π= smsm

n

Qq

inychorro /75,3

4/15 3

3

===

msm

sm

V

qdchorros 2218,0

/065,97*

/75,3*4*4 3

1

===ππ

cmdchorros 18,22=


23

e) Triángulo de velocidades a la salida.

smgHU n /542,47500*81,9*248,0248,0 ===

Como:

nHg

WW02,0

2

22

21 =−

( ) ( ) smgHWW n /501,4781,9*2*500*02,0523,492*02,0 2212 =−=−=

Además:

3

22 03,0

2H

g

V =

smsmmgHV n /155,17/81,9*2*500*03,02*03,0 22 ===

Por el teorema del coseno, tenemos:

( )222

222

2 º180cos2 β−−+= UWWUV Despejando el ángulo 2β

( )2

22

22

2

2 2º180cos

UW

VWU −+=−β

( ) ( ) ( )º2,159

501,47*542,47*2155,17501,47542,47

arccosº1802

arccos222

2

22

22

2

2 =

−+−=

−+=UW

VWUβ

º2,1592 =β


24

f) Par nominal y de arranque de la máquina. Puesto que:

MwW =

MNmsrad

sMNm

w

WM 72,2

/602

235

/953,66 === π

MNmM 72,2=


25

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2009. Duración: 2h (3,5 P)

Problema 15.6.- 4.- Una central hidroeléctrica que consta de dos turbinas Pelton de idénticas características suministra una potencia eléctrica nominal de 152 MW. Cada turbina tiene seis inyectores distribuidos simétricamente alrededor de un rodete de eje vertical. Cada rodete tiene 20 álabes, dispuestos sobre una circunferencia de diámetro

mD 779,20 = y gira a una velocidad rpmn 9,276= . La central turbina agua procedente de

un embalse en el que la superficie del agua está situada a una altura de 428m por encima del plano de la turbina. La altura de pérdida de carga en la tubería forzada es un 11% del salto bruto. El rendimiento total de las turbinas en condiciones nominales es 917,0=tη y

el rendimiento del generador eléctrico es 98,0=eη . El rendimiento orgánico se supondrá

igual a la unidad. El coeficiente de velocidad en el inyector es 98,02/1 == nv gHVC

siendo 1V la velocidad absoluta del agua a la salida del inyector. La altura correspondiente a la pérdida de energía cinética del agua a la salida de los álabes es el doble de la correspondiente a la pérdida de energía por rozamiento en los álabes. Determinar:

a) Caudal de agua que se deriva desde la presa hacia la central. b) Diámetro de los chorros. c) Alturas de pérdidas en el inyector, en los álabes del rodete y la correspondiente a la

energía cinética del agua a la salida del rodete. d) Ángulo 2β de salida de los álabes del rodete. e) Número de pares de polos del alternador si la frecuencia de la red es de 60 Hz.



98,02/1 == nv gHVC mD 779,20 = MWWe 152=

rpmn 9,276= mHb 428=

6=oinyn 2=o

rodn bHH 11,0=ϕ

917,0=tη

98,0=eη LrozHgV 22/2

2 =


26

a) Caudal de agua que se deriva desde la presa hacia la central. Puesto que nos dan la potencia y está viene dada por:

tnt gQHW ηρ= => tnt gHWQ ηρ/=

Dónde:

mmmHHH bn 92,380428*11,0428 =−=−= ϕ

917,0=tη

eet WW η/=

Sustituyendo valores:

smmmNMWgHWQ tnee /263,45917,0*92,380*/9810*98,0/152/ 33 === ηρη

smQ /263,45 3=

b) Diámetro de los chorros. El número de chorros, es decir el número de inyectores es 12. El caudal total será igual al área total de los chorros por la velocidad de los mismos, es decir:

2011 4

*12** chorrT dVAVQπ== =>

1*12*4

V

Qdchorro π

=

Dónde, nos dicen:

98,02/1 == nv gHVC => ngHV 298,01 =

smmsmV /721,8492,380*/81,9*298,0 21 ==


msm

smdchorro 238,0

/721,84*12/263,45*4 3

==π

cmdchorro 8,23=


27

c) Alturas de pérdidas en el inyector, en los álabes del rodete y la correspondiente a la energía cinética del agua a la salida del rodete.

- Altura de pérdidas en el inyector:

( ) ( ) mmCHH vninyL 084,1598,0192,3801 22 =−=−=

- Altura de pérdidas por rozamiento en los álabes:

g

WWH Lroz 2

22

21 −=

- Altura de pérdidas en la salida:

g

VH Lsalida 2

22=

Nos dicen que:

g

V

g

WW

222

22

22

21 =−

=> LsalidaLroz HH =2

Por otra parte, tenemos que la altura útil es igual a la altura neta menos la altura de pérdidas:

Lnu HHH −= => unL HHH −=

LsalidaLrozLinyLun HHHHHH ++==−

mHH hnu 304,349917,0*92,380 === η (Considerando 1=vη y 10 =η )


LrozLroz HHmmm 2084,15304,34992,380 ++=−

mmmmH Lroz 532,16084,15304,34992,3803 =−−=

Por lo tanto:

mH Liny 084,15= mH Lroz 511,5= mH Lsalida 021,11=


28

d) Ángulo 2β de salida de los álabes del rodete. Considerando el triángulo de velocidades a la salida del rodete:

( )222 º180cos β−−= WUVu

Dónde:

smmrpmDnU /291,40779,2*60

9,27660

=== ππ

mg

WWH Lroz 511,5

2

22

21 =−=

smsmsmUVW /43,44/291,40/721,8411 =−=−=

( ) smmsmsmmgWW /196,43511,5*/81,9*2/43,44511,5*2 22212 =−=−=

( )g

VVUH uu

u21 −= =>

U

gHVV u

uu −= 12

smsm

msmsmVu /327,0

/291,40304,349*/81,9

/721,842

2 −=−=

Despejando el ángulo 2β de la expresión obtenida en el triángulo de velocidades:

−−=2

22 arccosº180

W

VU uβ

º1,160º89,19º180/196,43

/327,0/291,40arccosº1802 =−=

+−=sm

smsmβ

º1,1602 =β


29

Puesto que:

smVu /327,02 −=

El triángulo de velocidades a la salida será de la forma:

e) Número de pares de polos del alternador si la frecuencia de la red es de 60 Hz.

139,276

360060 ===n

Hn zO

osparesdepol

13=O

osparesdepoln


30


31

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2010. Duración: 2h (3,5 P)

Problema 15.7.- 3.- Una central de San Agatón en Venezuela, cuenta con dos turbinas Pelton de eje vertical que en condiciones nominales producen una potencia de 153 MW cada una para un salto neto de 350 m. la velocidad específica de cada turbina es de

5,68=sn . Los rodetes tienen 20 álabes, y un diámetro mD 33,3= y cada uno es

alimentado por seis inyectores con un diámetro de salida de la tobera mdtob 464,0= , que

determina el máximo diámetro del chorro. El agua que turbina la central procede de una presa construida en el río Uribante a través de una galería subterránea y dos tuberías forzadas. Considerando que el coeficiente de velocidad en los inyectores es constante e igual a 98,00 =cK y una situación en la que el salto brusco es de 410m, se pide determinar:

a) El caudal máximo que puede derivar la central. Considerar que las pérdidas de

carga en la galería subterránea son despreciables, que en la tubería forzada pueden aproximarse por 204,0 tf QH = ( fH en m; tQ en sm /3 ), siendo tQ el caudal que

circula por cada tubería, y que el coeficiente de contracción a la salida del inyector 85,0/ 22

0 == tc ddC es constante, siendo 0d el diámetro del chorro.

b) Diámetro del chorro para el que la potencia hidráulica a la entrada de la turbina es máxima. Representar gráficamente dicha potencia en función del diámetro del chorro de salida del inyector.

c) Rendimiento hidráulico para la apertura del distribuidor correspondiente al apartado b). considerar la fricción en la cuchara despreciable y un ángulo de salida de los álabes º1732 =β . (Si no se ha resuelto el apartado anterior tómese

md 41,00 = .)



98,00 =cK mD 33,3= MWWt 153=

mdt 464,0= 2=orodn 5,68=sn

6=oinyn mHn 350=

85,0/ 220 == tc ddC 20=o

álabn 410=bH


32

a) El caudal máximo que puede derivar la central. Considerar que las pérdidas de carga en la galería subterránea son despreciables, que en la tubería forzada pueden aproximarse por

204,0 tf QH = ( fH en m; tQ en sm /3 ), siendo tQ el caudal que circula por cada tubería, y

que el coeficiente de contracción a la salida del inyector 85,0/ 220 == tc ddC es constante,

siendo 0d el diámetro del chorro.

Puesto que:

smmsmgHCV nv /21,81350*/81,9*298,02 21 ===

85,0/ 220 =tdd => ( ) mmdd t 428,0464,0*85,0*85,0 22

0 ===

TAVQ *1=

( ) 2220 725,1428,0*

4*12

4mmdnA o

inyT === ππ

smmsmAVQ T /06,140725,1*/21,81* 32

1 === Si tenemos en cuenta las pérdidas de la tubería:

( ) ( ) smQQQQQQQ fT /22,33606,14001,006,14001,02/04,0 3222 =+=+=+=+=


33

b) Diámetro del chorro para el que la potencia hidráulica a la entrada de la turbina es máxima. Representar gráficamente dicha potencia en función del diámetro del chorro de salida del inyector.


34

c) Rendimiento hidráulico para la apertura del distribuidor correspondiente al apartado b). considerar la fricción en la cuchara despreciable y un ángulo de salida de los álabes

º1732 =β . (Si no se ha resuelto el apartado anterior tómese md 41,00 = .)


35


36


37

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Primera semana 2011. Duración: 2h (3,5 P)

Problema 15.8.- 3.- Una turbina Pelton trabaja con un salto neto mHn 360= y una

velocidad de giro de rpm750 . El rodete tiene un diámetro mmD 1100= y un ángulo de

salida de los álabes º1652 =β . Se ha estimado un coeficiente de velocidad en las toberas

de los inyectores 98,0=vC y unas pérdidas debidas a la energía cinética de salida

equivalentes a una altura de m8 , con 02 >uV . Se pide:

a) Hacer una estimación de las pérdidas hidráulicas en la cuchara y en el inyector, y el

rendimiento manométrico. b) Suponiendo que la velocidad del chorro aumenta un . Determinar la altura útil

en las nuevas condiciones de funcionamiento, Suponer que las pérdidas en la cuchara son proporcionales a la energía cinética asociada a la velocidad relativa a la entrada del rodete, y que se mantiene constante.



mmD 1100= mHn 360=

º1652 =β rpmn 750=

02 >uV 98,0=vC mgV 82/22 =

%10

vC


38

a) Hacer una estimación de las pérdidas hidráulicas en la cuchara y en el inyector, y el rendimiento manométrico.

La altura de pérdidas por rozamiento en las cucharas viene dado por: g

WWH Lroz 2

22

21 −=

Cómo:

UVW −= 11 Dónde:

nv gHCV 21 = smmsmV /362,82360*/81,9*298,0 21 ==

DnU60π= smmrpmU /197,431,1

60750 == π

Por lo tanto:

smsmsmUVW /165,39/197,43/362,8211 =−=−= De las pérdidas que nos dan a la salida:

mg

V8

2

22 = => smsmmV /528,12/81,9*2*8 2

2 ==

Aplicando el teorema del coseno en el triángulo de velocidades a la salida:

( )222

222

2 º180cos2 β−−+= UWWUV Tenemos una ecuación de segundo grado en 2W

( ) 0º180cos2 22

222

22 =−+−− VUUWW β

( ) 0528,12197,43º15cos*197,43*2 22

22

2 =−+− WW

01709450,83 22

2 =+− WW

( ) ( ) ( )07,36380,472

1709*4450,83450,83 2

2 óW =−±

=


39

Al ser 02 >uV => 12 WW <

Por lo tanto: El valor de 2W es:

07,362 =W

( ) ( )sm

sm

smsm

g

WWH Lroz /868,11

/81,9*2

/07,36/165,39

2 2

2222

21 =−=−=

La altura de pérdidas en el inyector viene dada por: ( )21 vnL CHH

iny−=

( ) ( ) mmCHH vnLiny

256,1498,013601 22 =−=−=

La suma de pérdidas en cuchara, inyector y a la salida es:

mmmmH L 124,348256,14868,11 =++= La altura útil es:

mmmHu 876,325124,34360 =−=

El rendimiento hidráulico, será:

905,0360

876,325 ===n

uh H

Hη

905,0=hη


40

b) Suponiendo que la velocidad del chorro aumenta un . Determinar la altura útil en las nuevas condiciones de funcionamiento, Suponer que las pérdidas en la cuchara son proporcionales a la energía cinética asociada a la velocidad relativa a la entrada del rodete, y que se mantiene constante.

Si la velocidad del chorro aumenta un 10%, la nueva velocidad será:

smsmV /598,901,1*/362,821 ==′ La velocidad de arrastre es función de la velocidad de giro y de las características geométricas de la rueda, por lo que permanece constante al aumentar la velocidad del chorro:

smU /197,43=′ Y la nueva velocidad relativa será:

smsmsmUVW /401,47/197,43/598,9011 =−=′−′=′ Para:

smW /165,391 = → mH Lroz 868,11=

mX 364,14165,39/401,47*868,11 ==

smW /401,471 =′ → XH Lroz =′

mg

WW364,14

2

22

21 =

′−′ => smmgWW /329,44364,14*22

12 =−′=′

Puesto qué:

( )222 º180cos β−′−′=′ WUVu

( ) smVu /378,0º15cos329,44197,43 22 =−=′

La nueva altura útil será:

( ) ( )m

sm

smsmsm

g

VVUH uu

u 27,397/81,9

/378,0/598,90/197,432

21 =−=−=′

mHu 27,397=′

%10

vC


41

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana 2011. Duración: 2h (3,5 P)

Problema 15.9.- 4.- Se quiere diseñar un aprovechamiento hidráulico en un determinado emplazamiento en el que se dispone de un salto neto mHn 360= . Para ello se utilizará una

turbina Pelton cuyo rodete tiene un diámetro mmD 1100= y un ángulo de salida de los álabes , y que gira a una velocidad de rpmn 750= . La central deberá generar una potencia total de MW3 . Para obtener una estimación del rendimiento hidráulico se han realizado ensayos en una turbina modelo, realizada a escala de la anterior, cuyo rodete tiene un diámetro mmD 300= y gira a una velocidad de rpmn 1110= , En los ensayos se

ha medido un coeficiente de velocidad en la tobera del inyector 98,0=vC y unas pérdidas

por fricción en las cucharas mH Lroz 2= . Determinar:

a) El salto neto y la potencia total de la turbina modelo. b) La altura útil de la turbina modelo. c) Caudal necesario para que la central genere la potencia esperada (considérense

unos rendimientos orgánico y volumétrico iguales a la unidad). Solución: Triángulos de velocidades de la turbina Pelton


mmD 1100= mHn 360=

º1652 =β rpmn 750=

MWWt 3=

mmD 300mod = rpmn 1110mod = mH Lroz 2=

98,0=vC

º1652 =β


42

a) El salto neto y la potencia total de la turbina modelo. Empleando el subíndice t para la turbina real y el m para la turbina modelo:

477,23,0

1,1 ===m

t

D

Dλ m

t

U

Uk =

Dónde:

smDnU ttt /197,431,1*60

75060

=== ππ

smDnU mmm /436,173,0*60

111060

=== ππ

Por lo tanto:

477,2436,17

197,43 ===m

t

U

Uk

Puesto que:

2kH

H

m

t = => ( ) mm

k

HH nt

nm 673,58477,2

36022 ===

mHnm 673,58=

Cómo la turbina real y la turbina modelo tienen la misma velocidad especifica:

( ) ( ) 4/54/5

735/735/

nm

mm

tn

tt

H

Wn

H

Wn =

4/54/5

6

673,58

735/1110

360

735/10*3750 mW

=

735/836,6556,30 mW= => kWWm 685,14836,6556,30

*7352

=

=

kWWm 685,14=


43

b) La altura útil de la turbina modelo. Por la ecuación de Euler la altura útil viene dada como:

( )g

VVUH uu

um21 −=

Dónde:

smUm /436,17= (apartado anterior)

smgHCVV nmvu /250,33673,58*81,9*298,0211 ====

Del triángulo de velocidades a la salida, obtenemos que:

( )222 º180cos β−−= WUVu

Dónde: mH Lroz 2= (dato del enunciado)

LrozHg

WW =−2

22

21

smsmsmUVW /814,15/436,17/250,33111 =−=−= Por lo tanto:

( ) smsmmsmgHWW Lroz /520,14/81,9*2*2/814,152* 22212 =−=−=

Luego:

( ) smsmVu /410,3º15cos*520,14/436,172 =−=

La altura útil será por tanto:

( ) ( )m

g

VVUH uu

um 036,5381,9

410,3250,33436,1721 =−=−=

mHum 036,53=


44

c) Caudal necesario para que la central genere la potencia esperada (considérense unos rendimientos orgánico y volumétrico iguales a la unidad). Puesto que la potencia total viene dada por:

tnt gQHW ηρ=

Cómo el rendimiento total es:

n

u

n

uvht H

H

H

H === 1*1*0ηηηη

(rendimientos hidráulicos iguales en el modelo y en la turbina)

904,0673,58

036,53 ===nm

umhm H

Hη

Por lo que despejando el caudal tendremos:

tn

t

gH

WQ

ηρ=

Dando valores:

smmsmmkg

WQ /939,0

904,0*360*/81,9*/100010*3 3

23

6

==

smQ /939,0 3=


45

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED Ingeniero Industrial (plan 2001) MÁQUINAS HIDRÁULICAS

Septiembre 2012. Duración: 2h (4 P) Problema 15.10.- 3.- El rodete de una turbina Pelton tiene un diámetro mmD 1100= y gira a una velocidad de rpmn 750= . El ángulo de los álabes a la salida es º1652 =β . La turbina dispone de 6 inyectores. Bajo unas determinadas condiciones de funcionamiento, a la entrada de la turbina se dispone de un salto neto mHn 500= y un caudal smQ /1 3= .

Para estas condiciones, la pérdida de carga debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara se ha estimado en ( )gW 2/1,0 2

1 , siendo 1W la velocidad del chorro relativa a la cuchara. El coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores es

98,0=vC y el rendimiento mecánico de la turbina 88,00 =η . Determinar:

a) Diámetro de los chorros. Indicar si el valor Dd / esta dentro de los valores

recomendados. b) Componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida del rodete. c) Velocidad específica. Indicar si se cumple de forma aproximada la relación

Ddns /252=



mmD 1100= mHn 500=

º1652 =β rpmn 750= ( )gW 2/1,0 21

smQ /1 3=

6º=inyn 98,0=vC

88,00 =η


46

a) Diámetro de los chorros. Indicar si el valor Dd / esta dentro de los valores recomendados. Puesto que el caudal por chorro viene dado por:

chorroAVq *1=

Dónde:

smsm

n

Qq

iny

/167,06

/1 33

===

smmsmgHCV nv /065,97500*/81,9*298,02 21 ===

1**4V

qdchorro π

=

2

4 chorrochorro dAπ=


msm

sm

V

qdchorro 0468,0

/065,97*

/167,0*4

*

*4 3

1

===ππ

mmdchorro 8,46=

5,23

1

1100

8,46 ==mm

mm

D

d

Cómo:

7

1

5,23

1

200

1 ≤=≤D

d

La relación Dd / esta dentro de los valores recomendados.


47

b) Componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida del rodete.

Puesto que la componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida viene dada por:

( )222 º180cos β−−= WUVu

Dónde:

smmrpmDnU /197,431,1*60

75060

=== ππ

smsmsmUVW /868,53/197,43/065,9711 =−=−=

Como la pérdida por rozamiento en las cucharas es:

g

W

g

WW

21,0

2

21

22

21 =−

=> 212 9,0 WW =

Por lo qué:

( ) smsmWW /104,51/868,53*9,09,0 2212 ===

( ) smVu /166,6º15cos104,51197,432 −=−=

smVu /166,62 −=


48

c) Velocidad específica. Indicar si se cumple de forma aproximada la relación Ddns /252=

La velocidad específica en turbinas viene dada por:

( )4/5

2/1735/

ns H

Wnn =

Donde: uhn HH =η

vhnt gQHW ηηηρ 0=

1=vη

Cómo:

( ) ( )m

sm

smsmsm

g

VVUH uu

u 564,454/81,9

/166,6/065,97/197,432

21 =+=−=

WmsmsmmkggQHW vhnt 160.924.388,0*564,454*/1*/81,9*/1000 323

0 === ηηηρ

( )( ) 178,23500

735/160.924.3750 4/5

2/1

==sn

( ) 72,100425,0252/252 === Ddns


49

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED. Ingeniero Industrial (Plan 2001) MÁQUINAS HIDRÁULICAS

Septiembre de 2013. Duración: 2h (4 P) Problema 15.11.- 4.- Una central hidroeléctrica consta de una turbina Pelton con 4 inyectores. La turbina aprovecha un salto bruto de 400 m. El agua es conducida desde el embalse a través de una tubería forzada con un diámetro de 1 m, una longitud de 490 m y un factor de fricción de 0,02. El coeficiente de velocidad en los inyectores es

( ) 98,02/ 2/11 == nv gHvC . El rodete tiene un diámetro de 2m y gira a una velocidad de 333

rpm. Las cucharas desvían el chorro un ángulo de 160. La perdida de carga debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara se puede estimar en ( )gw 2/1,0 2

1 ,

siendo 1w la velocidad del chorro relativa a la cuchara. Para una cierta apertura de la

tobera de los inyectores, el caudal que circula por la turbina es de sm /9 3 . Determinar:

a) Diámetro de salida de la tobera del inyector. b) Rendimiento hidráulico (nótese que 2uV puede no ser nula).

Suponiendo que para aumentar la potencia útil se aumenta el diámetro de salida de la tobera de los inyectores hasta cmd 200 = , determinar:

c) Nuevo valor del salto neto y del caudal turbinado. Solución: Triángulos de velocidades de la turbina Pelton


mD 2= mHb 400=

4º=inyn º1602 =β rpmn 333= ( )gW 2/1,0 21

mL 490= smQ /9 3=

02,0=f ( ) 98,02/ 2/11 == nv gHvC

mdtub 1=


50

a) Diámetro de salida de la tobera del inyector. Puesto que el caudal viene dado por:

2

4* tob

oinyT dnA

π=

TAVQ *1=

1**

*4Vn

Qd

oiny

tob π=

Dónde:

nv gHCV 21 =

ϕHHH bn −=

La altura de pérdidas en la tubería forzada viene dada por:

=

tubtub d

Lf

dg

QH

42

2

**8

πϕ


( )( ) m

m

m

msm

smH 589,65

1490

02,01*/81,9*

/98422

23

=

=πϕ

Por lo qué el salto neto será:

mmmHn 411,334589,65400 =−=

La velocidad del chorro:

smmsmV /381,79411,334*/81,9*298,0 21 ==

El diámetro de las toberas de los inyectores será:

msm

sm

Vn

Qd

oiny

tob 18997,0/381,79*4*

/9*4**

*4 3

1

===ππ

cmdtob 997,18=


51

b) Rendimiento hidráulico (nótese que 2uV puede no ser nula).

El rendimiento hidráulico viene dado por:

n

uh H

H=η

Dónde el salto útil es:

smmrpmDnU /872,34260

33360

=== ππ

( )g

VVU

g

UVUVH uuu

u2121 −=−=

( )222 º180cos β−−= WUVu

La pérdida de carga por rozamiento en las cucharas, es: g

WW

2

22

21 −

Y nos dicen que es igual a: ( )gW 2/1,0 2

1 siendo smUVW /509,4411 =−=

g

W

g

WW

21,0

2

21

22

21 =−

=> ( ) smsmWW /225,42/509,44*9,09,0 2212 ===

Por lo que la componente acimutal de la velocidad a la salida será:

( ) smsmsmVu /807,4º20cos/225,42/872,342 −=−=

Como 02 <uV el triángulo de velocidades a la salida será de la forma:


52

El salto útil será, por lo tanto:

( ) ( )m

sm

smsmsm

g

VVUH u

u 266,299/81,9

/807,4/381,79/872,342

21 =+=−=

El rendimiento hidráulico será:

895,0411,334

266,299 ===m

m

H

H

n

uhη

895,0=hη


53

Suponiendo que para aumentar la potencia útil se aumenta el diámetro de salida de la tobera de los inyectores hasta cmd 200 = , determinar:

c) Nuevo valor del salto neto y del caudal turbinado. El salto neto no depende del diámetro de las toberas, pero si del caudal turbinado por lo que habría que calcular antes el nuevo caudal: Puesto que el caudal viene dado por:

TAVQ *1= => 2

4**2 tob

oinynv dngHCQ

π=

Dónde tendríamos como incógnita el salto neto: Si elevamos al cuadrado:

( )2

222 *4

**2

= toboinynv dngHCQ

π

Como el salto neto viene dado por:

−=−=

tubtubbn d

Lf

dg

QmHHH

42

2

**8

400πϕ

Sustituyendo el salto neto en la ecuación anterior:

22

42

222 *

4**

84002

−= tob

oiny

tubtubv dn

d

Lf

gd

QgCQ

ππ

2

242

222 *

4**

16800

−= tob

oiny

tubtubv dn

d

Lf

d

QgCQ

ππ

Dando valores:

( ) ( ) ( )2

2

42

2222 20,0*

4*4*

1

49002,0

1

16/81,9*80098,0

−= mm

QsmQ

ππ


54

( ) ( ) 242

222 2409,0023,1198,9

1

16/81,9*800015166028,0 Q

m

QsmQ −=

−=

π

023,1192409,1 2 =Q

smQ /794,9 3=

( )( ) mmm

msmmHn 335,32277665400

1

49002,0

1*/81,9*

794,98400 422

2

=−=

−=π

mHn 335,322=


55

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED. Grado en Ingeniería Industrial Mecánica MÁQUINAS HIDRÁULICAS

Primera semana. Junio de 2012. Duración: 2h (3,5 P) Problema 15.12.- 4.- Una turbina Pelton de un solo inyector tiene un rendimiento máximo

8,0=tη cuando funciona bajo un salto neto mHn 270= girando a una velocidad

rpmn 750= y con un caudal smQ /6,0 3= . El diámetro del rodete es mmD 830= . El

coeficiente de velocidad del inyector es de 0,97, el ángulo º01 =α y el triángulo de velocidades de salida es rectángulo. Se consideran despreciables las pérdidas por fricción en el rodete y un rendimiento volumétrico igual a 1. Calcular:

a) Velocidad especifica de la turbina. b) Altura correspondiente a la energía cinética de salida del rodete. c) Altura de pérdidas en el inyector y altura útil. d) Ángulo de salida de los álabes, 2β e) Rendimiento orgánico. f) Diámetro del chorro.



97,0=vC mmD 830= mHn 270=

rpmn 750=

00 =uV smQ /6,0 3= ( ) 02/22

21 =− gWW

º01 =α 0=rozϕ 8,0=tη

1=vη


56

a) Velocidad especifica de la turbina. La velocidad específica viene dada por:

( )4/5

2/1735/

ns H

Wnn =

Dónde la potencia viene dada por:

tngQHW ηρ=

WmsmsmmkgW 376.271.18,0*270*/6,0*/81,9*/1000 323 ==

Por lo que la velocidad especifica será:

( )5,28

270735/376.271.1

750 4/5

2/1

==sn

5,28=sn

b) Altura correspondiente a la energía cinética de salida del rodete.

g

VH Lsalida 2

22=

Considerando el triangulo de velocidades a la salida:

smmrpmDnU /594,3283,0*60

*75060

=== ππ

Nos dicen que la pérdida de altura de vida al rozamiento en las cucharas es despreciable:

02

22

21 =−=

g

WWH Lroz


57

Como UVW −= 11

smmsmgHCV nv /560,70270*/81,9*297,02 21 ===

smsmsmW /966,37/594,32/560,701 =−=

Sustituyendo este valor en las pérdidas por rozamiento:

022

21 =−WW => smWW /966,3712 ==

Al ser un triangulo rectángulo, el triangulo de velocidades a la salida:

( ) ( ) smsmsmUWV /469,19/594,32/966,37 222222 =−=−=

( )m

sm

sm

g

VH Lsalida 319,19

/81,9*2

/469,19

2 2

222 ===

mH Lsalida 319,19=

c) Altura de pérdidas en el inyector y altura útil.

( ) ( ) mmCHH vnLiny 957,1597,012701 22 =−=−=

mH Liny 957,15=

La altura útil podemos obtenerla como:

mmmmmHHH Lnu 724,234957,150319,19270 =−−−=−=

mHu 724,234=

También podemos hallar la altura útil como:

msm

smsm

g

UV

g

UVUVH uuu

u 438,234/81,9

/560,70*/594,322

121 ===+=

mHu 438,234=


58

d) Ángulo de salida de los álabes, 2β Del triángulo de velocidades, tenemos:

( )U

Vtg 2

2º180 =−β

º15,149º849,30º180596,32469,19

º180º180 22 =−=

−=

−= arctgU

Varctgβ

º15,1492 =β e) Rendimiento orgánico. Nos dicen que:

8,0=tη

08,0 ηηηη vht == => hη

η 8,00 =

1=vη

Como el rendimiento hidráulico viene dado por:

869,0270

581,234 ===n

uh H

Hη

921,0581,234

2708,08,0

/

8,00 ====

u

n

nu H

H

HHη

921,00 =η


59

f) Diámetro del chorro. Puesto qué:

nv gHCV 21 =

TAVQ 1= 2

4*2 chorronv dgHCQ

π=

2

4 chorroT dAπ=

mmsm

sm

gHC

Qd

nv

chorro 1040,0270*/81,9*297,0*

/6,0*4

2

*42

3

===ππ

cmdchorro 40,10=

15+turbinas+pelton

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