1. Ecuaciones en Derivadas Parciales.1. Introduccin. Una ecuacin diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuacin donde una cierta funcin incgnita u viene definida por una relacin entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.Si u = u(x,y,z), una ecuacin diferencial en derivadas parciales sera u u u 2 u 2 u 2 u 2 u F x, y, z, u , , , , 2 , 2 , 2 ,,... = 0 x y z x y z xy Se denomina orden de la PDE al ms alto grado de derivacin parcial que aparece en la expresin.As 2 u 2 u+ =0(1)x 2 y 2es una PDE de 2 orden, mientras que u u u + =0(2)x yes una PDE de primer orden.La ecuacin (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuacin (2) es, en cambio, no lineal.Se podran hacer algunas consideraciones acerca de las PDE. Mientras que el nmero de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas definen el orden de la ecuacin diferencial ordinaria de la que es solucin, aqu la gnesis se puede considerar vista de otro modo.Sea una funcin de (x,y) que verifica que es de la formau(x,y) = f(x + y)g(x - y)donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces u = f g + g fxu = f g g fya su vez 2 u = f g + 2 f g + f gx 2

2. 2 u= f g 2 f g + f g y 2 2u = f g f g f g + f g = f g f g xyde donde se deduce que2 u 2 u = 4 f g x 2 y 2Perou u + = 2 f g x yu u = 2 f g x y2 u 2 u = 4 f g u x y 2 2 u 2 u u u 2 2 2 u= xy x y Se ha llegado a una ecuacin diferencial de 2 orden en derivadas parciales cuya solucin tiene la formau(x,y) = f(x + y)g(x - y)Considrese otro ejemplo:u = xf(y)u= f (x ) xu u = xx es la ecuacin diferencial de primer orden cuya solucin tiene la formau = xf(y)donde f es una funcin arbitraria.Otro ejemplo es el siguiente:u = f (x2 + y2 ) 2 3. u= 2 xf x u= 2 yf y uu y x=0xyOtro ejemplo:u = f(x + y) + g(x - y)u= f + g x u= f g y2 u= f + g x 22 u= f + g y 22 u 2 u = x 2 y2Represe que segn los resutados obtenidos existen infinitas soluciones posibles de la PDE. Pero ahora la arbitrariedad de la solucin general viene dada en trminos de funciones, apareciendo tantas como el orden de la ecuacin.Desde el punto de vista de la Matemtica puede parecer ms preciso obtener en cualquier caso la solucin general, sin embargo, se van a buscar soluciones dentro del campo de la Fsica por lo que slo interesar una solucin particular concreta. Estas soluciones particulares van a satisfacer unas determinadas condiciones de contorno y de valor inicial.Es decir, se va a tratar de obtener la solucin de una cierta PDE que verifique unas condiciones en el contorno del dominio en que est definida (condiciones de contorno), y si adems una variable es el tiempo "t" las condiciones en t = 0 se darn como dato (condiciones iniciales).Por ltimo, y por lo que respecta a la clasificacin, cuando cada trmino de la ecuacin diferencial contiene la funcin o sus derivadas esta ecuacin se dice homognea.Algunos ejemplos tpicos de ecuaciones en derivadas parciales son:Ecuacin de difusin:u 2 u= c2 2 t x3 4. Es la clsica ecuacin unidimensional de difusin del calor, de segundo orden, lineal, homognea y de coeficientes constantes.Ecuacin de onda:2u2u= c2 2 t 2 xEs la clsica ecuacin de onda unidimensional, que describe fenmenos de tipo oscilatorios y es tambin de segundo orden, lineal, homognea y de coeficientes constantes.Ecuacin de Laplace:2 u 2 u + =0 x 2 y 2Esta es una ecuacin bidimensional, de segundo orden, lineal, homognea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales elctricos o gravitatorios o procesos de difusin en los que se ha alcanzado un equilibrio trmico.Ecuacin de Poisson:2 u 2 u + = f ( x, y ) x 2 y 2Es tambin una ecuacin bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homognea.Este curso se va a centrar exclusivamente en el estudio de las ecuaciones diferenciales de 2 orden lineales con coeficientes constantes, que son las ms habituales en distintos campos de la fsica. 2. ECUACIONES DE SEGUNDOORDENLINEALES HOMOGNEASDE COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuacin de 2 orden en derivadas parciales lineal, homognea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables independientes):2u2u 2uu u a 2 + 2h+ b 2 + 2f +2g+c u = 0 xxy y x ydondea,h,b,f,g,c son constantes. Por comparacin con una cnica ah f x (x y 1) h b g y = 0f g c 1 4 5. a x2 + b y2 + 2 h x y + 2 f x + 2 g y + c = 0se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elpticas, parablicas e hiperblicas de igual modo que las cnicas. Esto es, sia b h 2 > 0 la ecuacin es elpticaa b h 2 = 0 la ecuacin es parablicaa b h 2 < 0 la ecuacin es hiperblicaSegn esto, las cl sicas ecuaciones de difusin, de ondas y de Laplace pertenecen a los tiposEcuacin de difusin: parablicaEcuacin de onda: hiperblicaEcuacin de Laplace: elptica Nota: Esta clasificacin sigue siendo vlida incluso cuando los coeficientes de la ecuacin a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuacin puede cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuacin 2 u 2u 2 u y 2 + 2 x + y 2 = 0xxy y es elptica en la regin y 2 x 2 > 0, parablica a lo largo de las rectas y 2 x 2 = 0, e hiperblica en la regin y 2 x 2 < 0. En el caso de ms variables independientes la forma general de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden en derivadas parciales es:n n 2u n u ark ( x1, x 2,......x n ) x+ b k ( x1, x 2 ,......x n ) x k k =1x k + c( x 1, x 2 ,......x n ) u = f ( x1, x 2 ,......xn ) r =1 k =1 r Se denomina parte principal de la ecuacin diferencial al primer sumando simblico. Considrese la matriz cuadrada nxn cosntituida por los coefiecientes de la parte principal de la ecuacin diferencial. Por ser una matriz simtrica en el campo real, tiene autovalores reales. a) Si todos los autovalores fueran del mismo signo (ninguno nulo), la ecuacin se denomina elptica. b) Si un autovalor fuera de signo opuesto a los otros, no siendo nulo ninguno, la ecuacin es hiperblica. c) Si algn autovalor es nulo, se denomina parablica. d) En el resto de casos se denomina ultrahiperblica.3. ECUACIONES DE EULER Se llama ecuacin de Euler a una ecuacin de la forma 2 u 2u 2u a+ 2 h + b 2 = 0x 2xy yLa solucin general se puede obtener del siguiente modo, haciendo el cambio5 6. = p x+ q y =p =q x y = r x + s y=r=sxydonde p,q,r y s son constantesu u u uu =+ = p+ r x x x2 u u u 2 = + = x x x x x 2 u2 u 2u2 u = p p 2 + r + r p +r 2 2u2 u 2 u = p2 + 2 r p + r2 2 2de igual modo2 u 2 u 2 u 2 u= q2 2 + 2 q s + s2 2 y 2 por ltimo 2u u u u = = + x y y x x y x y uu uu =p +r q+p + r s = 2 u 2u 2 u = p q 2 + ( q r + p s) + r s 2 Sustituyendo en la ecuacin diferencial 2 2u 2u 2u a p + 2 r p +r 2 +2 2 2u 2u2 u + 2 h p q + ( q r + p s) + r s 2 + 2 2u2u 2u + b q 2 2 + 2 q s + s2 2 = 0 6 7. 2 u 2u (a p 2 + 2 h p q + b q 2 ) + 2 (a r 2 + 2 h r s + b s 2 ) + 2 2 u+ 2 ( a p r + h q r + h p s + b q s) =0(3) Ahora se elige p = r = 1 de modo que q y s sean races de la ecuacin a + 2 h x + b x2 = 02 u u2 es decir, de modo que los coeficientes de lay sean cero. 2 2Por tanto, llamando a las races x 1, x 2 quedara la ecuacin: 2 u a + h ( x1 + x 2 ) + b x1 x 2 =0 Ahora bien2 hax1 + x2 = y x1 x 2 =bb por lo que la ecuacin puede expresarse 2u (a b h ) 2 2=0bSi a b h2 0 , es decir la ecuacin es elptica o hiperblica 2u =0cuya solucin general se reduce au = F() + G()donde F y G son funciones arbitrarias, pero = x + x1 y = x + x2 yluego la solucin general de las ecuaciones elpticas e hiperblicas es de la forma: u = F( x + x1 y ) + G( x + x 2 y )x 1 y x 2 son reales si la ecuacin es hiperblica, pero si es elptica, son complejas. 7 8. Si la ecuacin es parablica:a b h2 = 0volviendo a la ecuacin (3) y haciendo slo p = 12 u 2 u (a + 2 h q + b q 2 ) + 2 (a r 2 + 2 h r s + b s2 ) + 2 2u + 2 ( a r + h q r + h s + b q s)=0(4)Se busca q tal quea + 2 h q + b q2 = 0 h h2 a ch q== (raz doble)b bLlevando este valor a (4) 2 u h2 r 2 u (a r + 2 h r s + b s ) 2 + 2 a r + b + h s h s = 0 2 2 pero como h 2 = ab, sustituyendo el valor de "a" despejado de esta igualdad, la ecuacin queda h2 r 2 2u + 2 h r s+ b s 2 = 0 2 b 1 2u ( h r + b s) 2 2 = 0 b con tal que r y s no sean cero simultneamente, la ecuacin resultante es2 u=0 2cuya solucin general es de la formau = F( ) + G ( )con F y G funciones arbitrarias, pero h = x yb = r x +sycon r y s arbitrarios, pero no simultneamente ceros. 8 9. Luego, la solucin general de una ecuacin parablica es h h u = ( r x + s y ) F x y + G x yb b Aunque se ha resuelto, desde el punto de vista matemtico, las ecuaciones de Euler, estas soluciones tienen muy poco valor cuando se imponen unas condiciones de contorno dadas y una condicin de valor inicial. Suele resultar muy difcil obtener la expresin de las funciones F y G. Por ello, este procedimiento ms acadmico que til va a dar paso a otro ms eficaz que, adems, nos va a ayudar a ver el sentido fsico de lo que se trata de resolver. Este mtodo se conoce con el nombre de mtodo de separacin de variables. 9