Variables aleatorias

FaMAF

14 de marzo, 2013

Variables aleatorias

DefiniciónUna variable aleatoria sobre el espacio muestral S es una función:X : S 7→ R tal que P(X ≤ x) = P({w : X (w) ≤ x}) existe.

DefiniciónFunción de distribución acumulada:

F (x) = P(X ≤ x) := P ({s ∈ S | X (s) ≤ x}) .

I no decreciente.I 0 ≤ F (x) ≤ 1.I continua a derecha

Variables aleatorias

I Discreta: sólo un número finito o numerable de valores.I Continua:P(X = x) = 0, esto es F(x) es una función continua.I (Absolutamente) Continua o continua con densidad: existe f no

negativa tal que

P(X ∈ C) =

∫C

f (x)dx .

EjemploX el número de tiradas hasta que salgan tres caras consecutivasY el tiempo entre arribos de consumidoresZ el número de consultas al 112 en un día determinado.

Función de frecuencia o densidad discreta

DefiniciónSea X v.a. discreta, es decir, toma los valores x1, x2, . . . , se define laFunción de frecuencia de X como :

p(xi) = P(X = xi).

Propiedades

∞∑i=1

p(xi) = 1.

P(X < b) = limn→∞

F (b − 1n).

Función de frecuencia o densidad discreta

EjemploTiro un dado hasta que salga un seis. La función de frecuenciadiscreta y la acumulada son

P(X = k) = (56)(k−1) 1

6∞∑

k=1

P(X = k) =∞∑

k=1

(56)(k−1) 1

6=

16

∞∑k=0

(56)k =

16.

11− 5

6

= 1

FX (x) = P(X ≤ x) = 1− P(X > x) = 1−∞∑

k=1

P(X = [x ] + k) =

=∞∑

k=1

(56)([x ]+k−1) 1

6=

16.(

56)([x ]−1).

∞∑k=1

(56)k = (

56)[x ]

Función de densidad

Sea X una variable continua que admite densidad f , entonces lafunción f cumple las siguientes propiedades

I F (a) =∫ a

−∞f (x)dx .

Idda

F (a) = f (a).

I P({a− ε/2 ≤ X ≤ a + ε/2} =∫ a+ε/2

a−ε/2f (x)dx ' f (a) · ε.

I P(X = a) = 0.

Variable aleatoria absolutamente continua

f (x) =12I(3,5)(x) F (x) =

0 x ≤ 3x−3

2 3 < x < 51 x ≥ 5

Distribución conjunta

X , Y : variables aleatorias.

I Función de distribución acumulada conjunta de X e Y .

F (a,b) = P(X ≤ a, Y ≤ b).

I X e Y discretas:

p(a,b) = P(X = a, Y = b)

I X e Y continuas son conjuntamente continuas con densidad siexiste una función no negativa f tal que para todo C, D:

P(X ∈ C, Y ∈ D) =

∫ ∫x∈C,y∈D

f (x , y)dx dy .

Distribuciones marginales

Si F es función de distribución conjunta de X e Y :I FX (a) = P(X ≤ a) = F (a,∞) es la distribución marginal de X .I si X es discreta

pX (a) =∑

b

p(a,b).

I si (X,Y) admite densidad

FX (a) =∫ a

−∞

∫ ∞−∞

f (x , y)dy dx =

∫ a

−∞fX (x)dx .

I FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞,b): distribución marginal de Y .I La distribución conjunta permite obtener las distribuciones

(marginales) de X e Y .I La recíproca no es cierta.

Distribución condicional

I X e Y discretas:

p(x , y) = pX |Y (x | y)pY (y)

pX |Y (x | y) = P(X = x | Y = y) =P(X = x ∩ Y = y)

P(Y = y)=

p(x , y)pY (y)

.

P(X ≤ x | Y = y) =∑ai≤x

pX |Y (ai | y)

I X e Y conjuntamente continuas con densidad:

fX |Y (x | y) =f (x , y)fY (y)

=fY |X (y | x)fX (x)

fY (y).

P(X ≤ x | Y = y) =∫ x

−∞fX |Y (s | y)ds.

Distribuciones condicionales

EjemploTiro un dado una vez y luego una moneda tantas veces como elnúmero que salió en el dado. Sea X el número que sale en el dado eY el número de caras de la tirada de la moneda.

P(X = 6,Y = 3) = pY |X (3 | 6)pX (6) =(

63

)(12)3(

12)3.

16

P(X = n,Y = k) = pY |X (k | n)pX (n) =(

nk

)(12)k (

12)n−k .

16

Distribución conjunta

I X e Y son independientes si

P(X ∈ C, Y ∈ D) = P(X ∈ C) · P(Y ∈ D).

{X ∈ C} y {Y ∈ D} son eventos independientes.I X e Y discretas:

P(X = a, Y = b) = P(X = a) · P(Y = b)

p(a,b) = pX (a) · pY (b).

I X e Y conjuntamente continuas con densidad:

f (x , y) = fX (x) · fY (y)

I Si X e Y son independientes, la distribución conjunta se obtienea partir de las distribuciones de X e Y .

Valor esperado

I Si X es una v.a. discreta:

E [X ] =∑

i

xi P(X = xi).

I Si X es una v.a. continua con densidad:

E [X ] =

∫ ∞−∞

x f (x)dx .

I El valor esperado no es necesariamente un valor posible de X .

Valor esperado

−10 −6 6 10

σ=6

σ=10

Valor esperado

EjemploTiro un dado una vez. La esperanza de X , el número observado es

6∑k=1

kP(X = k) =6∑

k=1

k16=

6(6 + 1)2

16=

72

EjemploSe tienen 2 bolas, una blanca y una negra. Se extrae una bola y si esblanca se termina la experiencia, si es negra se la coloca en otra cajay se agrega otra bola negra. Sea X el número de extraccionesnecesarias hasta obtener una bola blanca.

P(X = k) =(k − 1)!k + 1!

=1

(k + 1).kE(X ) =

∞∑1

k(k + 1).k

=∞∑1

1k + 1

=∞

Propiedades del valor esperado

Si g : R 7→ R, entonces g(X ) es una v.a. yI Discretas:

E [g(X )] =∑

g(x)p(x).

I Continuas con densidad:

E [g(X )] =

∫g(x) f (x)dx .

Linealidad:E [aX + b] = aE [X ] + b.

Si X e Y son v.a., entonces

E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ].

Propiedades del Valor esperado

EjemploSupongamos que distribuimos n bolas indistinguibles en k celdas, ysea X el número de celdas vacias. Sea Xi la variable indicadora de lai-esima celda vacía. Entonces

P(Xi = 1) =número de formas de poner n bolas en (k-1)celdasnumero de formas de poner n bolas en k celdas

E(Xi) =(k − 1)n

kn = (1− 1k)n

E(X ) =k∑1

E(Xi) = k(1− 1k)n

Varianza

Es una medida de la variación de X entorno a µ = E [X ]:

Var(X ) = E [(X − µ)2] = E [X 2]− µ2.

I No es lineal:Var(aX + b) = a2 Var(X ).

I La varianza de la suma no es (necesariamente) la suma de lasvarianzas.

I Covarianza de X e Y :

cov(X ,Y ) = E [(X − µX )(Y − µY )].

I Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2 cov(X ,Y ).

Varianza

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

σ=3

σ=5.7735

µ=0

Varianza y desviación estándar

I Si X e Y son independientes

cov(X ,Y ) = 0.

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).

I Desviación estándar de X :

σ(X ) =√

Var(X ).

I Correlación de X e Y :

ρ(X ,Y ) =cov(X ,Y )

σ(X ) · σ(Y ).

Correlación

r=0.01 r=0.28

r=0.43 r=0.73

r=0.91 r=0.99

Uniforme U{1,n}

n valores igualmente probablesI Rango: {1, . . . ,n}I Función de masa:

P(X = i) =1n.

I Valor esperado:

E [X ] =n + 1

2.

I Varianza:

Var(X ) =n2 − 1

12.

Bernoulli

Éxito o fracasoI Rango: {0,1}I Función de masa:

P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1− p.

I Valor esperado:E [X ] = p.

I Varianza:Var(X ) = p · (1− p).

Binomial Bi(n,p)

Número de éxitos en n ensayos independientes, con probabilidad pde éxito.

I Rango: {0,1,2, . . . ,n}I Función de masa:

P(X = i) =(

ni

)pi(1− p)n−i .

I Valor esperado:E [X ] = n p.

I Varianza:Var(X ) = n p (1− p).

I Fórmula recursiva:

pi+1 =n − ii + 1

p(1− p)

pi .

Binomial

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35n=10

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25n=20

0 10 20 30 40 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14n=50

0 20 40 60 80 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1n=100

Poisson P(λ)

Número de éxitos en una cantidad grande de ensayosindependientes

I Rango: {0,1,2, . . . } = {0} ∪ NI Función de masa:

P(X = k) = e−λλk

k !.

I Valor esperado:E [X ] = λ.

I Varianza:Var(X ) = λ.

I Fórmula recursiva:pk+1 =

λ

k + 1pk .

Poisson

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4λ=1

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35λ=2

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2λ=5

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2λ=7

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geométrica Geom(p)

Número de ensayos independientes hasta el primer éxitoI Rango: N.I Función de masa:

P(X = n) = p (1− p)n−1, n ≥ 1.

I Valor esperado:

E [X ] =1p.

I Varianza:Var(X ) =

1− pp2

Geométrica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

f(x|

p)

Densidad Geometrica

p = 0.3p = 0.5p = 0.7

Binomial Negativa o Pascal Bn(r ,p)

Número de ensayos independientes hasta obtener r éxitosI Rango: {r , r + 1, r + 2, . . . } = {n ∈ N | n ≥ r}.I Función de masa:

P(X = n) =(

n − 1r − 1

)pr (1− p)n−r , n ≥ r .

I Valor esperado:E [X ] =

rp.

I Varianza:Var(X ) =

r(1− p)p2 .

Binomial Negativa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x|

r,p)

Binomial negativa p=0.5

r = 1r = 3r = 6

Hipergeométrica

Número de éxitos en una muestra de tamaño n extraída de unconjunto de N + M elementos

I Rango: {0,1,2, . . . ,n}I Función de masa:

P(X = i) =

(Ni

) ( Mn−i

)(N+Mn

) .

I Valor esperado:

E [X ] =nN

N + M.

I Varianza:

Var(X ) =nNM

(N + M)2

(1− n − 1

N + M − 1

).

Hipergeométrica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

x

f(x|

p)

Densidad Hipergeometrica N=100, n=20

r=20r=10r=5