14 dinamica circular de una particula
DESCRIPTION
conceptos de dinamica circularTRANSCRIPT
(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)
32
Resumen Teórico 14
Dinámica Circular
DEFINICION
La dinámica circular estudia las causas que determinan un movimiento
rotatorio. Por ejemplo: En el juego de la rueda de la fortuna, intervienen
fuerzas de gran magnitud. La dinámica circular estudia las fuerzas que
originan este tipo de movimiento circular.
En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la
velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente
de dirección esto debido a que tiene una aceleración que está dirigida
hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración centrípeta o
normal y cuyo módulo puede ser calculado mediante las siguientes
formulas:
𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2
𝑅
Es importante también resaltar que además de esta aceleración
centrípeta es necesaria una fuerza centrípeta constante para que haya
un movimiento circunferencial.
FUERZA CENTRÍPETA (FC): La fuerza centrípeta es toda fuerza que
actúa en un movimiento circunferencial, cuya dirección es radial y su
sentido es hacia el centro de la circunferencia. La fuerza centrípeta tiene
la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta.
La segunda ley de Newton afirma, que la fuerza neta (∑F) que actúan
sobre un cuerpo que describe un movimiento rectilíneo es igual al
producto de la masa por su aceleración.
∑𝐹 = 𝑚𝑎………………………movimiento rectilíneo
Para un movimiento circular uniforme la segunda ley de Newton, afirma
que la resultante de las fuerzas (∑FC) que actúan sobre un cuerpo que
describe un movimiento circunferencial es igual al producto de la masa
(m) por la aceleración centrípeta (aC), los cual se expresa de la siguiente
manera:
∑𝐹 𝐶 = 𝑚𝑎𝐶 … .𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Guía de FÍSICA (DERUM) (14) DINAMICA CIRCULAR
33
FORMULARIO PARA dinámica
circular
Las formulas que se tienen para dinámica circular son:
∑𝐹 𝐶 = 𝑚𝑎𝐶
Peso 𝑊 = 𝑚𝑔
Fricción 𝑓 = 𝜇 𝑁
Aceleración centrípeta
𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2
𝑅
En donde:
∑FC = Suma de fuerzas dirigidas hacia
el centro de la circunferencia (N).
W= Peso (N).
f = Fuerza de fricción (N).
N = Fuerza Normal (N).
aC = Aceleración centrípeta (m/s2).
g = Gravedad (m/s2).
m = Masa (kg).
µ = Coeficiente de fricción.
V = Velocidad tangencial (m/s).
ω = Velocidad angular (rad/s).
R = Radio de giro (m).
PROBLEMAS RESUELTOS Dinámica circular
PROBLEMA 1 | Un avión que vuela a
razón de 60 m/s, realiza un lazo de
dos vueltas en el aire con la misma
velocidad. Si se sabe que la máxima
fuerza con que el piloto comprime su
asiento es 4 veces su peso, determinar
el tiempo que emplea para completar
una revolución (g = 10m/s2).
SOLUCION: Nos piden hallar el tiempo que emplea para completar una
vuelta.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
V = 60 m/s
Fmax = 4mg
g = 10 m/s2
θ = 1 rev = 2π rad
En movimientos circulares en planos verticales como en este caso, la
máxima fuerza centrípeta que se experimenta el cuerpo es en la parte
inferior de la trayectoria circular tal como se ve en el grafico.
Planteamiento de ecuaciones:
(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)
34
D.C.L. para el piloto
Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos:
Eje Y: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶
𝐹 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅
4𝑚𝑔 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅
3 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅
3 𝑔 = 𝜔2𝑅……………… . (1)
En el problema nos piden hallar el tiempo para lo cual necesariamente
necesitamos ecuaciones de cinemática circular, ya que el móvil se mueve
con velocidad constante tenemos:
𝜃 = 𝜔 𝑡 ……………………………… . . (2)
Además de la relación que existe entre la velocidad tangencial y angular,
tenemos:
𝑉 = 𝜔 𝑅……………………………… . . (3)
Resolución de las ecuaciones:
Dividiendo las ecuaciones 1 y 3, tenemos:
3 𝑔
𝑉=
𝜔2𝑅
𝜔 𝑅
3 𝑔
𝑉= 𝜔
Remplazando esta ecuación en 2 se tiene:
𝜃 = 3 𝑔
𝑉 𝑡
Despejando t.
𝑡 =𝜃𝑉
3 𝑔
Remplazando datos.
𝑡 =2𝜋(60)
3 (10)
𝑡 = 4𝜋 𝑠______________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.
PROBLEMA 2 | Calcular la velocidad
angular del cilindro de radio 10 m, tal
que el bloque de masa m no resbale, el
coeficiente de rozamiento estático es
0,25 entre el bloque y la pared.
SOLUCION: Nos piden hallar la velocidad angular del cilindro.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
R = 10 m
µ = 0,25
Regla de signos usados en la suma de las fuerzas.
Se toman con signo positivo (+) a las fuerzas dirigidas hacia el centro de la
trayectoria circular y con signo negativo ( – ) a las fuerzas que están dirigidas
hacia afuera.
Guía de FÍSICA (DERUM) (14) DINAMICA CIRCULAR
35
Planteamiento de ecuaciones:
D.C.L. para el bloque
Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje
tenemos:
Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶
𝑁 = 𝑚 𝜔2𝑅……………… . (1)
Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝑓 −𝑚𝑔 = 0
𝑓 = 𝑚𝑔………………… . . (2)
𝑓 = 𝜇𝑁…………… . .… . . (3)
La sumatoria de fuerzas en el eje y se iguala a cero por la condición que
nos dan en el problema de que el bloque no resbale y por lo tanto la
aceleración en este eje es cero.
Resolución de las ecuaciones:
Remplazando la ecuación 2 en 3, tenemos:
𝑚𝑔 = 𝜇𝑁
Remplazando la ecuación 1 en esta, se tiene:
𝑚𝑔 = 𝜇𝑚 𝜔2𝑅
Despejando ω 𝑔 = 𝜇 𝜔2𝑅
𝜔2 =𝑔
𝜇𝑅
𝜔 = 𝑔
𝜇𝑅
Remplazando datos.
𝜔 = 9,8
0,25(10)
𝜔 = 1,98 𝑟𝑎𝑑/𝑠________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.
PROBLEMA 3 | Determine el ángulo del peralte de una curva de 25 m de
radio, para que un camión con una rapidez de 70 km/h, pueda tomarla
sin deslizar sobre el pavimento, donde el coeficiente de fricción estático
es 0,8. La masa del camión es de 2000 kg.
SOLUCION: Nos piden hallar el ángulo de inclinación de la curva para
que el camión pase sin deslizarse.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS: Vista desde arriba
R = 25 m
V = 70 km/h = 19,44 m/s
µ = 0,8
m = 2000 kg
(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)
36
Como dijimos la fuerza de fricción se opone al movimiento en nuestro
caso se opone al deslizamiento del camión impidiendo de esta forma que
el camión salga de la curva a causa de la inercia, es por esta razón que en
caminos con curvas siempre tienen un cierto ángulo de inclinación
llamados peraltes.
Planteamiento de ecuaciones:
D.C.L. para el Camión.
𝑓 = 𝜇𝑁………………………… . (1)
Del grafico de D.C.L. descomponiendo la Normal (N) y la fricción (f) en
sus componentes rectangulares, tenemos:
Para la Normal: 𝑁𝑥 = 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝑁𝑦 = 𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃
Para la fricción: 𝑓𝑥 = 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑓𝑦 = 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃
Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:
Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶
𝑁𝑥 + 𝑓𝑥 = 𝑚𝑉2
𝑅
Recordando que (NX=NSenθ) y (fX=f Cosθ) la ecuación queda.
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑉2
𝑅…………………… (2)
Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝑁𝑦 − 𝑓𝑦 −𝑚𝑔 = 0
Recordando que (NY= NCosθ) y (fY=f Senθ) la ecuación queda.
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃 −𝑚𝑔 = 0
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑔…………………… (3)
Resolución de las ecuaciones:
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 2 y 3, tenemos:
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃=
𝑚𝑉2
𝑚𝑔𝑅
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃=
𝑉2
𝑔𝑅
Remplazando la ecuación 1 en esta, se tiene:
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃=
𝑉2
𝑔𝑅
Factorizando N
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝑉2
𝑔𝑅
𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃=
𝑉2
𝑔𝑅
Dividiendo el numerador y denominador del primer miembro entre (Cos θ), tenemos:
Guía de FÍSICA (DERUM) (14) DINAMICA CIRCULAR
37
𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃
= 𝑉2
𝑔𝑅
𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃 +
𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃
−𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃
= 𝑉2
𝑔𝑅
𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇
1 − 𝜇 𝑡𝑔𝜃=
𝑉2
𝑔𝑅
𝑔𝑅 𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇 = 𝑉2 1 − 𝜇 𝑡𝑔𝜃
𝑔𝑅𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇𝑔𝑅 = 𝑉2 − 𝑉2𝜇 𝑡𝑔𝜃
𝑔𝑅𝑡𝑔 𝜃 + 𝑉2𝜇 𝑡𝑔𝜃 = 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅
𝑡𝑔 𝜃 𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇 = 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅
Despejando 𝜃
𝑡𝑔 𝜃 =𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅
𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇
𝜃 = 𝑡𝑔−1 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅
𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇
Remplazando datos.
𝜃 = 𝑡𝑔−1 19,442 − 0,8(9,8)(25)
9,8(25) + 19,442(0,8)
𝜃 = 18,4°________________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.
PROBLEMA 4 | Una barra doblada en L, gira con velocidad angular
constante de 3,16 rad/s, como se muestra en la figura. En la periferia
cuelga una esfera a través de una cuerda de longitud L = 1 m, formando
un ángulo θ = 45°respecto a la vertical. Hallar la distancia D de la barra
(g=10m/s2)
SOLUCION: Nos piden hallar la distancia D de la barra.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
ω = 3,16 rad/s
L = 1 m
θ = 45°
g = 10 m/s2
Del grafico anterior, sacamos una grafica para relacionar el Radio con
las distancias D y x. Figura 2
Planteamiento de ecuaciones:
(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)
38
D.C.L. para la esfera.
Del grafico descomponiendo la tensión T en sus
componentes rectangulares, tenemos:
𝑇𝑥 = 𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑇𝑦 = 𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃
Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:
Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶
𝑇𝑥 = 𝑚 𝜔2𝑅
Recordando que (TX= T Sen θ) la ecuación queda.
𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝜔2𝑅…………………… . . (1)
Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝑇𝑦 −𝑚𝑔 = 0
Recordando que (TY= T Cosθ) la ecuación queda.
𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 −𝑚𝑔 = 0
𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑔……………… . . (2)
Obteniendo una ecuación adicional de la Figura 2
𝑅 = 𝐷 + 𝑥 ……………………… . . (3)
Además del triangulo que forman la distancia (x) y la Longitud (L) con la
vertical Figura 2, tenemos:
𝑥 = 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃 ………………………… (4)
Resolución de las ecuaciones:
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃=
𝑚 𝜔2𝑅
𝑚𝑔
𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃=
𝜔2𝑅
𝑔
𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅
𝑔
𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅
Remplazando la ecuación 3 en esta, se tiene.
𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2 𝐷 + 𝑥
𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝐷 + 𝜔2𝑥
Remplazando la ecuación 4 en esta, tenemos:
𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝐷 + 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃
Despejando D.
𝑔𝑡𝑔𝜃 − 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝜔2𝐷
𝐷 =𝑔𝑡𝑔𝜃 − 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝜔2
Remplazando datos.
𝐷 =10𝑡𝑔45° − 3,162 (1)𝑆𝑒𝑛 45°
3,162
𝐷 = 0,29 𝑚_____________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.
PROBLEMA 5 | Por una semiesfera de radio r= 100 cm se desliza sin
fricción una pequeña esfera de masa m ¿A que altura h se encontrara el
cuerpo si la semiesfera gira con velocidad angular constante de 6 rad/s?
Guía de FÍSICA (DERUM) (14) DINAMICA CIRCULAR
39
SOLUCION: Nos piden hallar la altura a la que se encuentra girando la
esfera.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
r = 100 cm = 1m
ω = 6 rad/s
g = 9,8 m/s2
Grafica para relacionar el radio de la semiesfera (r) con el radio de
giro (R) de la pequeña esfera y la altura (h). Figura 2
Planteamiento de ecuaciones:
D.C.L. para la pequeña esfera.
Del grafico de D.C.L. descomponiendo la normal
N en sus componentes rectangulares, tenemos:
𝑁𝑥 = 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑁𝑦 = 𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃
Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:
Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶
𝑁𝑥 = 𝑚 𝜔2𝑅
Recordando que (NX=NSen θ) la ecuación queda.
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝜔2𝑅…………………… . . (1)
Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝑁𝑦 −𝑚𝑔 = 0
Recordando que (NY= N Cosθ) la ecuación queda.
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 −𝑚𝑔 = 0
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑔………… . .……… (2)
Ecuación adicional del triangulo que forman R, r y (r – h), Figura 2
tenemos:
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑅
𝑟 − ………………………… . (3)
Resolución de las ecuaciones:
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)
40
𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃=
𝑚 𝜔2𝑅
𝑚𝑔
𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃=
𝜔2𝑅
𝑔
𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅
𝑔
Remplazando la ecuación 3 en esta, se tiene:
𝑅
𝑟 − =
𝜔2𝑅
𝑔
𝑔𝑅 = 𝜔2𝑅 𝑟 −
𝑔 = 𝜔2 𝑟 −
𝑔 = 𝜔2𝑟 − 𝜔2
Despejando h.
𝜔2 = 𝜔2𝑟 − 𝑔
= 𝜔2𝑟 − 𝑔
𝜔2
Remplazando datos.
= 62(1) − 9,8
62
= 0,73 𝑚_____________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.