13.30.1- trazado de la orbita aproximada con los …

Determinación de órbitas elípticas Página 80

Introducción a la Mecánica Celeste Página 80 de 93

13.30.1- TRAZADO DE LA ORBITA APROXIMADA CON LOS ELEMENTOS CALCULADOS.

13.30.2- ORDEN DEL TRAZADO PROPUESTO.

Se propone dibujar la órbita de Palas vista en planta en forma aproximada, como para

tener una idea de la posición espacial. Por lo tanto, la órbita terrestre (que es casi circular)

se verá inclinada. Se dibujará entonces como una elipse.

Secuencia del trazado:

1. Dibujar un punto que repre-

sente al Sol.

2. Trazar por el Sol el eje del

punto Aries.

3. A 90º de este último, trazar

el eje Y.

4. Trazar las posiciones rectan-

gulares de la Tierra, 1, 2, y 3.

Para no complicar el trazado,

ignorar la coordenada z.

5. Hacer una vista lateral del

plano de la órbita de Palas.

Este plano se representa como

una línea paralela al eje Y.

6. Ahora hay que trazar la pro-

yección del plano de la

Eclíptica en la vista lateral. Se

puede trazar porque cono-

cemos el ángulo i=35°.2.

7. Dibujar la proyección del plano del Ecuador terrestre en la vista lateral. Este corta al



plano de la Eclíptica en un punto T. Este punto se obtiene de proyectar la posición 1 de La

Tierra.

8. A continuación, en la vista en planta, hay que trazar un arco de circunferencia centrado

en el Sol, con un radio que es la distancia heliocéntrica r1= 3.415 UA.

9. Inmediatamente después,

trazar con centro en el punto 1

otra circunferencia con radio

R1=2.654UA (la distancia geo-

céntrica). Resultando que los

arcos se cruzan en dos puntos,

pero solo uno es el correcto.

Para eliminar el punto inco-

rrecto, habrá que usar in-

formación de las observa-

ciones, tal como el ángulo de

elongación, o la ubicación

sobre el fondo de la constela-

ción en la que se observó el

asteroide. Si se conoce el

ángulo de elongación, será más

fácil determinar qué punto P es

el correcto.

10. Trazar los segmentos 1-P1 y

1-P1’. Chequear con tablas

astronómicas de la fecha t1 que

el ángulo Sol—1—P1 de la

elongación de Palas sea aproximadamente 153º.

11. Habiendo establecido el

punto P1, usando el ángulo de

elongación, desechar P1’. En

este punto debe haber queda-

do dibujado el triángulo carac-

terístico Sol—1—P1.

12. Ha finalizado el trazado del

primer punto aproximado P1

(muy burdamente), pero que

da la idea de la posición

relativa del asteroide res-pecto

a la Tierra y al Sol para la

fecha t1.

Para el trazado del punto P2, se

procede análogamente, pero

ya no hay duda sobre la

dirección de esa visual, igual-

mente conviene ver el ángulo

de elongación para P2.



Describo el proceso, otra vez.

13. Con centro en 2, circun-

ferencia de radio R2 = 2.611

UA.

14. Con centro en el Sol,

circunferencia de radio r2 =

3.412 UA.

15. Determinar P2, y desechar

P2’.

Para el tercer punto P3

apareció un problema: Las

circunferencias trazadas con

sus radios respectivos no se

cortan, y en consecuencia no

puede determinarse P3 por este

camino. Pero como ya

conocemos las anomalías,

podremos colocar el punto P3

entre P2 y el eje del punto Aries. Hay que atribuir la falta de precisión del dibujo al hecho

de que la inclinación del plano orbital es considerable, y trazando circunferencias hay

diferencias con las elipses

reales. Pero no obstante,

puede trazarse la elipse que

representará la órbita de Palas,

porque de los cálculos hemos

obtenido el semieje mayor a,

la excentricidad e, y los án-

gulos ω y Ω, que se ven en las

próximas figuras. Lo que sirve

de este trazado es que se ve la

órbita elíptica de Palas en

planta.

Los ángulos denominados

“anomalías v” son:

v1 = 191º.99814

v2 = 192º.68221

v3 = 194º.05377

Estos ángulos nos sirven para

controlar todo el procedimien-

to anterior. En la gráfica, el

trazado de P1 está aproximadamente a v1=185° en lugar de v1=192° . Quizá se deba este error

a la gran inclinación ( i=35° ) del plano orbital de Palas. Se preguntará el lector, por qué no

empecé por trazar las anomalías y listo. Podría haberlo hecho y tendría las tres posiciones

relativas P1, P2 y P3 con mucha mas precisión que haciendo el camino que inicié. Es que el

trabajo de hacer todos los trazados ayuda a ver la coherencia de las cantidades calculadas,



es decir los elementos

orbitales: el semieje ma-

yor, las distancias geo-

céntricas y heliocéntricas,

los ángulos ω y Ω, el

ángulo de inclinación de

la órbita, y finalmente la

distancia focal, en fun-

ción de la excentricidad,

y el semi latus rectum.

Continuando con el es-

quema, se traza la línea

de los nodos, que pasa

por el Sol, Ω = 172°.6

desde el eje del punto

Aries. Ver figura → .

Tomando como referen-

cia la línea de los nodos

se traza el semieje mayor,

a un ángulo ω= 304°.8

desde la línea de los

nodos, más precisamente

del lado del nodo ascen-

dente.

Lo que sigue, la posición del origen del semieje mayor o centro, necesita ser calculado con

las fórmulas bien conocidas de la elipse:

b2 = a2 (1 − e2 ),

y

e = c / a → c = e · a .

De estas ecuaciones se

despeja b, que es el semi-

eje menor, y c que es la

distancia desde el centro

de la elipse hasta uno de

los focos. El cálculo da

para c = 0.6628 UA y para

b = 2.6957 UA. En la

figura anterior se ve la

medida c, por la que

cruza el eje menor de la

elipse. Llegado a este

punto, trazar los extremos

del eje menor, y los

extremos del eje mayor.

En esta figura, se ve la

elipse ya trazada. Si todo

se ha hecho bien, debería constatarse que los trazados sean coherentes con las cifras

calculadas.



13.31- COMENTARIOS.

Así se ha terminado este ejercicio, y vean lo pequeño que resultó el arco definido por las

3 posiciones elegidas. Hay muchísimo más por estudiar en este tema, pero esto es lo básico,

el principio, para tener una idea de cómo se hace un cálculo. Hay que recordar que los

elementos orbitales calculados en este ejemplo, no son exactamente iguales que los

publicados por el CPM, ya que ese distinguido Instituto utiliza para esto TODAS las

observaciones disponibles.

Personalmente, he comprobado el procedimiento mostrado con otros cuerpos celestes,

concretamente con los asteroides Ceres, Juno y Vesta, y con los planetas Marte, Júpiter,

Saturno y Urano. Pero como dice el Dr. Tatum en su trabajo: “no siempre se llega a buen

resultado aunque todo se haga bien”, lo digo porque al aplicar este método a Venus las

distancias geocéntricas dan cifras negativas (una distancia no puede ser negativa).

Probablemente la causa esté encuadrada dentro de los casos especiales en los que el

método falla. El mismo Gauss, en su impresionante libro publicado en 1809: “Teoría del

movimiento de los cuerpo celestes….”, describe los casos en que este método falla.

Precisamente uno de esos casos es el que involucra cuerpos que se mueven muy cerca del

plano de la eclíptica. Así, lo he comprobado para Venus y Mercurio. Sin embargo, para los

planetas Marte, Júpiter, Saturno y Urano, el método da resultados muy acordes a las cifras

de las tablas astronómicas. Hay que hacer muchos ejemplos para comprender cómo

conviene seleccionar las posiciones cuando hay muchas más que 3 observaciones.

Si no resultara muy extenso daría las cifras para otros ejemplos que he trabajado.

FIN



13.32- APENDICE I

Resolución del sistema de ecuaciones (13.12.25/26). (Ver Capítulo 1, Celestial Mechanics del Prof. Tatum). Antes de aplicar el método de Newton-Raphson hay que “fabricar” la función F necesaria para el esquema x = x − F /F ’. Para no cambiar el ejemplo que Tatum da en el Capítulo 1: Sean las ecuaciones

−=−

−=

−=

)(sen

)cos()(sen(36

)cos(4

36;

)cos(4

36

3

23

2

y

yyyxx

yx

yx

(1)

Llamaremos

)(sen

)cos()(sen;

)cos(4

13 y

yyySy

yR

−=

−=

Así: Rx 362= , y : 0

)(sen

)cos()(sen(3636

3

3=

−−−

444 3444 21S

y

yyyRx

De (1):

2/3

2/33

3 )36()cos(4

36

)cos(4

36R

yyx =

−=

−=

Y reemplazando:

0

)3636(

3636)36( 2/3=

+−

−− 43421SR

SRR

Ahora hay que agrupar, quedando:

0)3636()36( 2/3=+− SRR

Pasar al segundo miembro y elevar al cuadrado ambos miembros:

[ ] [ ]222/3 3636)36( SRR +=

Desarrollar los cuadrados:

)36·36·236()36( 222223 SSRRR ++= , pasar el segundo miembro al primero:

0)36·36·236(36 2222233=++− SSRRR , quitar los paréntesis,

036·36·23636 2222233=−−− SSRRR , dividir ambos miembros por 362 ,



quedando: F = 36R3 − R2

− 2RS − S2 = 0 . Derivando respecto de y:

0·2··2·2·36·3´ 2=−

+−−=

dy

dSS

dy

dSRS

dy

dR

dy

dRR

dy

dRRF (2)

Donde:

[ ]2

2'1

))cos(4(

)(sen)(sen·)cos(4·(1))cos(4(

y

yyyy

dy

dR

−−=−−=−=

−−

y

23

23

)(sen)(cos

'

3

))(sen(

)]cos()(sen3))·cos()(sen[()(sen)])(sen)((sen)cos()cos((1[

)(sen

)cos()(sen(

22

y

yyyyyyyyyy

y

yyy

dy

dS

yy

−−−+−=

=

−=

− 44 844 764484476

Recordando que: sen2(y)+cos2(y)=1, y de allí : cos2(y) = 1− sen2(y). En el segundo miembro tendremos: 1−cos2(y)+sen2(y)= 2·sen2(y), entonces:

)(sen

)cos(·3

)(sen

)(sen2

))(sen(

)cos()(sen3)·cos()(sen

))(sen(

)(sen)(sen23

2

23

2

23

32

y

yS

y

y

y

yyyyy

y

yy

dy

dS−=

−−=

Resultando:

)(sen

)cos(32

y

yS

dy

dS −= , y : 2))cos(4(

)(

y

ysen

dy

dR

−−= =−R2 sen(y),

porque :

)(sen

)cos()(sen;

)cos(4

13

y

yyySy

yR

−=

−=

Volviendo a la ecuación (2), y sustituyendo estos últimos diferenciales,

−−

−+

−−−

−−−

−−=

)(sen

)cos(322

)(sen

)cos(32·

))cos(4(

)(sen2

))cos(4(

)(sen2

))cos(4(

)(sen·108'

222

2

y

ySS

y

ySRS

y

y

y

yR

y

yRF

0

)22·()(sen

)cos(32

)(sen

)cos(322

)(sen

)cos(322)(sen)·(22108(' 22

=

+

−−

−−

−−−−−=

4444444 34444444 21

SRy

yS

y

ySS

y

ySRyRSRRF



En la hoja de cálculo, y=g, 4=N, y 36=M2. Con i=1, 2, 3.

),25.12.13(,cos

22

ii

ii

gN

MR

−=

y

).26.12.13(,sen

)cossen(3

223

i

iiiiii

g

gggMRR

−=−

Finalmente:

F = Mi ·R3 − R2 − 2·S·R - S2

F '= −(3·Mi·R2 − 2·R − 2·S)·R2·sen(g)−(2(R+S)(2 − 3·S·cos(g))/sen(g).

Donde: R=1/(N-cos(g)), y S=(g − sen(g)·cos(g))/(sen(g))3

13.33- APENDICE II (Datos del Minor Planet Center).



13.34- APENDICE III

Para la obtención de datos de asteroides, ver la página web siguiente: http://www.minorplanetcenter.net/iau/MPEph/MPEph.html

En esta página hay un formulario para completar y obtener datos de muchos asteroides bien

conocidos. Voy a describir cómo proceder para obtener estos datos. Los rangos grises son para

ingresar texto.



Primero hay que escribir

el nombre del asteroide, en

inglés, cuidado con la orto-

grafía. Para nuestro caso:

Pallas.

Segundo, escribir la fecha

de cominenzo de la tabla,

2002 07 01.

Tercero, la cantidad de

días, 31.

Cuarto, el intervalo: 1 (un

día, como se ve que está

seleccionado: days).

Quinto, la hora de TU: 0.

Mas abajo hay otras opcio-

nes que según el caso habrá

que seleccionar manualmente.

Observar que al seleccionar

una se eliminan otras.

Sexto, escribir la época:

J2000.

Estos 6 registros son sufi-

cientes para obtener la tabla

de efemérides de Pallas. Hay

otras opciones para selec-

cionar, según lo que se desee.

Por ejemplo, puede selec-

cionarse un formato entre

varios. Para nuestro caso,

none.

Pero podría seleccionarse

un formato para SkyMap.

A continuación, hacer clic una vez en el botón

Get ephemerides, y aparecerá la tabla de

efemérides deseadda, como se ve a continuación

en la página siguiente.



De modo similar se procede para cualquier otro asteroide.



13.35- BIBLIOGRAFIA DE REFERENCIA:

1.-“Celestial Mechanics”. e-Book . Chapter XIII. Dr. Jeremy B. Tatum. Depart. Física y

Astronomía, Universidad de Victoria. Canadá. Ultima revisión año 2009.

http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs.html

2.-“The determination of orbits”. Dr. Alexander D. Dubyago. Moscú, URSS. 1961.

3.-“Fundamentals of Celestial Mechanics”. Dr. John. M. A. Danby. Universidad de Yale.

USA. 1962.

4.-“Elementos para la determinación de órbitas y cálculo de efemérides”. Notas. Ing. Alberto E. J.

Manacorda. Fac. de Ciencias Exactas e Ingenieria, Universidad Nacional de Rosario.

Argentina. 1981.

5.-“Astronomie Générale”. Dr. André Danjon, Universidad de la Sorbona, Director del

Observatoire de Paris. Francia. 1959.

6.- “A modificaction of Gauss’Method for the determination of orbits”. Dr. Gerald Merton

e-book, Universidad de Hardvard. USA. 1925.

http://adsabs.harvard.edu/abs/1925MNRAS..85..693M

7.- “A Introduction to Celestial Mechanics”. Dr. Forest Ray Moulton. Universidad de Chicago.

New York. USA. 1914.

http://archive.org/details/introcelestial00moulrich

8.- “Determination of orbits of comets and asteroids”. Dr. Russell Tracy Crawford. McGraw-Hill

book company, inc. Berkeley University. USA. 1930. http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4179112;size=100;view=image;page=root;seq=19;num=1

9.-“Celestial Mechanics”. Y. Riabov. Editorial MIR. Moscú. URSS. 1959.

10.-“Cómo se calcula el movimiento orbital”. Dr. David P. Stern. Página web. 2004.

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mmotion.htm

11.- “The foundations of Celestial Mechanics”, George W. Collins, II. Case Western Reserve

University. USA. 2004.

http://ads.harvard.edu/books/1989fcm..book/

12.- 2Astropedia", Sitio en francés.

http://astropedia.free.fr/meca_cel/meca_cel.html

Otros sitios de interes:

Curso de Mecánica Celeste en castellano, por Rafael Cid Palacios:

http://es.scribd.com/doc/71408087/cmc#page=31



13.36- FUENTES DE FIGURAS Y DATOS.

* Todas las figuras, tablas y gráficas son propiedad de Jeremy B. Tatum y de Carlos E.

Montenegro.

* La figura 11, de la trayectoria de Palas durante el mes de Julio de 2002, es de Carlos

E. Montenegro. Es una imagen capturada del software Skymap Pro 11, que se puede descargar

en versión demo de la página web: http://www.skymap.com

* La imagen de la portada del libro “Mécanique Céleste” de Nathaniel Bowditch, de la página 55

y la de la página 56 fueron tomadas de Internet, del sitio:

http://books.google.com.ar/books?id=7-

YRAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&

q&f=false

* La Página web del Centro de Planetas Menores, está tomada del sitio que se describe en esa

hoja :

http://www.minorplanetcenter.net/iau/MPEph/MPEph.html



13.37 AGRADECIMIENTOS:

* Especialmente agradezco al Prof. Dr. Jeremy B. Tatum, por su apoyo continuo desde el

comienzo del trabajo, facilitándome en su momento la bibliografía que le solicité, y posteriormente

en todos los pasos del cálculo, comparando cifra tras cifra, hasta la coincidencia.

Nota: El Prof. J. B. Tatum ha publicado muchas obras en la web, de alto valor pedagógico,

siempre dando ejemplos concretos, y con un formalismo al alcance de cualquier estudiante de

nivel terciario, permitiendo de este modo un estudio extracurricular de los temas.

* Al Jefe del Area Observatorio, Dr. Daniel Davoli, del Complejo Astronómico Galileo Galilei,

con sede en el Parque Urquiza de Rosario, cuyo apoyo a este trabajo hizo posible divulgarlo.

* Deseo mencionar a las siguientes personas cuyas enseñanzas condujeron a este trabajo:

Dr. Roberto Aquilano, Prof. Sergio Acero, Lic. Pedro Lewis (+), Dr. Reinaldo Welti.

* Vaya también mi homenaje a un viejo amigo, Juan Carlos Blázquez (+), quien es recordado por

su infatigable avidéz de conocimiento y su gran corazón para con sus compañeros y amigos.

Carlos E. Montenegro.

FIN

Agosto de 2012.

13.30.1- trazado de la orbita aproximada con los …

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