edeb

Matemticas 3ESO

ARITMTICA Y LGEBRA

1

CONTENIDOS1. Fracciones

1.1. Fracciones equivalentes

2. El conjunto de los nmeros racionales2.1. Concepto de nmero racional2.2. Representacin y ordenacin de los nme-

ros racionales2.3. Nmeros racionales y nmeros decimales

3. Operaciones con nmeros racionales3.1. Suma, resta, multiplicacin y divisin3.2. Potenciacin y radicacin3.3. Operaciones combinadas

4. Porcentajes

Competencia matemtica

Realizar clculos con nmeros racionales en dife-rentes situaciones.

Utilizar el clculo mental como herramienta paraagilizar las operaciones aritmticas.

Competencia en comunicacin lingstica

Organizar la informacin e integrarla con losconocimientos propios.

Competencia para aprender a aprender

Utilizar de forma eficiente recursos, tcnicas yestrategias para nuevos aprendizajes y garantizar sueficacia.

COMPETENCIAS BSICAS

6

Nmeros racionales

Unidad 1

PREPARACIN DE LA UNIDAD Los nmeros naturales son los nmeros que utilizamos para

contar, y forman un conjunto, el conjunto de los nme-ros naturales que representamos por la letra

: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Dos nmeros naturales son primos entre s cuando su ni-co divisor comn es 1.

Para calcular el M.C.D. de dos o ms nmeros se multiplicanlos factores primos comunes a dichos nmeros elevadosal menor exponente.

Para calcular el m.c.m. de dos o ms nmeros se multiplicanlos factores primos comunes y no comunes a dichos n-meros elevados al mximo exponente.

El conjunto de los nmeros enteros se representa por laletra y est representado por los nmeros naturales pre-cedidos de signo y el 0.

: {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, ...}

Una fraccin es la expresin de una divisin entre dos n-meros, el numerador y el denominador.

As,

Cualquier fraccin es un nmero decimal limitado o ilimi-tado peridico.

Decimales limitados: 3,9; 4,25; 0,832

Decimales ilimitadosperidicos

1 5 15

: =

7Nmeros racionales

En general las pelculas de cine se graban a 24 fotogramas por segundo,o lo que es lo mismo, en un segundo, se graban 24 imgenes, queluego proyectadas logran generar la sensacin de movimiento en lapantalla. Cuntos segundos dura un fotograma? En un minuto,cuntos fotogramas hay?

En el cine mudo la frecuencia de grabacin era de unos 17 foto-gramas por segundo. En este caso cuntos fotogramas hay en unminuto?

Mixtos: 9 7415,

Puros: 0 23,

8 Unidad 1

Una fraccin es toda expresin de la forma en la que a y b son nmerosenteros, siendo b 0.

Toda fraccin consta de dos trminos:

ab

NumeradorDenominador

ab

1. FraccionesLos nmeros enteros, positivos y negativos, no bastan para expresar cantidadesque se presentan habitualmente. As por ejemplo, para repartir un litro de na-ranjada entre cinco amigos debe efectuarse la divisin 1 : 5 que puede expre-sarse mediante la fraccin .1

5

RECUERDA

Las fracciones, igual que los nmeros en-teros, pueden ser positivas o negativas.

Toda fraccin positiva puede expresarsecomo el cociente de dos nmeros enteros,ambos positivos o ambos negativos.

Toda fraccin negativa puede expresarsecomo el cociente de dos nmeros enteros,uno de ellos positivo y el otro negativo.

=

=

23

23

23

+

+=

=

916

916

916

Una fraccin puede interpretarse de tres formas distintas:

Las fracciones pueden clasificarse en:

Fracciones propias: fracciones menores que la unidad.

Fracciones iguales a la unidad:

Fracciones impropias: fracciones mayores que la unidad

1 unidad +

Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pareci-da a como representamos los nmeros enteros.

1 135

14

0

13

43

33

1=

13

FRACCIN COMO PARTE DE UN TODO O UNIDAD

FRACCIN COMO DIVISIN ENTRE DOS ENTEROS

FRACCIN COMO RAZNDE MEDIDA

Cuando decimos que hemos estado un cuartode hora esperando, significa que hemos divi-dido la hora en 4 partes y el tiempo de esperacorresponde a una de estas partes.

Para repartir 2 L de naranjada entre cinco ami-gos efectuamos la divisin 2 : 5.

2 525

0 4: ,= = L

La longitud de AB es de la longi-tud de CD.

35

C D

A B

9Nmeros racionales

1.1. Fracciones equivalentesDos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad y verificanque el producto en cruz de sus trminos da el mismo resultado.

Para obtener una fraccin equivalente a una dada podemos proceder de dosmaneras a partir de la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:

Si dividimos, conseguimos simplificar la fraccin. Toda fraccin puede simpli-ficarse hasta llegar a la fraccin irreducible.

Veamos los diferentes procedimientos para calcular la fraccin irreducible equi-valente a una dada.

Multiplicamos el numerador y el de-nominador por un mismo nmero en-tero distinto de 0.

Dividimos el numerador y el deno-minador por un mismo nmero en-tero distinto de 0.

812

2436

3 3

812

46

: 2: 2

46

812

2436

Fracciones equivalentes

Las fracciones y son equivalentes si se cumple: a d = b ccd

ab

FJATE

Dos fracciones, positivas o negativas, sonequivalentes si representan el mismo pun-to sobre la recta.

1 +126

046

13

23

Una fraccin se llama irreducible si el numerador y el denominador son n-meros primos entre s.

Dividimos sucesivamente el numeradory el denominador entre divisores co-munes de ambos hasta obtener la frac-cin irreducible.

10501260

105126

3542

56

= = =

Descomponemos el numerador y el denomi-nador en factores primos.

Dividimos el numerador y el denominador porlos factores comunes.

10501260

2 3 5 5 72 2 3 3 5 7

56

=

=

Calculamos el M.C.D. de los trminos de la frac-cin.

Dividimos el numerador y el denominador porsu M.C.D.

M.C.D. (1050, 1260) = 210

10501260

1050 2101260 210

56

= =

::

1. Se deben repartir 2 panes y 4 salchichas a partes iguales en-tre 3 comensales. Cmo efectuaras el reparto?

2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

a) y c) y e) y

b) y d) y f ) y

3. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreduciblesequivalentes.

Explica qu procedimiento has utilizado.

4. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fraccio-nes irreducibles correspondientes, puedes determinar apartir de stas si las fracciones iniciales son equivalentes?Justifica tu respuesta.

2436

105540

4218

342285

173252

360480

1, , , , , ,

888705

6048

3528

10263

7242

8109

682

4298

72168

34119

828

2149

1535

:10 :3 :7

CB

ACTIVIDADES

FJATE

Hemos visto que todas las fracciones equi-valentes representan el mismo punto so-bre la recta.

As pues, a cada nmero racional le co-rresponde un nico punto sobre la recta.

0 1

69

=46

=23

FJATE

Los nmeros enteros son un caso parti-cular de nmeros racionales cuyo repre-sentante cannico tiene denominador 1.

a =a1

2. El conjunto de los nmeros racionales

Ya conoces el conjunto de los nmeros naturales y el de los nmeros ente-ros . Vamos a definir un nuevo conjunto que englobe a las fracciones.

2.1. Concepto de nmero racionalDada una fraccin cualquiera, podemos calcular infinitas fracciones equivalentes.

Cada una de las fracciones que forman un nmero racional es un represen-

tante de dicho nmero. As, las fracciones representan el mismo n-

mero racional.

As:Nmero racional Representante cannico

Aunque podemos representar un nmero racional mediante cualquiera de lasfracciones que lo forman, es habitual utilizar el representante cannico.

El conjunto de los nmeros racionalesse designa mediante la letra .

Este conjunto incluye al de los nme-ros enteros y, por tanto, al de los n-meros naturales .

32

32

32

64

1812

, , , ...

23

23

46

69

1015

1218

, , , , ...

23

46

69

, , ...

FRACCIN FRACCIONES EQUIVALENTES

1218

23

46

69

1015

, , , ...

2114

32

32

64

1812

, , , ...

El conjunto formado por una fraccin y todas sus equivalentes es un nmero racional.

5. Determina el representante cannico de cada uno de los siguien-tes nmeros racionales.

84

103236

3025

312

54180

33187

, , , , ,

6. Cuntos nmeros racionales diferentes hayen esta serie?

12036

3220

288180

15045

1426

8855

, , , , ,

El representante cannico de un nmero racional es la fraccin irreduciblede denominador positivo, representante de ese nmero.

ACTI

VIDA

DES

10 Unidad 1

7. Representa grficamente estos nmeros racionales.

8. Ordena de mayor a menor estos nmeros racionales.

9. Escribe cinco nmeros racionales comprendidos entre

y .

Indicacin: puedes tener en cuenta que la semisuma de dosnmeros (el resultado de su suma dividido entre 2) siempreser igual a un nmero comprendido entre ambos y situadoen el punto medio del segmento que determinan.

23

13

11110

56

23

45

32

, , , , ,

56

125

73

47

, , ,

2.2. Representacin y ordenacin de losnmeros racionales

Para representar un nmero racional sobre la recta seguimos el siguiente pro-cedimiento:

Consideramos el representante cannico del nmero racional.

Efectuamos la divisin entera del numerador entre el denominador. El co-ciente de esta divisin determina los dos nmeros enteros que son extremosdel segmento donde se situar el nmero racional.

Dividimos el segmento determinado por estos dos nmeros enteros entantas partes como indica el denominador de la fraccin y tomamos tantaspartes como indica el resto de la divisin.

Observa que si el nmero racional es positivo, quedar situado a la derechadel 0 y, si es negativo, a la izquierda.

Al ordenar dos nmeros racionales, representndolos sobre la recta y observandosus posiciones relativas podremos compararlos.

34

35

104

104

= 52

;

0 1 1 0 03 2 135

34 10

4

51

22

12

2 y 3

Si est situado a la derecha de , se verifica .ab

cd

>cd

ab

1 +1034

12

34

34

12

0 34

> > >

RECUERDA

Para dividir un segmento en partes igua-les podemos recurrir al mtodo de Tales:

Dibujamos el segmento a y trazamosdesde uno de sus extremos una semi-rrecta. Sobre sta situamos consecuti-vamente un mismo segmento b de lon-gitud arbitraria tantas veces como di-visiones deseemos realizar.

Unimos el extremo libre del ltimo seg-mento b con el extremo libre del seg-mento a y, a continuacin, trazamos pro-yecciones paralelas desde los extremosde cada segmento b.

b

b

b

b

a

Comparacin de nmerosracionales

Podemos comparar nmeros raciona-les sin necesidad de representarlos sobrela recta.Para comparar nmeros racionales de dis-tinto denominador determinamos pri-mero sus representantes cannicos, losreducimos a comn denominador ycomparamos las fracciones obtenidas.Si dos fracciones tienen el mismo deno-minador positivo, es mayor la que tieneel mayor numerador.

As: pues 20

15

18

15>

4

3

6

5>

Accede a la pgina www.youtube.com/watch?v=G6sNHZNMM5o dnde en-contrars un video explicativo de comodividir un segmento en partes igualesutilizando el mtodo de Tales.

@

ACTIVIDADES

11Nmeros racionales

10. Escribe los siguientes nmeros decimales indicandocul es su perodo y clasifcalos segn sean pe-ridicos puros o mixtos.

21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454...,0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....

11. Clasifica en limitados e ilimitados los siguientes nmeros deci-males: ;; 0,42; 21,53; .

Clasifica en puros o mixtos los nmeros decimales ilimitadosperidicos.

0 4,

2 424242 3 25 1 425 2 143, ...; , ; , ; , .

12

2.3. Nmeros racionales y nmeros decimalesTodo nmero racional puede expresarse mediante una fraccin y sta, a su vez, como un nmero decimal.

A todas las fracciones equivalentes de una misma fraccin les corresponde elmismo nmero decimal.

Expresin decimal de un nmero racional

Al buscar la expresin decimal de un nmero racional pueden darse los si-guientes casos:

As, podemos clasificar los nmeros racionales como sigue:

ab

23

23

46

69

812

23

0 6666666666, , , , , ... ,

....

Unidad 1

El resto de la divisin a : b es 0 des-pus de sacar una o varias cifras de-cimales.

Obtenemos un nmero decimallimitado.

1,4; 7,25

77 55220 1,4

00

29 410 7,2520

0

El resto de la divisin a : b nunca es 0, por ms decimales que saquemos.

Puesto que el resto debe ser menor que el divisor, llegar un momento en que se repetir y,por tanto, las cifras del cociente tambin se repetirn.

Obtendremos as un nmero decimal ilimitado peridico.

15 1140 1,3636...

7040

704

19 610 3,166...

4040

4

Si el perodo empieza inmediatamente des-pus de la coma, es un nmero decimal ili-mitado peridico puro.

1,3636... 1 36,

Si el perodo no empieza inmediatamente des-pus de la coma, es un nmero decimal ilimita-do peridico mixto.

3,166... 3 16,

Todo nmero racional puede expresarse mediante el nmero decimal queresulta de dividir el numerador entre el denominador de uno cualquiera desus representantes.

Peridicos mixtos

Peridicos purosDecimales ilimitados

Decimales limitados

Nmeros racionales

Si accedes a la pgina http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Fraccio nes_decimales_porcentajes/Fraccion es_4.htm podrsutilizar un applet para averiguar cuntos de-cimales, como mximo, forman el perododel nmero decimal correspondiente a unafraccin de denominador 11.

@

En un nmero decimal ilimitado y peridico las cifras que llevan el signo son las que se re-piten, es decir, las que forman el perodo.

(

ACTI

VIDA

DES

Expresin fraccionaria de un nmero racionalAcabamos de ver que todo nmero racional es un nmero decimal limitado oilimitado peridico.

La afirmacin recproca tambin es cierta, es decir, todo nmero decimal limi-tado o ilimitado peridico es un nmero racional.

El nmero racional correspondiente al decimal dado ser aquel que tenga dichafraccin como representante cannico.

7755

1 4294

7 251511

1 36= = =, , , ,196

3 16=)

13Nmeros racionales

La fraccin generatriz de un nmero decimal limitado o ilimitado peridi-co es la fraccin irreducible equivalente a dicho nmero decimal.

Halla la fraccin generatrizdel nmero decimal limi-tado 1,75.

Llamamos x a la fraccingeneratriz:

x = 1,75

Multiplicamos la expre-sin de x por la potenciade 10 necesaria para eli-minar la coma:

100 x = 175

Despejamos x y simplifi-camos la fraccin:

As: 1 7574

, =

x = =175100

74

EJEM

PLO

1 Halla la fraccin generatriz del nmero

decimal peridico puro .

Llamamos x a la fraccin generatriz:

Multiplicamos la expresin de x porla potencia de 10 necesaria para quela coma quede justo despus delprimer perodo:

100 x = 1 645, 4 545

A la expresin obtenida le restamosla expresin inicial:

100 x = 1645,4545...

x = 16,4545...

100 x x = 1629

99 x = 1629

Despejamos x y simplificamos lafraccin:

As: 16 4518111

, =

x = =1629

9918111

x = 16 45,

16,45)

EJEM

PLO

2 Halla la fraccin generatriz del nmero de-

cimal peridico mixto .

Llamamos x a la fraccin generatriz:

Multiplicamos la expresin de x por la po-tencia de 10 necesaria para que la comaquede justo despus del primer pero-do, y por la potencia de 10 necesaria paraque la coma quede justo antes del primerperodo:

100 x = 46, 6666...

10 x = 4, 6666...

Restamos las dos expresiones obtenidas:

100 x = 46, 6666...

10 x = 4, 6666...

100 x 10 x = 42

90 x = 42

Despejamos x y simplificamos la fraccin:

As: 0 467

15,

)=

x = =4290

715

x = 0 46,)

0,46)

EJEM

PLO

3

FJATE

El conjunto de los nmeros racionales esla unin del conjunto de los nmeros de-cimales limitados y el de los ilimitados y pe-ridicos.

12. Halla la expresin decimal de estos n-meros ra cionales.

1311

27

413

56

44

25

119

, , , , , ,

13. Halla la expresin fraccionaria de los siguientes nmeros decimales.

2,036; ; 9,99; ; ; ; ; ;

Qu sucede cuando el nmero es peridico puro de perodo 9?

0 436,21 45,0 9,)

0 016,)

1 203,9 07632,75 012,

Para comprobar que la fraccin obtenida es la correcta, slo tenemos que divi-dir su numerador entre su denominador.

ACTIVIDA

DES

)

)

)

) )) ) )

14

3. Operaciones con nmeros racionales

Hemos visto que un nmero racional est formado por una fraccin y todassus equivalentes. Para sumar, restar, multiplicar o dividir nmeros racionales, to-maremos representantes de estos nmeros y operaremos como si se tratasede fracciones.

3.1. Suma, resta, multiplicacin y divisinObserva cmo sumamos los siguientes nmeros racionales:

Escogemos un representante de cada nmero racional. Podemos elegir cual-

quiera; ahora bien, para agilizar el clculo es aconsejable utilizar los repre-

sentantes cannicos, y .

Sumamos estas fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a mnimocomn denominador.

El resultado de la suma es el nmero racional del cual es un representante.

Anlogamente, para restar, multiplicar o dividir nmeros racionales, operamostambin con representantes de cada uno de ellos, generalmente los canni-cos por sencillez. Observa los ejemplos.

= =

2025

46

45

23

1215

1015

215

721

1025

133

25

215

157

615

157

25

157

52

7514

=

= =: :

35

13

1415

+ =

1415

35

13

915

515

1415

+ = + =

35

13

+

13

35

35

915=

13

515=

1415

+ =

610 =

824 =

610

824

+

Unidad 1

Para operar con nmeros racionales se escoge un representante de cada unoy se efecta la operacin correspondiente.

RECUERDA

Reducir fracciones a mnimo comn de-nominador significa hallar unas nuevasfracciones equivalentes a las primeras cuyodenominador sea el mnimo comn ml-tiplo de los denominadores de las frac-ciones dadas.

En el caso de y tenemos:

m.c.m. (3, 5) = 15

15 3 51 53 5

515

: ;=

=

15 5 33 35 3

915

: ;=

=

13

35

Si accedes a la pgina www.homeschoolmath.net/worksheets/fraction_calculator.php podrs utilizar un applet para su-mar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

@

Las fracciones en la calculadora

Algunas calculadoras cientficas estnpreparadas para operar con nmeros ra-cionales en forma fraccionaria. Son las

que disponen de la tecla

Observa cmo efectuamos la operacin

Comprueba si la calculadora ha obteni-do el resultado correcto.

a1 + 22 5 EXEb/c a b/c

12

25

+ =

ab/c

14. Comprueba mediante ejemplos cada una de las propie-dades de las operaciones con nmeros racionales que apa-recen en esta pgina.

15. Calcula:

a) c)

b) d)

16. Calcula:

a) b)

17. Halla el opuesto de cada uno de los nmeros racionales si-guientes.

34

52

12

1217

49

, , , ,

23

34

56

21

325

+

37

215

:3

205

12

25

65

2448

3090

+

Propiedades de la suma y de la multiplicacinLa suma y la multiplicacin de nmeros racionales tienen una serie de propie-dades, algunas de ellas similares a las que estudiaste para los nmeros ente-ros. Obsrvalas a continuacin.

15Nmeros racionales

PROPIEDADES DE LA SUMA PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN

Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los su-mandos, el resultado no vara.

Propiedad asociativa. En una suma de varios sumandos, el re-sultado no depende de cmo se agrupen.

Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, puesal sumar 0 a cualquier nmero racional el resultado es el mis-mo nmero.

Elemento opuesto. Dado cualquier nmero racional , existe

otro nmero racional llamado el opuesto, , que sumado a

l da el elemento neutro.

ab

ab b

+

=

0

ab

ab

ab

ab

+ =01

ab

cd

ef

ab

cd

ef

+

+ = + +

ab

cd

cd

ab

+ = +

Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los factores,el resultado no vara.

Propiedad asociativa. En un producto de varios factores, elresultado no depende de cmo se agrupen.

Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplica-cin, pues al multiplicar por 1 cualquier nmero racional el re-sultado es el mismo nmero.

Elemento inverso. Dado cualquier nmero racional distinto de

0, (a 0), existe otro nmero racional llamado el inverso,

, que multiplicado por l da el elemento unidad.

ab

ba

=

11

ba

ab

ab

ab

=

11

ab

cd

ef

ab

cd

ef

=

ab

cd

cd

ab

=

Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma. Para multiplicar un nmero racional por una suma de nmeros ra-cionales, podemos multiplicar el nmero racional por cada uno de los sumandos y sumar los resultados obtenidos.

ab

cd

ef

ab

cd

ab

ef

+

= +

CB

CB

ACTIVIDADES

18. Efecta:

a) b) c) d) 14

3

13

15

34

4

13

13

8 3

:

25

25

3 5

16

3.2. Potenciacin y radicacinEn algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de nmerosracionales iguales, como la siguiente:

cuatro veces

Este producto puede expresarse como , y es la potencia de base el

nmero racional y exponente el nmero natural 4.

Para calcular la potencia de un nmero racional, calcularemos la potencia de unode sus representantes, generalmente el cannico por sencillez.

As, por ejemplo:

Si el exponente de la potencia es un nmero entero negativo, podemos trans-formarla en otra de exponente positivo. Observa:

Las operaciones con potencias de base un nmero racional y exponente unnmero entero se efectan de manera similar a las operaciones con potenciasde base una fraccin y exponente un nmero entero.

ab a

b

ba

n

n

n

= =1

25

25

16625

4 4

4

= =

ab

ab

n n

n

=

25

25

4

25

25

25

25

Unidad 1

RECUERDA

n vecesab

ab

ab

ab

a

b

aa

ab

n n

n

nn

= =

=

...

1

nn nba

=

MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

DIVISIN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE POTENCIA DE UN PRODUCTO

ab

ab

ab

m n m n

+

=

ab

ab

ab

m n m n

: =ab

cd

ab

cd

n n n

=

POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE 1 POTENCIA DE EXPONENTE 0

ab

ab

m n m n

=

ab

ab

1

=

ab

a

0

= 1 ( 0)

ACTI

VIDA

DES

CB

Sabemos que calcular la raz cuadrada de un nmero es buscar otro nmero queelevado al cuadrado sea igual al primero.

si y slo si

As, por ejemplo:

pues

Podemos tambin calcular la raz ensima de un nmero racional: es el nme-ro racional que elevado a la potencia ensima es igual al primero.

si y slo si

Una raz de un nmero racional puede tener un resultado, dos o ninguno se-gn la paridad del ndice y el signo del radicando.

ab

cd

n

=

cd

ab

n=

23

49

2

=

49

23

=

ab

cd

2

=

cd

ab

=

17Nmeros racionales

19. Efecta si es posible, razonando tu respuesta:

a) b) c) d)

20. Ordena de menor a mayor estos nmeros racionales

125512

56

1215

34

3

3 2 3

, , , ,55472

1

32243

5181

41625

2764

3

FJATE

ndice del radical

Radicando Raz

cd

ab

n=

Raz 343729

79

3=

=

343729

79

3 1681

23

4=

=

1681

4 ?

Paridad del ndice Impar Impar Par Par

Signo del radicando + +

Nmero de races Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No tiene.

Ordena de menor a mayor estos nmeros racionales.

Hallamos el representante cannico de cada uno de losnmeros racionales.

Reducimos a mnimo comn denominador los represen-tantes cannicos.

Finalmente los ordenamos de menor a mayor.

40128

25256

34

1132

516

4 1

= +