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Breve historia de la FísicateóricaAutor: Pompilio Zigrino
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Presentación del curso
El físico Richard Feynman dijo que "la física forma parte de la verdadera cultura de lahumanidad". Accede a la historia y a la actualidad de la gran aventura de la físicateórica.
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1. Revoluciones[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/revoluciones]
Puede considerarse al 24 de Mayo de 1543 como el día de inicio de la cienciaexperimental, ya que en ese día aparece el libro "De las Revoluciones de los cuerposcelestes", del astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), coincidiendo conel día de su fallecimiento. En dicho libro propone su modelo de sistema planetariosolar heliocéntrico. Mantuvo guardados los manuscritos de su libro, antes deeditarlo, durante unos 35 años, por temor a las críticas adversas quepodría originar. Sus estudios universitarios, realizados en Cracovia (Polonia) y enItalia, ocupan unos diez años de su vida, obteniendo el grado de doctor en DerechoCanónico (era un sacerdote católico). También estudió medicina.
En griego, la palabra "planeta" significa "errante". Esta denominación se asignó alos cuerpos celestes que describen trayectorias en forma de letra S (vistas desde laTierra). La antigua astronomía de Claudio Ptolomeo (90-168) supone que la Tierraestá inmóvil en el centro del universo y que los planetas describen epiciclos, otrayectorias en forma de hélice. En cambio, Copérnico supone que los planetas semueven siguiendo órbitas circulares alrededor del Sol. Los planetas cercanos al Solgiran más rápido que los externos. Si se los observa desde la Tierra, respecto de lasestrellas lejanas, el movimiento de un planeta exterior se mueve en la yamencionada trayectoria en forma de S.
En este modelo viene implícita la igualdad entre el reposo y el movimientorectilíneo uniforme, ya que las trayectorias de los planetas pueden considerarsecomo parcialmente rectas, debido a su enorme extensión. Además, en la escala deobservación humana, los movimientos inerciales son debilitados por las fuerzas defricción, mientras que, tanto en la escala astronómica como en la escala atómica, noexisten dichas fuerzas y el movimiento se prolonga indefinidamente.
Autor: Pompilio Zigrino www.geocities.com/pompiliozigrino
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2. Física experimental[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/fisica-experimental]
El fundador de la física experimental fue Galileo Galilei (1564-1642). Fue uno delos primeros en asociar relaciones matemáticas al movimiento, creando la ciencia dela cinemática. Fue el primer observador del cielo que utiliza el telescopio. Con dichoinstrumento observa que las sombras proyectadas por los cráteres lunares, al seriluminados por los rayos solares, siguen las mismas leyes físicas que en la Tierra,dando lugar a lo que posteriormente se conocerá como "principio de Galileo", el cualestablece la invariabilidad universal de las leyes de la física. En la actualidadpodemos afirmar que muchos de los átomos que componen a nuestro cuerpo,alguna vez fueron parte de alguna estrella, ya que el Sol, por su (relativo) reducidotamaño, sólo puede producir (como residuos de la fusión nuclear) átomos de loselementos más simples de la tabla periódica.
Para difundir las evidencias obtenidas utilizando el método experimental, Galileodebe luchar contra la opinión adversa de la Iglesia (que no aceptaba el modelocopernicano) y contra la opinión adversa de los profesores universitarios (que sebasaban en la errónea opinión de Aristóteles respecto del movimiento y de suscausas).
Una de esas opiniones era la que afirmaba que los cuerpos pesados caen a Tierraantes que los livianos, si se los deja caer simultáneamente desde igual altura y si seignora la resistencia del aire al movimiento. Es decir, si M pesa más que m , M caeráantes (según Aristóteles). Sin embargo, si unimos ambas masas (M + m), mretardará a M y la unión caerá en un instante intermedio entre las caídas de M y de m . Por otra parte, como M + m tiene mayor masa que M y que m , deberá caer antesque ambas. Como la opinión aristotélica lleva a una contradicción lógica, se suponeque todos los cuerpos caen simultáneamente hacia el suelo. Ello se debe a que loscuerpos que tienen mayor masa (y peso), también presentan mayor inercia(tendencia a mantener su estado de movimiento). Ambos efectos se compensan ytodos los cuerpos caen al mismo tiempo.
Galileo describe matemáticamente al movimiento acelerado, en el cual vieneimplícita la inercia, ya que, el movimiento causado por la fuerza de gravedad esmantenido por la inercia. Al persistir la aplicación de esa fuerza, el móvil se acelera.
También describe la "composición del movimiento". Así, si arrojamoshorizontalmente, desde cierta altura, a un objeto, en el sentido horizontal tenderá amoverse inercialmente, a velocidad constante (despreciando la resistencia del aire),mientras que la Tierra le impondrá un movimiento descendente uniformementeacelerado. La trayectoria final ser`la descripta por un movimiento combinado deambos efectos superpuestos.
Los adversarios de Copérnico aducían que, si la Tierra gira alrededor del Sol,sabiendo que la Luna gira en torno de la Tierra, ésta la "perdería" por el camino.Galileo descubre con su telescopio que Júpiter tiene varios satélites naturales que loacompañan permanentemente haciendo evidente que un planeta puede moverse sininconvenientes junto a sus satélites.
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3. Órbitas elípticas[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/orbitas-elipticas]
Johannes Kepler (1571-1630) encuentra las leyes que rigen el movimiento de losplanetas del sistema planetario solar:
1) Cada planeta se mueve según una órbita elíptica, ocupando el Sol uno de losfocos de la elipse.
2) Considerando una recta que va desde un planeta hacia el Sol, en tiempos igualesla línea "barre" áreas iguales.
3) Existe un valor constante para la relación entre el cubo de la distancia media R deun planeta al Sol y el cuadrado del tiempo medio T empleado en dar una vuelta alSol.
Kepler colabora con el astrónomo experimental Tycho Brahe (1546-1601) quienes el mayor obsevador del cielo antes de la era del telescopio. La diferencia entre lasórbitas circulares de Copérnico y las órbitas elípticas de Kepler se hacen evidentesen la observación de un ángulo con una diferencia de apenas 8 minutos. Cualquierahubiese supuesto un error de observación, pero Kepler conocía el nivel de precisióncon que Brahe hacía sus observaciones y pudo así iniciar el camino que llevaría haciala ley de la gravitación universal.
En la época de Kepler se conocían seis planetas, mientras que los pitagóricosdescubrieron la existencia de sólo cinco sólidos regulares, es decir, cuerposgeométricos limitados por una misma figura geométrica. Por ejemplo. el cubo estálimitado por cuadrados. Kepler estableció la hipótesis de que los planetas semoverían siguiendo las órbitas circulares sobre las esferas intercaladas entre lossólidos regulares. Esta idea errónea fue su mayor orgullo y fue la que motivó susintensos trabajos de investigación.
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4. Mecánica y gravitación[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/mecanica-gravitacion]
Isaac Newton (1642-1727) dijo: "Si he tenido una visión más amplia, es porque mehe subido a los hombros de gigantes". Esos gigantes son, sin duda, Galileo y Kepler.Al igual que Kepler, Newton fue un niño prematuro. Se dice que, cuando nació,apenas pesaba un kilogramo. Es considerado como el físico más sobresaliente de lahistoria. Estableció las leyes de la mecánica, la ley de la gravitación universal,el cálculo infinitesimal, la composición de la luz blanca, etc.
Las leyes básicas de la mecánica newtoniada son:
1) Principio de inercia
2) Ley de la dinámica: Fuerza = Masa x aceleración
3) Acción = reacción
En la segunda ley viene implícita la igualdad dinámica del reposo y del movimientorectilíneo uniforme, ya que, si la fuerza aplicada es nula, también lo será laaceleración, lo que equivale a una velocidad nula o bien una velocidad constante.
Antes de Newton, los científicos suponían que la fuerza que movía a los planetastenía la misma dirección del movimiento; incluso se pensaba que eran empujadospor "ángeles". A partir de Newton se consideró que la fuerza estaba dirigida hacia elSol y que el movimiento era inercial, luego aparece Einstein y describe losmencionados movimientos sin considerar fuerza alguna, sino estableciendo que elmovimiento es inercial y los planetas se mueven por el espacio-tiempo curvado porefecto del campo gravitacional del Sol.
Si consideramos que un cuerpo se mueve en línea recta, a velocidad constante,decimos que se trata de un "movimiento inercial" (si no hay fuerzas de fricción). Laslongitudes recorridas serán proporcionales a los tiempos empleados. Si trazamos unpunto exterior a la recta, a una cierta distancia y si, además, trazamos desde elpunto algunas rectas de manera que se formen segmentos iguales sobre la rectamencionada en un principio, veremos que se forma una sucesión de triángulos quetienen igual área. La segunda ley de Kepler (áreas iguales barridas en tiemposiguales) fue interpretada por Newton como una consecuencia necesaria de laexistencia de un movimiento inercial.
Si arrojamos horizontalmente un objeto, describimos al movimiento como elefecto de dos causas que actúan simultáneamente: un movimiento inercial (ensentido horizontal) y un movimiento uniformemente acelerado (caída a Tierra), talcomo fue establecido por Galileo Galilei. La idea de que la gravitación celeste es lamisma fuerza que la que produce la gravitación terrestre, aparece cuando Newtonsupone que la misma fuerza que hace caer manzanas a Tierra, es la que hace "caer"a la Luna hacia la Tierra. Como la Luna mantiene un movimiento inercial, la parábolase conviertenen una circunferencia.
Para la deducción aproximada de la ley de la gravitación universal se puedeconsiderar que los movimientos son circulares. Christian Huygens (1626-1695)encontró la fórmula para calcular la aceleración centrípeta (a = v²/R). Estaaceleración se reemplaza en la fórmula (F = m a). Como el movimiento es circular, la
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velocidad es la relación entre la longitud de la órbita (2 Pi R) y el tiempo empleadoen recorrerla (T). Kepler había descubierto una relación constante en su tercera ley(K = RR²/T²). Agrupando constantes se llega a la ley de la gravitación universal.
(Masa del Sol) x (Masa de laTierra)
Fuerza = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(Distancia)²
En épocas de Newton se conocía un fenómeno que no se podía explicar y quepodría llevar a la destrucción del sistema planetario solar: Júpiter aumentaba suvelocidad de traslación mientras que Saturno la disminuia. Newton dijo que:"...quizás las irregularidades irán en aumento hasta que el sistema sea de nuevopuesto en orden por su Creador". Debido a la existencia de órbitas elípticas, losplanetas se acercan al Sol en una época mientras que se alejan en otra. De ahí quecambia la posición del centro de masa del sistema. Este cambio perturba las órbitasy, en el caso de Júpiter y Saturno, se invierte el adelanto y el atraso con un periodode 929 años. Tales cálculos los realizó Pierre Simón de Laplace (1749-1827),quien respondió: "No he tenido necesidad de esa hipótesis" cuando Napoleón lepreguntó por la supuesta intervención divina mencionada por Newton.
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5. Funciones y cálculo[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/funciones-calculo]
A las magnitudes físicas tales como espacio, tiempo, velocidad, aceleración, etc, seles asocian entes matemáticos tales como variables continuas, vectores, matrices,etc. Realizando operaciones matemáticas sobre estos entes asociados, se reproduceel ordenamiento existente en los fenómenos naturales. De ahí que la "ley naturalhumana" (la descripción de la ley natural) en física adquiere una forma matemática.La física teórica es la física del "lápiz y papel", que permite el progreso de esta ramade la ciencia a través de predicciones puramente matemáticas.
En la descripción del movimiento su utilizan variables numéricas ligadasfuncionalmente. La ley natural humana vendría a ser el vínculo permanente (funciónmatemática) entre dichas variables.
Para medir el cambio relativo existente entre dos variables ligadas funcionalmentese estableció la operación denominada "derivación". Podemos considerar al cálculodiferencial como un medio para medir la velocidad de cambio del cociente entre dosvariables vinculadas mediante una función.
Siendo y = f(x), podemos denominar a (y2 - y1) como el cambio absoluto en lafunción y(x). Si a este cambio lo dividimos por el cambio correspondiente a lavariable (x) tendremos el cambio relativo de y respecto de x:
(y2 - y1) / (x2 - x1)
Para obtener el cambio relativo generalizado, para todos los valores de (x), debemossaltar al límite:
límite (y2 - y1) / (x2 - x1) para x1 tendiendo a x2
Por ejemplo, si tenemos la función y = constante, la gráfica respectiva, en unsistema de coordenadas cartesianas (x,y) tendrá la forma de una recta paralela aleje de las (x). En este caso, el cambio relativo de (y) respecto de (x) es nulo. Por ellola derivada de y = k es y' = 0.
Podemos escribir la segunda ley de Newton como:
Fuerza = Masa x aceleración = masa x d(velocidad) / d(tiempo)
En donde la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad respecto del tiempo.
Existe una operación inversa a la derivación y es la integración. Así como laderivada es una medida del cambio existente entre variables expresado como uncociente de las mismas, la integral es una medida de cómo varía el producto de esasvariables. Geométricamente, en un plano, dicho producto es una área. Por ejemplo,si partimos de la función constante y = 1 (recta paralela al eje (x)), al integrarla nosda I = x (recta creciente a 45º). Esto puede interpretarse diciendo que el áreacorrespondiente a y = 1 crece linealmente a medida que nos "movemos por el eje xhacia la derecha". En física también se dice que la integral es el efecto total de unproceso continuo.
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6. Ondas[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/ondas]
La materia se presenta al físico bajo dos formas básicas: una es la continua y la otrala discontinua. El aspecto continuo lo presentan los líquidos (alrededor del agua hayagua), mientras que al aspecto discontinuo lo presentan las partículas (alrededor deuna piedra hay aire). Así como la segunda ley de Newton es la ley básica delmovimiento de las partículas, ha de existir también una ley básica para elmovimiento en los medios continuos, tal el caso de la ecuación de onda deD'Alembert. El físico y matemático Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783) fueabandonado por su madre, luego de nacer, en las puertas de la Iglesia de Saint JeanLe Rond, de donde deriva el nombre que le dieron sus padres adoptivos.
Así como una ecuación algebraica es una igualdad condicional, ya que se cumplesólo para algunos números (raíces de la ecuación), es posible también realizar"ecuaciones diferenciales", que también son igualdades condicionales. En este caso,al estar constituidas por derivadas de funciones, sus soluciones serán justamentealgunas funciones que hacen verificar la igualdad. La ecuación de ondas es,precisamente, una ecuación diferencial y tiene, en física, una importancia tan grandecomo la ley que describe el movimiento de las partículas materiales.
Para una onda que se mueve en la dirección del eje (x), en un medio continuo,caracterizado por una magnitud u(x,t) (u es una función del espacio y del tiempo),la ecuación diferencial será la siguiente:
d²u / dx² = (1/v²) (d²u / dt²)
en este caso son derivadas parciales (no indicadas con el símbolo usual por falta delmismo). En el caso de las derivadas parciales, se deriva respecto de la variableindicada considerando constante a la otra, mientras que v es la velocidad depropagación de la perturbación. La solución general de esta ecuación es de la forma:
u = U sen 2 Pi (x / lambda - t / T)
U es el valor máximo, o amplitud del movimiento, lambda es la longitud de onda y TT es el periodo de la onda senoidal. En esta solución aparece una "periodicidadespacial" (si detenemos al tiempo, como si sacásemos una fotografía, aparece unaforma senoidal) y también una "periodicidad temporal" (si nos detenemos en unpunto del espacio, la magnitud u varía en en el tiempo en forma senoidal.
A la periodicidad espacial se la caracteriza por el "número de onda", mientras quea la periodicidad temporal se la caracteriza mediante la "velocidad angular":
Número de onda k = 2 Pi / lambda
Velocidad angular omega = 2 Pi / T
Luego u = U sen (k x - omega t) = U sen Ø
siendo Ø la fase del movimiento periódico.
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7. Mecánica analítica[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/mecanica-analitica]
La mecánica newtoniana es esencialmente una mecánica vectorial cuyas magnitudesbásicas son la fuerza (F) y la cantidad de movimiento (p ). A partir de GoodfriedLeibniz (1646-1716) comienza a buscarse una mecánica escalar cuyas magnitudesbásicas serán la energía cinética y la potencial.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) logró establecer una nueva formulación dela mecánica que aparece en su libro "Mecánica analítica" en cuya introducción indica:"...en esta obra no encontrará gráficos". Utiliza como magnitudes básicas al espacio(x) y a la velocidad (v) logrando una mecánica escalar que sigue la tendenciainiciada por Leibniz.
Debe aclararse que la mecánica de Lagrange utiliza "coordenadas generalizadas" ya sus respectivas derivadas. Así, puede describirse al movimiento circular en base aángulo y a velocidad angular con un tratamiento matemático idéntico al utilizadopara la descripción del movimiento lineal; puede decirse que unifica al movimientolineal con el circular. Incluso la descripción de Lagrange se adapta a cualquier tipode coordenadas, ya sean cartesianas, polares, cilíndricas, etc., y su formamatemática permanece invariante en una traslación de coordenadas a velocidaduniforme, lo que la hace apta para la mecánica relativista.
La ecuación básica (para cada grado de libertad del sistema) es la denominada"ecuación de Euler-Lagrange":
d / dt (dL/dv) - (dL/dx) = 0 siendo L = T - U
(Las derivadas de L respecto de v y de x son derivadas parciales).
En este caso se hace referencia al movimiento lineal, mientras que L (función deLagrange o lagrangiano) es la diferencia entre la energía cinética T y la energíapotencial U. Realizando las operaciones indicadas se obtienen las leyes de Newtonde la mecánica.
Si tuviésemos que sintetizar con muy pocas palabras a todo el desarrollo de lafísica teórica, desde sus inicios hasta nuestros días, podríamos decir que haconsistido en buscar, en diversas situaciones, a la función de Lagrange para serintroducida en la ecuación de Euler-Lagrange para permitirnos encontrar todas lasecuaciones importantes de la física teórica; incluso varios principios de conservaciónvienen implícitos en esta maravillosa ecuación diferencial. En realidad,históricamente no se ha procedido de esa manera sino que, indirectamente, en elloha consistido el progreso de la física teórica.
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8. Hamilton[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/hamilton]
La dinámica de Newton aparece en el siglo XVII, la dinámica de Lagrange es del sigloXVIII, mientras que la tercera formulación de la dinámica se debe a William R.Hamilton (1805-1865) y fue realizada durante el siglo XIX. Las tres descripcionesson equivalentes, si bien las formulaciones de Hamilton y de Lagrange se aplicaránfuera del ámbito original en donde fueron planteadas (más precisamente en elmundo atómico y nuclear).
Hamilton describe los fenómenos mecánicos considerando dos magnitudesbásicas: la cantidad de movimiento (p) y el espacio (x). Las ecuaciones son lassiguientes:
dx / dt = dH / dp dp / dt = - dH / dx siendo H = T + U
(Las derivadas de H respecto de p y de x son derivadas parciales)
En donde H es la función de Hamilton, o hamiltoniano. T y U son las energíascinética y potencial, respectivamente. A partir de esta formulación puedenreencontrarse las fórmulas de la dinámica newtoniana y de la lagrangiana.
Cuando se habla de la "mecánica clásica" se hace referencia a la "mecánica deNewton-Lagrange-Hamilton", en la que no se han hecho las "correccionesrelativistas" ni las "correcciones cuánticas" que han de caracterizar al desarrollo de lafísica teórica del siglo XX.
En 1825, Hamilton descubre una importante analogía entre la óptica y lamecánica. Una de las ecuaciones obtenidas por Hamilton, junto a Carl Jacobi(1804-1851), incluye a la acción S (energía x tiempo) como magnitud físicafundamental. Tal ecuación, para el movimiento de una masa en la dirección x, es lasiguiente:
(dS / dx)² = 2 m (E - U)
(es una derivada parcial). Mientras que en la óptica se conocía una ecuación similar:
(du / dx)² = n² / c²
(es una derivada parcial), en donde u es una magnitud asociada a una ondatransversal, n es el índice de refracción y c la velocidad de propagación de la luz.
A partir de estas ecuaciones se comprobó que un rayo luminoso resulta ser (desdeel punto de vista de la óptica ondulatoria) una trayectoria perpendicular a los frentesde onda esféricos emitidos por una fuente luminosa puntual. Tales frentes de ondason superficies de igual fase. Por otra parte, la trayectoria que describe una partículaque se mueve en el campo gravitacional de la Tierra resulta ser perpendicular a lassuperficies de igual acción.
La propagación de los rayos luminosos cumple con el principio del tiempo mínimoestablecido por Pierre de Fermat (1601-1665), mientras que el movimiento de unapartícula como la mencionada, sigue el principio de mínima acción establecidooriginalmente por Pierre de Maupertuis (1698-1759) y perfeccionado por variosfísicos posteriores.
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A partir de esta analogía se produce una vinculación matemática entre elmovimiento en medios continuos (ondas) y el movimiento en medios discontinuos(partículas). Esta analogía, sintetizada a continuación, ha de tener influenciaposterior en la física aplicada al átomo y al núcleo atómico, pero esta vez a través deun vínculo concreto entre magnitudes físicas asociadas a ambos tipos demovimiento, lo que se conocerá como la dualidad onda-partícula.
ONDAS LUMINOSAS PARTÍCULAS
Rayo luminoso Trayectoria
Principio del tiempo mínimo Principio de mínima acción
Frecuencia Energía
Velocidad de grupo Velocidad de la partícula
Fase Acción
Número de onda Cantidad de movimiento
Ya en el siglo XIX comienza a vislumbrarse una tendencia que es necesario tenerpresente para seguir el desarrollo histórico de la física. Para comprender lostrabajos de Kepler, Galileo o Newton, miramos las fórmulas pensando en losfenómenos, ya que es posible tener una imagen mental bastante cercana a larealidad. El cambio de actitud consiste en imaginar los fenómenos pensando en lasfórmulas. La analogía descripta surgió al realizarse un análisis teórico, omatemático, antes que establecer una asociación de imágenes surgidas de lospropios fenómenos naturales.
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9. Electricidad y magnetismo[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/electricidad-magnetismo]
Christian Oersted (1777-1851) descubre que, junto a un conductor metálico queconduce una corriente eléctrica, aparece un campo magnético capaz de desviar laaguja de una brújula. Este vínculo entre electricidad (en movimiento) y magnetismofue descripto matemáticamente por André-Marie Ampére (1775-1836). El pasosiguiente habría de darse encontrando un vínculo entre magnetismo y electricidad,es decir, a partir de un campo magnético habría de obtenerse algún fenómenoeléctrico.
Michael Faraday (1791-1867) utilizó dos bobinas arrolladas sobre un núcleo dehierro (lo que ahora denominamos transformador) y le conectó al primario unafuente de tensión continua. En el momento de cerrar el circuito, se produce unaumento de la corriente y una expansión del campo magnético y aparece unatensión eléctrica en el bobinado secundario (aguja del voltímetro hacia la derecha).Cuando el interruptor queda cerrado, hay corriente, hay campo magnético, pero nohay variación del mismo. Tampoco hay tensión en el secundario (aguja en cero).Cuando se abre el interruptor, el campo magnético se contrae y aparece una tensiónde polaridad opuesta a la del primer caso (aguja hacia la izquierda). De estaexperiencia se concluye que la tensión inducida depende de la velocidad devariación del flujo magnético asociado a un bobinado:
d(flujo magnético)
T e n s i ó n = N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
d(tiempo)
N es el número de vueltas del bobinado. Esta ley también está asociada a losnombres de Joseph Henry (1797-1878) y Heinrich Lenz (1804-1865).
El concepto de "campo de fuerza" es introducido en la física por Faraday.Generalmente se piensa que todo descubrimiento implica conocer, por parte deldescubridor, la casi totalidad de la rama de la física correspondiente. Sin embargo,como Faraday no había asistido a la universidad, desconocía el cálculo infinitesimaly mucho le costaba comprender los artículos de los físicos franceses (Ampére, Biot,etc.) pioneros en ese campo. Esas circunstancias lo obligan a describir losfenómenos electromagnéticos con el concepto mencionado. A partir de Faraday sedeja de lado la "acción a distancia" y se describen las interacciones diciendo que lapartícula A crea un campo de fuerzas que actúa sobre la partícula B.
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10. El capacitor de Maxwell[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/capacitor-maxwell]
Si conectamos un capacitor a un generador de tensión alterna, existirá una corrientealterna por el circuito asociado al capacitor (corriente de carga y descarga. Sinembargo, a través del aislante (entre las placas del capacitor), no podrá habercirculación de cargas eléctricas (corriente eléctrica).
Cada vez que exista una corriente eléctrica, aparecerá un campo magnético que larodea. Por lo tanto, habría un campo magnético alrededor de todo el circuito,excepto en la zona que corresponde al aislante. Entonces James Clerk Maxwell(1831-1879) pensó que podía establecerse la continuidad del campo magnético sise supone que tal campo no sólo es producido por una corriente eléctrica, sinotambién por una variación de campo eléctrico no asociado al movimiento de cargaseléctricas, como sucede en el espacio comprendido entre las placas del capacitor.
La existencia de estas "corrientes de desplazamiento" fueron previstas porMaxwell observando las ecuaciones de la electricidad y del magnetismo de su época.Esto se debe a que, al existir el nuevo fenómeno antes mencionado, cumpliríanidéntico papel matemático las magnitudes asociadas tanto al campo eléctrico comoal campo magnético. Así, las nuevas leyes del electromagnetismo permitirían laexistencia de ondas electromagnéticas. Maxwell calculó la velocidad de propagaciónde dichas ondas y resultó coincidir con la velocidad de propagación de la luz,concluyendo que la luz es también un fenómeno electromagnético. De esta forma seprodujo la unificación de la radiación con el electromagnetismo.
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11. Ecuaciones de Maxwell[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/ecuaciones-maxwell]
El conjunto de ecuaciones vectoriales que permitieron describir la mayor parte delos fenómenos electromagnéticos concoidos, se conoce como las "ecuaciones deMaxwell", y son las siguientes:
(1) div E = ro
(2) div B = 0
(3) rot B = J + dE / dt (derivada parcial)
(4) rot E = - dB / dt (derivada parcial)
Así como un vector está caracterizado por tres números (componentes según unsistema de coordenadas), las ecuaciones del cálculo vectorial, utilizado enelectromagnetismo, agrupan varias ecuaciones del cálculo diferencial, de ahí que dalugar a nuevas operaciones matemáticas, como las indicadas.
El cálculo vectorial permite describir a los campos de fuerzas asociando un vectora cada punto del espacio. Por ejemplo, si consideramos el caso de un río que llevacierto caudal de agua, en cada punto del cauce podemos asociar el vector velocidady así tendremos un campo vectorial de velocidades.
Mediante una pequeña rueda exploradora podremos saber si existen torbellinosque tiendan a hacerla girar. El sentido del giro, la velocidad angular y la orientacióndel eje de la ruedita exploradora constituirán otro campo vectorial que será el rotordel campo de velocidades. Si no se forman torbellinos, caracterizaremos a esecampo de velocidades diciendo que rot v = 0. Cuando se destapa la salida ubicadaen el fondo de un recipiente con agua, tendremos un rotor no nulo cuyo vectorresultante será coincidente con el centro de la abertura.
El gradiente de un campo vectorial es la máxima derivada direccional en un puntode la misma. Para comprender su significado consideremos al campo vectorialconstituido por la fuerza de gravedad. Además, consideremos una pequeña bolitaque es abandonada en la ladera de una montaña. El movimientode esa bolita exploradora determinará la máxima pendiente. Así, en cada punto dela montaña podremos asociar un vector y tendremos al campo vectorial gradiente.
Para saber cuántas líneas de fuerza eléctrica parten (o entran) de una cargaeléctrica, podemos encerrarla con una esfera imaginaria y así podremos "contar" laslíneas mencionadas. Si, con la esfera medidora, encerramos a una carga positiva, la divergenciadivergencia tendrá un valor distinto de cero, mientras que si encerramos igualcantidad de cargas positivas como negativas, la divergencia será nula. Ladivergencia se aplica a los campos vectoriales, pero su resultado no es un vector,sino un número (magnitud escalar).
Respecto de las ecuaciones de Maxwell, podemos interpretarlas de la siguientemanera: la primera indica que las cargas eléctricas (cuya densidad volumétrica seindica en el miembro derecho de la igualdad) producen un campo vectorial eléctricoE, cuyas líneas de fuerza tienen origen y fin. La segunda indica que un campomagnético estático está constituido por líneas de fuerzas cerradas (sin origen ni fin).
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Estas ecuaciones se justifican mediante el teorema de Gauss (por Carl Gauss(1777-1855) ). La tercera es la ecuación de Ampere-Maxwell e indica que a uncampo magnético B lo produce la circulación de una densidad de corriente eléctricaJ y también una variación temporal del campo eléctrico E, tal como se vio antes. Lacuarta indica que a un campo eléctrico dinámico E lo produce un campo magnéticovariable B, lo que constituye la ley de inducción electromagnética de Faraday.
Hendrk Lorentz (1853-1928) agrega a estas ecuaciones una quinta, la queexpresa a la fuerza de Lorentz y que se utiliza en la descripción del movimiento departículas cargadas eléctricamente moviéndose en campos eléctricos y magnéticos.
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12. Potenciales y lagrangiano[http://www.mailxmail.com/curso-breve-historia-fisica-teorica/potenciales-lagrangiano]
En la mecánica podemos vincular a la energía potencial gravitacional con la fuerzade gravedad mediante la siguiente expresión:
Fuerza = - grad U = - gU
siendo gU = dU / dx + dU / dy + dU / dz (derivadas parciales)
Decimos que la fuerza es el gradiente de la energía potencial gravitatoria. Estaigualdad puede comprenderse considerando la existencia de superficiesequipotenciales, que serían superficies de igual nivel (como las marcas que deja elagua al sumergir parcialmente a una montaña). El gradiente resulta ser un campovectorial perpendicular a las superficies de nivel, que en realidad son esferasconcéntricas con la Tierra. En cuanto al signo menos, debemos tener presente que alalejarnos de la Tierra, aumenta la energía potencial, mientras que las líneas defuerza gravitacionales tienen sentido opuesto a ese crecimiento de U.
Si buscamos la divergencia de dicha fuerza, en una zona en donde no existedistribución de masa, dicha divergencia será nula (ya que en la esfera medidoraentran tantas líneas de fuerza como las que salen de ella). Aplicando nuevamente eloperador vectorial nabla (g) tendremos:
div F = g. F = 0 o también g²U = 0
esta última es la ecuación de Laplace, mientras que si realizamos una evaluaciónsimilar en zonas en donde existe una distribución de masa distinta de cero,tendremos:
g²U = Ø
Esta es la ecuación de Poisson (por Denis Poisson (1781-1840))
Para obtener las ecuaciones de Laplace y de Poisson en electrostática, se definiópreviamente al potencial escalar eléctrico V, de tal manera que:
E = - gV g²V = 0 g²V = ro
lo que da lugar a la ecuación de Laplace para zonas en donde no hay cargaseléctricas y a la ecuación de Poisson para lugares con densidad de carga distinta decero.
Para obtener algunas ventajas matemáticas posteriores, se definió también al potencial vectorial magnético A, que está vinculado a la densidad de flujomagnético B, de la siguiente forma:
B = rot A = g x A
Pudo establecerse la anterior igualdad ya que, en la segunda ecuación de Maxwell,al ser div B = 0, puede aplicarse una identidad del cálculo vectorial que indica quela divergencia de un rotor es siempre nula. Al adoptar este potencial vectorial, laintensidad de campo eléctrico quedará:
E = - gV - dA / dt (derivada parcial)
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Debido a que el rotor implica derivadas parciales respecto de las coordenadasespaciales x, y, z, si al potencial vectorial le agregamos el gradiente de una funciónarbitraria, no cambiará el valor de los campos B y E. Esto se debe a que siempre secumple que rot grad f = 0, cualquiera sea f , luego:
A = A' + gX V = V' - (1 / c) dX / dt (derivada parcial)
Estas últimas igualdades, que permiten introducir una función arbitraria, se conocencomo transformación gauge electromagnética, que es una calibración invariante.Junto a la transformación gauge cuántica habrá de desempeñar un importante papelen la física del siglo XX.
Para la descrpción de la radiación de ondas electromagnéticas se establece la condición de Lorentz, que vincula ambos potenciales:
div A = - (1 / c²) dV / dt (derivada parcial)
Es oportuno destacar que es posible encontrar un lagrangiano de Maxwell, el que,al ser introducido en la ecuación de Euler-Lagrange, permite encontrar lasecuaciones de Maxwell. Debe aclararse que, en el caso de los campos de fuerzas, ellagrangiano es una densidad de energía. La función mencionada es la siguiente:
L = 1/2 (E² - B²) - (ro) V + J A
A la primera parte la llamaremos Lem (lagrangiano del campo electromagnético), esdecir, a 1/2 (E² - B²), y al resto le llamaremos Lint (lagrangiano de la interacción).Tal interacción es la de dicho campo y las fuentes que lo producen (densidad decargas y corrientes). Esta distinción es importante para aplicaciones posteriores.
Podemos decir que toda la física clásica (mecánica y electromagnetismo) puededescribirse a partir de la ecuación de Euler-Lagrange.
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13. Espacios reales y abstractos[http://www.mailxmail.com/...curso-breve-historia-fisica-teorica/espacios-reales-abstractos]
Cuando René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) vinculan elálgebra con la geometría, creando la geometría analítica, no sólo permiten resolverproblemas geométricos mediante métodos algebraicos, sino también generalizarconceptos asociados al espacio real para lograr espacios abstractos que, en ciertaforma, también son partes del mundo real.
Una de las relaciones matemáticas más importantes la constituye el teorema dePitágoras, conocido desde el siglo VI AC (o quizás antes) y al que podemos interpretarcomo la expresión matemática de la mínima distancia existente entre dos puntos deun plano. Como el plano está descripto mediante dos variables continuas, odimensiones, dicho teorema implicará:
ds² = dx² + dy²
En esta expresión aparecen diferenciales, los que pueden interpretarse comolongitudes muy pequeñas comparadas con las magnitudes reales del espacio querepresentan. Podemos generalizar la expresión anterior a tres dimensiones:
ds² = dx² + dy² + dz²
Este espacio euclideano es el marco en el que se desarrolla la física newtoniana y esel que caracterizó la imagen más profunda que el hombre tenía sobre el mundo físico.El espacio y el tiempo fueron considerados como partes de un marco exterior a lamateria y a la radiación con propiedades independientes de éstas. También el espacioy el tiempo fueron considerados como entes totalmente independientes.
Según la geometría analítica, un punto en el plano puede caracterizarse mediantedos componentes cartesianas (x1, y1), aunque cambiaremos la denominación de lasdimensiones espaciales para una generalización posterior y diremos que esascomponentes serán (x1, x2). Luego, un punto en el espacio será caracterizado portres componentes (x1, x2, x3). En todos los casos con la ya mencionada distanciamínima o métrica euclidea.
Físicamente hablando, no es admisible pensar en un espacio cuyas dimensionessean mayores a tres, pero en la representación algebraica podemos escribir (x1, x2,x3, x4) y así lograr el primer espacio abstracto: el tetradimensional. Tambiénpodemos escribir (x1, x2, ....,xn) o también (x1, x2, ....,xn,.......) siendo éste último elespacio abstracto de infinitas dimensiones. En todos los casos hemos supuesto unamétrica euclideana (o pitagórica) aunque es posible crear espacios con una métrica, odistancia mínima, distinta a la euclideana.
En el siglo XIX, Carl Gauss encuentra una expresión matemática para la distanciamínima sobre una superficie curva:
ds² = E dp² + 2 F dp dq + G dq²
esta es una métrica más general que incluye a la euclideana cuando F = 0. Podemos
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decir que la geometría plana es un caso especial de la geometría curva. Recordemosque sobre la superficie de una esfera la suma de los ángulos interiores de untriángulo no suman 180º, ni la relación entre la circunferencia y su diámetro es3,1415.., ya que dicha superficie "padece de una incurable curvatura", en la expresiónde George Gamow (1904-1968). Posteriormente, Bernhard Riemann (1826-1866)generaliza la métrica no-euclideana y la aplica a espacios curvos n-dimensionales,mientras que David Hilbert (1862-1943) estudia espacios de infinitas dimensionescon métrica euclideana.
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