1.3 Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones el cual para poder resolverlo debe tener el mismo nmero de ecuaciones y el mismo nmero de incgnitas. Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste hallar el valor de cada una de las incgnitas las cuales satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.

1.3.1 Mtodos de resolucin de ecuaciones

1.3.1.1 Mtodo de Sustitucin Consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones y sustituir en laotra. A continuacin explicamos claramente los pasos 1. Se despeja una de las incgnitas en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin. Obtenemos as una ecuacin con una sola incgnita. 3. Se resuelve esta ecuacin. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la ecuacin del paso 1. 5. Se comprueba la solucin en el sistema inicial para asegurarnos de que el resultado es correcto. PRACTICA 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el mtodo de sustitucin 1. x 2y = 3

2

3x + y = - 1 3. 3x - 4y = - 6 3x + 3y = 1 5. 1

4x + 1

5y = 2

x + y = 9

2. 2x + 3y = 12 x 4y = - 5 4. - x + y = -2 3x - 3y = 6

1.3.1.2 Mtodo de Igualacin En este mtodo se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones. Estos son los pasos: 1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones. Resultando as, una ecuacin con una sola incgnita. 3. Se resuelve esta ecuacin. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones del paso 1. 5. Se comprueba la solucin en el sistema inicial para asegurarnos de que el resultado es correcto. PRACTICA 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el mtodo de igualacin 1. 2x - 3y = 1 x 3

2 y = 9

3. 2x +3y = -1 4x 3y = -2

5. 5x + 2y = 1 2x 3y = 23

10

2. 3x + 2y = 4 2x + y = 11

3

4. 2x - 2y = 7 6x + 4y = 1

1.3.1.3 Mtodo de Reduccin En este mtodo se preparan las dos ecuaciones para que una de las incgnitas tenga el mismo coeficiente en ambas pero con distinto signo. Al sumar las ecuaciones nos queda una ecuacin con una sola incgnita. 1) Se preparan convenientemente las dos ecuaciones (multiplicndolas por los nmeros que convenga). 2) Se suman las dos ecuaciones desapareciendo as una incgnita. 3) Se resuelve la ecuacin que resulta. 4) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5) Se comprueba la solucin en el sistema inicial para asegurarnos de que el resultado es correcto. PRCTICA 3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de reduccin 1. 3x + 2y = 4 2y 4 = 3x 3. 2x 2y = 2 5x 5y = 5 5. 1

4x + y = 4

3

x 4y = 83

2. 2x y = -1 2x y = -9 4. 3x + 2y = 5 x + y = 2

1.3.1.4 Mtodo de Gauss El mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tiene n incgnita, la segunda ecuacin tiene n - 1 incgnitas hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas Ejemplo

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuacin a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuacin se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer ms operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuacin:

Sustituyendo z en la segunda ecuacin obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z y en la primera ecuacin obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

1.3.1.5 Mtodo de Gauss Jordan Procedimiento

1. Colocamos los coeficientes en una matriz 2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que

no lo tenga. 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos

adecuados del rengln superior a los renglones debajo de l. 4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.

Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).

5. Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de ste sumando mltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

Ejemplo

Supongamos que tenemos el sistema, para un mejor entendimiento procederamos de la siguiente manera

Primero se colocan los coeficientes en una matriz

De la matriz anterior vamos a la primera fila y procedemos a convertir en cero todos los elementos de la matriz a excepcin de la diagonal principal y la ltima columna mediante adiccin o sustraccin dependiendo del caso

Por ltimo procedemos a convertir en 1 los elementos de la diagonal principal

1.3.1.6 Mtodo de Cramer 1. Calcular el determinante de A. 2. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a. ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes; b. dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita c. continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas. Sistema 2x2 Para aplicar el mtodo de Cramer se deben cumplir las siguientes las siguientes condiciones 1. Que el determinante de la matriz de los coeficientes sea diferente de cero 2. El nmero de ecuaciones sea igual al nmero de incgnitas Para la resolucin de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Se representa matricialmente: Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una divisin de determinantes, de la siguiente manera:

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

Sistema 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una divisin de determinantes:

, , pueden ser encontradas como sigue:

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Los valores de seran:

PRCTICA 4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante los mtodos de Gauss, Gauss-Jordan y Cramer

1. +4 8 = 84 +8 = 768 4 = 110 2. + = 32 +3 = 153 + = 12

x=16 y=2 z=4 x=3 y=3 z=3

3. + 2 = 92 +4 = 42 +6 = 1

x=6 y=-2 z= -5/2

Ejemplo:Resolver el siguiente sistema