15-análisis sísmico con espectro

15.

EL ANÁLISIS DINÁMICO UTILIZANDO CARGAS SÍSMICAS DEL ESPECTRO

DE RESPUESTA Previo a las Computadoras Personales de Costo

Accesible, el Método de Espectro de Respuesta Constituía el Enfoque Estándar para el Análisis Sísmico Lineal

15.1 INTRODUCCIÓN

El método básico de superposición de modo, que está limitado al análisis elástico lineal, produce la respuesta completa (histórica) de desplazamientos de los nudos (uniones) y de las fuerzas en los elementos. En el pasado, ha habido dos grandes desventajas en el uso de este enfoque. En primer lugar, el método produce una gran cantidad de información que puede requerir una cantidad importante de esfuerzo de computación para realizar todos los chequeos de diseño posible como función de tiempo. En segundo lugar, el análisis debe ser repetido para varios movimientos sísmicos diferentes para garantizar que todas las frecuencias fueran excitadas, porque el espectro de respuesta para un sismo en una dirección específica no constituye una función uniforme.

Existen ventajas de computación en el uso del método de espectro de respuesta del análisis sísmico para predecir los desplazamientos y las fuerzas de elemento en sistemas estructurales. El método implica el cálculo de solamente los valores máximos de los desplazamientos y fuerzas de elemento en cada modo

15-2 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

utilizando espectros de diseño uniforme que sean el promedio de varios movimientos sísmicos.

El objetivo de este capítulo es resumir las ecuaciones fundamentales que se usan en el método de espectro de respuesta, y señalar las muchas aproximaciones y limitaciones del método. Por ejemplo, no se puede usar el método de espectro de respuesta para aproximar la respuesta no-lineal de un sistema estructural tridimensional complejo.

El reciente aumento de la velocidad de computadoras ha hecho que sea práctico realizar (correr) muchos análisis de la respuesta (históricos de) en el tiempo en un período corto. Además, ahora es posible efectuar chequeos de diseño como función de tiempo, lo que produce resultados superiores, porque cada elemento no está diseñado para valores pico máximos tal como requiere el método de espectro de respuesta.

15.2 DEFINICIÓN DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA

Para el movimiento sísmico tridimensional, se expresa la Ecuación modal típica (13.6) de la siguiente manera:

gznzgynygxnxn2nnnnn (t)up + (t)up + (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y &&&&&&&&& ωωζ (15.1)

donde los tres Factores de Participación de Modo son definidos por donde i es igual a x, y ó z. Se deben solucionar dos problemas

importantes para obtener la solución de espectro de respuesta aproximada para esta ecuación. En primer lugar, para cada dirección de movimiento del suelo, hay que estimar las fuerzas pico máximas y los desplazamientos máximos. En segundo lugar, después de solucionar la respuesta de las tres direcciones ortogonales, es necesario estimar la respuesta máxima en base a los tres componentes de movimiento sísmico que actúan al mismo tiempo. Esta sección aborda el problema de combinación modal de solamente un componente de movimiento. El (separado) problema de combinar los resultados del movimiento en tres direcciones ortogonales será abordado más tarde en este capítulo.

MinT

ni - = p φ

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA 15-3

Para componentes (aportes) en una dirección solamente, la Ecuación (15.1) se escribe así:

gnin2nnnnn (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y &&&&& ωωζ (15.2)

Dado un movimiento específico de suelo , un valor de amortiguación y asumiendo , es posible solucionar la Ecuación (15.2) para varios valores de

g(t)u&&0.1−=nip

ω y graficar una curva de la respuesta máxima pico . Para esta componente (aporte) de aceleración, por definición, la curva es el espectro de respuesta de desplazamiento para el movimiento sísmico. Habrá una curva diferente para cada valor diferente de amortiguamiento.

MAXy )(ω

Una gráfica de MAXy )(ωω se define como el espectro de pseudo-velocidad, y una gráfica de se define como el espectro de pseudo-aceleración. MAXy )(2 ωω

Las tres curvas - el espectro de respuesta de desplazamiento, el espectro de pseudo-velocidad, y el espectro de pseudo-aceleración – normalmente son graficadas como una curva en papel especial de registro. (Sin embargo, los pseudo-valores tienen un significado físico mínimo, y no constituyen una parte imprescindible de un análisis de espectro de respuesta). Los valores (correctos) de la velocidad y de la aceleración máximas deben ser calculados en base a la solución de la Ecuación (15.2).

Sin embargo, existe una relación matemática entre el espectro de pseudo-aceleración y el espectro de aceleración total. La aceleración total de la masa unitaria con un sistema de grado de libertad simple, regida por la Ecuación (15.2), se expresa así:

gT tutytu )()()( &&&&&& += (15.3)

La Ecuación (15.2) puede ser solucionada para y ser sustituida en la

Ecuación (15.3) para producir lo siguiente:

)(ty&&

)(2)()( 2 tytytu T &&& ξω−ω−= (15.4)

Por tanto, para el caso especial de amortiguamiento nulo, la aceleración total del sistema es igual a . Por esta razón, normalmente no se grafica la )(2 tyω


curva del espectro de respuesta de desplazamiento como un desplazamiento modal versus MAXy )(ω ω . Es costumbre presentar la curva en términos de S( )ω versus un período T en segundos, donde:

MAXa yS )()( 2 ωω=ω y ωπ

=2T (15.5a y 15.5b)

La curva del espectro de pseudo-aceleración, a)(ωS , tiene las unidades de aceleración versus período que tiene alguna importancia física solamente para el caso cero amortiguamiento nulo (solamente). Es evidente que todas las curvas del espectro de respuesta representan las propiedades del sismo en un sitio específico, y no son funciones de las propiedades del sistema estructural. Después de hacer un estimado de las propiedades del amortiguamiento viscoso lineal de la estructura, se selecciona una curva específica del espectro de respuesta.

15.3 CÁLCULO DE RESPUESTA MODAL

Ahora se puede calcular el desplazamiento modal máximo de un modelo estructural con un modo típico n con período T y un correspondiente valor de respuesta de espectro de

n

S n( )ω . La máxima respuesta modal asociada al período T se expresa así: n

2)(

)(n

nMAXn

STy

ωω

= (15.6)

La máxima respuesta de desplazamiento modal del modelo estructural se calcula en base a:

nMAXnn Ty φ= )(u (15.7)

Las correspondientes fuerzas modales internas, , se calculan en base al análisis estructural de matriz estándar, utilizando las mismas ecuaciones que se requieren para el análisis estático.

knf


15.4 CURVAS TÍPICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

La Figura 15.1 presenta un segmento de diez segundos de los movimientos sísmicos de Loma Prieta registrados en un sitio uniforme en el Area de la Bahía de San Francisco. El registro ha sido corregido utilizando un algoritmo iterativo para cero desplazamiento, cero velocidad y cero aceleración al inicio y al final del registro de diez segundos. Para los movimientos sísmicos presentados en la Figura 15.1a, las curvas del espectro de respuesta para el desplazamiento y para la pseudo-aceleración se resumen en las Figuras 15.2a y 15.2b.

Las curvas de velocidad han sido omitidas de manera intencional porque no forman parte imprescindible del método de espectro de respuesta. Además, se necesitaría mucho espacio para definir claramente los términos tales como velocidad pico de suelo, espectro de pseudo-velocidad, espectro de velocidad relativa, y espectro de velocidad absoluta.

Figura 15.1a Típica Aceleración Sísmica de Suelo – Porcentaje de Gravedad

TIME - seconds

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1TIME - seconds

- 12

- 10

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

0

Figura 15.1b Típicos Desplazamientos Sísmicos de Suelo – Pulgadas

0 1 2 3 4 5PERIOD - Seconds

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1.0 Percent Damping 5.0 Percent Damping

Figura 15.2a Espectro de Desplazamiento Relativo MAXy )(ω - Pulgadas


0 1 2 3 4 5

PERIOD - Seconds

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.0 Percent Damping 5.0 Percent Damping

Figure 15.2b Espectro de Pseudo-Aceleración, S - Porcentaje de la Gravedad

MAXa y )(2 ωω=

La máxima aceleración de suelo para el sismo que define la Figura 15.1a es el 20.01 % de la gravedad a 2.92 segundos. Es importante notar que el espectro de pseudo-aceleración que se presenta en la Figura 15.2b tiene el mismo valor para un sistema de período muy corto. Esto es así por el hecho físico de que una estructura muy rígida se mueve como una masa rígida, y los desplazamientos relativos dentro de la estructura son iguales a cero, según lo indica la Figura 15.2a. También, el comportamiento de una estructura rígida no es una función del valor del amortiguamiento viscoso.

El máximo desplazamiento de suelo indicado en la Figura 15.1b es de -11.62 pulgadas a 1.97 segundos. Para sistemas de período largo, la masa de la estructura de un grado de libertad no se mueve de manera significativa, y posee un desplazamiento absoluto de aproximadamente cero. Por lo tanto, las curvas del espectro de desplazamiento relativo que se indican en la Figura 15.2a convergen a 11.62 pulgadas durante largos períodos, y para todos los valores del amortiguamiento. Este tipo de comportamiento físico real es fundamental para el diseño de estructuras de base aislada.


El espectro de desplazamiento relativo, Figura 15.2a, y el espectro de aceleración absoluta, Figura 15.2b, son físicamente significativos. Sin embargo, el máximo desplazamiento relativo es directamente proporcional a las fuerzas máximas desarrolladas en la estructura. Para ese sismo, el máximo desplazamiento relativo es de 18.9 pulgadas a un período de 1.6 segundos para el 1 % (porciento) de amortiguación y 16.0 pulgadas a un período de 4 segundos para una amortiguación del 5 % (porciento). Es importante notar la diferencia significativa entre el amortiguamiento del 1 y del 5 % (porciento) para este tipo de sitio blando típico.

Figura 15.2b, el espectro de aceleración absoluta, indica valores máximos a un período de 0.64 segundos para ambos valores de amortiguamiento. También, la multiplicación por tiende a eliminar completamente la información que contiene en el rango del período largo. Ya que la mayoría de las fallas estructurales durante sismos recientes han sido asociadas con sitios blandos, tal vez deberíamos considerar el uso del espectro de desplazamiento relativo como la forma fundamental de seleccionar un sismo de diseño. La parte de la curva de alta frecuencia y corto período siempre debe ser definida por lo siguiente:

ω 2

2/)( ωω MAXgMAX uy &&= ó 2

2

4)(

π=

TuTy MAXgMAX && (15.8)

donde es la aceleración pico del suelo. MAXgu&&

15.5 EL MÉTODO CQC DE COMBINACIÓN MODAL

El método más conservador que se usa para estimar un valor pico de desplazamiento ó fuerza dentro de una estructura es usar la suma de los valores absolutos de respuesta modal. Este enfoque asume que los valores máximos modales para todos los modos ocurren en el mismo instante (punto en el tiempo).

Otro enfoque muy común es el uso de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS (por sus siglas en inglés), sobre los valores máximos modales para estimar los valores de los desplazamientos o de las fuerzas. El método SRSS asume que todos los valores máximos modales son


estadísticamente independientes. Para estructuras tridimensionales donde un gran número de frecuencias son casi idénticas, no se justifica esta suposición.

El método relativamente nuevo de combinación modal es la Combinación Cuadrática Completa, CQC, un método [1] que fue publicado por primera vez en el año 1981. Se basa en la teoría de vibraciones aleatorias, logrando gran aceptación entre la mayoría de los ingenieros, y ha sido integrado como opción en la mayoría de los programas modernos de computadora para el análisis sísmico. Debido a que muchos ingenieros y códigos de construcción no requieren el uso del método CQC, uno de los propósitos de este capítulo es explicar mediante ejemplo las ventajas del uso del método CQC, e ilustrar los potenciales problemas del uso del método SRSS de combinación modal.

El valor pico de una fuerza típica ahora puede ser estimado en base a los valores máximos modales, utilizando el método CQC con la aplicación de la siguiente ecuación de suma doble:

∑∑=n m

mmnn ffF ρ (15.9)

donde es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicación de suma se realiza sobre todos los modos. Se pueden aplicar ecuaciones similares a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, y cortantes de base y momentos de vuelco.

nf

Los coeficientes de modales transversales, nmρ , para el método CQC con amortiguación constante, son como sigue:

2222

2/32

)1(4)1()1(8

rrrrr

nm ++−+

=ζ

ζρ (15.10)

donde r n= mω ω/ y debe ser igual a o menor de 1.0. Es importante notar que el arreglo de coeficientes de modo transversal es simétrico, y que todos los términos son positivos.


15.6 EJEMPLO NUMÉRICO DE COMBINACIÓN MODAL

Los problemas asociados con el uso de la suma absoluta y el SRSS de la combinación modal pueden ser ilustrados mediante su aplicación al edificio de cuatro pisos que se presenta en la Figura 15.3. El edificio es simétrico; sin embargo, el centro de masa de todos los pisos está ubicada a unas 25 pulgadas desde el centro geométrico del edificio.

Figura15.3 Un Ejemplo Sencillo de Edificio Tridimensional

La Figura 15.4 resume la dirección del movimiento sísmico aplicado, una tabla de las frecuencias naturales, y la dirección principal de la forma de modo.


Figura 15.4 Frecuencias y Direcciones Aproximadas de las Formas de Modo

Se nota la cercanía de las frecuencias que es típico de la mayoría de las estructuras de edificios tridimensionales que están diseñados para resistir sismos desde ambas direcciones por igual. Debido a la pequeña excentricidad de masa, lo cual es normal en estructuras reales, la forma del modo fundamental posee x, y, además de componentes de torsión. Por lo tanto, el modelo representa un sistema muy común de edificio tridimensional. También, Note que no existe una forma de modo en una dirección particular dada, tal como se implica en muchos códigos de construcción y en algunos textos sobre la dinámica elemental.

El edificio estuvo sometido a una componente del sismo Taft del 1952. Se realizó un análisis en función del tiempo (histórico de tiempo preciso) utilizando los 12 modos y un análisis de espectro de respuesta. La Figura 15.5 presenta los cortantes basales máximos modal en los cuatro pórticos para los primeros cinco modos.

La Figura 15.6 resume los máximos cortantes de base en cada uno de los cuatro pórticos, utilizando métodos diferentes. Son exactos los cortantes basales en historia de tiempo, que se presentan en la Figura 15.6a. El método SRSS, de la Figura 15.6b, produce cortantes de base que subestiman los valores exactos en la dirección de las cargas en aproximadamente un 30 % (porciento), y sobre


estiman los cortantes de base normales a las cargas por un factor de 10. La suma de los valores absolutos, Figura 15.6c, sobre estima de manera exagerada todos los resultados. El método CQC , Figura 15.6d, produce valores muy realistas que se acercan a la solución exacta de historia de tiempo.

Fig 15.5 Cortante de Base en cada Pórtico para los Primeros Cinco Modos


Fig 15.6 Comparación de Métodos de Combinación Modal

La Tabla 15.1 resume los coeficientes de correlación transversal modal para este edificio. Es importante notar la existencia de términos relativamente grandes fuera de la diagonal, que indican cuáles modos están acoplados.

Tabla 15.1 Coeficientes de Correlación Transversal Modal ζ = 0 05.

Mode 1 2 3 4 5 nω (rad/sec)

1 1.000 0.998 0.006 0.006 0.004 13.87

2 0.998 1.000 0.006 0.006 0.004 13.93

3 0.006 0.006 1.000 0.998 0.180 43.99

4 0.006 0.006 0.998 1.000 0.186 44.19

5 0.004 0.004 0.180 0.186 1.000 54.42

Si se notan las señales de los cortantes de base modales que se presentan en la Figura 15.3, es evidente cómo la aplicación del método CQC permite que la suma de las cortantes de base en la dirección del movimiento externo sea agregada directamente. Además, la suma de los cortantes de base, normales al movimiento externo, tienden a cancelarse. La capacidad del método CQC de reconocer el signo relativo de los términos en la respuesta modal representa la clave para la eliminación de errores en el método SRSS.

15.7 ESPECTROS DE DISEÑO

Los espectros de diseño no son curvas irregulares tal como se indica en la Figura 15.2, porque están dirigidos a constituir el promedio de muchos sismos. En la actualidad, muchos códigos de construcción especifican espectros de diseño en la forma mostrada en la Figura 15.7.


0 2 4 6 8 10

PERIOD - Seconds

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Nor

mal

lized

Pse

udo

Acc

eler

atio

n

Figura 15.7 Espectro de Diseño Típico

El Código Uniforme de la Construcción define ecuaciones específicas para cada rango de la curva del espectro para cuatro tipos de suelo diferentes. Para estructuras grandes, en la actualidad es común desarrollar un espectro de diseño dependiente del sitio que incluya el efecto de las condiciones locales del suelo y la distancia a las fallas más cercanas.

15.8 EFECTOS ORTOGONALES EN EL ANÁLISIS (DE) ESPECTRAL

Una estructura bien diseñada debe ser capaz de resistir igualmente movimientos sísmicos desde toda dirección posible. Una opción en los códigos de diseño existentes para edificios y puentes requiere que los elementos sean diseñados para “el 100 % (porciento) de las fuerzas sísmicas prescritos en una dirección, más el 30 % (porciento) de las fuerzas prescritas en la dirección perpendicular.” Otros códigos y otras organizaciones requieren el uso de un 40 % (porciento) en vez del 30 % (porciento). Sin embargo, no dan ninguna indicación de la manera de determinar las direcciones para estructuras complejas. Para estructuras rectangulares con direcciones principales


claramente definidas, estas reglas de “porcentaje” producen aproximadamente los mismos resultados que el método SRSS.

Para estructuras complejas tridimensionales, tales como edificios no-rectangulares, puentes arqueados, presas arqueadas o sistemas de tubería, no es aparente la dirección del sismo que produce los esfuerzos máximos en un elemento particular o en un punto específico. Para datos de historia de tiempo, es posible realizar un gran número de análisis dinámicos en varios ángulos de aportes para revisar todos los puntos correspondientes a las direcciones sísmicas críticas. Un estudio tan elaborado concebiblemente produce una dirección crítica diferente para cada esfuerzo evaluado. Sin embargo, el costo de dicho estudio sería prohibitivo.

Es razonable suponer que los movimientos que tienen lugar durante un sismo tengan una dirección principal [2]. O, durante un plazo finito de tiempo cuando ocurre la máxima aceleración del suelo, existe una dirección principal. Para la mayoría de las estructuras, dicha dirección se desconoce, y para la mayoría de los sitios geográficos no puede ser estimada. Por tanto, el único criterio racional de diseño sísmico es que la estructura debe resisitir un sísmo de una magnitud dada desde cualquier dirección posible. Además del movimiento en la dirección principal, existe una probabilidad de que los movimientos perpendiculares a dicha dirección ocurran simultáneamente. Además, debido a la complejidad de la propagación de una onda tri-dimensional, es válido suponer que dichos movimientos normales son estadísticamente independientes.

En base a estas suposiciones, una declaración del criterio de diseño es que “una estructura debe resistir un movimiento sísmico fuerte de una magnitud

para todos los ángulos 1S θ que sean posibles, y en el mismo punto en tiempo deben resistir movimientos sísmicos de una magnitud a (en) 90º con resultante en un ángulo

2Sθ .” La Figura 15.1 presenta estos movimientos de

manera esquemática.


15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales

El criterio de diseño declarado implica el hecho de que un elevado número de análisis diferentes debe ser realizado para determinar las fuerzas y los esfuerzos máximos de diseño. Se demostrará en esta sección que los valores máximos para todos los elementos pueden ser evaluados de manera exacta en base a un ejercicio computarizado en el cual se apliquen dos movimientos dinámicos globales. Además, las fuerzas máximas de elemento calculadas no varían con respecto al sistema de selección.

Figura 15.8 Definición de Entrada del Espectro Sísmico

La Figura 15.8 indica que las acciones básicas del espectro y se aplican a un ángulo arbitrario . En algún punto típico dentro de la estructura, estas acciones producen una fuerza, un esfuerzo o un desplazamiento

S1 S2

θF . Para

simplificar el análisis, se asumirá que la entrada de espectro menor sea una fracción de la entrada del espectro mayor. O:

S = S 12 a (15.11)

donde a es un número entre 0 y 1.0.

Recientemente Menun y Der Kiureghian [3] presentaron el método CQC3 para la combinación de los efectos del espectro ortogonal.

La ecuación fundamental CQC3 para el estimado de un valor pico es como sigue:

21

2900

2

2290

20

2290

220

]cossin)1(2

sin)()1([

zFFa

FFaFaFF

+θθ−+

θ−−−+=

−

(15.12)


donde,

∑∑ ρ=n m

mmnn ffF 002

0 (15.13)

∑∑ ρ=n m

mmnn ffF 90902

90 (15.14)

∑∑ ρ=−n m

mmnn ffF 900900 (15.15)

∑∑ ρ=n m

mzmnnzZ ffF2 (15.16)

donde y son los valores modales producidos por el 100% del espectro lateral aplicado en 0 y 90 grados respectivamente, y es la respuesta modal del espectro vertical que puede ser diferente del espectro lateral.

nf0 nf90

nzf

Es importante notar que, para los espectros constantes (iguales) a = 1 , el valor F no es una función de θ y la selección del sistema de referencia de análisis es arbitraria. Esto es:

220 zMAX FFFF +2

90+ = (15.17)

Esto indica que es posible realizar solamente un análisis con cualquier sistema de referencia, y la estructura que resulta tendrá todos los elementos que sean diseñados para resistir de manera igual los movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles. Este método es aceptable según la mayoría de los códigos de construcción.

15.8.2 El Método General CQC3

Para a = 1 , el método CQC3 se reduce al método SRSS. Sin embargo, esto puede ser excesivamente conservador porque no se han registrado movimientos reales del suelo de valores iguales en todas las direcciones. Normalmente el valor de θ en la Ecuación (15.12) se desconoce; por lo tanto, es necesario calcular el ángulo crítico que produzca la máxima respuesta. La


diferenciación de la Ecuación (15.12) y fijando los resultados a cero produce lo siguiente:

]2

[tan21

290

20

9001

FFF

cr −=θ −− (15.18)

Existen dos raíces para la Ecuación (15.17) que deben ser revisadas para que la siguiente ecuación sea máxima:

21

2900

2

2290

20

2290

220

]cossin)1(2

sin)()1([

zcrcr

crMAX

FFa

FFaFaFF

+θθ−−

θ−−−+=

−

(15.19)

En la actualidad no existen recomendaciones con (se han recomendado ningunas) pautas específicas para el valor de a. La referencia [3] presentó un ejemplo con valores a entre 0.50 y 0.85.

15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales

La teoría anteriormente presentada indica claramente que la regla de combinación CQC3, donde a es equivalente a 1.0, es idéntica al método SRSS, y produce resultados para todos los sistemas estructurales que no sea una función del sistema de referencia que utilice el ingeniero. Se presentará un ejemplo para demostrar las ventajas del método. La Figura 15.9 ilustra una estructura muy sencilla de un solo piso que fue seleccionada para comparar los resultados de las reglas de porcentaje 100/30 y 100/40 con la regla SRSS.


0

Y

X

X = Y = 106.065 ft.

X = Y = 70.717 ft.

X = 100 ft. X = 150 ft.

1 2

3

4

3

2

3

2

3 2

3 2

Sym.

Figura 15.9 Estructura Tridimensional

Note que las masas no están ubicadas en el centro geométrico de la estructura. Dicha estructura tiene dos traslaciones y un grado-de-libertad de rotación ubicado en el centro de masa. Las columnas, que quedan sujetas a flexión alrededor de los ejes locales 2 y 3, están simplemente apoyadas en el extremo superior donde se conectan (están conectadas) a un diafragma rígido en el plano.

La Tabla 15.2 resume los períodos y las fuerzas cortantes en la base normalizadas asociadas con las formas de modo. Debido a que la estructura tiene un plano de simetría en 22.5 grados, el segundo modo no tiene torsión, y tiene un cortante de base normalizado en 22.5 grados con el eje x. Debido a esta simetría, es evidente que las columnas 1 y 3 (o las columnas 2 y 4) deben ser diseñadas para las mismas fuerzas.

Tabla 15.2 Períodos y Cortante de Base Normalizado

Modo Períodos (Segundos)

Fuerza X Fuerza Y Dirección del Cortante de

Base (Grados)

1 1.047 0.383 -0.924 -67.5

2 0.777 -0.382 0.924 112.5


Modo Períodos (Segundos)

Fuerza X Fuerza Y Dirección del Cortante de

Base (Grados)

3 0.769 0.924 0.383 22.5

La Tabla 15.3 presenta la definición del espectro de respuesta del desplazamiento promedio que se usa en el análisis espectral.

Tabla 15.3 Masas Participantes y Espectro de Respuesta Usado

Modo Período

(Segundos) Masa X Masa Y Valor de

Espectro Usado para el Análisis

1 1.047 12.02 70.05 1.00

2 0.777 2.62 15.31 1.00

3 0.769 85.36 14.64 1.00

Los momentos alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro columnas para el espectro aplicado por separado en 0.0 y 90 grados se presentan en las Tablas 15.4 y 15.5, donde se comparan a la regla 100/30.

Tabla 15.4 Momentos Alrededor del Ejes 2– SRSS vs. Regla 100/30

Elemento M0 M90 = MSRSS

M + M 902

02

M100/30 Error(%)

1 0.742 1.750 1.901 1.973 3.8

2 1.113 2.463 2.703 2.797 3.5

3 0.940 1.652 1.901 1.934 1.8

4 1.131 2.455 2.703 2.794 3.4


Tabla 15.5 Momentos Alrededor del Ejes 3 – SRSS vs. Regla 100/30


M + M 902

02

M100/30 Error(%)

1 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4

2 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4

3 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8

4 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8

Para este ejemplo, las fuerzas máximas no varían de manera significativa entre los dos métodos. Sin embargo, sí ilustra el hecho de que el método de combinación 100/30 produce momentos que no son simétricos, mientras que el método de combinación SRSS produce momentos lógicos y simétricos. Por ejemplo, el elemento 4 sería sobre-diseñado en un 3.4 % alrededor del eje local 2, y sería sub-diseñado en un 7. % alrededor del eje local 3, si se utilizara la regla de combinación 100/30.

Las Tablas 15.6 y 15.7 resumen los momentos de diseño SRSS y 100/40 alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro columnas.

Tabla 15.6 Momentos alrededor del Ejes 2 – SRSS vs. Regla 100/40


M + M 902

02

M100/40 Error(%)

1 0.742 1.750 1.901 2.047 7.7

2 1.113 2.463 2.703 2.908 7.6

3 0.940 1.652 1.901 2.028 1.2

4 1.131 2.455 2.703 2.907 7.5


Tabla 15.7 Momentos Alrededor del Ejes 3 – SRS vs. Regla 100/40


M + M 902

02

M100/40 Error(%)

1 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9

2 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9

3 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8

4 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8

Los resultados que se presentan en las Tablas 15.6 y 15.7 también ilustran que el método de combinación 100/40 produce resultados que no son razonables. Debido a la simetría, los elementos 1 y 3, y los elementos 2 y 4 deben ser diseñados para los mismos momentos. Ni la regla 100/30 ni la regla 100/40 logra pasar esta prueba sencilla.

Si un ingeniero estructural desea ser conservador, los resultados de la regla de combinación direccional SRSS o el espectro de entrada pueden ser multiplicados por un factor adicional mayor de uno. No se debe intentar justificar el uso de la regla de porcentaje 100/40 porque es conservadora “en la mayoría de los casos.” Para estructuras complejas tridimensionales, el uso de la regla de porcentaje 100/40 o 100/30 produce diseños de elementos que no son igualmente resistentes a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles.

15.8.4 Recomendaciones Sobre Efectos Ortogonales

Para el análisis de espectros de respuesta tridimensionales, se ha demostrado que “el diseño de elementos para el 100 % de las fuerzas sísmicas prescritas en una dirección más el 30 o el 40 % de las fuerzas prescritas aplicadas en dirección perpendicular” depende de la selección del sistema de referencia por parte del usuario. Estas “reglas de combinación porcentual” de uso común son empíricas, y pueden subestimar las fuerzas de diseño en ciertos elementos, y pueden producir un diseño de un elemento que sea relativamente débil en una dirección. Se ha demostrado que el método alternativo aprobado del código de construcción, donde una combinación SRSS de dos análisis de espectro del 100


con respecto a cualquier eje ortogonal definido por el usuario, produce fuerzas de diseño que no sean una función del sistema de referencia. Por lo tanto, el diseño estructural que resulta posee igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones.

Se debe usar el método CQC3 si se puede justificar un valor a de menos de 1.0. Esto producirá resultados realistas que no son una función del sistema de referencia selecionado por el usuario.

15.9 LIMITACIONES DEL MÉTODO DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Es evidente que el uso del método de espectro de respuesta tiene limitaciones, algunas de las cuales pueden ser eliminadas si se desarrolla más. Sin embargo, nunca será preciso para el análisis no-lineal de estructuras de múltiples grados de libertad. El autor cree que en el futuro se llevarán a cabo más análisis de la respuesta dinámica en función del (de historia de) tiempo, y que se evitarán las múltiples aproximaciones asociadas al uso del método de espectro de respuesta. Algunas de estas limitaciones adicionales serán abordadas en esta sección.

15.9.1 Cálculos de la Deriva de Pisos

Todo desplazamiento producido por el método de espectro de respuesta son números positivos. Por tanto, una gráfica de una forma dinámica desplazada tiene poco significado porque cada desplazamiento constituye un estimado del valor máximo. Se usan desplazamientos entre-pisos para estimar los daños de elementos no-estructurales y no pueden ser calculados directamente en base a los probables valores pico de desplazamiento. Un método sencillo para obtener un probable valor pico de deformación cortante es colocar un elemento de panel muy fino, con un módulo de cortante unitario , en el área donde se debe calcular la deformación. El valor pico del esfuerzo cortante sería un buen estimado del índice de daño. El código actual sugiere un valor máximo de 0.0005 de la relación de deriva , que es igual que la deformación cortante de panel si se descuidan los desplazamientos verticales.


15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas

La ecuación fundamental para el cálculo de los esfuerzos dentro de la sección transversal de una viga es la siguiente:

x

x

y

y

IyM

IxM

AP

++=σ (15.20)

Esta ecuación puede ser evaluada para un punto específico x , y en la sección transversal, y para el cálculo de las fuerzas axiales máximas de espectro y para los momentos máximos, que son todos valores positivos. Es evidente que el esfuerzo que resulta podría ser conservador porque es probable que no todas las fuerzas obtengan sus valores pico al mismo tiempo.

Para el análisis de espectro de respuesta, el enfoque correcto y preciso para la evaluación de la ecuación (15.20) es evaluar la ecuación para cada modo de vibración. Esto toma en consideración los signos relativos de fuerzas axiales y momentos en cada modo. Luego se puede calcular un valor preciso del esfuerzo máximo en base a los esfuerzos modales utilizando el método de doble suma CQC. La experiencia del autor con estructuras grandes tridimensionales indica que los esfuerzos calculados en base a los esfuerzos modales pueden ser menos del 50 % del valor calculado utilizando valores pico máximos de momentos y de fuerza axial.

15.9.3 Revisiones de Diseño para Vigas de Acero y Concreto

Desafortunadamente, la mayoría de las ecuaciones para revisión de diseño de estructuras de acero están redactadas en términos de “relaciones de fuerza de diseño” que son una función no-lineal de la fuerza axial en el elemento; por lo tanto, no se pueden calcular las relaciones en cada modo. El autor propone un nuevo método de aproximación para sustituir el enfoque vanguardista de calcular las relaciones de fuerza en base a los valores máximos pico de las fuerzas del elemento. Esto implica en primer lugar el cálculo de la fuerza máxima axial. Luego se evaluarían las relaciones de diseño modo por modo, asumiendo que el factor de reducción máxima de fuerza axial permanezca constante para todos los modos. Luego se estimaría la relación de diseño para el elemento utilizando un método de combinación modal de doble suma, como


por ejemplo el método CQC3. Este enfoque mejora la precisión a la vez de que sigue siendo conservador.

Para estructuras de concreto, se requiere desarrollo de trabajo adicional para desarrollar de un método completamente racional para el uso de fuerzas de espectro máximas en una ecuación de revisión de diseño debido al comportamiento no-lineal de los elementos de concreto. Un análisis en función del (de historia de) tiempo podría ser el único enfoque que produzca fuerzas racionales de diseño.

15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos

Con respecto al problema interesante de calcular la fuerza máxima cortante en un perno, no es correcto estimar la fuerza máxima cortante en base a una suma de vector porque los cortantes x e y no obtienen sus valores pico al mismo tiempo. Un método correcto de estimar el cortante máximo en un perno es (to) (para) revisar el cortante máximo del perno en varios ángulos diferentes alrededor del eje del perno. Esto constituiría un enfoque tedioso utilizando cálculos manuales; sin embargo, si el enfoque se integra en un programa de computadora pos-procesador, el tiempo de computación para calcular la fuerza máxima del perno sería trivial.

El mismo problema existe si se deben calcular los esfuerzos principales en base a un análisis de espectro de respuesta. Hay que chequear en diferentes ángulos para estimar el valor máximo y mínimo del esfuerzo en cada punto de la estructura.

15.10 RESUMEN En este capítulo se ha ilustrado que el método de espectro de respuesta para el análisis dinámico debe ser utilizado cuidadosamente. Se debe usar el método CQC para la combinación modal máxima para minimizar la introducción de errores evitables. El aumento del esfuerzo de computación, en comparación con el método SRSS, es pequeño en comparación con el tiempo total de computadora para un análisis sísmico. El método CQC posee una base teórica sana, y ha sido aceptado por la mayoría de los expertos en la ingeniería


sísmica. No se puede justificar el uso de la suma absoluta o el método SRSS para la combinación modal.

En otro orden, para que una estructura tenga igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones, se debe usar el método CQC3 para combinar los efectos de los espectros sísmicos aplicados en tres dimensiones. Los métodos de la regla del porcentaje carecen de base teórica, y no son invariables en cuanto al sistema de referencia.

Sin embargo, los ingenieros deben comprender claramente que el método de espectro de respuesta constituye un método aproximado que se usa para estimar los valores pico máximos de desplazamientos y fuerzas, y que posee limitaciones significativas. Este se limita al análisis elástico lineal donde las propiedades del amortiguamiento solamente pueden ser estimados con un bajo grado de confianza. El uso de espectros no-lineales, una práctica común, tiene muy pocos antecedentes teóricos, y este enfoque no debe ser aplicado en el análisis de estructuras complejas tridimensionales. Para dichas estructuras, se debe usar la respuesta de historia de tiempo no-lineal verdaderas, según lo indicado en el Capítulo 19.

15.11 REFERENCIAS

1. Wilson, E. L., A. Der Kiureghian and E. R. Bayo. 1981. "A

Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 9. pp. l87-l92.

2. Penzien, J., and M. Watabe. 1975. "Characteristics of 3-D Earthquake Ground Motions," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 3. pp. 365-373.

3. Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. “A Replacement for the 30 % Rule for Multicomponent Excitation,” Earthquake Spectra. Vol. 13, Number 1. February.

15-análisis sísmico con espectro

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