13. ecuaciones (reparado)

7/23/2019 13. ecuaciones (Reparado)

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RAZ. MATEMATICO – 1°

TEMA: Planteo de Ecuaciones

DEFINICIONES PREVIAS

Ecuación:Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica para algunos valoresde las letras, llamadas INCÓGNITA!

E"emplo#$x % & ' ( % )xTiene la incógnita *x+, se comprueba que x ' $

E"emplo#x) % x - ' ./actori0ando, obtenemos que#x) % x - ' .# es igual a#1x % $2 1x )2 ' .

3e donde#I.x % $ ' .

⇒

II.x ) ' .

⇒

! 2

3

=

−=

x

x

!

4os valores num5ricos x ' $ 6 x ' ), que 7acen que los miembros de la ecuacióntomen el mismo valor num5rico, se llaman soluciones o ra8ces de la ecuación!

IdentidadEs una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica para todos los valores

de las letrasE"emplos#

!

( )

( ) ( ) 6x5x2x3x*)*

nmn2mnm*)2

222

++=++

++=+

!

! Identidades!Problema

Es toda cuestión en la que se pide calcular una o varias cantidades llamadas incógnitas,que "unto con otras cantidades conocidas llamadas datos, deben satisfacer a lascondiciones que espec8fica el enunciado! Cuando estas condiciones pueden expresarsemediante s8mbolos algebraicos se trata de 9roblemas Algebraicos!

Método ara la Re!olución de un ProblemaEl procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no

siempre es f:cil 6 para lograr cierta aptitud se requiere una pr:ctica considerable 6 para estose sugiere el siguiente esquema#

Lic. James Alain Alarcón Bernal 77

PLANTEO DE ECUACIONES





a. 4eer cuidadosamente el problema 6 estudiarlo 7asta que queda perfectamente clara lasituación que se plantea!

b. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como lasdesconocidas!c. 9lanteo del problema# e elige la incógnita por una letra *x+ por e"emplo 6 se efect;an con

ello 6 con los datos, las operaciones que indique el enunciado!d. <esolución de la ecuación# 3ic7a ecuación se resuelve seg;n las reglas que se

enunciaronIMPORTANTE:

P ARA EL PLANTEO DE UNA ECUACIÓN ESIMPORTANTE TENER EN CUENTA “L A C OMA”,VEAMOS

E JEMPLO:

83

8

+x

enaumentado,ro de un Núme El Triple

( )83

8

+x

do enro aumenta de un Núme ,El Triple

E"emlo!:

=na persona tiene > ). ... 6 otra >! ( ?.. cada una a7orra anualmente >! ?.. @3entro decu:ntos aos la fortuna de la primera ser: el doble de la segundaB

A# -

aos

$#

aos

C# D.

aos

D# ).

aos

E# N!A!

Re!olución:ea *x+ el n;mero de aos que a7orran cada persona!- A7orro total de cada persona ?..x!- Capital con a7orro de la primera persona ' ). ... % ?..x!- Capital con a7orro de la segunda persona ' ( ?.. % ?..x!

eg;n el enunciado del problema!El capital con a7orro de la primera es el doble del capital con a7orro de la segunda!

). ... % ?..x ' )1( ?.. % ?..x2). ... % ?..x ' )! ( ?.. % ) ?..x). ... % ?..x ' D? ... % D ...x ? ... ' ?..x ∴ ! x ' D. aos! <pta! C

Encontrar un n;mero tal que dividi5ndolo por D. 6 a este cociente dividi5ndolo por $ la suma deestos cocientes es -..!

A# &?. $# $?..

C# &....

D# &?..

E# N!A!

Re!olución:

ea el n;mero ' x, del enunciado delproblema# - N;mero dividido por D.!






cociente x

=10

- Al cociente10

x

lo dividimos por $!

303

10 x x

=

1Nuevo cociente2- uma de los dos cocientes es -..

6003010 =+x x

3amos com;n denominador en el primer miembro!

60030

3=

+ x x

&x ' -.. x $. ∴ ! x ' & ?..!

<pta! 3

PRO$%EMAS PARA %A C%ASE

1. Si «x» representa un número o unacantidad

expresar lo siguiente:

• El décuplo de su sétima parte............................

• El duodécuplo de su quinta parte......................

• El undécuplo de su raíz cuadrada

......................• Su exceso con respecto a 15...........................

• Su exceso sore 15........................................

• El exceso de !" con respecto a su#ctuplo..........

• El cuo de su octa$a parte...............................

• El cuadrado de su mitad...................................

• %inco $eces el número....................................

• %inco $eces m&s el número............................

• El n#nuplo de su recíproco..............................

• El cu&druplo del número disminuido en5............

• El cu&druplo de un número disminuido en5..........

2. El décuplo de la sétima parte si de un

número no equi$ale al exceso de !! conrespecto a la sétima parte del número.'allar el número.

(pta: ......................................................

3. El exceso del cuadrado de la mitad de unnúmero sore !" es )1. %alcular el número.

(pta: .....................................................

4. El cuo de la mitad de un númeroequi$ale al #ctuplo del número. *%u&l es elnúmero+

(pta: ......................................................

5. El exceso del undécuplo de la raíz cuadradade un número sore 1", equi$ale al excesode 1- con respecto a su raíz cuadrada.'allar el número.

(pta: ......................................................

. El quíntuplo de un número disminuidoen 5, equi$ale al cu&druplo del m ismo núm ero, disminuido en 5. 'allar elnúmero.

<pta# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

(! A Forge le faltan ?) soles para poder comprar un cartapacio cu6o precio es igualal triple de lo que tiene! @Cu:nto tieneForgeB(pta: .......................................................

. /a suma de cuatro número consecuti$os es






0.*%u&les son dicos números+

(pta: ......................................................

2. 'allar tres números impares consecuti$os,saiendo que su suma es igual a 05.(pta: .....................................................

1". /a suma de tres &ngulos es igual a 1"3, si elsegundo es el cu&druplo del primero 4 eltercero es siete $eces el primero. *%u&ntomide cada &ngulo+(pta: ............................................................

11. Si de un número se resta !" el resultado esigual a los !6 del número. 'allar elnúmero.(pta: ............................................................

1!. *%u&nto se dee restar de 1"5 para que suresultado sea igual a los !5 del número quese resta+(pta: ............................................................

16. Si a un número se le suma 1" el resultado es

igual a los 56 del número. *%u&l es elnúmero+(pta: ............................................................

1-. *%u&l es el número cu4o triple de su mitades igual a 1!)+(pta: ............................................................

15. El exceso de 2 con respecto al duodécuplode la tercer parte de un número equi$ale alquíntuplo del mismo número. *%u&l es elnúmero+.(pta: ............................................................

1. El cuadrado de la tercera parte de unnúmero es igual a 6). 'allar el número.

(pta: ............................................................

1!. El exceso del cuo de la tercera parte de unnúmero, con respecto a equi$ale a 12.%alcular el número.

(pta: ............................................................

1". El exceso de 0 con respecto del n#nuplode la raíz cuadrada de un número equi$ale

al exceso de la raíz cuadrada del númerosore 6. 'allar el número.

(pta: ............................................................






1#. %inco $eces un número aumentado en tres,es igual a ! $eces el número, aumentado en

1. *%u&l es el número+.(pta: ............................................................

2$. El duodécuplo de un número aumentado

en 1", equi$ale a su undécuplo aumentadoen 15". 'allar el número.

(pta: ............................................................

21.@Cu:l es el n;mero que excede a (. en lamisma medida en que D). excede a &.B

PRO$%EMAS PARA %A CASA

17 El séxtuplo de la quinta parte del cuadradode 5

excede en !" al dole de cierto número.%alcularlo.

!7 /a mitad de un número 8aumentada9 en 5es !5. 'allar el número.

a7 6" 7 -" c7 -5

d7 !5 e7 65

67 /a mitad de un número 8aumentado9 en 5es !5.a7 6" 7 -" c7 -5

d7 !5 e7 65

-7 'allar la longitud de un nio si al cu&druplede su tamao se le disminu4e 6" cm seotiene su estatura aumentada en 2" cm.'allar el triple de su talla.a7 -" cm 7 1!" c7 15"d7 " e7 )"

57 /a mitad de un número, aumentado en 5 es65. 'alla el número.

a7 5" 7 -" c7 -5d7 )" e7 )5

)7 /a suma de dos números es )6 4 est&n enla raz#n - a 5 *%u&l es el ma4or+

a7 ! 7 65 c7 -5

d7 5" e7 6).

07 /a di;erencia de dos números es !- 4 lasuma del ma4or con el dole del menor es< ). =eterminar el menor.

a2 b2 D. c2 D)d2 D& e2 D-!

2 @Cu:l es la edad actual de un padre queduplica la de su 7i"o 6 7ace )& aos suedad era D. veces que la edad de su 7i"oBa2 )( aos b2 & aos c2 ?& aosd2 -$ aos e2 &? aos

H2 4a suma de cinco n;meros consecutivoses &(?! allar el n;mero intermedio!a2 H$ b2 H? c2 H(

d2 HH e2 D..

D.2 e tiene dos n;meros consecutivos tal quesi al s5xtuple del ma6or le aumentamos elqu8ntuple del menor obtendr8amos DH$!allar el n;mero menor!a2 D b2 D& c2 D?d2 DH e2 D(

DD2 e tienen tres n;meros consecutivos si alcu:druple del intermedio le restamos eltriple del ma6or 6 a dic7o resultado leagregamos el doble del menor resultar8aD..! allar el ma6or de ellos!a2 $- b2 $ c2 $?d2 $( e2 $&


>7 6 ?7 - %7 5

=7 ) E7 0

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