Universidad Tecnológica MetropolitanaVicerrectoría AcadémicaPrograma de Desarrollo Personal y Social

Cátedra: Taller para el desarrollo del pensamiento lógico deductivo.Profesor: Gustavo A. Báez Castillo

I. Tablas de verdad

Recordemos que un razonamiento es un conjunto de proposiciones, llamadas premisas o hipótesis, y otra llamada conclusión o tesis. Ahora comenzaremos el estudio de las reglas de inferencia, es decir, los métodos para inferir una conclusión a partir de unas premisas. Por supuesto, las reglas que nos interesan son aquellas que garanticen que la conclusión es verdadera cada vez que todas las premisas sean verdaderas. Es decir, aquellas reglas de inferencia que produzcan razonamientos correctos.

Así como existe una teoría para hacer cálculos con números (la aritmética) o con objetos más complejos como en el cálculo diferencial e integral, también hay reglas precisas para manejar fórmulas proposicionales acerca de los argumentos que esgrimimos o los juicios que normalmente emitimos (a veces sin darnos cuenta siquiera). En esta sección analizaremos los razonamientos que tienen como punto de partida una sola premisa.

Conectivos lógicos.Los conectivos lógicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de otras conocidas. El valor de verdad de una nueva proposición dependerá del valor de verdad de las proposiciones que la conforman. Esta dependencia se explica a través de tablas de verdad.

I.1.- DEFINICIONES.

Def. Negación: La proposición –p, se lee no “p” y es aquella cuyo valor de verdad es siempre distinto al de “P”. Esto se aprecia a través e la siguiente tabla:

P -pV FF V

Def. Disyunción: La proposición P v Q se lee “p o q” Decimos que la proposición es verdadera cuando al menos una de ellas lo es. O bien “p” es verdadera o “q” es verdadera.

p q P v qV V VV F VF V V

F F F

Def. Conjunción: La proposición p ∧ q, se lee “p” y “q”, en este caso para que la expresión sea verdadera, el conectivo exige que ambas proposiciones también lo sean.

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Def. Implicación: Diremos que una fórmula p implica lógicamente a otra fórmula q si “q es verdadera cada vez que p lo sea”. Usaremos la siguiente notación para la implicación lógica p → q. Para estudiar su valor de verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hipótesis “p” sea verdadera, ahí debemos determinar si basta con esa información para concluir que “q” es verdadera. Ahora bien, si afirmamos que el antecedente es verdadero, entonces diremos que “q” necesariamente será verdad.

Otra maneras equivalentes de leer p →q son las siguientes:(1) p es una condición suficiente. Pues es suficiente que p sea verdadera (o que p se cumpla) para que q también lo sea.(2) q es una condición necesaria para p. Pues cada vez que p se cumple (es verdadera), necesariamente q también se cumple.

El comportamiento de los conectivos lógicos en relación con el valor de verdad es muy sencillo de establecer y se hace a través de las tablas de verdad.

Def. Equivalencia: Decimos que la proposición “p” es equivalente con la proposición “q” (o bien, p si y solo si q), cuando basta con saber el valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra.

Ejercicio Nº 1:i) Deduzca las tablas de verdad para los conectivos lógicos de la implicación, y bicondicional.ii) Evalúe el siguiente argumento (p → q) ∧ q → p.

Def. Tautología: Una tautología es una proposición que, sin importar el valor de verdad de las proposiciones que la constituyen, es siempre verdadera.Ejemplo:i) P v –Pii) P → P v Qiii) (P ↔ Q) ↔ ( Q ↔ P)

Demostraremos utilizando una tabla de verdad, que la primera proposición es una tautología:

P - P P v –PV F VF V V

Ejercicio Nº 2: Demuestre utilizando tablas de verdad que la segunda y tercera proposición son tautologías.

Def. Contradicción: Las contradicciones son proposiciones cuyo valor de verdad es siempre falso. Ejemplo. P ∧-P. Demostrando lo anterior mediante una tabla de verdad, tenemos que:

P -P P ∧-PV F FF V F

I.2. TAUTOLOGÍAS IMPORTANTES.1. (P ∧-P) ↔ F, (P ∧V) ↔ P, (P ∧F) ↔ F (P v –P) ↔ V, (P v V) ↔ V, (P v F) ↔ P2. Caracterización de la implicancia (P → Q) ↔ (-Q v P)3. Leyes de Morgan. - (P ∧Q) ↔ (- P V –Q) - (P V Q) ↔ (- P ∧-Q)4. Doble negación. - - P ↔ P5. Conmutatividad. (P V Q) ↔ (Q V P) (P ∧Q) ↔ (Q ∧P)

6. Asociatividad. (P V (QV R)) ↔ ((P V Q) V R)(P ∧(Q ∧R )) ↔ (P ∧Q) ∧R )

7. Equivalencia dividida en dos partes.(P ↔ Q) ↔ (P → Q ∧ Q → P)

8. Transitividad.((P → Q) ∧ (Q → R )) →(P→R)

9. Contra recíproco.(P → Q) ↔ (-Q → -P)

10. Reducción al absurdo.- (P → Q) ↔ (P ∧-Q)