6 C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D [ C A P . 1

E J E M P L O 1.20. S i l a n z a m o s u n a m o n e d a 1 0 0 0 v e c e s y h a l l a m o s q u e 5 3 2 v e c e s r e s u l t a n c a r a s e s t i m a m o s q u e l a p r o b a b i l i d a d d e u n a c a r a e s 5 3 2 / 1 0 0 0 = 0 . 5 3 2 .

A m b o s e n f o q u e s e l c l a s i c o y e l d e f r e c u e n c i a p r e s e n t a n s e r i a s d i f i c u l t a d e s , e l p r i m e r o d e b i d o a l a v a g u e d a d d e l a s p a l a b r a s " i g u a l m e n t e f a c t i b l e s " y e l s e g u n d o d e b i d o a l a v a g u e d a d i n c l u i d a e n u n "número m u y g r a n d e " . A c a u s a d e e s t a s d i f i c u l t a d e s l o s matemáticos e n l o s últimos años s e h a n o r i e n t a d o a u n e n f o q u e axiomático u t i l i z a n d o c o n j u n t o s .

L O S A X I O M A S D E L A P R O B A B I L I D A D

Supóngase q u e t e n e m o s u n e s p a c i o m u e s t r a ] ®T. S i é e s d i s c r e t o t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s c o r r e s ­p o n d e n a s u c e s o s y recíprocamente, p e r o s i ó e s c o n t i n u o s o l a m e n t e s u b c o n j u n t o s e s p e c i a l e s ( l l a m a d o s m e d i b l e s ) c o r r e s p o n d e n a s u c e s o s . A c a d a s u c e s o A e n l a c l a s e C d e s u c e s o s a s o c i a m o s u n número r e a l P (A), e s d e c i r P e s u n a función d e v a l o r r e a l d e f i n i d a e n C- Así P s e l l a m a l a función de p r o b a b i l i d a d , y P(A) l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o A, s i s e s a t i s f a c e n l o s a x i o m a s s i g u i e n t e s :

A x i o m a 1 . P a r a c a d a s u c e s o A e n l a c l a s e C

P(A) £ 0 (1)

A x i o m a 2. P a r a e l s u c e s o c i e r t o o s e g u r o e f e n l a c l a s e C

P(<rJ) ~ 1 (Z)

A x i o m a 3 . P a r a c u a l q u i e r número d e s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s A,, B7, . . . e n l a c l a s e C

P ( A , U A 2 U • • •) = P ( A , ) + P ( A 2 ) + • • • (S)

E n p a r t i c u l a r , p a r a s o l o d o s s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s Ai, Ai,

P ( A , U A 2 ) = P(Al)+P(A2) ( i )

A L G U N O S T E O R E M A S I M P O R T A N T E S S O B R E P R O B A B I L I D A D

D e l o s a x i o m a s a n t e r i o r e s p o d e m o s d e m o s t r a r v a r i o s t e o r e m a s s o b r e p r o b a b i l i d a d q u e s o n i m p o r t a n t e s e n e l e s t u d i o p o s t e r i o r .

Teorema 1-14: S i A , C A 2 e n t o n c e s P(A\) S P ( A 2 ) y P ( A 2 - Ai) = P ( A 2 ) - P ( A , ) .

Teorema 1-15: P a r a c a d a s u c e s o A

0 § P(A) S 1 (5)

e s d e c i r l a p r o b a b i l i d a d d e u n s u c e s o está e n t r e 0 y 1 .

Teorema 1-16: P ( 0 ) = 0 (6)

e s d e c i r e l s u c e s o i m p o s i b l e t i e n e p r o b a b i l i d a d c e r o .

Teorema 1-17: Si A e s e l c o m p l e m e n t o d e A e n t o n c e s

P ( A ' ) = 1 - P ( A ) (7)

Teorema 1-18: S i A — A i U A 2 U • • • U A „ y A i , A 2 A „ s o n s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n -t e s , e n t o n c e s

P ( A ) - P ( A , ) + P ( A 2 ) + • • • + P(A„) (8)

E n p a r t i c u l a r s i A = ^S, e l e s p a c i o m u e s t r a l , e n t o n c e s

C A P . 1 ] C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D 7

P ( i 4 , ) + P ( A 2 ) + ••• + P(A„) = 1 (9)

Teorema 1-19: S i A y B s o n d o s s u c e s o s c u a l e s q u i e r a , e n t o n c e s

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A n B ) ( 1 0 )

G e n e r a l i z a n d o , s i A¡, A 2 , A 3 s o n t r e s s u c e s o s c u a l e s q u i e r a , e n t o n c e s

P ( A , U A 2 U A 3 ) = P ( A , ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 )

- P ( A l D A 2 ) - P ( A 2 n A 3 ) - P ( A 3 D A l )

+ P ( A i r \ A 2 n A , ) ( U )

También p u e d e n h a c e r s e g e n e r a l i z a c i o n e s a n s u c e s o s . Véase P r o b l e m a 1 . 7 9 .

Teorema 1-20: P a r a d o s s u c e s o s A y B

P ( A ) = P ( A n B ) + P ( A D B ' ) ( 1 2 )

Teorema 1-21: S i u n s u c e s o A d e b e r e s u l t a r e n u n o d e l o s s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s A , , A - i , . . . , A , e n t o n c e s

P ( A ) = P(AnA¡) + P ( A n A 2 ) + ••• +P(AnA„) ( 1 3 )

A S I G N A C I O N D E P R O B A B I L I D A D E S

S i u n e s p a c i o m u e s t r a l rf c o n s i s t e únicamente d e l o s s u c e s o s e l e m e n t a l e s A , , A 2 , . . . , A„ e n t o n c e s p o r e l T e o r e m a 1 - 1 8

P ( A , ) + P ( A 2 ) + • • • + P (A„) = 1 ( U )

S e c o n c l u y e q u e p o d e m o s e s c o g e r a r b i t r a r i a m e n t e c u a l q u i e r número n o n e g a t i v o p a r a l a s p r o b a b i l i ­d a d e s d e e s t o s s u c e s o s s i m p l e s s i e m p r e y c u a n d o s e s a t i s f a g a ( 1 4 ) . E n p a r t i c u l a r , s i s u p o n e m o s probabilidades iguales p a r a t o d o s l o s s u c e s o s s i m p l e s , e n t o n c e s

P(A„) = - k = 1,2 ,n ( 1 5 )

y s i A e s u n s u c e s o c o m p u e s t o p o r h s u c e s o s s i m p l e s t e n e m o s

P ( A ) - \ m

E s t o e q u i v a l e a l e n f o q u e clásico d e l a p r o b a b i l i d a d d a d o e n l a página 5. Podríamos lógicamente e m p l e a r o t r o s p r o c e d i m i e n t o s p a r a a s i g n a r p r o b a b i l i d a d e s , c o m o e l d e l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a d e l a página 6.

L a asignación d e p r o b a b i l i d a d e s p r o v e e u n modelo matemático y s u éxito d e b e p r o b a r s e e x p e r i -m e n t a l m e n t e e n f o r m a m u y s i m i l a r a c o m o l a s teorías e n física u o t r a s c i e n c i a s d e b e n p r o b a r s e e x p e r i m e n t a l m e n t e .

E J E M P L O 1.21. S e l a n z a s o l o u n d a d o . H a l l a r l a p r o b a b i l i d a d d e q u e r e s u l t e 2 ó 5 .

E l e s p a c i o m u e s t r a l e s T Í = < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ¡ . S i a s i g n a m o s p r o b a b i l i d a d e s i g u a l e s a l o s p u n t o s muéstrales, e s d e c i r s i s u p o n e m o s q u e e l d a d o e s h o n r a d o , e n t o n c e s

P ( l ) = P(2) = ••• = f ( 6 ) = ^

8 C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D [ C A P .

E l s u c e s o q u e r e s u l t e 2 ó 5 s e i n d i c a p o r 2 U 5 . P o r t a n t o

P ( 2 u 5 ) = P<2) + P<6) = | + |

P R O B A B I L I D A D C O N D I C I O N A L

S e a n A y i? d o s s u c e s o s ( F i g . 1-9) t a l e s q u e P(A) > 0 . D e n o t a m o s p o r P(B I A ) l a p r o b a b i l i d a d d< B dado que A h a o c u r r i d o . P u e s t o q u e s e s a b e q u e A h a o c u r r i d o , s e c o n v i e r t e e n e l n u e v o e s p a c i e m u e s t r a l r e m p l a z a n d o e l o r i g i n a l oj. D e aquí l l e g a m o s a l a definición

P(B\A)

P ( A n f i ) = P(A)P(B\A)

P(AriB) P(A)

E n p a l a b r a s , l a ecuación ( 1 8 ) n o s d i c e q u e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e t a n t o A y B o c u r r a n e s i g u a l a l a p r o b a b i l i d a d d e q u e A o c u r r a t a n t a s v e c e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e B o c u r r a d a d o q u e A h a o c u r r i d o . L l a m a m o s a P(B I A ) l a probabilidad condicional d e B d a d a A , e s d e c i r l a p r o b a b i l i d a d d e q u e B o c u r r a d a d o q u e A h a o c u r r i d o . Fácilmente s e d e m u e s t r a q u e l a p r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l s a t i s f a c e l o s a x i o m a s e n l a página 6.

(17)

(18)

s—•> p)

^ ^ ~ - A n B

F i g . 1-9

E J E M P L O 1 . 2 2 . H a l l a r l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n u n sólo l a n z a m i e n t o d e u n d a d o r e s u l t e u n número m e n o r q u e 4 , (a) n o s e d a n i n g u n a o t r a información, ( 6 ) s e d a q u e e l l a n z a m i e n t o resultó e n u n número i m p a r .

( a ) S i B d e n o t a e l s u c e s o { m e n o r q u e 4 } . Y a q u e B e s l a unión d e l o s s u c e s o s 1 , 2 ó 3 o b s e r v a m o s p o r e l t e o r e m a 1-18 q u e

1 2 P ( B ) = P ( l ) + P ( 2 ) + P ( 3 )

s u p o n i e n d o p r o b a b i l i d a d e s i g u a l e s p a r a l o s p u n t o s muéstrales.

I + I + I 6 0 6

( b ) S i A e s e l s u c e s o {número imparí o b s e r v a m o s q u e P ( A ) = 3 / 6 = 1 / 2 . También P { A ("1 B ) = 2 / 6 = 1 / 3 . E n t o n c e s

P ( B I A ) P ( A n B )

P U ) 1/3 1/2

P o r t a n t o , e l s a b e r q u e e l r e s u l t a d o d e l l a n z a m i e n t o e s u n número i m p a r a u m e n t a l a p r o b a b i l i d a d d e 1 / 2 a 2 / 3 .

T E O R E M A S S O B R E P R O B A B I L I D A D C O N D I C I O N A L

Teorema 1-22: P a r a t r e s s u c e s o s c u a l e s q u i e r a A t , A 2 , A 3 t e n e m o s

P ( A , r \ A t n A s ) = P ( A l ) P ( A 2 \ A ¡ ) P ( A , \ A ¡ n A 2 ) ( 1 9 )

E n p a l a b r a s , l a p r o b a b i l i d a d d e q u e A i y A 2 y A 3 o c u r r a n e s i g u a l a l a p r o b a b i l i d a d d e q u e A , o c u r r a t a n t a s v e c e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e A 2 o c u r r a d a d o q u e A i h a o c u r r i d o t a n t a s v e n e s l a p r o b a ­b i l i d a d d e q u e A 3 o c u r r a d a d o q u e A i y A 2 h a n o c u r r i d o . E l r e s u l t a d o s e g e n e r a l i z a fácilmente a n s u c e s o s .

Teorema 1 - 2 3 : S i u n s u c e s o A d e b e r e s u l t a r e n u n o d e l o s s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s A¡, A , , . . . , A„ e n t o n c e s

P ( A ) -- P ( A l ) P ( A \ A ¡ ) 4 P ( A J P ( A | A , ) + • • • + P(A„)P(A I A„) (20)

C A P . 1 ] C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D

S U C E S O S I N D E P E N D I E N T E S

9

S i P(B \ A) = P(B), e s d e c i r l a p r o b a b i l i d a d d e q u e B o c u r r a n o está a f e c t a d a p o r l a o c u r r e n c i a o n o o c u r r e n c i a d e A, e n t o n c e s d e c i m o s q u e A y B s o n sucesos independientes. E s t o e s e q u i v a l e n t e a

P(Ar\B) = P(A)P(B) (21)

c o m o s e d e d u c e d e ( 1 8 ) . I n v e r s a m e n t e , s i s e c u m p l e ( 2 1 ) e n t o n c e s A y B s o n i n d e p e n d i e n t e s . A l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l a i n d e p e n d e n c i a están d a d a s e n l o s P r o b l e m a s 1 .91 y 1.92.

S i A i , A 2 " , A 3 s o n i n d e p e n d i e n t e s e n t o n c e s d e b e n s e r i n d e p e n d i e n t e s p o r p a r e j a s ,

P ( A ; O A k ) = P(A¡)P(Ak) j + k d o n d e ; , f c = l , 2 , 3 (22)

y también d e b e m o s t e n e r

P(A,r\A,nA3) = P(Al)P(A2)P(A¡) (23)

N i ( 2 2 ) n i ( 2 3 ) s o n s u f i c i e n t e s p o r sí s o l o . L a generalización a más d e t r e s s u c e s o s s e h a c e fácilmen­t e .

T E O R E M A O R E G L A D E B A Y E S

Supóngase q u e A¡ , A 2 , . . . . A„ s o n s u c e s o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s c u y a unión e s e l e s p a c i o m u e s t r a ] a!, e s d e c i r u n o d e l o s s u c e s o s d e b e o c u r r i r . E n t o n c e s s i A e s c u a l q u i e r s u c e s o t e n e m o s e l s i ­g u i e n t e t e o r e m a i m p o r t a n t e :

Teorema 1 - 2 4 ( r e g l a d e B a y e s ) : ¿>(Ak|A) = P(Ak)P(A\A,)_ m

¿ P(Ak) P(A | A„) k = l

E s t o n o s p e r m i t e h a l l a r l a s p r o b a b i l i d a d e s d e l o s d i f e r e n t e s s u c e s o s A , , A 2 , . . . , A„ q u e p u e d e n c a u s a r l a o c u r r e n c i a d e A. P o r e s t a razón c o n f r e c u e n c i a s e h a c e r e f e r e n c i a a l t e o r e m a d e B a y e s c o m o e l t e o r e m a s o b r e l a probabilidad de causas.

A N A L I S I S C O M B I N A T O R I O

E n m u c h o s c a s o s e l número d e p u n t o s muéstrales e n u n e s p a c i o m u e s t r a l n o e s m u y g r a n d e y así l a enumeración o c u e n t a d i r e c t a d e l o s p u n t o s d e l m u e s t r e o n e c e s a r i o s p a r a o b t e n e r l a s p r o b a b i l i ­d a d e s n o e s difícil. S i n e m b a r g o , s u r g e n p r o b l e m a s c u a n d o l a c u e n t a d i r e c t a s e c a d v i e r t e e n u n a i m p o s i b i l i d a d práctica. E n t a l e s c a s o s s e e m p l e a e l análisis combinatorio, q u e podría l l a m a r s e u n a f o r m a sofisticada d e c o n t a r .

P R I N C I P I O F U N D A M E N T A L D E C U E N T A . D I A G R A M A S A R B O L

S i u n a c o s a p u e d e r e a l i z a r s e e n w , m a n e r a s d i f e r e n t e s y después d e e s t o u n a s e g u n d a c o s a p u e d e r e a l i z a r s e e n n 2 m a n e r a s d i f e r e n t e s , . . . . y f i n a l m e n t e u n a fe-ésima c o s a p u e d e r e a l i z a r s e e n n» m a n e r a s d i f e r e n t e s , e n t o n c e s t o d a s l a s k c o s a s p u e d e n r e a l i z a r s e e n e l o r d e n e s p e c i f i c a d o e n n , n 2 . • . n» m a n e r a s d i f e r e n t e s .

E J E M P L O 1 . 2 3 . S i u n h o m b r e t i e n e 2 c a m i s a s y 4 c o r b a t a s e n t o n c e s t i e n e 2 * 4 = 8 m a n e r a s d e e s c o g e r u n a c a m i s a y l u e g o u n a c o r b a t a .

U n d i a g r a m a , l l a m a d o d i a g r a m a árbol d e b i d o a s u a p a r i e n c i a ( F i g . 1-10), s e e m p l e a f r e c u e n t e ­m e n t e e n conexión c o n e l p r i n c i p i o a n t e r i o r .

10 C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D [ C A P . 1

E J E M P L O 1 . 2 4 . S i l a s c a m i s a s s e r e p r e s e n t a n p o r S¡, S2 y l a s c o r b a t a s p o r 7"j, T2, T3, T $ , l a s d i f e r e n t e s m a n e r a s d e e s c o g e r u n a c a m i s a y l u e g o u n a c o r b a t a s e ' i n d i c a n e n e l d i a g r a m a árbol d e l a F i g . 1 -10 .

P E R M U T A C I O N E S

Supóngase q u e s e d a n r< o b j e t o s d i f e r e n t e s y d e s e a ­m o s ordenar r d e e s t o s o b j e t o s e n u n a línea. P u e s t o q u e h a y n m a n e r a s d e e s c o g e r e l p r i m e r o b j e t o , y l u e g o d e h a c e r e s t o n — 1 m a n e r a s d e e s c o g e r e l s e g u n d o o b j e ­t o , . . . , y f i n a l m e n t e n — r + 1 f o r m a s d e e s c o g e r e l r-ésimo o b j e t o , s e d e d u c e p o r e l p r i n c i p i o f u n d a m e n t a l d e c u e n t a q u e e l número d e ordenaciones, o permutacio­nes d i f e r e n t e s c o m o g e n e r a l m e n t e s e l e s l l a m a , está d a d o p o r

n P r = n(n - l ) ( n - 2) • •

F i g 1-10

( n - r + 1 ) ( 2 5 )

d o n d e s e o b s e r v a q u e e l p r o d u c t o t i e n e r f a c t o r e s . L l a m a m o s a , P r e l número d e permutaciones de n objetos tomados de r en r.

P a r a e l c a s o p a r t i c u l a r c u a n d o r = n , ( 2 5 ) s e c o n v i e r t e e n

„P„ = n ( w - l ) ( n - 2 ) - - l = ni

q u e s e d e n o m i n a n f a c t o r i a l . P o d e m o s e s c r i b i r ( 2 5 ) e n términos d e f a c t o r i a l e s c o m o i

n P r = (n — r ) !

( 2 6 )

( 2 7 )

S i r = n o b s e r v a m o s q u e ( 2 5 ) y ( 2 6 ) s e s a t i s f a c e n sólo s i t e n e m o s q u e 0 ! = 1 y t o m a r e m o s r e a l m e n t e e s t o c o m o u n a definición d e 0 !

E J E M P L O 1 . 2 5 . E l número d e o r d e n a c i o n e s o p e r m u t a c i o n e s d i f e r e n t e s q u e c o n s i s t e n d e 3 l e t r a s c a d a u n a y q u e p u e d e n f o r m a r s e d e l a s 7 l e t r a s A , B , C, D , E , F, G e s

1 1 4 !

7 - 6 - 5 = 210

Supóngase q u e u n c o n j u n t o q u e c o n s i s t e d e n o b j e t o s d e l o s c u a l e s n , s o n d e u n t i p o ( e s d e ­c i r n o s e podrían d i s t i n g u i r e n t r e sí), n 2 s o n d e u n s e g u n d o t i p o , s o n d e l fe-ésimo t i p o . Aquí, lógicamente, n = n^ + n 2 + . . . + n k . Así e l número d e p e r m u t a c i o n e s d i f e r e n t e s d e l o s o b j e ­t o s e s

n P n .

Véase P r o b l e m a 1.34.

( 2 8 )

E J E M P L O 1 . 2 6 . E l número d e p e r m u t a c i o n e s d i f e r e n t e s d e l a s 1 1 l e t r a s d e l a p a l a b r a M I S $ I S S I P P I, q u e c o m i s t e d e 1AÍ, 4 / , 4 S y 2 P e s

1 1 ! 1 ! 4 ! 4 ! 2 !

34 650

C O M B I N A C I O N E S

E n u n a permutación e s t a m o s i n t e r e s a d o s e n e l o r d e n d e l a distribución d e l o s o b j e t o s . Así abe e s u n a permutación d i f e r e n t e d e bca. S i n e m b a r g o , e n m u c h o s p r o b l e m a s e s t a m o s i n t e r e s a d o s s o l a m e n ­t e e n s e l e c c i o n a r o e s c o g e r o b j e t o s s i n i n t e r e s a r s u o r d e n . D i c h a s s e l e c c i o n e s s e l l a m a n combina­ciones. P q r e j e m p l o abe y bca s o n l a m i s m a combinación.

C A P . 1 ] C O N J U N T O S Y P R O B A B I L I D A D 1 1

E l número t o t a l d e c o m b i n a c i o n e s d e r o b j e t o s s e l e c c i o n a d o s d e n (también l l a m a d a s l a s c o m b i -

r i n a c i o n e s d e n cosas tomadas de r en r) s e d e n o t a p o r „CV ó [ ). T e n e m o s (véase P r o b l e m a 1.36)

T i = ' C r = r ! ( n - r ) !

q u e también p u e d e e s c r i b i r s e c o m o fn\ n ( n - l ) - • -(n-r + 1) „Pr

r l i 3 0 )

Fácilmente s e d e m u e s t r a q u e

( ; ! : . ( » " r ) 0 * c' = " c - . E J E M P L O 1 . 2 7 . E l número d e m a n e r a s e n l a s c u a l e s 3 c a r t a s p u e d e n e s c o g e r s e o s e l e c c i o n a r s e d e u n t o t a l d e 8 c a r t a s d i f e r e n t e s e s

, c . . ( » ) . i%t - s e

C O E F I C I E N T E S B I N O M I A L E S

L o s números d e ( 2 9 ) s e l e s l l a m a f r e c u e n t e m e n t e l o s coeficientes binomiales p u e s t o q u e p r o v i e ­n e n d e l a expansión b i n o m i a l

(x + y)" = X" + ("ja?"-'» + ( g ) * " ^ 2 + ••• + (£)yn Í72)

T i e n e n m u c h a s p r o p i e d a d e s i n t e r e s a n t e s .

E J E M P L O 1 . 2 8 . ( r + j ) ' = x* + (^jx*y + + ( a ) * * 3 + ( 4 ) ^

= x * + 4 * 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 * y 3 + > ' - 4

A P R O X I M A C I O N D E S T I R L I N G A H!

C u a n d o n e s m u y g r a n d e l a evaluación d e n ! n o e s práctica. E n t a l e s c a s o s s e u t i l i z a l a fórmula a p r o x i m a d a

n ! ~ y/Sññnne-" (33)

d o n d e e = 2 . 7 1 8 2 8 . . . e s l a b a s e d e l o s l o g a r i t m o s n a t u r a l e s . Véase P r o b l e m a 1.48. E l símbolo ~ e n ( 3 3 ) s i g n i f i c a q u e l a relación d e l l a d o i z q u i e r d o a l l a d o d e r e c h o s e a p r o x i m a a l a m e d i d a q u e «->«>. P o r e s t a razón d e c i m o s q u e e l l a d o d e r e c h o e s u n a expansión asintótica d e l l a d o i z q u i e r d o . P a r a u n e s t u d i o más d e t a l l a d o d e l a fórmula d e S t i r l i n g véase e l Apéndice A .

P r o b l e m a s r e s u e l t o s

C O N J U N T O S

1 . 1 . S e a A e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s números r e a l e s c u y o s c u a d r a d o s s o n i g u a l e s a 25 . I n d i q u e cómo d e s c r i b i r a A p o r (a) e l método d e comprensión y (6) e l método d e extensión.

( a ) A = {x | x 2 = 2 5 } q u e s e l e e " e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e x t a l e s q u e x - = 2 5 " .

(6) P u e s t o q u e x 2 = 2 5 p a r a x = 5 y * = — 5 , p o d e m o s e s c r i b i r A = { 5 , — 5 > . e s d e c i r A s e describé d a n d o s u s e l e m e n t o s .