+40 -----shy - - --shy --------shy

+30

+20

+10

o

- 10

-20

-30

-40

-50

(

Con el nuacutemero +30 indicamos la posishycioacuten del cientiacutefico en el globo iquestQueacute nuacuteshymeros asignariacuteas al helicoacuteptero al barco

iquestCon queacute tipo de nuacutemeros podriacuteas expresar la posicioacuten

de cada objeto con relacioacuten al nivel del mar iquestY sus

posibles movimientos Comprobaraacutes que los nuacutemeros naturales (O 1 2 3 ) no bastan Necesitaraacutes unos

nuacutemeros nuevos los negativos

y al batiscafo

Desde el globo se deja caer una sonda que se situacutea a 20 metros de profundidad (-20) iquestCuaacutel es la longitud de la cuerda

iquestCuaacutel es la diferencia de altura entre el globo yel batiscafo iquestY entre el batiscafo y el barco hundido

l Los nuacutemeros enteros

I

nles de comenzar recuerda Coacutemo ordenar los nuacutemeros 118turales en la recta numeacuterica

Algunas teacutecnicas para IDS caacutelculos en las expresiones con sumas v restas

El significado de los pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un resultado todo lo que lleva dentro

En queacute orden han de hacerse las operaciones

bull Primero los pareacutentesis

bull Despueacutes las multiplicaciones y las divisiones

bull Y por uacuteltimo las sumas y las restas

Ejemplo

El nuacutemero 19 estaacute a la izquierda de 2l 19 es menor que 21

I I ~ bull I li T I bull I I ~1~ I [eacutel I

1 iquestQueacute nuacutemeros asocias a los puntoS A y B de la recta

iquestYa los puntos C y D

EJemplo

15 - 7 + 6 - 8 - 4 = 15 + 6 - 7 - 8 - 4 = ~ Nos dan 15 y 6

nos quitan 7 8 Y 4

= 21 - 19 = 2 ~ En total nos dan 21 y nos quitan 19 Salimos ganando 2

2 Calcula el valor de estas expresiones

a) 20 - 8 - 3 + 5 b)18-15+6-7+8-5

c) 9 - 12 + 11 - 4 - 3 d) 7 + 12 - 5 + 3 - 10

Ejemplo

12 - 7 + 3 = 5 + 3 = 8 12j 12_102 ~j

28

3 Calcula y compara

a) 15 - 8 + 4 b)15-(8+4)

c) 20 - 11 - 4 d) 20 - (11 - 4)

Ejemplo

(5 + 3) 2 = 8 2 = 16

BIEN

5+3middot2=5+6=11

BIEN

4 Opera

a) 6 + 2 4 b) (6 + 2) middot4 c) 5 3 + 2 4 - 3 6

d) 15 - 7middot2 e) (15-7)middot2 f) 25 - (4 2) 3 + 8

uacutemeros positivos Vnegativos

-

Los nuacutemeros naturales se utilizan para expresar matemaacuteticamente multitud de situaciones cotidianas Sin embargo a veces no sirven para cuantificar las situeacute shyciones contrarias asociadas En esos casos es necesaria la utilizacioacuten de los m shymeros negativos

Por ejemplo

bull Estamos a ocho grados centiacutegrados ~ GIJ --7 No natural

Estamos a ocho bajo cero 8J --7 N o negativo

bull Juliaacuten gana 20 euros 1+20 I --7 NO natural

Juliaacuten gasta 20 euros 1-201 --7 Ndeg negativo

bull Llamamos nuacutemeros negativos a los que estaacuten por debajo del cero

bull Los nuacutemeros negativos se escriben precedidos del signo menos

-1 -2 -3 -4 -5

bull Cuando un nuacutemero no lleva signo entendemos que es positivo

3 = +3 +15=15

bull Cuando se plantean operaciones con nuacutemeros negativos estos se suelen escribir entre pareacutentesis

5 + (-2) --7 El nuacutemero positivo 5 se suma con el negativo -2

(-4) (-3) --7 El nuacutemero negativo -4 se multiplica por el negativo -3

UlIIidad de los nuacutemeros positivos vnegativos

bull Los nuacutemeros positivos y los nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidashydes o posiciones fijas

~ Ejemplos

bull En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un soacutetano

Sexto piso ~ +6

Segundo soacutetano ~ -2

bull Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en nuacutemeros rojos (negativo)

Rosa tiene ciento cincuenta euros ~ + 150

Francisco debe ochenta y cinco euros ~ -85

TRASTERO

VIVIE NDA

VIVI ENDA

ACADE MI A

PELUQU ERiacuteA

TIENDA

GI MN ASIO

Los nuacutemeros positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de cantidad

Ejemplos

bull Con el ascensor del ediftcio puedes subir o bajar a otra planta

Subes del segundo al quinto (tres plantas)

Bajas del tercer piso al segundo soacutetano (cinco plantas) ~ -5

bull La temperatura que marca el termoacutemetro sufre variaciones

Hace maacutes calor El termoacutemetro ha subido dos grados

Estaacute refrescando El termoacutemetro ha bajado dos grados

~

~

+2

-2

Describe tres situaciones en las que se hace necesario e uso de nuacutemeros negativos Por ejemplo para expresar las lecturas de termoacutemetro de ambiente

Escribe tres elementos maacutes en cada una de las sigui enshy(es series numeacutericas

a) 0 1 -12 -2

b) 6420 -2

c) 20 15 10 50

d) -21 -20 -18 -15 -11

e) 8 7 5 2 -2

Asocia un nuacutemero positivo o negativo a cada uno de

los enunciados siguientes

a) Mercedes tiene en e banco 2500 euros

b) Miguel debe 150 euros

c) Vivo en el seacuteptimo piso

d) Tengo el coche aparcado en el segundo soacutetano

e) El termoacutemetro marca 18 oc f) El termoacutemetro marca tres grados bajo cero

g) Tengo un billete de 10 euro

h) Debo 2 euro a un amigo

Expresa numeacutericamente cada enunciado

a) He ganado 60 euro con una quiniela

b) He pagado una factura de 60 euro

c) El termoacutemetro ha subido cinco grados

d) El termoacutemetro ha bajado cinco grados

e) El ascensor ha subido cuatro plantas

f) El ascensor ha bajado cuatro plantas

g) He perdido una moneda de 2 euro

Expresa con un nuacutemero los saltos en cada escalera

Escribe un nuacutemero para cada movimiento en la recta

o 5 10 15

Asocia un nuacutemero a cada enunciado

a) La temperatura ha bajado de 21 degC a 18 oc b) He subido del segundo soacutetano al segundo piso

c) La semana pasada teniacutea 37 euro en la hucha y ahora solo tengo 34 euro

d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora a mediodiacutea tenemos 3 oc

I coniunto de los nuacutemeros enteros

O bserva El conjunto ~ no tiene ni principio ni fin Siempre se pueden encontrar maacutes positivos a la derecha y maacutes neshygativos a la izquierda

El conjunto z

Si al conjunto IN de los nuacutemeros naturales le antildeadimos los correspondientes nuacuteshymeros negativos obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemaacuteticas coshymo conjunto de los nuacutemeros enteros y se designa por la letra e

El conjunto 7L de los nuacutemeros enteros estaacute formado por

bull Los naturales que son los positivos ) +1 +2 +3 +4

bull El cero O

bull Los correspondientes negativos -1 -2 -3 -4

Los nuacutemeros enteros se representan ordenados en la recta numeacuterica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l middotmiddot I ~

Vlor absoluto de un uacutemero entero

El valor absoluto de un nuacutemero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numeacuterica Se expresa escribieacutendolo entre barras

El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71 = 7

El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4

1- 71 = 7 O I I +4 I I I

-7 I I141 = 4

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que resulta al quitarle el signo

lal ------7 valor absoluto de a

puesto de un entero

El opuesto de un nuacutemero entero es su simeacutetrico respecto del cero en la recta Es decir el que estaacute a la misma distancia del cero pero del lado contrario

-5 +5 I I

~-----------------------6 ------------------------_

ASiacute se escribe Los nuacutemeros 5 y -5 son opuestos el uno del otro

Opuesto de (+5) -7 (-5) El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de sigshy

Opuesto de (-5) -7 (+5) no contrano

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

I

nles de comenzar recuerda Coacutemo ordenar los nuacutemeros 118turales en la recta numeacuterica

Algunas teacutecnicas para IDS caacutelculos en las expresiones con sumas v restas

El significado de los pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un resultado todo lo que lleva dentro

En queacute orden han de hacerse las operaciones

bull Primero los pareacutentesis

bull Despueacutes las multiplicaciones y las divisiones

bull Y por uacuteltimo las sumas y las restas

Ejemplo

El nuacutemero 19 estaacute a la izquierda de 2l 19 es menor que 21

I I ~ bull I li T I bull I I ~1~ I [eacutel I

1 iquestQueacute nuacutemeros asocias a los puntoS A y B de la recta

iquestYa los puntos C y D

EJemplo

15 - 7 + 6 - 8 - 4 = 15 + 6 - 7 - 8 - 4 = ~ Nos dan 15 y 6

nos quitan 7 8 Y 4

= 21 - 19 = 2 ~ En total nos dan 21 y nos quitan 19 Salimos ganando 2

2 Calcula el valor de estas expresiones

a) 20 - 8 - 3 + 5 b)18-15+6-7+8-5

c) 9 - 12 + 11 - 4 - 3 d) 7 + 12 - 5 + 3 - 10

Ejemplo

12 - 7 + 3 = 5 + 3 = 8 12j 12_102 ~j

28

3 Calcula y compara

a) 15 - 8 + 4 b)15-(8+4)

c) 20 - 11 - 4 d) 20 - (11 - 4)

Ejemplo

(5 + 3) 2 = 8 2 = 16

BIEN

5+3middot2=5+6=11

BIEN

4 Opera

a) 6 + 2 4 b) (6 + 2) middot4 c) 5 3 + 2 4 - 3 6

d) 15 - 7middot2 e) (15-7)middot2 f) 25 - (4 2) 3 + 8

uacutemeros positivos Vnegativos

-

Los nuacutemeros naturales se utilizan para expresar matemaacuteticamente multitud de situaciones cotidianas Sin embargo a veces no sirven para cuantificar las situeacute shyciones contrarias asociadas En esos casos es necesaria la utilizacioacuten de los m shymeros negativos

Por ejemplo

bull Estamos a ocho grados centiacutegrados ~ GIJ --7 No natural

Estamos a ocho bajo cero 8J --7 N o negativo

bull Juliaacuten gana 20 euros 1+20 I --7 NO natural

Juliaacuten gasta 20 euros 1-201 --7 Ndeg negativo

bull Llamamos nuacutemeros negativos a los que estaacuten por debajo del cero

bull Los nuacutemeros negativos se escriben precedidos del signo menos

-1 -2 -3 -4 -5

bull Cuando un nuacutemero no lleva signo entendemos que es positivo

3 = +3 +15=15

bull Cuando se plantean operaciones con nuacutemeros negativos estos se suelen escribir entre pareacutentesis

5 + (-2) --7 El nuacutemero positivo 5 se suma con el negativo -2

(-4) (-3) --7 El nuacutemero negativo -4 se multiplica por el negativo -3

UlIIidad de los nuacutemeros positivos vnegativos

bull Los nuacutemeros positivos y los nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidashydes o posiciones fijas

~ Ejemplos

bull En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un soacutetano

Sexto piso ~ +6

Segundo soacutetano ~ -2

bull Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en nuacutemeros rojos (negativo)

Rosa tiene ciento cincuenta euros ~ + 150

Francisco debe ochenta y cinco euros ~ -85

TRASTERO

VIVIE NDA

VIVI ENDA

ACADE MI A

PELUQU ERiacuteA

TIENDA

GI MN ASIO

Los nuacutemeros positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de cantidad

Ejemplos

bull Con el ascensor del ediftcio puedes subir o bajar a otra planta

Subes del segundo al quinto (tres plantas)

Bajas del tercer piso al segundo soacutetano (cinco plantas) ~ -5

bull La temperatura que marca el termoacutemetro sufre variaciones

Hace maacutes calor El termoacutemetro ha subido dos grados

Estaacute refrescando El termoacutemetro ha bajado dos grados

~

~

+2

-2

Describe tres situaciones en las que se hace necesario e uso de nuacutemeros negativos Por ejemplo para expresar las lecturas de termoacutemetro de ambiente

Escribe tres elementos maacutes en cada una de las sigui enshy(es series numeacutericas

a) 0 1 -12 -2

b) 6420 -2

c) 20 15 10 50

d) -21 -20 -18 -15 -11

e) 8 7 5 2 -2

Asocia un nuacutemero positivo o negativo a cada uno de

los enunciados siguientes

a) Mercedes tiene en e banco 2500 euros

b) Miguel debe 150 euros

c) Vivo en el seacuteptimo piso

d) Tengo el coche aparcado en el segundo soacutetano

e) El termoacutemetro marca 18 oc f) El termoacutemetro marca tres grados bajo cero

g) Tengo un billete de 10 euro

h) Debo 2 euro a un amigo

Expresa numeacutericamente cada enunciado

a) He ganado 60 euro con una quiniela

b) He pagado una factura de 60 euro

c) El termoacutemetro ha subido cinco grados

d) El termoacutemetro ha bajado cinco grados

e) El ascensor ha subido cuatro plantas

f) El ascensor ha bajado cuatro plantas

g) He perdido una moneda de 2 euro

Expresa con un nuacutemero los saltos en cada escalera

Escribe un nuacutemero para cada movimiento en la recta

o 5 10 15

Asocia un nuacutemero a cada enunciado

a) La temperatura ha bajado de 21 degC a 18 oc b) He subido del segundo soacutetano al segundo piso

c) La semana pasada teniacutea 37 euro en la hucha y ahora solo tengo 34 euro

d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora a mediodiacutea tenemos 3 oc

I coniunto de los nuacutemeros enteros

O bserva El conjunto ~ no tiene ni principio ni fin Siempre se pueden encontrar maacutes positivos a la derecha y maacutes neshygativos a la izquierda

El conjunto z

Si al conjunto IN de los nuacutemeros naturales le antildeadimos los correspondientes nuacuteshymeros negativos obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemaacuteticas coshymo conjunto de los nuacutemeros enteros y se designa por la letra e

El conjunto 7L de los nuacutemeros enteros estaacute formado por

bull Los naturales que son los positivos ) +1 +2 +3 +4

bull El cero O

bull Los correspondientes negativos -1 -2 -3 -4

Los nuacutemeros enteros se representan ordenados en la recta numeacuterica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l middotmiddot I ~

Vlor absoluto de un uacutemero entero

El valor absoluto de un nuacutemero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numeacuterica Se expresa escribieacutendolo entre barras

El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71 = 7

El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4

1- 71 = 7 O I I +4 I I I

-7 I I141 = 4

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que resulta al quitarle el signo

lal ------7 valor absoluto de a

puesto de un entero

El opuesto de un nuacutemero entero es su simeacutetrico respecto del cero en la recta Es decir el que estaacute a la misma distancia del cero pero del lado contrario

-5 +5 I I

~-----------------------6 ------------------------_

ASiacute se escribe Los nuacutemeros 5 y -5 son opuestos el uno del otro

Opuesto de (+5) -7 (-5) El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de sigshy

Opuesto de (-5) -7 (+5) no contrano

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

uacutemeros positivos Vnegativos

-

Los nuacutemeros naturales se utilizan para expresar matemaacuteticamente multitud de situaciones cotidianas Sin embargo a veces no sirven para cuantificar las situeacute shyciones contrarias asociadas En esos casos es necesaria la utilizacioacuten de los m shymeros negativos

Por ejemplo

bull Estamos a ocho grados centiacutegrados ~ GIJ --7 No natural

Estamos a ocho bajo cero 8J --7 N o negativo

bull Juliaacuten gana 20 euros 1+20 I --7 NO natural

Juliaacuten gasta 20 euros 1-201 --7 Ndeg negativo

bull Llamamos nuacutemeros negativos a los que estaacuten por debajo del cero

bull Los nuacutemeros negativos se escriben precedidos del signo menos

-1 -2 -3 -4 -5

bull Cuando un nuacutemero no lleva signo entendemos que es positivo

3 = +3 +15=15

bull Cuando se plantean operaciones con nuacutemeros negativos estos se suelen escribir entre pareacutentesis

5 + (-2) --7 El nuacutemero positivo 5 se suma con el negativo -2

(-4) (-3) --7 El nuacutemero negativo -4 se multiplica por el negativo -3

UlIIidad de los nuacutemeros positivos vnegativos

bull Los nuacutemeros positivos y los nuacutemeros negativos sirven para expresar cantidashydes o posiciones fijas

~ Ejemplos

bull En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un soacutetano

Sexto piso ~ +6

Segundo soacutetano ~ -2

bull Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en nuacutemeros rojos (negativo)

Rosa tiene ciento cincuenta euros ~ + 150

Francisco debe ochenta y cinco euros ~ -85

TRASTERO

VIVIE NDA

VIVI ENDA

ACADE MI A

PELUQU ERiacuteA

TIENDA

GI MN ASIO

Los nuacutemeros positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de cantidad

Ejemplos

bull Con el ascensor del ediftcio puedes subir o bajar a otra planta

Subes del segundo al quinto (tres plantas)

Bajas del tercer piso al segundo soacutetano (cinco plantas) ~ -5

bull La temperatura que marca el termoacutemetro sufre variaciones

Hace maacutes calor El termoacutemetro ha subido dos grados

Estaacute refrescando El termoacutemetro ha bajado dos grados

~

~

+2

-2

Describe tres situaciones en las que se hace necesario e uso de nuacutemeros negativos Por ejemplo para expresar las lecturas de termoacutemetro de ambiente

Escribe tres elementos maacutes en cada una de las sigui enshy(es series numeacutericas

a) 0 1 -12 -2

b) 6420 -2

c) 20 15 10 50

d) -21 -20 -18 -15 -11

e) 8 7 5 2 -2

Asocia un nuacutemero positivo o negativo a cada uno de

los enunciados siguientes

a) Mercedes tiene en e banco 2500 euros

b) Miguel debe 150 euros

c) Vivo en el seacuteptimo piso

d) Tengo el coche aparcado en el segundo soacutetano

e) El termoacutemetro marca 18 oc f) El termoacutemetro marca tres grados bajo cero

g) Tengo un billete de 10 euro

h) Debo 2 euro a un amigo

Expresa numeacutericamente cada enunciado

a) He ganado 60 euro con una quiniela

b) He pagado una factura de 60 euro

c) El termoacutemetro ha subido cinco grados

d) El termoacutemetro ha bajado cinco grados

e) El ascensor ha subido cuatro plantas

f) El ascensor ha bajado cuatro plantas

g) He perdido una moneda de 2 euro

Expresa con un nuacutemero los saltos en cada escalera

Escribe un nuacutemero para cada movimiento en la recta

o 5 10 15

Asocia un nuacutemero a cada enunciado

a) La temperatura ha bajado de 21 degC a 18 oc b) He subido del segundo soacutetano al segundo piso

c) La semana pasada teniacutea 37 euro en la hucha y ahora solo tengo 34 euro

d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora a mediodiacutea tenemos 3 oc

I coniunto de los nuacutemeros enteros

O bserva El conjunto ~ no tiene ni principio ni fin Siempre se pueden encontrar maacutes positivos a la derecha y maacutes neshygativos a la izquierda

El conjunto z

Si al conjunto IN de los nuacutemeros naturales le antildeadimos los correspondientes nuacuteshymeros negativos obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemaacuteticas coshymo conjunto de los nuacutemeros enteros y se designa por la letra e

El conjunto 7L de los nuacutemeros enteros estaacute formado por

bull Los naturales que son los positivos ) +1 +2 +3 +4

bull El cero O

bull Los correspondientes negativos -1 -2 -3 -4

Los nuacutemeros enteros se representan ordenados en la recta numeacuterica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l middotmiddot I ~

Vlor absoluto de un uacutemero entero

El valor absoluto de un nuacutemero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numeacuterica Se expresa escribieacutendolo entre barras

El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71 = 7

El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4

1- 71 = 7 O I I +4 I I I

-7 I I141 = 4

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que resulta al quitarle el signo

lal ------7 valor absoluto de a

puesto de un entero

El opuesto de un nuacutemero entero es su simeacutetrico respecto del cero en la recta Es decir el que estaacute a la misma distancia del cero pero del lado contrario

-5 +5 I I

~-----------------------6 ------------------------_

ASiacute se escribe Los nuacutemeros 5 y -5 son opuestos el uno del otro

Opuesto de (+5) -7 (-5) El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de sigshy

Opuesto de (-5) -7 (+5) no contrano

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

TRASTERO

VIVIE NDA

VIVI ENDA

ACADE MI A

PELUQU ERiacuteA

TIENDA

GI MN ASIO

Los nuacutemeros positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de cantidad

Ejemplos

bull Con el ascensor del ediftcio puedes subir o bajar a otra planta

Subes del segundo al quinto (tres plantas)

Bajas del tercer piso al segundo soacutetano (cinco plantas) ~ -5

bull La temperatura que marca el termoacutemetro sufre variaciones

Hace maacutes calor El termoacutemetro ha subido dos grados

Estaacute refrescando El termoacutemetro ha bajado dos grados

~

~

+2

-2

Describe tres situaciones en las que se hace necesario e uso de nuacutemeros negativos Por ejemplo para expresar las lecturas de termoacutemetro de ambiente

Escribe tres elementos maacutes en cada una de las sigui enshy(es series numeacutericas

a) 0 1 -12 -2

b) 6420 -2

c) 20 15 10 50

d) -21 -20 -18 -15 -11

e) 8 7 5 2 -2

Asocia un nuacutemero positivo o negativo a cada uno de

los enunciados siguientes

a) Mercedes tiene en e banco 2500 euros

b) Miguel debe 150 euros

c) Vivo en el seacuteptimo piso

d) Tengo el coche aparcado en el segundo soacutetano

e) El termoacutemetro marca 18 oc f) El termoacutemetro marca tres grados bajo cero

g) Tengo un billete de 10 euro

h) Debo 2 euro a un amigo

Expresa numeacutericamente cada enunciado

a) He ganado 60 euro con una quiniela

b) He pagado una factura de 60 euro

c) El termoacutemetro ha subido cinco grados

d) El termoacutemetro ha bajado cinco grados

e) El ascensor ha subido cuatro plantas

f) El ascensor ha bajado cuatro plantas

g) He perdido una moneda de 2 euro

Expresa con un nuacutemero los saltos en cada escalera

Escribe un nuacutemero para cada movimiento en la recta

o 5 10 15

Asocia un nuacutemero a cada enunciado

a) La temperatura ha bajado de 21 degC a 18 oc b) He subido del segundo soacutetano al segundo piso

c) La semana pasada teniacutea 37 euro en la hucha y ahora solo tengo 34 euro

d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora a mediodiacutea tenemos 3 oc

I coniunto de los nuacutemeros enteros

O bserva El conjunto ~ no tiene ni principio ni fin Siempre se pueden encontrar maacutes positivos a la derecha y maacutes neshygativos a la izquierda

El conjunto z

Si al conjunto IN de los nuacutemeros naturales le antildeadimos los correspondientes nuacuteshymeros negativos obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemaacuteticas coshymo conjunto de los nuacutemeros enteros y se designa por la letra e

El conjunto 7L de los nuacutemeros enteros estaacute formado por

bull Los naturales que son los positivos ) +1 +2 +3 +4

bull El cero O

bull Los correspondientes negativos -1 -2 -3 -4

Los nuacutemeros enteros se representan ordenados en la recta numeacuterica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l middotmiddot I ~

Vlor absoluto de un uacutemero entero

El valor absoluto de un nuacutemero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numeacuterica Se expresa escribieacutendolo entre barras

El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71 = 7

El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4

1- 71 = 7 O I I +4 I I I

-7 I I141 = 4

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que resulta al quitarle el signo

lal ------7 valor absoluto de a

puesto de un entero

El opuesto de un nuacutemero entero es su simeacutetrico respecto del cero en la recta Es decir el que estaacute a la misma distancia del cero pero del lado contrario

-5 +5 I I

~-----------------------6 ------------------------_

ASiacute se escribe Los nuacutemeros 5 y -5 son opuestos el uno del otro

Opuesto de (+5) -7 (-5) El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de sigshy

Opuesto de (-5) -7 (+5) no contrano

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

I coniunto de los nuacutemeros enteros

O bserva El conjunto ~ no tiene ni principio ni fin Siempre se pueden encontrar maacutes positivos a la derecha y maacutes neshygativos a la izquierda

El conjunto z

Si al conjunto IN de los nuacutemeros naturales le antildeadimos los correspondientes nuacuteshymeros negativos obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemaacuteticas coshymo conjunto de los nuacutemeros enteros y se designa por la letra e

El conjunto 7L de los nuacutemeros enteros estaacute formado por

bull Los naturales que son los positivos ) +1 +2 +3 +4

bull El cero O

bull Los correspondientes negativos -1 -2 -3 -4

Los nuacutemeros enteros se representan ordenados en la recta numeacuterica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l middotmiddot I ~

Vlor absoluto de un uacutemero entero

El valor absoluto de un nuacutemero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numeacuterica Se expresa escribieacutendolo entre barras

El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71 = 7

El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4

1- 71 = 7 O I I +4 I I I

-7 I I141 = 4

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que resulta al quitarle el signo

lal ------7 valor absoluto de a

puesto de un entero

El opuesto de un nuacutemero entero es su simeacutetrico respecto del cero en la recta Es decir el que estaacute a la misma distancia del cero pero del lado contrario

-5 +5 I I

~-----------------------6 ------------------------_

ASiacute se escribe Los nuacutemeros 5 y -5 son opuestos el uno del otro

Opuesto de (+5) -7 (-5) El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto pero de sigshy

Opuesto de (-5) -7 (+5) no contrano

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

C omparaCioacuten de nuacutemeros enleros Observa la ilustracioacuten y piensa quieacuten tiene maacutes y quieacuten tiene menos

siacute se escribe -20 lt -8 lt olt +8 lt +20

+20 gt +8 gt ogt -8 gt -20

2 Los nuacutemeros enteros estaacuten ordeshynados

orden en la recta Si un nuacutemero a es menor que otro b entonces a esta a la izquierda de b en la recta

-4 - 1 O +3 =1=1 1 1 I 1 1 1 1=4=

-4 lt -1 lt +3

Como puedes ver

bull Quien maacutes tiene es el chico que tiene 20 euro

bull Quien no tiene nada tiene maacutes que los que deben

bull Quien menos tiene es la chica que debe 20 euro

bull Si dos enteros son positivos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto Por ejemplo +20 gt +s

bull Cualquier nuacutemero positivo es mayor que el cero y el cero es mayor que cualquier negativo Por ejemplo +S gt Ogt -s

bull Entre dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto Por ejemplo -s gt -20

Copia estos nuacutemeros y rodea de azul los enteros y de roshyjo los naturales

- 6 +5 -1 +4 + 7

+10 -2 +1 -5 -11

iquestQueacute observas

Escribe el valor absoluto de

a) -5 b) +8 e) -3

d) +4 e) -7 f) + 1

Completa

a) 1-61 = b)I+61=middotmiddotmiddot e) 1-21 =

d) 1+91 = e)l-lll=middotmiddotmiddot f)1+101=middotmiddotmiddot

Escribe dos nuacutemeros distintos que tengan el mismo valor absoluto

iquestQueacute nuacutemero entero es opuesto de siacute mismo

Copia y completa

a) Opuesto de (+3) -7 b) Opuesto de (-7) -7

e) Opuesto de (-12) -7 d) Opuesto de (+15) -7

Dos nuacutemeros enteros opuestos distan en la recta 12 unidades iquestQueacute nuacutemeros son

Representa en la recta y ordena de menor a mayor

-7+4 -1+7+6 -4-5+3-11

Copia y coloca el signo lt o el signo gt seguacuten corresshyponda

a) (+8) (+3) b) (-8) (+3) e) (+8) (-3)

d) (-2) (-5) e) (+2) (-5) f) (-2) (+5)

1 Ordena de menor a mayo r

a) +5-3-70 +1 +6-12-5

b)-6-3-9 0-1 -5-12-4

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

umas vrestas de uacutemeros enteros

Ten en cuenta El orden no cuenta mientras cada nuacutemero conserve su signo

-5 ~

I I I J I I I -3 O

+2-5=-3

-5

~ --j- -1 I I I

-3 O

-5+2=-3

+2-5=-5+2=-3

S e expresa asiacute - 3-8+6-4=-5+6-4=

=1-4=-3

middot 3-8+6-4=3+6-8-4=

=9-12=-3

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones maacutes sencillas que son las que no tienen pareacutentesis

S umas vrestas de dos nuacutemeros

bull WS DOS NUacuteMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO

- Si me dan 4 y me dan 3 gano 7 ----7 4+3=+7

bull Si me quitan 3 y me quitan 8 pierdo 11 ----7 -3 - 8 = -11

Cuando los dos nuacutemeros llevan el mismo signo

bull Se suman los valores absolutos

bull Se pone el mismo signo que teniacutean los nuacutemeros

bull LOS DOS NUacuteMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

bull Si me quitan 2 y me dan 8 gano 6 ----7 -2 + 8 = +6

bull Si me dan 4 y me quitan 9 pierdo 5 ~ +4 - 9 = -5

Cuando los dos nuacutemeros llevan distinto signo

bull Se restan los valores absolutos

bull Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto

S umas Vrestas de maacutes de dos nuacutemeros

Para resolver estas expresiones puedes actuar de dos formas diferentes

Ejercicio resuello Calcular 3 - 8 + 6 - 4

Puedes ir operando paso a paso o puedes sumar los positivos por en el orden en que aparecen los nuacuteshy un lado y los negativos por otro meros Despueacutes se restan los resultados

3-8+6-4 3-8+6-4 ~ I I I X I

-5 + 6 - 4 3+6-8-4 ~ I ~ V

1-4 9 - 12 V --3 -3

l

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

Copia y completa

bull Si me dan 6 y me dan 7 gano 13 ~ +6 + 7 =

bull Si me dan 3 y me quitan 8 pierdo ~ +3 - 8 =

bull Si me quitan 4 y me dan 6 ~ -4 + 6 =

bull Si me quitan 5 y me quitan 4 ~ -5 - 4 =

2 Calcula teniendo en cuenta que ambos nuacutemeros tieshy

nen el mismo signo

a) 6 + 5 b) +4 + 8 c)+10+7

d) -6 - 2 e) -4 - 6 0-5 - 9

g) +8 + 7 h) -8 - 7 i) -12 - 4

Opera teniendo en cuenta que los dos nuacutemeros llevan

signos diferentes

a) +9 - 5 b) +3 - 7 c)+6-10

d) -2 + 7 e)-15 + 5 f) -11 + 8

g) 7 - 12 h) 11 - 4 i) -18 + 10

Calcula

a) +6-7 b) -8 + 7 c) -5 - 1

d) +8 + 2 e) +10-12 f) -16 + 20

g)+11+21 h) -13 - 12 i)-18+11

Obteacuten el resultado de las expresiones siguientes

a) 51 - 28 b) -32 + 49 c) -22 - 36

d)+18+27 e) -92 + 49 0-62 - 31

Copia sustituyendo cada punto por un nuacutemero

5-9-13+6 5-9-13+6

~ I I I )ltgtlt - e - e + e

~ v V - + e - e

~ - e -

110

Resolver operando en el orden en que aparecen las operaciones 12 - 4 - 6

12 - 4 - 6 J I

8-6

~ 2

12-4-6 =8-6=2

Opera siguiendo los pasos del ejercicio resuelto anshy

tenor

a)10-3-5 b) 15 - 9 - 6 c) 5 - 8 + 4

d) 9 - 3 + 5 e) -2 + 2 + 7 0-10+8+6

g)-10-3+8 h) -4 - 3 - 2 i)-1-5-7

Ifl E ercicio resuelto Resolver sumando primero los nuacutemeros del mismo signo 6 - 15 + 4

6-15+4

~ 10 - 15

V -5

6-15+4=10-15=-5

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 9 - 2 - 3 b) 12 - 4 - 6 c) 3 - 7 + 4

d) 5 - 9 + 8 e) -13 + 6 + 4 0-2 + 10 - 15

g) -11 - 4 + 8 h) -5 - 3 - 4 i) -8 + 5 + 6

1 Resuelve paso a paso como en el ejemplo

7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10

a) 2 - 4 - 5 + 8

c) 5 + 8 - 9 - 6

e) -3 - 5 + 7 + 7

b) 6 -7 + 4 - 3

d) -4 - 9 + 6 + 2

f) -4 - 8 - 2 - 5

1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los neshygativos por otro como en el ejemplo

-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1

a) 5 + 7 - 2 - 4 b) 2 - 6 + 4 - 9

c) 9 - 6 - 7 + 2 d) -4 - 5 + 3 + 8

e) -8 + 2 - 7 + 6 0-1+5+6-7

Escribe dos expresiones para los movimientos realizashy

dos en las rectas y resueacutelvelas

le~r~ I~~ II II II I I

JEGADAI ~ I rARTIDA~~

III I~~I I IIIIIIIIII ~o ~

I LLEGADAI

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

urnas 11 restas con pareacutentesis

=-3 + 5 = +2

~ ~ +

~ t

Los nuacutemeros enteros en las operaciones se suelen presentar entre pareacutentesis Ahora vas a aprender a suprimir esos pareacutentesis en las expresiones con sumas y restas ASIacute se reducen a lo que ya sabes Se presentan cuatro casos

bull SUMAR UN NUacuteMERO POSITNO bull SUMAR UN NUacuteMERO NEGATNO

+ (-2) =-2 i i + (+5) =+5

i i ANtildeADIR GANANCIA ANtildeADIR DEUDA

Ingresar una ganancia Ingresar una deuda es aumentar (ganar) es disminuir (perder)

8 + (+5) = 8 + 5 = 13 8 + (-2) = 8 - 2 = 6

~ t +1 +2

Para sumar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se deja el signo propio t o del nuacutemero

(+2) + (-5) = + (+a) = +a + (-a) =-a = 2- 5 =-3

bull RESTAR UN NUacuteMERO POSITNO bull RESTAR UN NUacuteMERO NEGATNO

- (+5) = -5 - (-2) = +2 i i i i

EXTRAER GANANCIA EXTRAER DEUDA

Suprimir una ganancia Suprimir una deuda es es dismin uir (perder) aumentar (ganar)

13 - (+5) = 13 - 5 = 8 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Para restar un nuacutemero entero se quita el pareacutentesis y se le pone al nuacutemero el signo contrario al que teniacutea

-(+a)=-a -(-a)=+a

Elerclclo resuello Calcular

bull (+10) + (-3) = 10-3 =7 bull (+5) - (+8) = 5 - 8 =-3

bull (-8) + (- 4) =-8 - 4 = -12 bull (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8

Quita pareacutentesis

a) +(-1) b) -(+4)

d) -(+7) e) +(-10)

g) +(-11) h)-(-13)

j) -(+16) k) +(-9)

Opera y comprueba los resultados

c) +(+8) a) +(+8) - (+5) b) -(+6) shy (-2)

f) - (-6) c) +(-2) + (-6) d) +(+7) - (-3)

i) +(-15) e) +(-9) - (+2) f) -(+6) + (+4)

1) -(-7) a) +3 b) -4 e) -8 d) +10 e) -11 j) -2

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

-[(-8) + (-10) + (-3)] =

=-[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21

3 Suma y resta de nuacutemeros posicishyvos y negativos

Eierci~Jo reSJJ ello Operar la expresioacuten siguiente

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]

S umas Vrestas dentro de un pareacutentesis

El pareacutentesis empaqueta en un solo bloque todo lo que va en eacutel Por eso el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior Se dan dos casos

bull PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

Me dan (+3)1 +(+3 - 6 + 5) Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5

II Medan Me dan (+5)

Los signos finales son los mismos que teniacutean los sumandos dentro del pareacutentesis

PAREacuteNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

Me quitan (+8)1 -(+8 - 6 - 5) Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5

I I Me qui ta n Me quitan (-5)

Los signos finales son los contrarios a los que habiacutea dentro del pareacutentesis

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo + los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban

bull Al quitar un pareacutentesis precedido del signo - cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto

Podemos resolverla de dos formas diferentes

a) Operar dentro de cada pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos

12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =

= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5

b) Quitar pareacutentesis empezando por los maacutes pequentildeos y despueacutes operar

12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =

= 12-8+7-10-2+6=

= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5

ACtiVidades

Quita pareacutentesis calcula y comprueba el resultado Resuelve por dos meacutetodos diferentes

a) +(5 + 3) b) +(-6 shy 3) c) -(8 + 15)

d) -(-2 shy 4) e) +(9 shy 7 - 2) f) +(1 - 8 + 3)

g) -(-6 + 5 - 7) h) -(7 shy 5 + 4) i) +(-3 - 1 - 4)

a) +8 b) -9 e) -23 d) +6 e) O j) -4 g) +8 h) -6 i) -8

a) 5 - (9 shy 3)

c) 12+(-3+ 10)

e)+(9-10)-2

g) (5 + 8) - (7 + 6)

b) 7 + (2 shy 8)

d)15-(8+11)

f) -(7 + 4) + 14

h) (16 - 9) - (10 -7)

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

ctlvidades

Quita los pareacutentesis Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro del pareacutentesis como se hace en a) +(+2) b) +(-8) c) -(+ 4) el ejemplo

d) -(-9) e) -(+5) 0+(-12) 15 - (+3 - 8) = 15 - (-5) = 15 + 5 =20g) +(-14) h) +(+15) i)-(+25)

Comprueba que obtienes los mismos resultados que

Quita el pareacutentesis y calcula igual que se ha hecho en eliminando primero los pareacutentesis

el ejemplo

Calcula quitando primero los pareacutentesis como en elbull 16 - (-5) = 16 + 5 = 21 ejemplo

a) 12+(+4) b)8+(+3) bull (5 - 12) - (8 - 6) =5 - 12 - 8 + 6 = 11 - 20 =-9

c) 10-(+8) d) 15 - (-6) a) (7 - 4) + (9 - 5) b) (2 + 6) + (5 - 8)

e) 13-(+9) f)9+(-1) c) (5 - 9) + (2 - 12) d) (7 + 3) - (5 + 4)

g) 2 - (+8) h)3-(-5) e)(8-12)-(2-5) f)(10-7)-(-2-6)

i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16) g) -(8 + 4) + (5 - 9) h) -(6 - 2) - (7 - 9)

k) 15-(+25) 1) 30 - (-12)

Suprime los pareacutentesis y despueacutes opera como en el 1 Repite los ejercicios de la actividad anterior operando

en primer lugar dentro de los pareacutentesis como se hace ejemplo en este ejemplo

bull -(+14) - (-12) = -14 + 12 = -2 bull (5 - 12) - (8 - 6) = (-7) - (+2) =-7 - 2 =-9

a) +(+7) + (+6) b) +(-5) + (-3) Y comprueba que obtienes los mismos resultados

c) +(-6) - (+8) d) -(-7) + (-10)

e) -(-3) - (-5) 0-(-2) - (+6)

g) +(-7) - (-3) h) -(-5) + (+4)

i) +(-12) + (+10) j) -(+6) - (+8) Operar 4 - [5 - (8 + 3)]

4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J = Calcula = 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =

a) 18 + (+12) b)22-(+15) = 4 + 6 = 10

c) 35 - (-15) d) 30 + (-18) Calculae) -24 - (-20) f)-15-(+15) a) 6 + [5 + (7 + 2)J b) 8 + [4 - (3 + 5) Jg) -(+22) - 16 h) -(-27) - 30 c) 10 - [6 + (2 + 7)] d) 15-[2-(6-10)Ji) +(-25) - 24 j) -(+36) + 26 e) 15-[10-(8+4)] 012-[7-(2-10)]k) -(+12) - (+13) 1) + (-1 6) + (-14) g) (-6) + [5 + (2-12)] h) (-7) - [3 - (4 - 9)]

Quita primero el pareacutentesis como en el ejemplo y

despueacutes calcula 1 Calcula

bull 15 - (+3 - 8) = 15 - 3 + 8 = 23 - 3 = 20 a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J

a) 12 + (+3 - 5) b) 14 + (+12 - 10) b) (12-3)-[1-(2-6)]

c) 6 - (9 - 7) d) 15 - (2 - 9) c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]

e) 11 - (-6 + 3) f) 10-(-7-5) d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J

g) 13 + (-8 + 2) h) 17 + (-5 - 9) e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)

i) 8 + (-8 + 8) j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)

elto

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

Ulliplicacioacuten vd-visioacuten de nuacutemeros enleros

nen cuenla ~ua multiplicar eres enceros

-2) (-3) (-5) = (+6) (-5) =

= -30 len

-2) (-3) (-5) = (-2) (+15) = I I

= -30

~ multiplicacioacuten de enteros cumshyle la propiedad asociativa

ulliplicacioacuten de nuacutemeros enteros Para multiplicar nuacutemeros enteros actuaremos igual que para multiplicar nuacutemeshyros naturales pero ahora ademaacutes hemos de preocuparnos del signo

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS POSITIVOS

Si obtengo 3 ingresos de 5 euro gano 15 euro INGRESO

+5 euro r INGREso +( + 5) + (+ 5) + (+ 5) = 5 + 5 + 5 = +15 +5 euro INGRESO

(+3) (+5) = +15 +5 euro

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

Si me llegan 3 facturas de 5 euro pierdo 15 euro

+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15

(+3) (-5) = -15

bull PRODUCTO DE UN NUacuteMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

Si me anulan 3 ingresos de 5 euro pierdo 15 euro

-(+5) - (+5) - (+5) = -5 - 5 - 5 = -15

(-3) (+5) = -15

bull PRODUCTO DE DOS NUacuteMEROS NEGATIVOS

Si me anulan 3 facturas de 5 euro gano 15 euro

-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5 = +15

(-3) (-5) = +15

Para automatizar la multiplicacioacuten de enteros aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos nuacutemeros enteros

(+) (+) = +bull Si los dos factores tienen el mismo signo el resultado (-) (-) =final es positivo +

bull Si los dos factores tienen distinto signo el resultado final (+) (-)=shyes negativo (-)(+)=

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

4 Multipliacutecacioacuten y divisioacuten de nuacuteshymeros enteros

Ten en cuenta No es lo mismo

[(-60) (+6)] (-2) - [-10] (-2)

V +5

que

(-60) [(+6) (-2)]

[-60] -(-3) -+20

La divisioacuten de enteros no es asociashytiva

Eiercic lo resuelto Operar la expresioacuten siguiente

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)]

ivisioacuten de nuacutemeros enteros Igual que en la multiplicacioacuten lo uacutenico nuevo que necesitas aprender para divishydir enteros es la forma de calcular el signo del cociente Con lo que ya sabes del producto es faacutecil averiguar ese signo

(+4) (+5) = +20 ~ (+20) (+4)

(-4) (-5) = +20 ~ (+20) (-4)

e (-20) (+4)(+4) (-5) = -20

(-20) (-5)

La regla de los signos para la divisioacuten coincide con la del producto

Ejemplos

(-12) (+4) = -3

(+18) (+9) = +2

= +5 ~ Maacutes entre maacutes maacutes

= -5 ~ Maacutes entre menos menos

= -5 ~ Menos entre maacutes menos

= +4 ~ Menos entre menos maacutes

SIGNOS (+) (+)= + IGUALES (-) (-) = +

SIGNOS (+) (-) = shyDIFERENTES (_) (+) = _

(+30) (-5) =-6

(-15) (-3) = +5

Ten en cuenta que el cociente de dos nuacutemeros enteros no siempre es entero

(+15) (-4) ~ No tiene solucioacuten entera

O peraCiones combinadas En las expresiones con nuacutemeros enteros igual que con las de nuacutemeros naturales hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones

En las expresiones con nuacutemeros enteros hemos de atender

bull Primero a los pareacutentesis

bull Despueacutes a la multiplicacioacuten y a la divisioacuten

bull Por uacuteltimo a la suma y a la resta

15 - 3middot [6 - (-12) (+4)] 1 11 ~

15-3middot[6-(-3)] 11 ~

15 - 3 [+9] 1 ~

15 - 27 15-3 middot [6-(-12) (+4)]V -12

= 15-3middot [6-(-3)] =

= 15-3middot [+9] = 15-27 =-12

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

Ilvidades

Escribe en forma de producto las siguientes expresiones

a) + (-7) + (-7) + (-7)

b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3)

e) +(+2) + (+2) + (+2)

d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3)

e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20)

Calcula estos productos

a) 3 (-2) b)4middot(+5) e) 8 (-6)

d) -5 (+3) e) -2 (-4) f) -6middot (+3) g) (-4) (+7) h) (+2) (+6) i) (-5) (-7)

j) (+3) (-8) k) (-9) (-3) 1) (-6) (+4)

Copia y completa el factor desconocido

a) (-6) O = -18 b) (+8) 0=-24

e) (-7) O = +35 d) (+15) 0=+60

Calcula el cociente entero si existe

a) (-8) (+2) b) (+20) (-10) e) (-12) (-4)

d) (-4) (+3) e) (+20) (-7) f) (-1) (+6)

g) (-15) (-3) h) (+32) (+8) i) (-36) (+9)

j) (+42) (-7) k) (-48) (-8) 1) (+54) (+6)

Escribe

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero

Calcula

a) (+3) (-5) (+2) b) (-4) (-1) (+6)

e) (-2) (-7) (-2) d) (+5) (-4) (-3)

Opera

a) [(+80) (-8)] (-5)

e) (+50) [(-30) (+6)]

b) [(-70) (-2)] (-7)

d) (-40) [(+24) (+3)]

Ito

[(+8) (-3)] (-6) [(+8)middot (-3)] (-6) = ~ --shy[-24] (-6) = [-24] (-6) = +4

~ 1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) [(+6) (-4)] (-3) b) [(-15) (-2)] (+6)

e) (-5) [(+12) (-3)J d) [(-5) (+12)] (-3)

oCalcula

a) 5 (-4) + 2 (-3)

b) 20 (-5) - 8 (+2)

e) 2middot (-8)-3middot (-7)-4 (+3)

d) 6 (+2) + 5 (-3) - 12 (-4)

Opera

a) (-8) (+2) + (-5) (-3)

b) (+40) (-8) - (-30) (+6)

e) (-2) (-9) + (-24) (-3) - (-6) (-4)

d) (+27) (-3) - (+3) (-5) - (-6) (-2)

[El Elerclclo r suelto

(-2) [(-5) + (-4)]

(-2) [-5 - 4]

V(-2) [-9J - +18

(-2) [(-5) + (-4)] = (-2) [-5 - 4] =

= (-2) [-9] = +18

Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-3) [(-2) + (-4)] b) (+4) [(-5) + (+2)J

e) (+6) [(+5) - (+7)J d) (-20) [(-6) - (-2)J

e) [(-8) + (+7)] (-3) f) [(-9) + (-3)] (+6)

18 - (-4) [2 - (+6)] =

= 18- (-4) middot [2-6] = 18-(-4)middot [-4] =

= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = + 2

1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) 19 - (-3) [5 - (+8)]

b) 12 + (-5) [8 + (-9)]

e) 12 - [13 - (-7)] (-5)

d) 10 - (+20) [7 + (-3)J

e) (-2) (5 - 7) - (-3) (8 - 6)

f) (9 - 6) (-2) + (13 + 3) (-4)

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

Olencias vraiacuteces de nuacutemeros enleros

R ecuerda a n1 middot amiddot amiddot a = ~EXlONENTE

~ ~BASE

Ten en cuenta a n bn(a b)n =

(a b)n =a n bn

a m n a =a m shy

aO = 1 para a - O

R ecuerda

b2 = b H = a

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicacioacuten de facco[ iguales Ahora aplicaremos este concepco a los nuacutemeros enteros

Polencias de nuacutemeros positivos Una potencia de base positiva es siempre un nuacutemero positivo

(+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +8 (+5)2 = (+5) (+5) = +25

Pulencias de nuacutemeros negativos Al multiplicar reiteradamente un nuacutemero negacivo por siacute mismo vamos obtenienshydo alternativamente resultados positivos y negativos Observa

EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

(_2)deg = 1 (-2)1=-2

(_2)2 = (-2) (-2) = +4 (_2)3 = (-2) (-2) (-2) =-8

(_2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) =+16 (_2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) =-32

Al elevar un nuacutemero negativo a una potencia

bull Si el exponence es par el resultashy (-a) nuacutemero par ~ positivo

do es positivo

bull Si el exponente es impar el reshy (-a) nuacutemero impar ~ negativo sultado es negativo

R aiacutez cuadrada de un nuacutemero enlero Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos

+3 porque (+3)2 = 9 bull [9 =lt 2 Tiene dos soluciones enteras

-3 porque (-3) = 9

bull ~~ No tiene solucioacuten encera

(_3)2 = 9 -4 lt ~ lt -3

(_4)2 = 16

middot 0 ~ No existe ya que el cuadrado de un nuacutemero nunca es negativo

~-9 = x H x2 = -9 ~ imposible

bull La raiz cuadrada de un nuacutemero entero positivo tiene dos soluciones que no siempre son nuacutemeros enteros

bull La raiacutez cuadrada de un nuacutemero entero negativo no existe

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

aleula Calcula como en el ejercicio resuelto anterior

(+2)5 b) (_2)6 c) (-5)3 a) (_4)8 (_4)5 b) (+6)7 (+6)5

- (+3)4 e) (_3)4 f) (+6)2 c) (+3) 10 (-3)6 d) (-8)5 (+8)3

(+10) 5 h) (-10)5 i) (-4)3 e) (-15)4 (+ 15)4 f) (+12)3 (-12) 2

C alcula mentalmenre Resuelve O (-1 )28 b) (_1) 29 c) (_I)30 d) (_1)31 a) [(_2)4 (-2)6J (+2)8

b) [(+3)4 (-3) 3J (_3)6 Calcula

1 (-10)3 b) (+10)0 c) (-10)2 c) (+5)8 [(-5) 2 (-5)4J

dI (-10)4 e) (+10)6 f) (-10)6 d) (-7)7 [(_7)4 (-7)3J

C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias 1 Escribe las dos soluciones enteras si existen

a) ~ b) ~ c) -V(+4)(_3)2 = (-3) (-3) = +9 d) -V (-4) e) -V ( +36) f) H9)-32 = -3 3 = -9 g) -V (+64) h) -V (-8I) i) -V(+100)a) (_2)4 b) _2 4

d) (_2)3 e) _23 ro Eierclclo r suelto g) (-5) 2 h) _52

(plusmn4)2 = 16 (no llega) +4 lt -fiO lt +5 j) (-3)3 k) -33

20---7 (plusmn 5)2 = 25 (se pasa) -5 lt -fiO lt-4

Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia Las dos raiacuteces cuadradas de 20 estaacuten comprendidas

(3 - 4)3 = (_1)3 =-1 una entre 4 y 5 y la otra entre -5 y -4(3 - 4)3 33 _43

33 43- = 27 - 64 = -37

Resuelve como en el ejercicio resuelto anrerior si es

que existen soluciones

a) GlO) b) -V(-12) c)~Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propieshy

dades a m bm= (a middot b) m y a m b m = (a b)m d) -V( -55) e)-V(+72) f) -V(-1I0)

bull (-5)3 (_2)3 = [(-5) (_2)]3 = (+10)3 = +1000

(-12)6 (_6)6 = [(-12) (_6)]6 = (+2)6 = +64

a) (_2)5 (+5)5 b) (+4)3 (-5)3 -V 36 + 64 = -V 100 = 10

c) (_6)4 (+3)4 d) (-5)1 (+5)1 ~ + -V 64 = 6 + 8 = 14

e) (-15)4 (-5)4 f) (+32)5 (-16)5 -V 36 + 64 36 + (64

IJEierciCiO r 1 Calcula como en el ejercicio resuelto anterior si exisshy

a m ten y observa las diferencias Recordar que a m a n = - n y calcular a) J 16 + 9 y fu + -J9(-7) 5 (_7)3 = (-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49

b) -V 100 - 36 y -flOO - (36(-S) (+5)4 = [_(+ 5)7J (+5)4 = _[(+5)7 (+5)4] =

=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y fu - 25

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

- -

iercicios vproblemas

(] I conjunto li Orden ti representacioacuten

1Deo Expresa con la notacioacuten de los nuacutemeros enteros como se hace en el ejemplo

Antonio gana 15 euro buzoneando propaganda

+(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teleacutefono de 57 euro

b) Por no hacer la tarea pierdo los dos positivos que teshyniacutea en Matemaacuteticas

e) He resuelto un problema complicado El profesor me quita los dos negativos que teniacutea

2 CCO Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes nuacutemeros

a) +6 b) -9 d) +8 e) -13e) deg 3 0 =0 Copia y completa

a) 1-11 = b)I+51= middot e) 101 =

d) 1-71 = e) 1+121 = f) 1-151 =

4~QO iquestQueacute nuacutemero corresponde a cada letra

[iexclJ -20 ~ O ~ ~ I I I I iexcliexcl I I -1 i I I =t==

5 =J Ordena de menor a mayor

a) +6 +20 +4-7+3

b) -7 -2 0-1-5-9

e) -40 +6 -8 +3 -5

6 JC= Escribe un nuacutemero entero para cada movimienshy[Q en la recta

B A ~ I I I I I I

e M N +

I

l1 uma ti resta

1 0 00 Quita pareacutentesis

a) +(-7)

d) -(+1)

g) -[-(-5)]

8 0 00 Calcula

a) 9 - 4

d) 8 - 9

g)5-11

j) 10 - 12

b) - (-2)

e) +(+11)

h) -[+(-9)]

b) 4 - 9

e) 11 - 7

h) 3 - 7

k) 11 - 15

a)-2+6

d) -7 + 2

g)-12+5

10 O O Opera

a) -1 - 1

d) -2 - 5

g) -6 - 6

11 000 Calcula

a) +2 - 7 + 5

b)+12-5-8

e) 13 - 9 + 5 - 7

9 0 00 Halla el valor de estas expresiones

c)-1+9

f)-10+8

i)-15 + 14

e) -2 - 3

f) -7 - 1

i) -3 - 12

b) -4 +7

e) -8 + 5

h)-15+6

b) -1 - 2

e) -4 - 3

h)-10-2

d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6

e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4

f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1deg+ 18

12 000 Quita pareacutentesis y opera

a) (+3) - (+8)

b) (-9) + (-6)

e) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11 ) + (+8) - (-6)

e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8)

c) -(+8)

f) +(-14)

i) -[-(+2)]

c) 10- 8

f)7-11

i) 1 - 6

1) 14 - 20

t g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11) K

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

--J O O Escribe una expresioacuten que refleje los movimienshy

tos encadenados en cada recta y halla el resultado

a)

TIPARTj9A 11 1 1-1111111

FI~ b)

~PAR11D~ 1 1 1 I 1 1 11 1 1 I 1 I

FIN

rn -c Eierciclo resuelto Calcular 11 - (5 - 8 - 6 + 3)

Podemos operar antes o despueacutes de quitar los pareacutentesis

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =

= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17

bull 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 =

= 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17

5 JOO Calcula

a)13-(6+5)

b) 8 - (6 + 5)

el (4 + 8) - (3 - 9)

d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)

e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)

f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)

JJ Ejercicio resuelto [(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =

= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =

= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1

if1 00 Calcula

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]

b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]

e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]

d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

[iJ Ultipllcacioacuten V divisioacuten

18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica

al (+7) (-8) b) (-6) (-9)

e) (+5) (+11) d) (+5) (-12)

e) (-3) (+20) f) (-5) (-15)

19 O O O Calcula

a) (-5) (+2) (-3) b) (-4) (-1) (-7)

e) (+4) (+5) (-2) d) (+6) (-3) (-1)

20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide

a) (+24) (-8) b) (-140) (+7)

e) (-130) (-13) d) (+77) (-7)

e) (-18) (-1) f) (-156) (-13)

Eil _OD Ejercicio resuelto

(+48) [(-6) (+4)] [(+48) (-6)] (+4) ~ ~ ~

(+48) (-24) (-8) (+4)

~ ~ -2 -32

(+48) [(-6) (+4)] = [(+48) (-6)] (+4) = = (+48) [-24] =-2 = [-8] (+4) = -32

22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior

a) (-18) [(+6) (-3)] b) [(-18) (+6)] (-3)

e) (+54) [(-6) (+3)] d) [(+54) (-6)] (+3)

EE _ ~O Elerclclo resuelto 6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 -----=--------~~~

30 - 28 - 7 + 4 ~

34 - 35 V -1

6 5 - 4 7 - 28 4 + 36 9 = 30 - 28 - 7 + 4 = = 34 - 35 = - 1

24 o o o Efectuacutea como en el ejercicio resuelto anterior

a) 2 7 - 3middot4 - 2middot3 b) 30 6 - 42 7 - 27 9

e) 3 5 - 4 6 + 5 4 - 6 5 d) 5 4 - 28 4 - 3 3

iercicios vproblemas

rn -o Eierclcio re nelto Calcular (-3) (-4) - (+2) (-9) - ( -7) (-S)

(-3) (-4) - (+2) (-9) - (-7) (-5) ~ ~ L-----shy

(+12) - (-lS) - (+35) ~ I

12+1S-35 V 30 - 35

V -5

(-3) (-4) - (+2) (-9) - (-7) (-5) =

= (+12) - (-lS) - (+35) = 12 + 18 - 35 =

=30-35=-5

26000 Resuelve explicando el proceso igual que en el

ejercicio resuelto anterior

a) 16 + (-5) (+4)

b) 20 - (-6) (- 4)

e) (-2) (-5) + (+4) (-3)

d) (-S) (+2) - (+5) (-4)

e) 10 + (-4) (+2) - (+6)

f) (-5) - (+4) (-3) - (-S)

g) 14 - (+5) (-4) + (-6) (+3) + (-S)

h) (+4) (-6) - (-15) - (+2) (-7) - (+12)

21 000 Calcula como en el ejemplo

(-4) (2 - 7) = (-4) (-S) = +20

a)3middot(3-5) b)4middot(S-6)

e) 5 (S - 12) d) (-2) (7 - 3)

e) (-4) (6 - 10) f) (-5)middot (2 -9)

g) 16 (1 - 5) h) (-35) (9 - 2)

i) (-14) (5 + 2) j) (2 - S) 3

k) (5 + 7) (-4) 1) (12- 4) (-2)

28 000 Opera estas expresiones

a) 35 + 7middot (6 - 11)

b) 60 (S - 14) + 12

e) (9 - 13 - 6 + 9) (5 - 11 + 7 - 4)

d) (6 + 2 - 9 - 15) (7 - 12 + 3 - 6)

e) -(S + 3 -10) middot [(5 -7) (13 -15)]

EIiJ _ =c Ejerclclo resuelto (+12) - (+2) [(-3) - (-8)] =

= (+12) - (+2) [-3 + S] = (+12) - (+2) [+5] =

= (+12) - (+ 10) = 12 - 10 = +2

30000 Calcula paso a paso como en el ejercicio reshy

suel to anterior

a) (-3) [(-9) - (-7)]

b) 2S [(-4) + (-3)]

e) [(-9) - (+6)] (-5) shy

d)(-11)-(-2) middot[15-(+11)] shy

e) (+5) - (-lS) [(+9) - (+15)] -__

f) (-4) [(-6) - (-S)J - (+3) [(-11) + (+7)]

g) [(+5) - (+2)] [(-S) + (-3) - (-10)]

31 000 Opera

a) S + (4 - 9 + 7) 2 + 4 (3 - S + 4)

b) 4 [(+5) + (-7)]- (-3) [7 - (+3)]

e) (-3) (+11) - [(-6) + (-S) - (-2)] (+2)

d) (-6) [(-7) + (+3) - (7 + 6 - 14)]- (+7) (+3)

I] otencias V raiacuteces 32 0 00 Calcula

a) El cuadrado de (-S) b) El cuadrado de (-20)

e) El cubo de (-S) d) El cubo de (-20)

33 DOC Halla las potencias siguientes

a) (+1)10 b) (_1)10 e) (-1)1

d) (_4)4 e) (+S)2 f) (-9)2

g) (-10)1 h) (+9)3 i) (-3)5

34000 Calcula

a) (_3)3 b) (+3)3 e) -33

d) (_3)4 e) (+3)4 f) _34

35 000 Averigua el valor de x en cada caso

a) x 3 = -125 b) (_x)3 = -125

e) xII =-1 d)(-x)II=-1

e) (_x)4 = SI f) x 3 =-1 000

1 - - lt~

36 000 Calcula usando las propiedades de las potencias

a) (_5)4 (_2)4 b) (_4)4 (-5)4

c) (-18)3 (_6)3 d) (+35)3 (_7)3

e) [(-5)3]2 (-5)5 f) [(+8)4J3 (-8) 10

31 000 Opera estas expresiones

a) (+12)3 (-12)3 b) (-8)9 (_8) 8

c) [(-5)4 (-5)3J (+5)5 d) (_6) 7 [(+6)2 (+6)3J

e) [(-2)1 (-2)4J (_2)3 f) (_2)7 [(_2)4 (-2)3J

38 0 00 Halla si existe el resultado exacto o aproximado

a) ~(+121) b) ~(-121) c) ~(+225)

d) ~(+250) e) ~(-250) f) ~ (+400)

g) ~(-900) h) ~(+1 000) i) ~(+10000)

os nuacutemeros negativos en la calculadora

bull I n Eiercicio resuelto

Escribir el nuacutemero -13 en la pantalla de una calcushyladora

bull Por medio de una resta

7 Q 20 ~ --7 1_ _ 1

bull Con las teclas de memoria

13 ~ --7 1 3 1

40 00 0 Utilizando los procedimientos del ejercicio reshysuelto anterior escribe en la pantalla de tu calculadora

a) -3 b) -12 c) -328 d) -1 000

1000 Realiza con la calculadora las operaciones siguientes

a) 26 - 50

b) -126 - 84

c) (-43) (-15)

d) 1 035 (-45)

roble mas 2 000 En una industria de congelados la temperatura

en la nave de envasado es de 12 oC yen el interior del almaceacuten frigoriacutefico de 15 oC bajo cero iquestCuaacutel es la dishyferencia de temperatura entre la nave y la caacutemara

43000 Un diacutea de invierno amanecioacute a dos grados bajo cero A las doce del mediodiacutea la temperatura habiacutea sushybido 8 grados y hasta las cinco de la tarde subioacute 3 grashydos maacutes Desde las cinco a medianoche bajoacute 5 grados y de medianoche al alba bajoacute 6 grados maacutes iquestA queacute temperatura amanecioacute el segundo diacutea

44 0 00 Un buzo que hace trabajos en una obra submashyrina se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes

a) Baja 20 metros para dejar material

b) Baja 12 metros maacutes para hacer una soldadura

c) Sube 8 metros para reparar una tuberiacutea

d) Finalmente vuelve a subir a la plataforma

iquestCuaacutentos metros ha subido en su uacuteltimo desplazashymiento hasta la plataforma

45 0 0 0 Alejandro Magno uno de los maacutes grandes geneshyrales de la historia nacioacute en 356 ae y murioacute en 323 ae iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso

46 DOO El empresario de un parque acuaacutetico hace este reshysumen de la evolucioacuten de sus finanzas a lo largo del antildeo

ENERO-1vlAYO --7 Peacuterdidas de 2475 euro mensuales

JUNIO-AGOSTO --7 Ganancias de 8230 euro mensuales

SEPTIEMBRE --7 Ganancias de 1 800 euro

OCfUBRE-DICIEMBRE --7 Peacuterdidas de 3 170 euro mensuales

iquestCuaacutel fue el balance final del antildeo

41 000 Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el saldo que ten iacutea el 6 de noviembre sabiendo que el 15 de octubre se cerroacute con un saldo de 250 euro

BANCO KOKO EXTRACTO DE MOVIMIENTOS - nO de cuenta --- FECHA D H CONCEPTO

16middot X 150 euro oacutetraccioacuten cajero r shy

25middot X 2euro Devoluci6n comisi6n r shy

31 middotX 1284 euro Abono noacutemina -

2middot Xl 84 euro Gasto tarjeta comercio -3 - Xl 100euro Extraccioacuten cajC(Q-3middot Xl 572 euro Preacutestamo hipotecario

-5middot Xl 65 euro Recibo luz -

- ~9 -i k I -- -l-- -- e

1

esarrolla tus competencias

ee e infoacutermate

LoS cuadrados maacutegicos

La mente humana ademaacutes de utilizar los nuacutemeros como herramienta para el desarrollo cientiacutefico y tecnoloacutegico ha ideado muacuteltiples formas de jugar con ellos Un ejemplo son los cuadrados maacutegicos que consisshyten en distribuciones cuadradas de nuacutemeros ordenados de forma que la suma de los elementos de cualquier fila columna o diagonal es siempre la misma

Los cuadrados maacutegicos han aparecido desde tiempos remotos en las maacutes diversas culturas como puedes apreciar en este cuadrado chino el maacutes antiguo que se conoce de dimensiones 3 X 3

6 8

-- 7 5 3

2 9 4

bull Construye un cuadrado maacutegico de 3 X 3 con los nuacutemeros enteros comprendidos entre el --4 y el +4

Ayuda iquestCuaacutento valdraacute la suma de cada liacutenea

bull Comprueba que en el cuadrado de arriba filas columnas y diagonales suman 33

nvestiga

En este cuadrado maacutegico que aparece en el grabado Melancoliacutea de Alberto Durero toshydas las liacuteneas suman 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Busca en eacutel maacutes grupos de cuatro nuacutemeros con la mIsma suma iexclComprobaraacutes que es doblemente maacutegico

xpreacutesate

evos cuadrados DadOS

- -crva la ilustracioacuten comprueba que todos los cuadrashy Sara y Abel tiran dos dados ideacutenticos son maacutegicos y describe coacutemo se han obtenido _

- 6 4 26 8 - 3 1

--4

40 1 -2 31 7 22 25 16 19 10 13 28 4 37 34 -5

- 5 2

- 2 7

- 6 3

- 1 6

5 O 4

- 7

Explica por queacute Sara tiene maacutes posibilidades de gashynar que Abe

utoevaluacioacuten reflexiona sobre tu aprendizaje 5 Autoevaluacioacuten

Crees que utilizas correctamente los NUacuteMEROS POSITIVOS iquestSabes MULTIPLICAR iquestSabes DIVIDIR - NEGATIVOS para expresar situaciones cotidianas enteros enteros

iquestConoces cuaacutel es el CONJUNTO Z y cuaacuteles son sus elementos

iquestSabes resolver expresiones con OPERACIONES COMBINADAS

iquestSabes REPRESENTAR nuacutemeros enteros en la recta

Sabes ORDENAR nuacutemeros iquestSabes SUMAR YRESTAR nuacutemeros iquestSabes resolver expresiones con sushyenteros positivos y negativos mas restas y PAREacuteNTESIS

1 - - lt~

36 000 Calcula usando las propiedades de las potencias

a) (_5)4 (_2)4 b) (_4)4 (-5)4

c) (-18)3 (_6)3 d) (+35)3 (_7)3

e) [(-5)3]2 (-5)5 f) [(+8)4J3 (-8) 10

31 000 Opera estas expresiones

a) (+12)3 (-12)3 b) (-8)9 (_8) 8

c) [(-5)4 (-5)3J (+5)5 d) (_6) 7 [(+6)2 (+6)3J

e) [(-2)1 (-2)4J (_2)3 f) (_2)7 [(_2)4 (-2)3J

38 0 00 Halla si existe el resultado exacto o aproximado

a) ~(+121) b) ~(-121) c) ~(+225)

d) ~(+250) e) ~(-250) f) ~ (+400)

g) ~(-900) h) ~(+1 000) i) ~(+10000)

os nuacutemeros negativos en la calculadora

bull I n Eiercicio resuelto

Escribir el nuacutemero -13 en la pantalla de una calcushyladora

bull Por medio de una resta

7 Q 20 ~ --7 1_ _ 1

bull Con las teclas de memoria

13 ~ --7 1 3 1

40 00 0 Utilizando los procedimientos del ejercicio reshysuelto anterior escribe en la pantalla de tu calculadora

a) -3 b) -12 c) -328 d) -1 000

1000 Realiza con la calculadora las operaciones siguientes

a) 26 - 50

b) -126 - 84

c) (-43) (-15)

d) 1 035 (-45)

roble mas 2 000 En una industria de congelados la temperatura

en la nave de envasado es de 12 oC yen el interior del almaceacuten frigoriacutefico de 15 oC bajo cero iquestCuaacutel es la dishyferencia de temperatura entre la nave y la caacutemara

43000 Un diacutea de invierno amanecioacute a dos grados bajo cero A las doce del mediodiacutea la temperatura habiacutea sushybido 8 grados y hasta las cinco de la tarde subioacute 3 grashydos maacutes Desde las cinco a medianoche bajoacute 5 grados y de medianoche al alba bajoacute 6 grados maacutes iquestA queacute temperatura amanecioacute el segundo diacutea

44 0 00 Un buzo que hace trabajos en una obra submashyrina se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes

a) Baja 20 metros para dejar material

b) Baja 12 metros maacutes para hacer una soldadura

c) Sube 8 metros para reparar una tuberiacutea

d) Finalmente vuelve a subir a la plataforma

iquestCuaacutentos metros ha subido en su uacuteltimo desplazashymiento hasta la plataforma

45 0 0 0 Alejandro Magno uno de los maacutes grandes geneshyrales de la historia nacioacute en 356 ae y murioacute en 323 ae iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso

46 DOO El empresario de un parque acuaacutetico hace este reshysumen de la evolucioacuten de sus finanzas a lo largo del antildeo

ENERO-1vlAYO --7 Peacuterdidas de 2475 euro mensuales

JUNIO-AGOSTO --7 Ganancias de 8230 euro mensuales

SEPTIEMBRE --7 Ganancias de 1 800 euro

OCfUBRE-DICIEMBRE --7 Peacuterdidas de 3 170 euro mensuales

iquestCuaacutel fue el balance final del antildeo

41 000 Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el saldo que ten iacutea el 6 de noviembre sabiendo que el 15 de octubre se cerroacute con un saldo de 250 euro

BANCO KOKO EXTRACTO DE MOVIMIENTOS - nO de cuenta --- FECHA D H CONCEPTO

16middot X 150 euro oacutetraccioacuten cajero r shy

25middot X 2euro Devoluci6n comisi6n r shy

31 middotX 1284 euro Abono noacutemina -

2middot Xl 84 euro Gasto tarjeta comercio -3 - Xl 100euro Extraccioacuten cajC(Q-3middot Xl 572 euro Preacutestamo hipotecario

-5middot Xl 65 euro Recibo luz -

- ~9 -i k I -- -l-- -- e

1

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LoS cuadrados maacutegicos

La mente humana ademaacutes de utilizar los nuacutemeros como herramienta para el desarrollo cientiacutefico y tecnoloacutegico ha ideado muacuteltiples formas de jugar con ellos Un ejemplo son los cuadrados maacutegicos que consisshyten en distribuciones cuadradas de nuacutemeros ordenados de forma que la suma de los elementos de cualquier fila columna o diagonal es siempre la misma

Los cuadrados maacutegicos han aparecido desde tiempos remotos en las maacutes diversas culturas como puedes apreciar en este cuadrado chino el maacutes antiguo que se conoce de dimensiones 3 X 3

6 8

-- 7 5 3

2 9 4

bull Construye un cuadrado maacutegico de 3 X 3 con los nuacutemeros enteros comprendidos entre el --4 y el +4

Ayuda iquestCuaacutento valdraacute la suma de cada liacutenea

bull Comprueba que en el cuadrado de arriba filas columnas y diagonales suman 33

nvestiga

En este cuadrado maacutegico que aparece en el grabado Melancoliacutea de Alberto Durero toshydas las liacuteneas suman 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Busca en eacutel maacutes grupos de cuatro nuacutemeros con la mIsma suma iexclComprobaraacutes que es doblemente maacutegico

xpreacutesate

evos cuadrados DadOS

- -crva la ilustracioacuten comprueba que todos los cuadrashy Sara y Abel tiran dos dados ideacutenticos son maacutegicos y describe coacutemo se han obtenido _

- 6 4 26 8 - 3 1

--4

40 1 -2 31 7 22 25 16 19 10 13 28 4 37 34 -5

- 5 2

- 2 7

- 6 3

- 1 6

5 O 4

- 7

Explica por queacute Sara tiene maacutes posibilidades de gashynar que Abe

utoevaluacioacuten reflexiona sobre tu aprendizaje 5 Autoevaluacioacuten

Crees que utilizas correctamente los NUacuteMEROS POSITIVOS iquestSabes MULTIPLICAR iquestSabes DIVIDIR - NEGATIVOS para expresar situaciones cotidianas enteros enteros

iquestConoces cuaacutel es el CONJUNTO Z y cuaacuteles son sus elementos

iquestSabes resolver expresiones con OPERACIONES COMBINADAS

iquestSabes REPRESENTAR nuacutemeros enteros en la recta

Sabes ORDENAR nuacutemeros iquestSabes SUMAR YRESTAR nuacutemeros iquestSabes resolver expresiones con sushyenteros positivos y negativos mas restas y PAREacuteNTESIS

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LoS cuadrados maacutegicos

La mente humana ademaacutes de utilizar los nuacutemeros como herramienta para el desarrollo cientiacutefico y tecnoloacutegico ha ideado muacuteltiples formas de jugar con ellos Un ejemplo son los cuadrados maacutegicos que consisshyten en distribuciones cuadradas de nuacutemeros ordenados de forma que la suma de los elementos de cualquier fila columna o diagonal es siempre la misma

Los cuadrados maacutegicos han aparecido desde tiempos remotos en las maacutes diversas culturas como puedes apreciar en este cuadrado chino el maacutes antiguo que se conoce de dimensiones 3 X 3

6 8

-- 7 5 3

2 9 4

bull Construye un cuadrado maacutegico de 3 X 3 con los nuacutemeros enteros comprendidos entre el --4 y el +4

Ayuda iquestCuaacutento valdraacute la suma de cada liacutenea

bull Comprueba que en el cuadrado de arriba filas columnas y diagonales suman 33

nvestiga

En este cuadrado maacutegico que aparece en el grabado Melancoliacutea de Alberto Durero toshydas las liacuteneas suman 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Busca en eacutel maacutes grupos de cuatro nuacutemeros con la mIsma suma iexclComprobaraacutes que es doblemente maacutegico

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evos cuadrados DadOS

- -crva la ilustracioacuten comprueba que todos los cuadrashy Sara y Abel tiran dos dados ideacutenticos son maacutegicos y describe coacutemo se han obtenido _

- 6 4 26 8 - 3 1

--4

40 1 -2 31 7 22 25 16 19 10 13 28 4 37 34 -5

- 5 2

- 2 7

- 6 3

- 1 6

5 O 4

- 7

Explica por queacute Sara tiene maacutes posibilidades de gashynar que Abe

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Crees que utilizas correctamente los NUacuteMEROS POSITIVOS iquestSabes MULTIPLICAR iquestSabes DIVIDIR - NEGATIVOS para expresar situaciones cotidianas enteros enteros

iquestConoces cuaacutel es el CONJUNTO Z y cuaacuteles son sus elementos

iquestSabes resolver expresiones con OPERACIONES COMBINADAS

iquestSabes REPRESENTAR nuacutemeros enteros en la recta

Sabes ORDENAR nuacutemeros iquestSabes SUMAR YRESTAR nuacutemeros iquestSabes resolver expresiones con sushyenteros positivos y negativos mas restas y PAREacuteNTESIS

xpreacutesate

evos cuadrados DadOS

- -crva la ilustracioacuten comprueba que todos los cuadrashy Sara y Abel tiran dos dados ideacutenticos son maacutegicos y describe coacutemo se han obtenido _

- 6 4 26 8 - 3 1

--4

40 1 -2 31 7 22 25 16 19 10 13 28 4 37 34 -5

- 5 2

- 2 7

- 6 3

- 1 6

5 O 4

- 7

Explica por queacute Sara tiene maacutes posibilidades de gashynar que Abe

utoevaluacioacuten reflexiona sobre tu aprendizaje 5 Autoevaluacioacuten

Crees que utilizas correctamente los NUacuteMEROS POSITIVOS iquestSabes MULTIPLICAR iquestSabes DIVIDIR - NEGATIVOS para expresar situaciones cotidianas enteros enteros

iquestConoces cuaacutel es el CONJUNTO Z y cuaacuteles son sus elementos

iquestSabes resolver expresiones con OPERACIONES COMBINADAS

iquestSabes REPRESENTAR nuacutemeros enteros en la recta

Sabes ORDENAR nuacutemeros iquestSabes SUMAR YRESTAR nuacutemeros iquestSabes resolver expresiones con sushyenteros positivos y negativos mas restas y PAREacuteNTESIS