I.E.S. "Los Colegiales" (ANTEQUERA)

GEOMETRA AFN Y EUCLIDEA

1. - Dado los vectores X=(2,1), Y = (-1,3), Z=(3,4), calcular:

a) X + Y

b) X - Y - Z

c) 2X - 3Y + Z

d) X + 2Y - 5Z

2. - Elegir una base de R2 entre los vectores siguientes:

A = (6, -2)B = (-3,1)C =(1,3)

D = (2,7)

Hallar las coordenadas de los dems vectores respecto de esa base.

3. - Hallar las coordenadas de un punto B interior al segmento AC, siendo las coordenadas de A(-3,1) y las de C(5,7) y tal que lo divide en la relacin 3/4.

4. - Hallar la ecuacin de la recta en forma vectorial, paramtrica, continua y general en cada uno de los siguientes casos:

a) Pasa por A(-1,2) y su vector director es (-3,5)

b) Pasa por A(3,2) y forma con OX un ngulo de 45

c) Pasa por A(3,2) y tiene de pendiente 3/43

d) Pasa por A(2,5) y B(-1,7)

5. - Una recta pasa por A(1,5) y determina con los ejes de coordenadas un tringulo de 18 u2 de superficie. Cual es la ecuacin de la recta? Ind: ver la ec. Punto pendiente o segmentara6. - En el tringulo de vrtices A(3,1), B(1,5), C(-1,-3), calcular:

a) las ecuaciones de los lados.

b) las ecuaciones de las medianas.

7. - Los puntos medios de los lados de un tringulo son M(4,4), N(3,3), P(2,6). Hallar los vrtices y el baricentro del tringulo.Ind: AM=MN

Sol: A(5,1); B(3,7); C(1,5)

8. - Clasificar los tringulos siguientes decidiendo si son equilteros, issceles o esclenos; rectngulos, acutangulos u obtusangulos:

a) A(2,1), B(1,2), C(3,3)

Sol: Isosceles

b) A(4,-3), B(3,0), C(0,1)

Sol: Isosceles

c) A(0,4), B(3,0), C((3+4

ADVANCE \D 2.40)/2,(4+3

ADVANCE \U 2.40)/2)

Sol: Escaleno9. - Determinar la posicin relativa de las rectas:

a) 3x - 4y -8 =0,x - 2y +12 = 0

b) 3x - 2y +2 =0,3x - 4y + 3 =0

10. - Determinar la ecuacin de la recta que pasa por P(5,2) y es paralela a la recta 3x + 4y - 5 = 0.

Sol : 3x+4y-23=0

11. - La recta r: ax - 4y + 4 = 0 y la recta s: 3x + by + 10 = 0 son paralelas, y la recta s pasa por el punto P (-1,1). Determinar los parmetros a y b.

Sol: b=-7a=12/712. - Hallar analtica y grficamente el punto de interseccin de las rectas:

a) 8x - 2y - 20 = 0 , 3x + 2y -13 = 0

b) x + y = 30

, x - y = 14

Sol: x=3; y=2

13. - Hallar el valor del parmetro m para que las rectas

, s: 3x - 4y = 0 , t: y= mx + 1 sean concurrentes. Cual es el punto comn?

14. - Calcular el producto escalar y el coseno del ngulo que forman los vectores siguientes:

a) (-4,1) y (1,4)

b) (5 +

ADVANCE \U 2.40

ADVANCE \D 2.40, -5) y (-5 +

ADVANCE \U 2.40

ADVANCE \D 2.40, 2)

15. - Dados los vectores X=(2,-3) , Y=(-3,1) , Z=(5,2) , calcular :

a) XY b) |X|c) (X+Y)Zd) (3X+2Y)5Z

e) (2X-3Y)Y

16. - Calcular los ngulos del tringulo de vrtices A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

17. - Hallar un vector unitario de la misma direccin que el vector (8,-6).

18. - Calcular los coeficientes m y n de las ecuaciones :

r : mx - 2y + 5 = 0 y s : nx + 6y - 8 = 0 sabiendo que las rectas que representan son perpendiculares y que la primera pasa por el punto P(1,4).

19. - Dados los vectores X=(3,-2) , Y=(4,6) estudiar si forman una base ortonormal, as como si forman base ortogonal.

20. - Calcular los ngulos que forman las rectas r y s en los siguientes casos:

a) r : 2x + 3y - 5 = 0

s : 3x - 2y + 10 = 0

b) r : 3x - 2y + 5 = 0

s : 3x + 4y + 8 = 0

21. - Calcular la ecuacin de la recta perpendicular a y = 8x - 1 y que pasa por el punto P(-3,2).

22. - La recta de ecuacin y = 9/2 - x/2 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1).Hallar las coordenadas del otro extremo.

23. - Un punto es equidistante de A(6,10) y B(-4,8) , su distancia al eje OY es la mitad que al eje OX. Hallar las coordenadas de ese punto.

24. - Calcula las ecuaciones de las alturas del tringulo de vrtices A(-1,-1), B(7,5) y C(2,7). Cuanto vale la altura relativa al vrtice A.

25. - Determinar el valor de a sabiendo que las rectas 2x + 3y - 5 = 0 y la recta 5x - ay + 1 = 0 son perpendiculares.

26. - Calcular la distancia a cada una de las rectas siguientes desde el punto que se indica :

a) r : 5x + 12y - 49 = 0

P(7,-2)

b) r : 4x + 3y - 12 = 0

P(-2,5)

27. - Calcular la distancia entre las rectas 5x+8y-12=0 y 10x+16y-17=0.

28. - Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento AB , siendo A(-3,1) y B(5,-2).

29. - Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de la bisectriz del primer cuadrante y del punto (4,0).

30. - Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos del plano que verifican :

a) la suma de sus distancias a los puntos (-4,0) y (4,0) es 10.

b) la diferencia de sus distancias a los puntos (-4,0) y (4,0) es 10.

Tomado de la relacion de geometria del I.B. Perez de Guzman (Ronda)

(FICHERO AFIN.PRB)

1. Calcula la distancia entre los puntos:

i) A(5,3) y B(2,6) ii) P(1,0) y Q(3,1)

iii) M(4,2) y N(2,5) iv) T(8,9) y S(0,2).

2. Determina el valor de K en los siguientes casos:

a) d(P,Q) = 4 siendo P(2,1) y Q(k,3)

b) d(M,N) = 7/3 siendo M(1,3) y N(k,11)

c) d(A,B) = 5 siendo A(1,k) y B(3,2).

3. Determina las coordenadas de los puntos que dividen:

a) en tres partes iguales al segmento AB siendo A(9,4) y B(3,8)

b) en dos partes iguales al segmento AB siendo A(2,3) y B(1,0)

c) en dos partes al segmento AB, tales que una de las

4. Las coordenadas del punto medio de un segmento son (1,0), y las de uno de sus extremos (5,3).Halla las coordenadas del otro extremo.

5. Determina analticamente el ngulo que forman:

a) los dos ejes de coordenadas;

b) las dos bisectrices de los cuadrantes;

c) el eje de las abcisas con la bisectriz del primer cuadrante;

d) el eje de ordenadas con la bisectriz del segundo cuadrante;

e) el eje de las abcisas con x 2y + 4 = 0;

f) el eje de ordenadas con 2x + y + 4 = 0;

g) x + 2y 3 = 0 y 3x 5y + 4 = 0;

h) y = x 3 y y = x + 8;

i) 2y x + 4 = 0 y x 3y + 1 = 0.

6. Indica la posicin relativa de las siguientes rectas, dando en su caso el punto de interseccin:

i) 2x + 3y = 0 y 4x + 6y + 8 = 0;

ii) x y = 0 y 2x + y 1 = 0;

iii) 3x + 2y 5 = 0 y 2x 3y + 4 = 0;

iv) x 2y + 1 = 0 y 4x + 2y = 3;

v) y = x 2 y x/3 + y/2 = 1;

vi) x = 3t + 4; y = t 1 y x = 6t + 2; y = 2t + 3.

7. Determina el valor de m para que los siguientes pares de rectas sean: a) paralelas (hllese su distancia); b) perpendiculares:

i) 2x 3y 5 = 0 y 6x + my = 7;

ii) 3x + 5y 7 = 0 y 6x + my = 1;

iii) 2x + my = 1 y 3x + 6y = 5;

iv) mx + 3y = 1 y x + y = 0;

v) 6x + my = 1 y 3x + y = 3;

vi) x + 3y = m y 2x 6y = 2.

8. Dada la recta 2x 3y + 12 = 0, halla la ecuacin de la mediatriz del segmento que en dicha recta interceptan los ejes coordenados.

9. La recta de ecuacin x + 2y 6 = 0 corta en el punto A a una recta que determina sobre los ejes OX, OY los segmentos 2 y 1, respectivamente. Corta tambin en el punto B a la bisectriz del primer cuadrante. Halla la ecuacin de la mediatriz del segmento AB.

10. El eje OX y las rectas y = 1; x + 2y = 3 y x + 2y 7 = 0 limitan un cuadriltero. Halla su rea, las ecuaciones de sus diagonales y las coordenadas de los puntos de interseccin de stas.

11. Halla la ecuacin de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-22), B(3,0) y el ngulo que forma con el eje de abcisas.

12. Halla la perpendicular a 5x 2y = 3 desde el punto (1,3).

13. Se tiene el cuadriltero ABCD cuyos vrtices son A(3,0), B(1,4), C(3,2) y D(1,2).comprueba que es un paralelogramo y determina su centro y rea.

14. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1,3), B(5,1) y C(2,0).Halla las coordenadas del vrtice D y el rea del paralelogramo.

15. Halla el rea del tringulo determinado por el punto C(1,3) y los puntos de interseccin con los ejes coordenados de la recta que pasa por A(1,3) y B(1,4).

16. Conocidas las coordenadas de A(0,1), B(2,0) y C(1,1), calcula el rea del tringulo ABC.

17. Halla el rea del tringulo limitado por los ejes de coordenadas y la recta que pasa por el punto (2,1) y forma un ngulo de 45 con la recta 2x + 3y = 5.

18. En el tringulo ABC, A(2,3), B(2,2) y C(0,3), calcula la longitud:

a) de la mediana correspondiente al vrtice A;

b) de la altura correspondiente al vrtice B;

c) de la mediatriz correspondiente al vrtice C;

d) clasifica al tringulo ABC y halla su rea.

19. Halla un punto de la recta x 5y + 4 = 0 que equidista de los puntos M(1,4) y N(1,2).

20. Halla las coordenadas del vrtice que no se d y el rea de los paralelogramos que se citan a continuacin:

i) ABCD: A(1,1), B(0,2), C(4,1)

ii) ABCD: A(2,1), B(1,1), D(0,4)

iii) ABCD: B(0,0), C(4,4), D(1,2)

21. Un rombo tiene dos vrtices opuestos en los puntos A(3,5) y C(2,1) y un tercer vrtice C en el eje de abcisas. Determina D.

22. Un punto equidista de P(6,10) y de Q(4,4); su distancia al eje OX es doble que al eje OY. Halla sus coordenadas.

23. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado son A(1,2) y B(3,8).Determina los restantes vrtices, encontrando todas las soluciones.

24. Los puntos A(6,2) y B(14,8) son los extremos de un segmento. Un caminante que sigue la recta x y = 0, desea saber desde qu punto de dicha recta ver el segmento AB bajo un ngulo recto.

25. Halla las coordenadas de un punto P equidistante de tres puntos dados A(1,0), B(-1,-2) y C(2,5).Cmo se llama el punto P?

26. Halla la ecuacin de la recta qu, formando un ngulo de 45 con la

y 2x = 0, pasa por el punto (2,4).

27. La recta 2x + y = 0 es bisectriz de un ngulo recto cuyo vrtice tiene de ordenada 1.Halla:

a) ecuaciones de los lados de ese ngulo;

b) rea del tringulo determinado por stos y el eje OX.

28. Encuentra la ecuacin de la recta que corta a 2x 3y = 6 en el punto de abcisa 6, y que forma con ella un ngulo de 45.

29. Dados los puntos A(2,1), B(3,5) y C(4,m), determina el valor de m para que el tringulo ABC tenga de rea 6 unidades cuadradas.

30. De un tringulo ABC se conocen A(2,5); el punto medio de BC es (3,1) y el punto medio de AB es (0,4).Halla B, C y el rea.

31. Una recta cuya ecuacin es xcos 60 + ysen 60 = 5,intercepta entre los ejes coordenados un segmento. Halla:

a) Ecuacin de la mediatriz de dicho segmento;

b) Coordenadas del baricentro, incentro, ortocentro y circuncentro del tringulo que la recta dada determina con los ejes;

c) Area del tringulo.

32. Calcula el rea limitada por la recta x/2 + y/3 = 1, el eje de abcisas y las rectas y=0, y=4.

33. Calcula la distancia entre el punto de interseccin de las rectas

3x y + 1 = 0; x + y 9 = 0 y el punto medio del segmento A(3,3), B(5,1).

34. Deduce la clase de tringulo que tiene por vrtices:

i) A(4,1), B(6,2), C(8,1);

ii) A(5,2), B(9,6), C(11,3);

iii) A(2,3), B(2,7), C(3,3).

35. Determina el conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos P(2,5) y Q(6,1).

36. Determina el punto que equidista de (6,8), (7,1) y (1,7).

37. Escribe las componentes de un vector unitario perpendicular a la recta

6x 8y + + 5 = 0.

38. La distancia del origen de coordenadas a la recta 3x 4y + k = 0 es 2. Calcula los posibles valores de k.

39. Un rombo tiene dos vrtices opuestos en los puntos A(3,5) y C(2,1), y un tercer vrtice B en el eje de abcisas. Determina las coordenadas de B y D y los cosenos de los ngulos del rombo.40.- Dos vectores a y b cuyos mdulos son a = 8, b = 11, forman un ngulo de 120. Calcula el mdulo de la suma.

41.- Sean = { u, v } y ' = { u', v' } dos bases del e.v. V2. Sabiendo que:

u' = 3 u + v y v' = 5 u + 2 v se pide expresar el vector t = 7 u' + 2 v' como combinacin lineal de u y v.

42.- Sabiendo que los puntos P (5,-2) y P' (-7,6) son simtricos respecto de una recta r, halla la ecuacin de dicha recta.

43.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (-3,8) y determina con los sentidos positivos de los ejes coordenados un tringulo cuya rea es 6 unidades cuadradas.

44.- Prueba que los vectores u = 4 i 2 j y v = 3 i + 5 j son linealmente independientes.

Expresa el vector w = 7 i 23 j como combinacin lineal de u y v.

45.- Dados los puntos A (0,6) y B (-8,0), halla la ecuacin en forma vectorial, paramtrica, continua, general y explcita de la mediatrz del segmento AB.

46.- Dados los puntos A (-3,1) y B (5,8), halla los ngulos a y que el vector AB forma con los ejes coordenados.

47.- En el tringulo de vrtices A (1,1), B ( 5,6) y C (9,8), halla los cosenos de los ngulos a y que forma la mediana de A con los lados AB y AC respectivamente.

48.- Dados los puntos A (-2,3) y B (1,7), halla las coordenadas del punto M tal que el vector OM tenga mdulo 2 y sea perpendicular al vector AB.

49.- De un tringulo issceles ABC de base BC se conocen los vrtices B (4,1) yC (6,3), y se sabe que el vrtice A est en el eje OY. Halla las coordenadas de A, la altura ha y el rea del tringulo.

50.- Las rectas

se cortan entre s formando un tringulo. Se pide :

a) Coordenadas de sus vrtices;

b) Ecuacin de las medianas, mediatrices y alturas;

c) Coordenadas del baricentro, circuncentro y orotcentro;

d) Area, permetro y clasificacin del tringulo.

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