1.3 errores

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS1.31.3 ErroresErrores

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

1.3 Errores1.3 Errores

Los métodos numéricos ofrecen Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas; la discrepancia las soluciones exactas; la discrepancia entre una solución verdadera y una entre una solución verdadera y una aproximada constituye un error, por lo que aproximada constituye un error, por lo que es importante saber qué se entiende por es importante saber qué se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los aproximar y aprender a cuantificar los errores, para minimizarlos.errores, para minimizarlos.

1.3 Errores1.3 Errores

1.3.11.3.1 Error absoluto Error absoluto

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

La relación entre un resultado exacto o verdadero X y el valor La relación entre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* está dado por:aproximado X* está dado por:

X = X* + errorX = X* + error (1.1) (1.1)

El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:aproximado:

E = |X - X*|E = |X - X*| (1.2) (1.2)

El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está midiendo.midiendo.

1.3.21.3.2 Error relativo. Error relativo.

El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor

verdadero de la cantidad medida:verdadero de la cantidad medida:

ee = |E/X| = |(X - X*)/X| = |E/X| = |(X - X*)/X| (1.3)(1.3)

El error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, en El error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, en

forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en

términos porcentuales:términos porcentuales:

ee (%) = |E/X| x 100 (%) = |E/X| x 100 (1.4)(1.4)

Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el

valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y

relativo: E y relativo: E y ee sean también verdaderos. Pero normalmente X no sean también verdaderos. Pero normalmente X no

se conoce; no tendría sentido considerar una aproximación, si se se conoce; no tendría sentido considerar una aproximación, si se

conociese el valor verdadero.conociese el valor verdadero.

1.3.21.3.2 Error relativo Error relativo

La mejor estimación posible del verdadero valor de X es su La mejor estimación posible del verdadero valor de X es su aproximación X* y se define entonces una estimación del error aproximación X* y se define entonces una estimación del error relativo como:relativo como:

ee* = |E/X*|* = |E/X*| (1.5)(1.5)Pero el problema está en cómo estimar E, en ausencia de Pero el problema está en cómo estimar E, en ausencia de conocimiento del verdadero valor de X.conocimiento del verdadero valor de X.Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que se hace una aproximación con base en la aproximación previa y se hace una aproximación con base en la aproximación previa y esto se hace varias veces, para obtener cada vez mejores esto se hace varias veces, para obtener cada vez mejores aproximaciones:aproximaciones:

ee* = * = || (valor actual - valor anterior)/valor actual (valor actual - valor anterior)/valor actual || (1.6) (1.6)Los cálculos se repiten hasta que: Los cálculos se repiten hasta que: ee* < * < ee00, donde , donde ee00 es un valor es un valor prefijado previamente.prefijado previamente.Los errores numéricos se clasifican, por su origen, en tres tipos: Los errores numéricos se clasifican, por su origen, en tres tipos: errores inherentes, errores de redondeo y errores por truncamiento, errores inherentes, errores de redondeo y errores por truncamiento, cada uno de los cuales merece un tratamiento por separado. cada uno de los cuales merece un tratamiento por separado.

1.3.3 Errores inherentes1.3.3 Errores inherentes

Los errores inherentes se producen por la propia variabilidad de Los errores inherentes se producen por la propia variabilidad de los fenómenos; al ser caracterizados a través de cantidades los fenómenos; al ser caracterizados a través de cantidades físicas, las mediciones conllevan incertidumbre, pues los físicas, las mediciones conllevan incertidumbre, pues los instrumentos de medición ofrecen sólo una aproximación numérica instrumentos de medición ofrecen sólo una aproximación numérica del valor verdadero de la magnitud medida, pues se calibran para del valor verdadero de la magnitud medida, pues se calibran para considerar solamente un determinado número de cifras considerar solamente un determinado número de cifras significativas. Todas las magnitudes que se manejan en ingeniería significativas. Todas las magnitudes que se manejan en ingeniería son susceptibles a este tipo de errores. son susceptibles a este tipo de errores.

Por ejemplo, cuando se dice que el tirante de agua de una presa Por ejemplo, cuando se dice que el tirante de agua de una presa es de 123 m, habiendo hecho la medición mediante un dispositivo es de 123 m, habiendo hecho la medición mediante un dispositivo que ofrece una precisión de tres cifras significativas, el tirante de que ofrece una precisión de tres cifras significativas, el tirante de agua realmente puede fluctuar entre 122.5 y 123.5 m.agua realmente puede fluctuar entre 122.5 y 123.5 m.

X [122.5, 123.5) X [122.5, 123.5) X* = 123X* = 123


El error inherente absoluto máximo que se puede llegar El error inherente absoluto máximo que se puede llegar a cometer cumple con la desigualdad:a cometer cumple con la desigualdad:

EEmaxmax ≤≤ 0.5 m;0.5 m;

y el correspondiente error inherente relativo máximo y el correspondiente error inherente relativo máximo cumple con la desigualdad: cumple con la desigualdad:

eemaxmax ≤≤ 0.5/122.5 = 0.00408 0.5/122.5 = 0.00408

El error inherente absoluto medio que se puede El error inherente absoluto medio que se puede cometer cumple con la desigualdad:cometer cumple con la desigualdad:

EEmedmed ≤≤ 0.25 m; 0.25 m;

y el correspondiente error inherente relativo medio y el correspondiente error inherente relativo medio cumple con la desigualdad:cumple con la desigualdad:

eemedmed ≤≤ 0.00204. 0.00204.

1.3.3.1 Yerros humanos1.3.3.1 Yerros humanos

Algunos autores mencionan dentro de la clasificación de Algunos autores mencionan dentro de la clasificación de errores inherentes, los yerros humanos, que se cometen errores inherentes, los yerros humanos, que se cometen al hacer la lectura de una medida, al transmitirla o al al hacer la lectura de una medida, al transmitirla o al transcribirla; pero, en virtud de que estos errores de transcribirla; pero, en virtud de que estos errores de lectura, transmisión o transcripción pueden constituirse lectura, transmisión o transcripción pueden constituirse en pifias garrafales que quedan fuera de todo control, no en pifias garrafales que quedan fuera de todo control, no es posible estimarlos en forma sistematizada. Por es posible estimarlos en forma sistematizada. Por ejemplo, si al transcribir en un documento la densidad ejemplo, si al transcribir en un documento la densidad de un producto, se anota 1.381 en vez de 1.831, que es de un producto, se anota 1.381 en vez de 1.831, que es la medida leída, la pifia es imposible de manejar y la medida leída, la pifia es imposible de manejar y predecir.predecir.

1.3.3.1 Yerros humanos1.3.3.1 Yerros humanos

LecturaLectura

TransmisiónTransmisión

TranscripciónTranscripción

ProgramaciónProgramación

1.3.4 Errores de redondeo1.3.4 Errores de redondeoLos errores de redondeo se producen al realizar operaciones aritméticas en las que el resultado Los errores de redondeo se producen al realizar operaciones aritméticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo número de dígitos difiere significativamente del número de dígitos de produce una mantisa cuyo número de dígitos difiere significativamente del número de dígitos de la mantisa de alguno de los valores numéricos involucrados en la operación. Al manejar un la mantisa de alguno de los valores numéricos involucrados en la operación. Al manejar un determinado número de cifras significativas en los cálculos, el resultado tiene que ser determinado número de cifras significativas en los cálculos, el resultado tiene que ser redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero.redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero.

Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede ser expresado mediante notación Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede ser expresado mediante notación matemática, en forma normalizada: F x 10matemática, en forma normalizada: F x 10nn, donde F está formada por m cifras obtenidas en el , donde F está formada por m cifras obtenidas en el resultado, de las cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dos sumandos, resultado, de las cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dos sumandos, igualmente normalizados: el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del igualmente normalizados: el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del resultado después del punto decimal: f x 10resultado después del punto decimal: f x 10 nn, y el segundo formado por las (m-t) cifras no , y el segundo formado por las (m-t) cifras no significativas del resultado, g x 10significativas del resultado, g x 10n-tn-t::

X = F x 10X = F x 10nn = f x 10 = f x 10nn + g x 10 + g x 10n-t n-t

En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absoluto puede tomar algún valor En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absoluto puede tomar algún valor dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1). F está formado por m dígitos, f está formada por t dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1). F está formado por m dígitos, f está formada por t dígitos y g está formada por (m-t) dígitos. dígitos y g está formada por (m-t) dígitos.

0.1 0.1 ≤≤ |F| < 1 ; |F| < 1 ; 0.1 0.1 ≤≤ |f| < 1 ; |f| < 1 ; 0 0 ≤≤ |g| < 1 |g| < 1

[0.1, 0.999...99][0.1, 0.999...99] [0.1, 0.999...99][0.1, 0.999...99] [0, 0.999...][0, 0.999...]

m dígitosm dígitos t dígitos t dígitos (m-t) dígitos (m-t) dígitos

1.3.4 Errores de redondeo1.3.4 Errores de redondeo

TruncadoTruncado 1.6661.666

SimétricoSimétrico 1.6671.667

1.3.4.1 Redondeo truncado1.3.4.1 Redondeo truncado

Al considerar únicamente t cifras significativas, se están despreciando (m-t) cifras del Al considerar únicamente t cifras significativas, se están despreciando (m-t) cifras del resultado, es decir, se está redondeando el resultado. Ahora bien, hay dos maneras de resultado, es decir, se está redondeando el resultado. Ahora bien, hay dos maneras de hacer ese redondeo: la primera consiste en tomar como aproximación numérica X* de hacer ese redondeo: la primera consiste en tomar como aproximación numérica X* de la operación realizada el valor f x 10la operación realizada el valor f x 10nn, haciendo caso omiso del valor de g x 10, haciendo caso omiso del valor de g x 10n-tn-t; la ; la segunda consiste en tomar como aproximación numérica X* el valor f x 10segunda consiste en tomar como aproximación numérica X* el valor f x 10nn, pero , pero ajustado conforme al valor que tenga el primer dígito de g x 10ajustado conforme al valor que tenga el primer dígito de g x 10n-tn-t..

Redondeo truncado:Redondeo truncado: X* = f x 10X* = f x 10nn (1.7) (1.7)El error absoluto que se comete en cada caso particular es:El error absoluto que se comete en cada caso particular es:

E = |g| x 10E = |g| x 10n-t n-t

El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, es: El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, es: EEmaxmax < 1 x 10 < 1 x 10n-tn-t

Y el error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una distribución de Y el error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una distribución de probabilidad uniforme para los errores, es:probabilidad uniforme para los errores, es:

EEmedmed < 0.5 x 10 < 0.5 x 10n-tn-t

El error relativo que se comete en cada caso particular es:El error relativo que se comete en cada caso particular es:e = |g/F| x 10e = |g/F| x 101-t1-t

El error relativo máximo que se puede llegar a cometer, en todo caso, es:El error relativo máximo que se puede llegar a cometer, en todo caso, es: eemaxmax < 1 x 10 < 1 x 101-t1-t

Y el error relativo esperado o promedio que se puede cometer es:Y el error relativo esperado o promedio que se puede cometer es: eemedmed < 0.5 x 10 < 0.5 x 101-t1-t

1.3.4.1 Redondeo truncado1.3.4.1 Redondeo truncado

Puesto que X no siempre se puede conocer con exactitud, F tampoco, por lo que es imposible Puesto que X no siempre se puede conocer con exactitud, F tampoco, por lo que es imposible calcular los errores verdaderos, se recurre a sus estimaciones:calcular los errores verdaderos, se recurre a sus estimaciones:El error relativo estimado que se comete en cada caso particular es:El error relativo estimado que se comete en cada caso particular es:

e* = |g/f| x 10e* = |g/f| x 101-t1-t

El error relativo máximo estimado que se puede llegar a cometer es:El error relativo máximo estimado que se puede llegar a cometer es:e*e*maxmax < 1 x 10 < 1 x 101-t1-t

Y el error relativo esperado estimado que se puede cometer es:Y el error relativo esperado estimado que se puede cometer es:e*e*medmed < 0.5 x 10 < 0.5 x 101-t1-t

Ejemplo: Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cifras significativas con redondeo Ejemplo: Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cifras significativas con redondeo truncado.truncado.

162.4162.4 == 0.1624 x 100.1624 x 1033 == 0.1624 x 100.1624 x 1033

+ 1.769+ 1.769 == 0.1769 x 100.1769 x 1011 == 0.001769 x 100.001769 x 1033

______________________________ ______________________________________164.169164.169 0.164169 x 100.164169 x 1033

X = 0.164169 x 10X = 0.164169 x 1033 = 0.1641 x 10 = 0.1641 x 1033 + 0.000069 x 10 + 0.000069 x 1033

= 0.1641 x 10= 0.1641 x 1033 + 0.6900 x 10 + 0.6900 x 10-1-1 ;; n = 3 ; t = 4n = 3 ; t = 4

X* = 0.1641 x 10X* = 0.1641 x 1033

E = |X - X*| = |0.164169 x 10E = |X - X*| = |0.164169 x 1033 - 0.1641 x 10 - 0.1641 x 1033| =| =E = |0.000069 x 10E = |0.000069 x 1033| = |0.69 x 10| = |0.69 x 10-1-1| = 0.69 x 10| = 0.69 x 10-1-1 < 1 x 10 < 1 x 10-1-1

ee = |E/X| = |(0.69 x 10 = |E/X| = |(0.69 x 10 -1-1)/(0.164169 x 10)/(0.164169 x 1033)| = 0.4203 x 10)| = 0.4203 x 10-3-3 < 1 x 10 < 1 x 10-3-3

ee* = |E/X*| = |(0.69 x 10* = |E/X*| = |(0.69 x 10 -1-1)/(0.1641 x 10)/(0.1641 x 1033)| = 0.4205 x 10)| = 0.4205 x 10-3-3 < 1 x 10 < 1 x 10-3-3

1.3.4.2 Redondeo simétrico1.3.4.2 Redondeo simétrico

Redondeo simétrico:Redondeo simétrico:f x 10f x 10nn ; si |g|< 0.5; si |g|< 0.5

X* = X* = (1.8)(1.8)f x 10f x 10nn + 1 x 10 + 1 x 10n-t n-t ; si |g| ; si |g| ≥≥ 0.5 0.5

El error absoluto que se comete en cada caso particular es:El error absoluto que se comete en cada caso particular es:|g| x 10|g| x 10n-tn-t ; si |g|< 0.5 ; si |g|< 0.5

E = E = |1 - g| x 10|1 - g| x 10n-tn-t ; si |g| ; si |g| ≥≥ 0.5 0.5

El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, es: es:

EEmaxmax < 0.5 x 10 < 0.5 x 10n-tn-t

Y el error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una Y el error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una distribución de probabilidad uniforme para los errores, es:distribución de probabilidad uniforme para los errores, es:

EEmedmed < 0.25 x 10 < 0.25 x 10n-tn-t

El error relativo que se comete en cada caso particular es:El error relativo que se comete en cada caso particular es:|g/F| x 10|g/F| x 10-t-t ; si |g| < 0.5; si |g| < 0.5

ee = = |(1-g)/F| x 10|(1-g)/F| x 10-t-t ; si |g| ; si |g| ≥≥ 0.5 0.5


El error relativo máximo que se puede llegar a cometer, en todo caso, es:El error relativo máximo que se puede llegar a cometer, en todo caso, es:

eemaxmax < 0.5 x 10 < 0.5 x 101-t1-t

Y el error relativo esperado o promedio que se puede cometer es:Y el error relativo esperado o promedio que se puede cometer es:

eemedmed < 0.25 x 10 < 0.25 x 101-t1-t

El error relativo estimado que se comete en cada caso particular es:El error relativo estimado que se comete en cada caso particular es:

|g/f| x 10|g/f| x 10-t-t ; si |g| < 0.5; si |g| < 0.5

ee* = * =

|(1-g)/f| x 10|(1-g)/f| x 10-t-t ; si |g| ; si |g| ≥≥ 0.5 0.5

El error relativo máximo estimado que se puede llegar a cometer es:El error relativo máximo estimado que se puede llegar a cometer es:

e*e*maxmax < 0.5 x 10 < 0.5 x 101-t1-t

Y el error relativo esperado estimado que se puede cometer es:Y el error relativo esperado estimado que se puede cometer es:

e*e*medmed < 0.25 x 10 < 0.25 x 101-t1-t


Ejemplo: Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cifras significativas con redondeo Ejemplo: Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cifras significativas con redondeo

simétrico.simétrico.

162.4162.4 == 0.1624 x 100.1624 x 1033 == 0.1624 x 100.1624 x 1033

+ 1.769+ 1.769 == 0.1769 x 100.1769 x 1011 == 0.001769 x 100.001769 x 1033

______________________________ ______________________________________

164.169164.169 0.164169 x 100.164169 x 1033

X = 0.164169 x 10X = 0.164169 x 1033 = 0.1641 x 10 = 0.1641 x 1033 + 0.000069 x 10 + 0.000069 x 1033

= 0.1641 x 10= 0.1641 x 1033 + 0.6900 x 10 + 0.6900 x 10-1-1 ;; n = 3 ; t = 4n = 3 ; t = 4

X* = 0.1642 x 10X* = 0.1642 x 1033

E = |X - X*| = |0.164169 x 10E = |X - X*| = |0.164169 x 1033 - 0.1642 x 10 - 0.1642 x 1033| =| =

= |0.000031 x 10= |0.000031 x 1033| = |0.31 x 10| = |0.31 x 10-1-1| = 0.31 x 10| = 0.31 x 10-1-1 < 0.5 x 10 < 0.5 x 10-1-1

ee = |E/X| = |(0.31 x 10 = |E/X| = |(0.31 x 10 -1-1)/(0.164169 x 10)/(0.164169 x 1033)| = 0.1888 x 10)| = 0.1888 x 10-3-3 < 0.5 x 10 < 0.5 x 10-3-3

ee* = |E/X*| = |(0.31 x 10* = |E/X*| = |(0.31 x 10 -1-1)/(0.1642 x 10)/(0.1642 x 1033)| = 0.1888 x 10)| = 0.1888 x 10-3-3 < 0.5 x 10 < 0.5 x 10-3 -3


Ejemplo: Efectuar la siguiente suma:Ejemplo: Efectuar la siguiente suma:

0.9999 x 100.9999 x 1000

0.8888 x 100.8888 x 1011

0.7777 x 100.7777 x 1022

0.6666 x 100.6666 x 1033

0.5555 x 100.5555 x 1044

0.4444 x 100.4444 x 1055

0.3333 x 100.3333 x 1066

0.2222 x 100.2222 x 1077

0.1111 x 100.1111 x 1088

a)a) primero considerando todas las cifras incluidas en los sumandos.primero considerando todas las cifras incluidas en los sumandos.

b)b) luego efectuando la suma de arriba hacia abajo, con redondeo simétrico y t = 4, luego efectuando la suma de arriba hacia abajo, con redondeo simétrico y t = 4, calcule el error relativo porcentual correspondiente.calcule el error relativo porcentual correspondiente.

c)c) luego efectuando la suma de abajo hacia arriba, con redondeo simétrico y t = 4, luego efectuando la suma de abajo hacia arriba, con redondeo simétrico y t = 4, calcule el error relativo porcentual correspondiente.calcule el error relativo porcentual correspondiente.

d)d) compare los errores cometidos en los incisos b y c, y saque conclusiones.compare los errores cometidos en los incisos b y c, y saque conclusiones.


a) a) la suma exacta es: la suma exacta es: X = 13'716,049.2579X = 13'716,049.2579

b) b) la suma descendente da: la suma descendente da: X* = 13'720,000 = 0.1372 x 10X* = 13'720,000 = 0.1372 x 1088

E = 3960.7421E = 3960.7421 ;; e = 0.2888 x 10e = 0.2888 x 10-3-3

c)c) la suma ascendente da: la suma ascendente da: X* = 13'710,000 = 0.1371 x 10X* = 13'710,000 = 0.1371 x 1088

E = 6049.2579E = 6049.2579 ;; e = 0.4410 x 10e = 0.4410 x 10-3-3

d) d) Es mayor el error haciendo la suma de abajo hacia arriba que haciéndola Es mayor el error haciendo la suma de abajo hacia arriba que haciéndola

de arriba hacia abajo. Aunque teóricamente sabemos que la suma es de arriba hacia abajo. Aunque teóricamente sabemos que la suma es

conmutativa, resulta que al redondear simétricamente a 4 cifras conmutativa, resulta que al redondear simétricamente a 4 cifras

significativas, el orden en que se realiza la suma afecta el resultado.significativas, el orden en que se realiza la suma afecta el resultado.

En ambos casos se cumple que:En ambos casos se cumple que:e < ee < emaxmax = 0.5 x 10 = 0.5 x 101-t1-t = 0.5 x 10 = 0.5 x 10-3-3

En este caso, e > eEn este caso, e > emedmed = 0.25 x 10 = 0.25 x 10-3-3, lo que se explica porque el ejemplo está , lo que se explica porque el ejemplo está

amañado para que dé errores significativos.amañado para que dé errores significativos.

1.3.5 Errores por truncamiento1.3.5 Errores por truncamiento

Los errores por truncamiento ocurren cuando un número, cuya parte fraccionaria está Los errores por truncamiento ocurren cuando un número, cuya parte fraccionaria está constituida por un número infinito de dígitos, requiere ser representado constituida por un número infinito de dígitos, requiere ser representado numéricamente en forma aproximada, utilizando un determinado número de cifras numéricamente en forma aproximada, utilizando un determinado número de cifras significativas. significativas.

Por ejemplo, 3.1416 es una buena aproximación del número Por ejemplo, 3.1416 es una buena aproximación del número ππ, pero el valor exacto , pero el valor exacto no puede ser expresado numéricamente por completo, pues consta de un número no puede ser expresado numéricamente por completo, pues consta de un número infinito de dígitos: 3.141592653589793...; lo mismo ocurre con el 2.7183 para el infinito de dígitos: 3.141592653589793...; lo mismo ocurre con el 2.7183 para el número número ee, el 1.4142 para , el 1.4142 para √√2, y el 0.33333 para 1/3.2, y el 0.33333 para 1/3.

Sin embargo, todos los números, ya sean enteros, racionales o irracionales, pueden Sin embargo, todos los números, ya sean enteros, racionales o irracionales, pueden ser representados a través de formulaciones matemáticas exactas, utilizando series ser representados a través de formulaciones matemáticas exactas, utilizando series infinitas; obviamente, las representaciones numéricas acotadas a un determinado infinitas; obviamente, las representaciones numéricas acotadas a un determinado número de cifras significativas, son aproximaciones numéricas que llevan implícitos número de cifras significativas, son aproximaciones numéricas que llevan implícitos errores por truncamiento.errores por truncamiento.

Por ejemplo, los números 1, 1/3 y Por ejemplo, los números 1, 1/3 y ee pueden expresarse matemáticamente, de pueden expresarse matemáticamente, de manera exacta, a través de las siguientes series infinitas:manera exacta, a través de las siguientes series infinitas:

1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...

1/3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3/100000 + ...1/3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3/100000 + ...

ee = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...

1.3.5 Errores por truncamiento.1.3.5 Errores por truncamiento.

En este último caso, por ejemplo, la aproximación se puede hacer truncando la serie en En este último caso, por ejemplo, la aproximación se puede hacer truncando la serie en cualquier punto, lo que equivale a incluir 1, 2, 3, ..., ó n términos de la serie. Si tomásemos cualquier punto, lo que equivale a incluir 1, 2, 3, ..., ó n términos de la serie. Si tomásemos como valor "exacto" de como valor "exacto" de e,e, 2.7182818, tendríamos: 2.7182818, tendríamos:

TérminosTérminos AproximaciónAproximación Error absolutoError absoluto Error relativo (%)Error relativo (%)

11 1.0000000 1.0000000 1.7182818 1.7182818 63.21 63.21

22 2.0000000 2.0000000 0.7182818 0.7182818 26.42 26.42

33 2.5000000 2.5000000 0.2182818 0.2182818 8.03 8.03

44 2.6666667 2.6666667 0.0516151 0.0516151 1.90 1.90

55 2.7083333 2.7083333 0.0099485 0.0099485 0.37 0.37

66 2.7166667 2.7166667 0.0016152 0.0016152 0.06 0.06

77 2.7180556 2.7180556 0.0002263 0.0002263 0.01 0.01

88 2.7182540 2.7182540 0.0000279 0.0000279 ≅≅ 0.00 0.00

El manejo de series infinitas para aproximar valores específicos de funciones matemáticas es El manejo de series infinitas para aproximar valores específicos de funciones matemáticas es fundamental para comprender a plenitud la mayor parte de los métodos numéricos incluidos en fundamental para comprender a plenitud la mayor parte de los métodos numéricos incluidos en este curso, así como para calcular los errores por truncamiento asociados a esas este curso, así como para calcular los errores por truncamiento asociados a esas aproximaciones. Este tema será retomado al final del capítulo, donde se trata con detalle el uso aproximaciones. Este tema será retomado al final del capítulo, donde se trata con detalle el uso de la serie de Taylor.de la serie de Taylor.

1.3.5 Errores por truncamiento1.3.5 Errores por truncamiento

Serie de TaylorSerie de Taylor

1.3.6 Propagación de errores.1.3.6 Propagación de errores.

Sean Sean X, YX, Y valores exactos; sean X, Y sus aproximaciones. Sean E valores exactos; sean X, Y sus aproximaciones. Sean Exx y E y Eyy los errores los errores

absolutos inherentes o por truncamiento, asociados a esas aproximaciones absolutos inherentes o por truncamiento, asociados a esas aproximaciones numéricas: sean enuméricas: sean exx y e y eyy los errores relativos correspondientes. Sea E los errores relativos correspondientes. Sea E rr el error el error

absoluto de redondeo que se puede cometer al realizar cualquier operación absoluto de redondeo que se puede cometer al realizar cualquier operación aritmética; y earitmética; y err el error relativo de redondeo correspondiente. el error relativo de redondeo correspondiente.

Suma: Suma: X X ++Y Y = X + E= X + Exx + Y + E + Y + Eyy + E + Err = (X +Y) + (E = (X +Y) + (Exx + E + Eyy) + E) + Err

EEx+yx+y = E = Exx + E + Eyy + E + Err

eex+yx+y = (E = (Exx + E + Eyy + E + Err)/(X + Y))/(X + Y)

= [X/(X + Y)](E= [X/(X + Y)](Exx/X) + [Y/(X + Y)](E/X) + [Y/(X + Y)](Eyy/Y) + e/Y) + err

eex+y x+y = [X/(X + Y)]= [X/(X + Y)]eexx + [Y/(X + Y)] + [Y/(X + Y)]eeyy + e + err (1.9)(1.9)

Resta: Resta: XX - - YY = (X + E = (X + Exx) - (Y + E) - (Y + Eyy) + E) + Err = X + E = X + Exx - Y - E - Y - Eyy + E + Err

= (X - Y) + (E= (X - Y) + (Exx - E - Eyy) + E) + Err

EEx-yx-y = E = Exx - E - Eyy + E + Err

eex-yx-y = (E = (Exx - E - Eyy + E + Err)/(X - Y) =)/(X - Y) =

= [X/(X - Y)](E= [X/(X - Y)](Exx/X) - [Y/(X - Y)](E/X) - [Y/(X - Y)](Eyy/Y) + e/Y) + err = =

eex-yx-y = [X/(X - Y)] = [X/(X - Y)]eexx - [Y/(X - Y)] - [Y/(X - Y)]eeyy + e + err (1.10)(1.10)


Producto:Producto: X·YX·Y = (X + E = (X + Exx)(Y + E)(Y + Eyy) + E) + Err = X·Y + XE = X·Y + XEyy + YE + YExx + E + ExxEEyy + E + Er r = X·Y + X E = X·Y + X Eyy + Y E + Y Exx + E + Err

EExyxy = X E = X Eyy + Y E + Y Exx + E + Err

eexyxy = (X E = (X Eyy + Y E + Y Exx + E + Err)/X Y = E)/X Y = Exx/X + E/X + Eyy/Y + e/Y + err

eexyxy = = eexx + + eeyy + e + err (1.11)(1.11)

Cociente:Cociente: XX//YY = (X + E = (X + Exx)/(Y + E)/(Y + Eyy) + E) + Err = (X + E = (X + Exx)/[Y(1 + E)/[Y(1 + Eyy/Y)] + E/Y)] + Err

= [(X + E= [(X + Exx)/Y] [1/(1 + E)/Y] [1/(1 + Eyy/Y)] +E/Y)] +Err

= [(X + E= [(X + Exx)/Y] [1 - E)/Y] [1 - Eyy/Y + (E/Y + (Eyy/Y)2 - (E/Y)2 - (Eyy/Y)3 + ...] + E/Y)3 + ...] + Err

= [(X+ E= [(X+ Exx)/Y] (1 - E)/Y] (1 - Eyy/Y) + E/Y) + Err

= [(X + E= [(X + Exx)/Y] + [(X + E)/Y] + [(X + Exx)E)Eyy/Y2] + E/Y2] + Err

= X/Y + E= X/Y + Exx/Y - XE/Y - XEyy/Y2 - /Y2 - ExEy/Y2ExEy/Y2 + Er + Er

= X/Y + Ex/Y - XEy/Y2 + Er= X/Y + Ex/Y - XEy/Y2 + ErEEx/yx/y = Ex/Y - XEy/Y2 + Er = (YEx - XEy)/Y2 + E = Ex/Y - XEy/Y2 + Er = (YEx - XEy)/Y2 + E rr

eex/yx/y = [(YE = [(YExx - XE - XEyy)/Y2 + E)/Y2 + Err]/(X/Y) = (YE]/(X/Y) = (YExx - XE - XEyy)/XY + e)/XY + err

= E= Exx/X - E/X - Eyy/Y + e/Y + err

eex/yx/y = = eexx - - eeyy + e + err (1.12)(1.12)


Las ecuaciones (1.10), (1.11), (1.12) y (1.13) muestran Las ecuaciones (1.10), (1.11), (1.12) y (1.13) muestran

como se propagan los errores al efectuar las como se propagan los errores al efectuar las

operaciones aritméticas de suma, resta, producto y operaciones aritméticas de suma, resta, producto y

cociente, respectivamente. La propagación de los cociente, respectivamente. La propagación de los

errores crece en la medida que se efectúan más y más errores crece en la medida que se efectúan más y más

operaciones, aunque eventualmente llegan a disminuir operaciones, aunque eventualmente llegan a disminuir

por efecto de compensación, cuando éstas se por efecto de compensación, cuando éstas se

combinan.combinan.

1.3.6.1 Gráficas de procesos1.3.6.1 Gráficas de procesos

Cada una de las operaciones vistas anteriormente puede ser representada Cada una de las operaciones vistas anteriormente puede ser representada a través de un gráfica de proceso, como se muestra a continuación:a través de un gráfica de proceso, como se muestra a continuación:

a)a) Suma:Suma: eex+y x+y = [X/(X + Y)]= [X/(X + Y)]eexx + [Y/(X + Y)] + [Y/(X + Y)]eeyy + e + err

+

YX

er

ex ey

X/(X + Y) Y/(X + Y)


b)b) Resta:Resta: eex-yx-y = [X/(X - Y)] = [X/(X - Y)]eexx - [Y/(X - Y)] - [Y/(X - Y)]eeyy + e + err

-

YX

er

ex ey

X/(X - Y) -Y/(X - Y)


c) Producto:c) Producto: eexyxy = = eexx + + eeyy + e + err

•

YX

er

ex ey

1 1


c) Cociente:c) Cociente: eex/yx/y = = eexx - - eeyy + e + err

/

YX

er

ex ey

1 -1

Propagación de erroresPropagación de errores

Gráficas de procesoGráficas de proceso


Se observa que los valores anotados a un lado de los segmentos de recta Se observa que los valores anotados a un lado de los segmentos de recta

que unen a las variables X y Y con los símbolos de suma, resta, producto y que unen a las variables X y Y con los símbolos de suma, resta, producto y

cociente, son precisamente los coeficientes de los errores relativos cociente, son precisamente los coeficientes de los errores relativos eexx y y eeyy

en las ecuaciones (1.9), (1.10), (1.11) y (1.12), respectivamente.en las ecuaciones (1.9), (1.10), (1.11) y (1.12), respectivamente.

Ejemplo: Auxiliándose en una gráfica de proceso, calcule el error relativo Ejemplo: Auxiliándose en una gráfica de proceso, calcule el error relativo

que se comete al evaluar: U = (X + Y)·Z, donde se sabe que X y Y son que se comete al evaluar: U = (X + Y)·Z, donde se sabe que X y Y son

exactos y Z no lo es.exactos y Z no lo es.

eexx, , eeyy = 0 = 0 ;; eezz ≤≤ 0.5 x 10 0.5 x 101-t 1-t

redondeo por producto redondeo por producto eerr ≤≤ 0.5 x 10 0.5 x 101-t1-t

redondeo por suma redondeo por suma eerr ≤≤ 0.5 x 10 0.5 x 101-t1-t

U

Z

•

+

YX

er

er

eZ

1 1

X/(X + Y) Y/(X + Y)


eeuu = = ee(x+y)z(x+y)z = = eex+yx+y + + eezz + + eerr

eex+yx+y = [X/(X+Y)] = [X/(X+Y)]eexx + [Y/(X+Y)] + [Y/(X+Y)]eeyy + + eerr

eeuu = = eezz + + eer r + + eerr

eeuu ≤≤ 0.5 x 10 0.5 x 101-t1-t + 0.5 x 10 + 0.5 x 101-t1-t + 0.5 x 10 + 0.5 x 101-t1-t = 1.5 x 10 = 1.5 x 101-t1-t

Ejemplo: Auxiliándose en una gráfica de proceso, calcule el error Ejemplo: Auxiliándose en una gráfica de proceso, calcule el error relativo que se comete al evaluar: relativo que se comete al evaluar:

X = A + B + C + DX = A + B + C + D

a)a) considerando las sumas sucesiva de A, B, C y D.considerando las sumas sucesiva de A, B, C y D.

b)b) sumando por un lado A y B, y por otro C y D, para luego sumar sus sumando por un lado A y B, y por otro C y D, para luego sumar sus resultados:resultados: X = (A + B) + (C + D)X = (A + B) + (C + D)

c) discuta los resultados obtenidos en los dos incisos anteriores. c) discuta los resultados obtenidos en los dos incisos anteriores.

X

B

C

D

+

+

+

A eB

eC

eD

er

er

er

eA

(A+B+C)/(A+B+C+D)

(A+B)/(A+B+C)

A/(A+B) B/(A+B)

C/(A+B+C)

D/(A+B+C+D)

a)


X A+B C D r

A+B A B r

C+D C D r

X A B r C D r r

X A B

A+B C De e e e

A+B+C+D A+B+C+DA B

e = e + e + eA+B A+B

C De = e + e + e

C+D C+DA+B A B C D C D

e e + e + e e + e + e eA+B+C+D A+B A+B A+B+C+D C+D C+D

A B Ae = e + e +

A+B+C+D A+B+C+D

++= + +

+ = + +

r C D r r

+B C D C+De e e e e

A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D+ + + +


Suponiendo que los datos presentan errores inherentes:

Suponiendo que los datos son exactos:

1-tA B C D r

X

X

X

X

Si e = e = e = e = e = e 0.5 x 10

A B A+B C D C+De = e + e + e e e e e

A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+DA+B+A+B+C+D+C+D+A+B+C+D

e = e A+B+C+D

4A+4B+3C+2De = e

A+B+C+D4A+4B+3C+2D

e 0.5x10A+B+C+D

≤

+ + + +

≤ ( )1 t−

( )

1-tA B C D r

X

X

X

1 tX

e = e = e = e = 0; e = e 0.5 x 10

A+B A+B+Ce = e e e

A+B+C+D A+B+C+DA+B+A+B+C+A+B+C+D

e = e A+B+C+D

3A+3B+2C+De = e

A+B+C+D3A+3B+2C+D

e 0.5x10A+B+C+D

−

≤

+ +

≤

b) X

A DCB

++

+er

er er

eA eB eC eD

(A+B)/(A+B+C+D)

A/(A+B)

(C+D/(A+B+C+D)

B/(A+B) C/(C+D) D/(C+D)


X A+B C D r

A+B A B r

C+D C D r

X A B r C D r r

X A B

A+B C De e e e

A+B+C+D A+B+C+DA B

e = e + e + eA+B A+B

C De = e + e + e

C+D C+DA+B A B C D C D

e e + e + e e + e + e eA+B+C+D A+B A+B A+B+C+D C+D C+D

A B Ae = e + e +

A+B+C+D A+B+C+D

++= + +

+ = + +

r C D r r

+B C D C+De e e e e

A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D A+B+C+D+ + + +

( )

1-tA B C D r

X

X

X

1 t 1 t 1 tX

Si e = e = e = e = 0 ; e = e 0.5 x 10

A+B C+De = e e e

A+B+C+D A+B+C+DA+B+C+D+A+B+C+D

e = e A+B+C+D

2A+2B+2C+2De = e

A+B+C+D2A+2B+2C+2D

e 0.5x10 2x0.5x10 1.0x10A+B+C+D

− − −

≤

+ +

≤ = =


c) Es mayor el error haciendo la suma en forma sucesiva que agrupando los sumandos. Aunque teóricamente sabemos que la suma es asociativa, se ve que la forma en que se realizan las operaciones afecta el resultado.

También se observa como incide en el error total la presencia de errores inherentes en los datos; para el inciso a) en un 44.44 % más, y para el inciso b) en un 50% más.

( )

1-tA B C D r

X

X

X

1 t 1 t 1 tX

Si e = e = e = e = 0 ; e = e 0.5 x 10

A+B C+De = e e e

A+B+C+D A+B+C+DA+B+C+D+A+B+C+D

e = e A+B+C+D

2A+2B+2C+2De = e

A+B+C+D2A+2B+2C+2D

e 0.5x10 2x0.5x10 1.0x10A+B+C+D

− − −

≤

+ +

≤ = =

1.3 errores

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