8/6/2019 1.3.ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An

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1.3.ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An INDUCCIN MATEMTICA

Calcular A

n,

El mtodo de demostracin conocido como induccin matemtica, se puede

utilizar para demostrar que una cierta proposicin p(n), que se refiere a los

nmeros naturales, es cierta para cada n.

El mtodo nos dice:

1. Demuestra que P(1) existe2. Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es ciertaAs queda claro que P(n) es cierta Para la matriz A empezamos

calculando las sucesivas potencias de

la matriz cuadrada A:

A estas potencias las escribimos de

otro modo:

Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuacin general:

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Demostramos por induccin que es verdad:

1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo.2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que tambin es cierta

para n+1

Por lo tanto queda demost rado por induccin que:

Ejemplo:

Sea: , encontrar BnPrimero encontramos sus primeras potencias tales como:

HI) TI) Demostracin:

B(k+1)

=Bk*B

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PASOS PARA CALCULAR An

1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B

2. Aplicar Binomio de Newton

0 0 0

3. Simplificar:

4. Sustituir matrices y operar:

Ejemplo:

Encontrar con el binomio de newton A

n

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1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la formaA=I+B

2. Aplicar Binomio de Newton

3. Simplificar:Tenemos:

4. Sustituir matrices y operar: