13 integral ida
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13
Integral indefinida
1. Reglas de integracin Piensa y calculaCalcula: a) y = x5, y' = Solucin: a) y' = 5x4 b) y' = 3x2, y = b) y = x3 c) y = cos x, y' = d) y' = cos x, y =
c) y' = sen x
d) y = sen x
Aplica la teora1.
3(3x 5) dx7
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. (3x 5)8 +k 8
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |x + 3| + k
6.
(e sen x) dxx
2.
dx (3x + 5)3
Solucin: Se aplica la integral de las operaciones. e x + cos x + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin racional. 1 +k 6 (3x + 5)2
7.
2
6x
dx
3.
cos 6 dx
x
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 26x 1 +k 3L2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. x 6 sen +k 6
8.
x 12
x dx
4.
e dxx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. ex + k
9.
2x sen x dx2
5.
dx x+3
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. cos x 2 + k
420
SOLUCIONARIO
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Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. 1 L |x 2 1| + k 2
10.
2 7x + 5
7 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 7x + 5 + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 cotg (5x 1) + k 5
18.
x 1
dx
11. 3 cos 3x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. sen 3x + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 2 x 1 + k
12.
dx 9 + x2
19. ex/2 dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 2 e x/2 + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 x arc tg +k 3 3
20. (sen x + cos x) dxSolucin: Se aplica la integral de las operaciones. cos x + sen x + k
13. sec2 (3x + 1) dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 tg (3x + 1) + k 3
21.
(x 3)
3
4
dx
14.
9 x
dx
2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. x arc sen +k 3
Solucin: Se aplica la integral de una funcin racional. 1 +k (x 3)3
22. (4x + 1)5 dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. (4x + 1)6 +k 24
15. 5 sen x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 5 cos x + k
23. cotg ( 2x + 1) dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 L |sen (2x 1)| + k 2
16. (x3 6x2 + 1) dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. x4 2x3 + x + k 4
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24. 3 23x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 23x +k L2 421
17. cosec2 (5x 1) dx
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
25.
(2x 1)
dx
4
33. e7x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. e 7x +k 7
Solucin: Se aplica la integral de una funcin racional. 1 +k 6 (2x 1)3
26. 3 cotg 3x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. L |sen 3x| + k
34.
1x
dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |1 x| + k
27.
x2
2x 3 dx 3x + 5
35. 2x tg x2 dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. L |cos x2| + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |x 2 3x + 5| + k
28. 5 sen 5x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. cos 5x + k
36. cos (5x 1) dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 sen (5x 1) + k 5
29. 2 tg 2x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. L |cos 2x| + k
37.
1 + (3x)
3 dx
2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. arc tg 3x + k
30. 2 2x dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 5x 2x +k 35
5
38. sen
x dx 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. x 2 cos +k 2
31.
1 (2x)
2 dx
39. (x4 2x 5) dx2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. arc sen 2x + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. x5 x2 5x + k 5
32. ex sen ex dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. cos e x + k
40. ex cos ex dxSolucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. sen e x + k
422
SOLUCIONARIO
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2. Integracin por partes Piensa y calculaCalcula la derivada de: y = ex(x2 2x + 2) Solucin: y' = e x (x2 2x + 2) + e x (2x 2) = x 2 e x
Aplica la teora41. xex dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x dv = e x dx El resultado es: ex (x 1) + k
45. arc sen x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = arc sen x dv = dx El resultado es: x arc sen x + 1 x2 + k
42. x sen x dx 46. x2 ex dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 dv = exdx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: ex(x2 + 2x + 2) + k Solucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x dv = sen xdx El resultado es: x cos x + sen x + k
43. (x + 5) cos x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x+5 dv = cos x dx El resultado es: (x + 5) sen x + cos x + k
47. x3 L x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = x3 dx El resultado es: x4 x4 L |x| +k 4 16
44. sen (Lx) dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = sen (Lx) dv = dx Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuacin. x El resultado es: (sen (Lx) cos (Lx)) + k 2 TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
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48. (x2 1) sen x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes.
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Se hacen los cambios: u = x2 1 dv = sen x dx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: (x2 + 3) cos x + 2x sen x + k
53. L (x + 1) dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = L (x + 1) dv = dx El resultado es: (x + 1) L |x + 1| x + k
49. (x2 + 1) L x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = (x2 + 1)dx El resultado es:
54. (x2 + 4) ex dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 + 4 dv = exdx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: ex(x2 2x + 6) + k
(
x3 3
+ x L |x|
)
x3 9
x+k
50. x2 cos x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 dv = cos x dx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: (x2 2) sen x + 2x cos x + k
55. ex cos x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = cos x dv = ex dx Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuacin. El resultado es: 1 x e (sen x + cos x) + k 2
51. (x + 2) ex dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x+2 dv = e xdx El resultado es: e x(x + 1) + k
52. ex sen x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = sen x dv = ex dx Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuacin. El resultado es: 1 ex(sen x + cos x) + k 2
56. arc tg x dxSolucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = arc tg x dv = dx El resultado es: 1 x arc tg x L |x2 + 1| + k 2
424
SOLUCIONARIO
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3. Integracin de funciones racionales con races reales en el denominador Piensa y calculaRealiza la siguiente divisin entera y haz la prueba: Solucin: 39 5 4 7 Prueba: 39 = 5 7 + 4 39 5
Aplica la teora57.
x2 x + 3 dx x
60.
x2 3x + 5 dx x3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 3 x1+ x La integral es: x2 x + 3 L |x| + k 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 1 32 + 53 x x x La integral es: 3 5 L |x| + +k x 2x2
58.
3x2 5x 3 dx x1
61.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 5 3x 2 + 1x La integral es: 3x2 2x 5 L |x 1| + k 2
x + 6x + 9 dx2
5x + 13
59.
x + x dx2
5x + 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 5 2 x+3 (x + 3)2 La integral es: 2 5 L |x + 3| + +k x+3
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Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 2 3 + x x+1 La integral es: 2 L |x| + 3 L |x + 1| + k
62.
x + 9x + 27x + 27 dx3 2
x2 + 8x + 10
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 1 2 5 + x+3 (x + 3)2 (x + 3)3 La integral es: 2 5 L |x + 3| + +k x+3 2(x + 3)2
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
425
63.
3x2 + x 9 dx x+2
La descomposicin es: 3 5 + x+2 x1 La integral es: 3 L |x + 2| + 5 L |x 1| + k
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 1 3x 5 + x+2 La integral es: 3x2 5x + L |x + 2| + k 2
66.
x 2x + 1 dx2
2x + 3
64.
x3 2x2 3x + 10 dx x2 1
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 3 5 x2+ x1 x+1 La integral es: x2 2x + 3 L |x 1| 5 L |x + 1| + k 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 2 5 + x1 (x 1)2 La integral es: 5 2 L |x 1| +k x1
67.
x 6x + 12x 8 dx3 2
x2 7x + 15
65.
x + x 2 dx2
8x + 7
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 1 3 5 + x2 (x 2)2 (x 2)3 La integral es: 3 5 L |x 2| + +k x2 2(x 2)2
4. Integracin de funciones racionales con races complejas o de varios tipos Piensa y calculaHalla mentalmente las races imaginarias de la siguiente ecuacin: x2 + 9 = 0 Solucin: x = 3i
68.
x 2x + 5 dx2
2x + 1
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: 426
x = 1 2i Son imaginarias simples. La integral es: 3 x1 arc tg +k L |x2 2x + 5| + 2 2
SOLUCIONARIO
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Aplica la teora
69.
8x2 18x + 1 dx x3 3x2 + 4
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: x = 1 real simple, x = 2 real doble. La descomposicin es: 3 5 1 + x+1 x2 (x 2)2 La integral es: 1 3 L |x + 1| + 5 L |x 2| + +k x2
Races del denominador: x = 3 real simple. x = 2i imaginarias simples. La descomposicin es: 1 2x + 1 + 2 x3 x +4 La integral es: 1 x arc tg +k L |x 3| + L |x2 + 4| + 2 2
71.
x + 4x + 5 dx2
2x + 5
70.
x3
3x2 5x + 1 dx 3x2 + 4x 12
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: x = 2 i imaginarias simples. La integral es: L |x2 + 4x + 5| + arc tg (x + 2) + k
5. Integracin por cambio de variable o sustitucin y de funciones definidas a trozos Piensa y calculaResuelve mentalmente las siguientes integrales inmediatas. dx ex a) b) dx x+3 x e
Solucin: a) L |x| + k b) L |ex + 3| + k
Aplica la teora72.
x (L x)
dx
2
73.
x[(L x) 1] dx2
Lx
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Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. Lx=t x = et dx = et dt Se obtiene: 1 +k Lx
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. Lx=t x = et dx = et dt Se obtiene: 1 L [(L x)2 1] + k 2
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
427
74.
e + 2 dxx
1
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t2 dx = 2t dt Se obtiene: 2 x 2 L | x 1| + k dx
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. ex = t x=Lt dt dx = t Se obtiene: x 1 L (ex + 2) + k 2 2
79.
x + xx = t x = t2 dx = 2t dt
75.
e 4 dxx
e2x
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable.
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. ex = t x=Lt dt dx = t Se obtiene: ex + 4 L |ex 4| + k x
Se obtiene: 2 L | x + 1| + k dx
80.
x + x3
76.
x + 1
dx
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t6 dx = 6t5 dt Se obtiene: 2 x 3 x + 6 x 6 L | x + 1| + k dx3 6 6 6
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x + 1 = t x + 1 = t2 x = t2 1 dx = 2t dt Se obtiene: 2 (x + 2) x + 1 + k 3 dx
81.
x x4
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t4 dx = 4t3 dt Se obtiene: 2 x + 4 x + 4 L | x 1| + k x 3 si x 1 si x > 1 Grupo Editorial Bruo, S.L.4 4 4
77.
1 + x + 3x + 3 = t x + 3 = t2 x = t2 3 dx = 2t dt
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable.
82. Sea f(x) =
Se obtiene: 2 x + 3 2 L | x + 3 + 1| + k dx
Calcula f(x) dx Solucin: x2/2 si x 1 3x si x > 1
78.
1 x
428
SOLUCIONARIO
83. Sea f(x) =
sen x si x 0 si x > 0 1/x
84. Sea f(x) =
x2 x e
si x 1 si x > 1
Calcula f(x) dx Solucin: cos x si x 0 si x > 0 L |x|
Calcula f(x) dx Solucin: x3/3 si x 1 x si x > 1 e
6. Integracin de funciones trigonomtricas Piensa y calculaEscribe la frmula fundamental de la trigonometra. Solucin: sen2 x + cos2 x = 1
Aplica la teora85. sen x cos x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x y en el cos x 1 La integral es: sen2 x + k 2
88. sen3 x cos2 x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x cos5 x cos3 x La integral es: + +k 3 5
86. sen3 x cos x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x y en el cos x 1 La integral es: sen4 x + k 4
89. sen2 x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es par en el sen x 1 1 La integral es: x sen 2x + k 2 2
(
)
87. sen4 x cos x dx Grupo Editorial Bruo, S.L.
90. sen4 x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es par en el sen x 1 3x 3 sen x +k La integral es: cos x sen3 x + 4 2 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el cos x 1 La integral es: sen5 x + k 5
[
(
)]
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
429
91. sen 3x sen x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 sen 4x + sen 2x + k 4 2
Se aplica el cambio de variable. x = 4 sen t dx = 4 cos t dt La integral es: 8 arc sen x 1 + x 16 x2 + k 4 2
(
)
96. 2 x2 dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 2 sen t dx = 2 cos t dt La integral es: arc sen
92. cos 5x cos x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 sen 6x sen 4x + +k 4 3 2
(
)
2 x + 1 x 2 x2 + k2 2
93. sen 5x cos 3x dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 cos 8x cos 2x + k 4 4
97.
x 1 + x2
dx
2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = tg t dx = sec2 t dt
(
)
94. 1 x2 dxSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = sen t dx = cos t dt La integral es: 1 ( arc sen x + x 1 x2 ) + k 2
La integral es:
1 + x2x
+k
98.
x 16 + x2
dx
2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 4 tg t Grupo Editorial Bruo, S.L.
95. 16
x2
dx La integral es:
dx = 4 sec2 t dt
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas.
16 + x216x
+k
430
SOLUCIONARIO
Ejercicios y problemasPreguntas tipo testSeala la solucin correcta:6 1
PA UContesta en tu cuaderno:
(2x 1)2 dx 4x2 + 1 arc tg 2x + k 1 L |4x2 + 1| + k 2 x+k 1 L |4x2 + 1| + k 27
x + 3x + 2 dx2
x3 + 2
x
x2 3x + L |x 1| + 6 L |x 2| + k 2 x2 3 + L |x 1| + 6 L |x 2| + k 2 x2 3x + L |x + 1| + 6 L |x + 2| + k 2 x2 3x + L |x2 + 3x + 2| + k 2 x3 dx
2
2x3 9x2 + 7x dx x2 x 2x2 x + k x2 7x + k 2x2 7x + L |x| + L |x 1| + k x2 + L |x| + L |x 1| + k
1 + x
2
x2 x2 + 1 + k 3 x2 2 x2 + 1 + k 3 (x2 2) x2 + 1 + k x2 2 + x2 + 1 + k 3
3
x(x + 1) dxL |x| + L |x + 1| + k L |x| + L |x 1| + k
1
8
e
x + exx
dx x ex + k ee +k xx
L |x| L |x + 1| + k L |x| L |x 1| + k
ee + k x ee + kx
4
(x + 1)
x
3
dx
9
x3 + 1 dx x2 + 4 x x2 1 + arc tg + k 2 2 2 x2 + 2 L |x2 + 4| + k 2 x 1 x2 + 2 L |x2 + 4| + arc tg + k 2 2 2
2x + 1 L |x + 1| +k 2x2 + 4x + 2 2x + 1 2 +k 2x + 4x + 2 1 L |x + 1| +k 2x2 + 4x + 2 1 2 +k 2x + 4x + 2 1+x
x 1 x2 2 L |x2 + 4| + arc tg + k 2 2 2 4 2x2 L x dx x 4(L x)2 x2 L x x2 +k 2 x2 +k 2
5
1 + x dx
10
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2 x x x + 4 x 4L | x + 1| + k 3 x x + 2 L | x 1| + k 2 2 x x 4 L | x + 1| + k 3 2 x x + 4 x L | x + 1| + k 3
2(L x)2 x2 L x + 4(L x)2 x2
x2 +k 2 x2 +k 2
2(L x)2 L x +
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
431
Ejercicios y problemas1. Reglas de integracin99. 4(4x 1)5 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 2 4x +k 4L2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. (4x 1)6 +k 6 dx 100. (x 1)5
106.
x +92
x dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin racional. 1 +k 4(x 1)4
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. 1 L |x2 + 9| + k 2
107. sen (5 2x) dx
101. cos
3x dx 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 2 3x sen +k 3 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 cos (2x 5) + k 2
108.
3x
3 dx
102. e x dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 2 3x + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. e x + k
109. x cos (x2 + 1) dx
103.
dx x1
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |x 1| + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 sen (x2 + 1) + k 2
110.
3+x
dx
2
104. (cos x e x) dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica.
Solucin: Se aplica la integral de las operaciones. e x + sen x + k111. x sec2 x2 dx 105. 2 4x dx
3 arc tg 3 x + k3 3
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 tg x2 + k 2
432
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
112.
2 x
dx
2
118. (sen x cos x) dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. arc sen
2 x + k2
Solucin: Se aplica la integral de las operaciones. cos x sen x + k
113. 5 sen 7x dx
119.
(3x + 1 x + 2 + x2
1
85
)
dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 5 cos 7x + k 7
Solucin: Se aplica la integral de las operaciones. x3 + x L |x + 2| 2 +k x4
114. (10x4 + 2x3 x 1) dx
120. (2x 1)3 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. 2x5 + x4 x2 x+k 2 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. (2x 1)4 +k 8
115. cosec2 (3 4x) dx
121. ( x cotg x2) dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 cotg (3 4x) + k 4
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 L |sen x2| + k 2
116. x3 dx
5
122. 5 7 5x dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 5x x3 +k 85
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 75x +k L7
123. 117. ex/3 dx
(x + 7)
dx
2
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. 3ex/3 + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin racional. 1 +k x+7
124. 2x cotg x2 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. L |sen x2| + k TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA 433
Ejercicios y problemas125.
x3
3x2 + 5 dx + 5x 1
131. e5x dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |x3 + 5x 1| + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin exponencial. e5x +k 5
126. sen (3x + 2) dx
132.
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica 1 cos (3x + 2) + k 3
5x + 4
5 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin logartmica. L |5x + 4| + k
127. tg
x dx 4
133. tg (4x + 5) dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. x 2 L |cos + 1| + k 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 1 L |cos (4x + 5)| + k 4
128. 5x + 1 dx
3
134. cos (4 x) dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 3(5x + 1) 5x + 1 +k 203
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. sen (4 x) + k
129.
4 x
7 dx
135.2
1 + (2x)
6 dx
2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. x 7 arc sen +k 2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 3 arc tg 2x + k
136. sen 130. e x sen e x dx
4x dx 5
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. cos e x + k
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. 5 4x cos +k 4 5
137.
(x + 4 x 8x + 1) dx3
3
2
Solucin: Se aplica la integral de una funcin polinmica. x4 x3 + 4x2 + x + k 4 4 434 SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
138. e x cos e x dx
2. Integracin por partes141. x e3x dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin trigonomtrica. sen e x + k139. Calcula tres primitivas de la funcin:
y = sen x Represntalas. En qu se parecen? Solucin: y = cos x y = 2 cos x y = 3 cos xY
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x dv = e3x dx El resultado es: x 1 +k e3x 3 9
(
)
142. (x 1) sen x dx
X
Todas las curvas tienen en comn que son traslaciones verticales de la integral sin constante.140. Dada la funcin:
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x1 dv = sen x dx El resultado es: (x + 1) cos x + sen x + k
143. (x 2) cos x dx
y = cos x a) calcula su integral indefinida. b) halla la primitiva que pasa por el punto P(0, 3) c) dibuja la funcin inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. Solucin: a) cos x dx = sen x + k b) sen 0 + k = 3 k = 3 y = 3 + sen x c) Y
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x2 dv = cos x dx El resultado es: (x 2) sen x + cos x + k
144. x L (x + 5) dx
X Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = L (x + 5) dv = x dx El resultado es: 1 2 5x x2 + +k (x 25) L |x + 5| 2 2 4
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
435
Ejercicios y problemas145. x arc tg x dx
149. (x2 1) L x dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = arc tg x dv = x dx El resultado es: 1 2 x +k (x + 1) arc tg x 2 2146. x2 e 3x dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = (x2 1)dx El resultado es:
(
x3 x3 x L |x| +x+k 3 9
)
150. (x2 1) cos x dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 dv = e3x dx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: 1 3x 2 e (9x + 6x + 2) + k 27147. x4 L x dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 1 dv = cos x dx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: (x2 3) sen x + 2x cos x + k
151. (x 1) ex dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = x4 dx El resultado es: x5 x5 L |x| +k 5 25148. (x2 + 3) sen x dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u=x1 dv = ex dx El resultado es: ex(x 2) + k
152. e2x sen x dx
436
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 + 3 dv = sen x dx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: (x2 + 1) cos x + 2x sen x + k
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = sen x dv = e2x dx Hay que hacerla otra vez, por partes, y planear una ecuacin. 1 El resultado es: e2x(2 sen x cos x) + k 5
153. L (x 1) dx
3. Integracin de funciones racionales con races reales en el denominador157.
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = L (x 1) dv = dx El resultado es: (x 1) L |x 1| x + k
x2 + x 2 dx x
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 2 x+1 x La integral es: x2 + x 2 L |x| + k 2
154. (x2 3) ex dx
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = x2 3 dv = exdx Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es: ex (x2 2x 1) + k
158.
x2 6x + 2 dx 5x
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 3 x + 1 5x La integral es: x2 + x + 3 L |x 5| + k 2
155. e x cos x dx
159.
x 4 dx2
3x 4
Solucin: Se resuelve aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = cos x dv = e x dx Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuacin. El resultado es: 1 x e (sen x cos x) + k 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 1 1 5 + 2 x2 x+2 La integral es: 1 (L |x 2| + 5 L |x + 2|) + k 2
(
)
156. arc tg 2x dx
160.
5x2 2x 3 dx x3
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se ha de resolver aplicando el mtodo de integracin por partes. Se hacen los cambios: u = arc tg 2x dv = dx El resultado es: 1 x arc tg 2x L |4x2 + 1| + k 4 TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 5 22 33 x x x La integral es: 2 3 5 L |x| + + +k x 2x2
437
Ejercicios y problemas161.
x 6x + 9 dx2
4x 11
165.
x + x 6 dx2
11x + 13
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 4 1 + x3 (x 3)2 La integral es: 1 4 L |x 3| +k x3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 4 7 + x+3 x2 La integral es: 4 L |x + 3| + 7 L |x 2| + k
162.
2x2 + 14x 31 dx 3 9x2 27x + 27 x
166.
x + 2x + 1 dx2
3x 1
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 2 2 7 + x3 (x 3)2 (x 3)3 La integral es: 2 7 2 L |x 3| + +k x3 2(x 3)2 2x2 10x + 13 dx x3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 3 4 x+1 (x + 1)2 La integral es: 4 3 L |x + 1| + +k x+1
163.
167.
x + 6x + 12x + 8 dx3 2
3x2 + 8x + 5
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 1 2x 4 + x3 La integral es: x2 4x + L |x 3| + k
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene una raz real mltiple. La descomposicin es: 3 4 1 + x+2 (x + 2)2 (x + 2)3 La integral es: 4 1 3 L |x + 2| + +k x+2 2(x + 2)2
164.
x3 2x2 + 6x 2 dx x2 x
168.
x + 2x + 10 dx2
2x 3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales.
438
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 2 3 x1+ + x x1 La integral es: x2 x + 2 L |x| + 3 L |x 1| + k 2
4. Integracin de funciones racionales con races complejas o de varios tipos
Races del denominador: x = 1 3i Son imaginarias simples. La integral es: 5 x+1 arc tg +k L |x2 + 2x + 10| 3 3
5. Integracin por cambio de variable o sustitucin y de funciones definidas a trozos172.
xLx
dx
169.
2x2 + 18x + 25 dx x3 + 3x2 4
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: x = 1 real simple. x = 2 real doble. La descomposicin es: 5 3 1 + x1 x+2 (x + 2)2 La integral es: 1 5 L |x 1| 3 L |x + 2| +k x+2
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. Lx = t x = et dx = et dt Se obtiene: L (L x) + k
173.
x [(L x) + 1] dx2
Lx
170.
x3
2x2 + x + 7 dx + 2x2 + 9x + 18
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. Lx = t x = et dx = et dt Se obtiene: 1 L [(L x)2 + 1] + k 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: x = 2 real simple. x = 3i imaginarias simples. La descomposicin es: 1 x1 + 2 x+2 x +9 La integral es: 1 1 x arc tg +k L |x + 2| + L |x2 + 9| 2 3 3
174.
e 3 dxx
1
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. ex = t x=Lt dt dx = t Se obtiene: 1 x + L |ex 3| + k 3 3 e2x dx +5
171.
3x dx x2 4x + 8
175.
ex
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. Races del denominador: x = 2 2i imaginarias simples. La integral es: 3 x2 +k L |x2 4x + 8| + 3 arc tg 2 2
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. ex = t x=Lt dt dx = t Se obtiene: ex 5 L |ex + 5| + k
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
439
Ejercicios y problemas176.
x 1 dxx 1 = t x 1 = t2 x = t2 + 1 dx = 2t dt
x
180.
x x3
dx
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable.
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t6 dx = 6t5 dt Se obtiene: 3 6 6 2 x + 3 x + 6 x + 6 L | x 1| + k6
Se obtiene: 2 (x + 2) x 1 + k 3
181. 177.
dx 2 x 3
+ x x4
dx
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x 3 = t x 3 = t2 x = t2 + 3 dx = 2t dt Se obtiene: 2 x 3 4 L | x 3 2| + k
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t4 dx = 4t3 dt Se obtiene: 2 x 4 x + 4 L | x + 1| + k4 4 4
182. Sea f(x) =
2x 1
si x 1 si x > 1
178.
1 + xx = t x = t2 dx = 2t dt
dx
Calcula f(x) dx Solucin: x2 x si x 1 si x > 1 2/x si x < 0 cos x si x 0
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable.
183. Sea f(x) =
Se obtiene: 2 x 2 L | x + 1| + k
Calcula f(x) dx Solucin: 2 L |x| sen x si x < 0 si x 0 1/x2x/2 e
179.
dx 2x x
Solucin: Se aplica el mtodo de sustitucin o cambio de variable. x = t x = t2 dx = 2t dt Se obtiene: L |2 x 1| + k
184. Sea f(x) =
Calcula f(x) dx Solucin: 1/x x/2 2e si x 1 si x > 1
440
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
si x 1 si x > 1
6. Integracin de funciones trigonomtricas185. sen x cos2 x dx
190. cos4 x dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x La integral es: 1 cos3 x + k 3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es par en el cos x La integral es: 1 4
[
3x 3 + sen x cos x cos2 x + 2 2
(
)]
+k
191. sen 4x cos x dx 186. sen x
cos3
x dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x y en el cos x La integral es: 1 cos4 x + k 4
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 cos 5x cos 3x +k 2 5 3
(
)
187. sen x cos4 x dx
192. sen 5x sen 3x dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el sen x La integral es: 1 cos5 x + k 5
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 sen 8x + sen 2x + k 4 4
(
)
188. sen2 x cos3 x dx
193. cos 6x cos 4x dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es impar en el cos x La integral es: cos2 x sen x 2 + +k cos4 x + 3 5 3
(
)
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se transforma el producto en suma o resta. La integral es: 1 sen 10x + sen 2x + k 4 5
(
)
Grupo Editorial Bruo, S.L.
189. tg2 x dx
194. 9 x2 dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Es par en el sen x y en el cos x La integral es: ( x + tg x) + k
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas.
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
441
Ejercicios y problemasSe aplica el cambio de variable. x = 3 sen t dx = 3 cos t dt La integral es: 1 (9 arc sen x + x 9 x2 ) + k 2 3 La integral es: 1 3 x + x 3 x2 + k 3 arc sen 2 3
(
)
197.
x 4+x2 2
dx
195. 25 x2 dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 5 sen t dx = 5 cos t dt La integral es: 1 (25 arc sen x + x 25 x2 ) + k 2 5
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 2 tg t dx = 2 sec2 t dt La integral es: 4 + x2 +k 4x
198.
x 25 + x2 2
dx
196. 3 x2 dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 3 sen t dx = 3 cos t dt
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas. Se aplica el cambio de variable. x = 5 tg t dx = 5 sec2 t dt La integral es: 25 + x2 25x
Para ampliar199. Calcula tres primitivas de la funcin: 200. Dada la funcin:
y=x Represntalas. En qu se parecen? Solucin: x2 y= 2 x2 y= +1 2 x2 y= 3 2
Y
y = x + 1 a) calcula su integral indefinida: b) halla la primitiva que pasa por el punto P(4, 1) c) dibuja la funcin inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. Solucin:X Grupo Editorial Bruo, S.L.
a)
(x + 1)dx = x242 + 4 + k = 1 2 x2 +x+3 2 k=3
2
+x+k
b)
Todas las curvas tienen en comn que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
y=
442
SOLUCIONARIO
c)
205. Calcula la integral de la funcin:Y
f(x) = x L x Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = x dx El resultado es: 1 x2 L |x| +k 2 2206. Calcula la integral de la funcin:
X
201. Halla la integral de la siguiente funcin definida a trozos:
(
)
1 f(x) = x Solucin:
si x < 2 si x 2
y = ex + 2 Solucin: Es la integral de una funcin exponencial. ex + 2 + k207. Calcula la integral de la funcin:
si x < 2 x + k f (x) dx = 2 x /2 + k si x 2
202. Calcula la integral de la funcin:
f(x) =
x2
+ 3x + 1 x
f(x) = (1 + x) ex Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=1+x dv = ex dx El resultado es: xex + k208. Calcula:
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 1 x+3+ x La integral es: x2 + 3x + L |x| + k 2203. Calcula la integral de la funcin:
f(x) = x3 4x Solucin: Es la integral de un polinomio. x4 2x2 + k 4204. Calcula la integral indefinida:
2x3 x2 12x 3 dx x2 x 6
1+e Grupo Editorial Bruo, S.L.
1
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 1 6 1 2x + 1 + 5 x3 x+2 La integral es: 6 1 L |x 3| L |x + 2| + k x2 + x + 5 5
(
)
x
dx209. Halla una funcin f(x) sabiendo que:
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. ex = t x = L t dt dx = t La integral es: x L |ex + 1| + k
f'(x) = x2ex Solucin: Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el mtodo. La primera vez se hacen los cambios: u = x2 dv = ex dx El resultado es: ex(x2 2x + 2) + k 443
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios y problemas210. Calcula la integral de la funcin:
f(x) = x 1 Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 2 (x 1) x 1 + k 3211. Calcula:
ex = t 2x ex dx = dt dt x dx = 2t2 2
La integral es: 1 x2 e +k 2
213. Calcula una primitiva de la funcin:
y= x32 ex
dx
1 1 x2
Solucin: Se calcula por partes; tiene que aplicarse dos veces el mtodo: La primera vez se hacen los cambios: u = x2 2 dv = x ex El resultado es: 1 x2 2 e (x 1) + k 2212. Calcula:
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 1 2 La integral es: 1 (L |x +1| L |x 1|) + k 2214. Calcula una primitiva de la funcin:
(
1 1 x+1 x1
)
x dx dx 2 ex
y = x Solucin: Es la integral de una funcin irracional. 2 x x + k 3
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin.
Problemas215. Calcula tres primitivas de la funcin: 216. Dada la funcin: y = ex
y = x Represntalas. En qu se parecen? Solucin: x2 y= 2 x2 y= +3 2 x2 y= 1 2
a) calcula su integral indefinida. b) halla la primitiva que pasa por el punto P(1, 1) c) dibuja la funcin inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. Solucin: a)
Y
e dx = e + kx x
b) e1 + k = 1 k = 1 e y = ex + 1 e c) Y Grupo Editorial Bruo, S.L.
X X
Todas las curvas tienen en comn que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
444
SOLUCIONARIO
217. Halla la integral de la siguiente funcin definida a trozos:
x f(x) = x e Solucin:
si x 1 si x > 1
222. Calcula
x + 1 dx
1
x2/2 + k si x 1 f (x) dx = x si x > 1 e + k
Solucin: Es la integral de una funcin logartmica. L |x + 1| + k223. Calcula la integral de la funcin:
218. Calcula:
f(x) = x4 4x3 + x2 + 6x
ex dx 1 ex
Solucin: Es la integral de un polinomio. x5 x3 + 3x2 + k x4 + 5 3224. Calcula la integral de la funcin:
Solucin: Es la integral de una funcin irracional. 2 1 ex + k219. Calcula la integral de la funcin:
f(x) =
x2 3x + 2 x
1 1 ex mediante un cambio de variable. f(x) = Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. ex = t x = L t dt dx = t La integral es: x L |ex 1| + k220. Calcula la integral de la funcin:
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 2 x3+ x La integral es: x2 3x + 2 L |x| + k 2225. Calcula la integral de la funcin:
f(x) =
4x2 + 3x 9 x+2
2x f(x) = x1 Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 2 2+ x1 La integral es: 2x + 2 L |x 1| + k221. Calcula la integral de la funcin:
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 1 4x 5 + x+2 La integral es: 2x2 5x + L |x + 2| + k226. Calcula:
x2 + x + 2 dx x2 1
Grupo Editorial Bruo, S.L.
f(x) =
x x2 + 1
Solucin: Es la integral de una funcin logartmica. 1 L |x2 + 1| + k 2 TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 2 1 1+ x1 x+1 La integral es: x + 2 L |x 1| L |x + 1| + k 445
Ejercicios y problemas227. Calcula: 232. Sea la integral:
(x + 5) e2
x
dx
e sen e dx a) Intgrala mediante el cambio t = e2x x
x
Solucin: Se calcula por partes, hay que aplicar dos veces el mtodo. La primera vez se hacen los cambios: u = x2 + 5 dv = e x dx El resultado es: e x (x2 + 2x + 7) + k228. Calcula la integral de la funcin:
b) Calcula la constante de integracin para que la funcin integral pase por el origen de coordenadas. Solucin: a) Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. ex = t x = L t e2x = t2 dt dx = t Luego hay que hacerla por partes. La integral es: ex cos ex + sen ex + k b) Para x = 0, y = 0 e0 cos e0 + sen e0 + k = 0 cos 1 + sen 1 + k = 0 k = cos 1 sen 1233. La recta que pasa por los puntos (0, 6) y (1, 0) (obser-
f(x) =
16 (x + 1)2
Solucin: Es la integral de una funcin racional. 16 +k x+1229. Calcula la integral de la funcin:
y = e x Solucin: Es la integral de una funcin exponencial. e x + k230. Calcula la integral de la funcin:
va el dibujo) es la grfica de la funcin derivada segunda f de una cierta funcin f: 8 . Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la recta tangente tienen pendiente igual a 3. Determina una expresin de la funcin fY
f(x) = xe2x Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=x dv = 2e2x dx El resultado es: 1 2x 1 +k e x 2 2231. Calcula:y = f''(x) X
( )
x cos x dx2
X
446
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Es la integral de una funcin trigonomtrica. 1 sen x2 + k 2
Solucin: f"(x) = 6x 6 f'(x) = 3x2 6x + k1 f'(0) = 3 k1 = 3 f'(x) = 3x2 6x + 3 f(x) = x3 3x2 + 3x + k2 f(0) = 0 k2 = 0 f(x) = x3 3x2 + 3x
Y
234. Calcula la integral de la funcin:
238. Calcula la integral de la funcin:
x4 + x + 1 f(x) = x2 + x Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 1 1 x2 x + 1 + x x+1 La integral es: 1 3 1 2 x x + x + L |x| L |x + 1| + k 3 2
f(x) = (x + 1)e2x Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=x+1 dv = e2x dx El resultado es: 1 2x 1 +k e x+ 2 2
( )
239. Calcula:
x sen x cos x dxSolucin: Se llama I a la integral buscada. Se aplica la integracin por partes. u = x sen x dv = cos x dx Se obtiene la siguiente ecuacin: I = x sen2 x sen2 x I Se resuelve la integral trigonomtrica que es par en el seno.
235. Calcula:
x x22
x2
x+1
dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 1 1 1+ x2 x+1 La integral es: x + L |x 2| L |x + 1| + k
sen x = 1 (1 cos 2x) dx = 1 x 1 sen 2x 2 2 42
Queda: 2I = x sen2 x 1 1 x + sen 2x + k 2 4
236. Calcula la integral de la funcin:
y=
x2 x3 2
I=
x sen2 x 1 x + 1 sen 2x + k 4 8 2
Solucin: Es la integral de una funcin logartmica. 1 L |x3 2| + k 3
240. Calcula:
e3x dx 2 + ex
237. Calcula la integral de la funcin:
y=
1 x2 + 2
Solucin: Es la integral de una funcin trigonomtrica. Grupo Editorial Bruo, S.L.
2 arc tg 2 x + k2 2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. ex = t x = L t e3x = t3 dt dx = t La integral es: 1 2x e 2ex + 4 L |ex + 2| + k 2
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
447
Ejercicios y problemas241. Calcula una primitiva de la funcin:
f(x) = x L (1 + x2) Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u = L (1 + x2) dv = x dx El resultado es: 1 [(x2 + 1) L |x2 + 1| x2] + k 2242. Calcula:
c)
Y
X
245. Halla la integral de la siguiente funcin definida a trozos:
x 1 + x2 dx
Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 1 2 (x + 1) 1 + x2 + k 3
sen x si x 1 f(x) = ex si 1 < x < 2 cos x si x 2 Solucin:
cos x f(x)dx = ex sen x
si x 1 si 1 < x < 2 si x 2
Para profundizar243. Calcula tres primitivas de la funcin:
246. Calcula la integral de la funcin:
y= Represntalas. En qu se parecen? Solucin: y = ex y = ex + 2 y = ex 3
ex
f(x) =
1 x2 + 3
Solucin: Es la integral de una funcin trigonomtrica.
Y
3 arc tg 3 x + k3 3247. Calcula la integral de la funcin:X
f(x) = xe x Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=x dv = ex dx El resultado es: ex (x + 1) + k248. Calcula la integral de la funcin:
Todas las curvas tienen en comn que son traslaciones verticales de la integral sin constante.244. Dada la funcin:
Solucin: a)
sen x dx = cos x + k
b) cos + k = 3 k = 2 y = cos x + 2 448
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
y = sen x a) calcula su integral indefinida. b) halla la primitiva que pasa por el punto P(, 3) c) dibuja la funcin inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior.
y=
2x + 2 1x
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 4 2 x1 La integral es: 2x 4 L |x 1| + k
249. Calcula la integral de la funcin:
1 f(x) = x1 Solucin: Es la integral de una funcin logartmica. L |x 1| + k250. Calcula:
La descomposicin es: 1 2 La integral es: 1 (L |x + 1| L |x + 3|) + k 2
(
1 1 x+1 x+3
)
254. Calcula la integral de la funcin:
x2 L x dx
donde L x denota el logaritmo neperiano de un nmero positivo x Solucin: Se calcula por partes. Se hacen los cambios: u=Lx dv = x2 dx El resultado es: 1 x3 L |x| +k 3 3
f(x) = sen x Usa el cambio de variable x = t Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. x = t x = t2 dx = 2tdt Luego hay que hacerla por partes. La integral es: 2 sen x 2 x cos x + k255. Calcula la integral de la funcin:
(
)
251. Calcula la integral de la funcin:
f(x) = 2 + x
x2
f(x) =
1 x2
Solucin: Es la integral de un polinomio. x3 x2 + + 2x + k 3 2
Solucin: Es la integral de una funcin racional. 1 +k x
252. Halla una funcin f(x) sabiendo que:
256. Haciendo el cambio de variable ex = t, calcula:
f'(x) = x2 ex Solucin: Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el mtodo. La primera vez se hacen los cambios: u = x2 dv = ex dx El resultado es: ex (x2 2x + 2) + k
e2x
ex 1
253. Calcula: Grupo Editorial Bruo, S.L.
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. ex = t x = L t e2x = t2 dt dx = t La integral es: 1 (L |ex 1| L |ex + 1| + k 2
x + 4x + 32
dx
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples.
257. Calcula:
f(x) =
x3 2x + 3 dx x x2
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
449
Ejercicios y problemasSolucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. El denominador tiene races reales simples. La descomposicin es: 3 2 x 1 + x x1 La integral es: 1 x2 x + 3 L |x| 2 L |x 1| + k 2258. Calcula la integral de la funcin: 261. Calcula una primitiva de la funcin:
y=
x2 4 x2
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin de funciones racionales. La descomposicin es: 1 1 1 + x+2 x2 La integral es: x + L |x + 2| L |x 2| + k
f(x) = x 5 x2 Solucin: Se aplica la integral de una funcin irracional. 1 (5 x2) 5 x2 + k 3259. Calcula una primitiva de la funcin:
262. Utiliza el cambio de variable L x = t para calcular la in-
tegral:
1 + L x2 + (L x)2 dx x(1 + L x)
y = tg x Solucin: Es la integral de una funcin trigonomtrica. L |cos x| + k
Solucin: Se aplica el mtodo de integracin por cambio de variable o sustitucin. L x = t x = et dx = et dt I=
260. Calcula:
e (1 + t) e dt = 1 + t dt = 1 (1 + t) dt =(t + 1) dt = t + t + k = = 2 1+tt t 2 2
1 + 2t + t2
1 + 2t + t2
x3 ex dx2
=
1 (L x)2 + L x + k 2
Solucin: Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el mtodo. La primera vez se hacen los cambios: u = x2 2 dv = xex dx El resultado es: 1 x2 2 e (x 1) + k 2
263. Calcula la integral:
sen x dx3
cos x
Solucin: Se aplica la integral de la funcin racional. I= cos 1 sen xx dx = 2 sen x3 2
+k
450
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Linux/WindowsPaso a paso264. Calcula
Windows Derive
la siguiente integral indefinida:
e
(
5x
+ cos
x dx 3
)
Sustituye la constante k por los nmeros enteros de 10 a 10. Representa la familia de funciones que obtienes. Qu observas en las grficas? Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.267. Calcula
Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.265. Calcula
la integral: F(x) = (2x 5) dx
la integral:
Halla la primitiva que pase por el punto P(4, 3). Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.266. Calcula
3x2 11x + 15 dx x3 6x2 + 12x 8 y haz la descomposicin en fracciones simples del integrando.
Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.268. Internet.
la integral:
Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.
cos 2x dx
Practica269.
x cos x dx
271.
x
2 ex
dx
Solucin:
Solucin:
270. Grupo Editorial Bruo, S.L.
L x dx
272.
e sen x dxx
Solucin:
Solucin:
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
451
Linux/WindowsEn los siguientes ejercicios haz la descomposicin en fracciones simples del integrando y calcula la integral.273.
Solucin:
3x2 + 2x + 3 dx x2 + 1
Solucin:278.
(x
2
1 dx x)(x 1)
Solucin:
274.
x
12x + 1 dx 2+x6279.
Solucin:
x
x3 + 1 dx 2+1
Solucin:
275.
x
2
3x + 5 dx 4x + 13 Calcula las siguientes integrales:280.
Solucin:
Lx dx x
Solucin:
276.
x3
5x2 21x + 12 dx 7x2 + 11x 5281.
Solucin:
e + 3 dxx Grupo Editorial Bruo, S.L.
6
Solucin:
277.
5x2 4x + 3 dx x3 2x2 + x 2SOLUCIONARIO
452
Windows Derive282.
x x + 1
dx
287.
cos
2
x dx
Solucin: Solucin:
283.
x x3
dx
288.
cos 4x cos 3x dx
Solucin:
Solucin:
284.
|x| dx
289.
4 x
2
dx
Solucin:
Solucin:
285.
sen
2
x cos x dx
290.
x 9 + x2
dx
2
Solucin:
Solucin:
286. Grupo Editorial Bruo, S.L.
cos
3
x dx
291.
x
3
L x dx
Solucin:
Solucin:
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
453
Linux/Windows292.
Lx dx x2
296. Calcula
la integral: F(x) = (3x2 4x 1) dx
Solucin:
Halla la primitiva que pase por el punto P(2, 1). Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Solucin:
293.
e
x(x2
+ 1) dx
Solucin:
294.
1 + dx x
2
Solucin:
295.
L(L x) dx xLx
Solucin:
454
SOLUCIONARIO
Grupo Editorial Bruo, S.L.
Windows Derive297. Calcula
la integral:
298. Calcula
la integral:
x sen 2x dxSustituye la constante k por los nmeros: 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Representa la familia de funciones que obtienes. Qu observas en las grficas? Solucin:
sen 3x cos 2x dxSustituye la constante k por los nmeros: 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Representa la familia de funciones que obtienes. Qu observas en las grficas? Solucin:
Grupo Editorial Bruo, S.L.
TEMA 13. INTEGRAL INDEFINIDA
455