Contrastes ortogonales:Un contraste en estadstica es una combinacin lineal de las medias de los tratamientos definida por la suma de productos de las medias de tratamiento por un coeficiente. Estos coeficientes deben cumplir con la caracterstica de que su suma es igual a cero, de tal manera que para algunas medias sus coeficientes asociados son positivos y para otras son negativos. Las reglas de asignacin de los coeficientes va a depender de la tendencia que se desee encontrar o de la comparacin de medias que se desee hacer. Cada contraste tendr asociado un grado de libertad, debido a que la comparacin que se lleva a cabo es entre dos grupos de tratamientos, lo que llevan el signo positivo contra los que llevan el signo negativo. De esta manera el numero de posibles contrastes ortogonales en un conjunto de datos corresponde exactamente a los grados de libertad para los tratamientos.Dos contrastes sern ortogonales si la suma de los productos de sus correspondientes coeficientes es igual a cero. Esto implica que la covarianza entre los dos contrastes es igual a cero, y por lo tanto los contrastes van a ser independientes. En este sentido la ortogonalidad implica independencia. Si todos los contrastes formulados son ortogonales entre si, entonces esto llevara a que la suma de cuadrados acumulada en todos los contrastes ortogonales corresponda exactamente a la suma de cuadrados de los tratamientos. La suma de cuadrados asociada a un contraste se calcula por el cuadrado de la combinacin lineal de las medias multiplicada por el numero de repeticiones y dividida por la suma de los cuadrados de los coeficientes de la combinacin lineal. Esta suma de cuadraos siempre lleva asociada un solo grado de libertad. Si se aplican contrastes no ortogonales, entonces existir covarianza entre ellos y esto implica que la informacin contenida en ellos esta relacionada en un cierto grado, con lo cual se considera que la informacin contenida en los datos esta siendo sobreutilizada. Esto se va a reflejar en el hecho de que el acumulado de la suma de cuadrados de los contrastes no ortogonales no cerrara a la suma de cuadrados de los tratamientos.

Contrastes ortogonales para el calculo de tendencias: Los contrastes ortogonales pueden ser usados para estimar las sumas de cuadrados asociadas a los diferentes componentes de un modelo polinomial, siempre y cuando los datos experimentales tengan las siguientes dos caractersticas:1. Experimento balanceado, lo que es un requisito general para aplicar contrastes.1. Los niveles del factor deben estar igualmente espaciadosSi alguna de estas caractersticas no se da en el conjunto de datos, se recomienda aplicar la tcnica de la regresin para llevar a cabo la separacin de la suma de cuadrados de tratamientos en las diferentes tendencias.La siguiente tabla muestra los coeficientes de las combinaciones lineales para cada una de las diferentes tendencias que se pueden ajustar a un conjunto de datos de acuerdo al nmero de niveles del factor. Los coeficientes estn en orden creciente del factor.

Numero TratsTendenciaPrimer NivelSegndo NivelTercer NivelCuarto NivelQuinto Nivel

2Lineal-11

3Lineal-101

Cuadrtica1-21

4Lineal-3-113

Cuadrtica1-1-11

Cbica-13-31

5Lineal-2-1012

Cuadrtica2-1-2-12

Cbica-120-21

Cuarto1-46-41

Ejemplo numrico 5. Aplicar contrastes ortogonales al ejemplo numrico 1.Vamos a llevar a cabo los clculos en Excel y mostrarlos en la siguiente tabla. Como puede ser observado los niveles se acomodan en orden creciente y as tambin las medias por nivel. De la tabla de coeficientes se seleccionan los correspondientes a 4 tratamientos.Nivel150200250300

medias77.433333384.189.266666795.1333333

Lineal-3-113

Cuadrtica1-1-11

Cbica-13-31

Contr Lin-232.3-84.189.2666667285.458.2666667

Contr Cuadr77.4333333-84.1-89.266666795.1333333-0.8

Contr Cubico-77.4333333252.3-267.895.13333332.2

En la tabla estn contenidos los clculos del coeficiente por la media y en la ultima columna su correspondiente suma. A partir de estos clculos podemos determinar la suma de cuadrados correspondientes a cada uno de los contrastes:Para la tendencia lineal: S.C.Tend. Lineal = 3*(58.2666667)2/20 = 509.250667Para la tendencia cuadrtica: S.C.Tend Cuadr = 3*(-0.8)2/4 = 0.48Para la tendencia Cbica: S.C.Tend Cubica = 3*(2.2)2/20 = 0.726Como puede ser comprobado, las sumas de cuadros para la tendencia lineal coincide con la suma de cuadrados de la regresin lineal, y el acumulado de la suma de cuadrados de la regresin cuadrtica y cbica coincide con la suma de cuadrados de la falta de ajuste. Se pudiera hacer el cuestionamiento acerca de la importancia de tener diferentes mtodos para realizar un mismo calculo. Aparte de la simplicidad de los contrastes, otra gran ventaja es que puede ser utilizado para analizar los arreglos factoriales de tratamientos que se vern posteriormente. Mediante la tcnica de contrastes ortogonales van a poder ser separadas las sumas de cuadrados en componentes con un solo grado de libertad, sin importar la naturaleza de los factores que se estn investigando.

Contrastes ortogonales para comparacin de medias: Para factores cualitativos, la aplicacin de los contrastes ortogonales es mas especifica para cada problema. Se requiere de un conocimiento mas o menos profundo de lo que son los tratamientos para poderlos agrupar. La idea de los contrastes para factores cualitativos es ir formando dos grupos de comparacin, cada uno de los cuales va estar formado por uno o ms tratamientos con alguna caracterstica comn. Cada uno de los grupos se irn separando en otros dos grupos de comparacin, en base a otra caracterstica de los tratamientos, y este proceso continuara hasta que al final los contrastes comparen un tratamiento contra otro.Ejemplo de aplicacin conceptual 1: Suponga que se esta llevando a cabo una investigacin para seleccionar un ingrediente proteico en la elaboracin de un alimento para mascotas. Se prueban tres fuentes de protena: Carne de res, carne de cerdo y soya. Lleve a cabo la comparacin de los tratamientos por contrastes ortogonales:Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estas tres fuentes son:1. Protena de origen animal (cerdo y res) contra protena de origen vegetal (soya).1. Protena de origen animal (res) contra protena de origen animal (cerdo).Ejemplo de aplicacin conceptual 2: Supngase que se esta llevando a cabo una investigacin en la que se desea evaluar diferentes fuentes de carnes no convencionales en la elaboracin de un producto carnico de bajo costo. El producto tradicional se elabora con carne de cerdo, y se desea investigar fuentes no convencionales que incluyen: Caballo, burro, gallina y pavo. Planear las comparaciones demedias por contrastes ortogonales.Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estos tratamientos son:1. Testigo (cerdo) contra el promedio de los tratamientos (caballo, burro, gallina y pavo).1. Carnes de mamferos (caballo y burro) contra carnes de aves (gallina y pavo).1. Caballo contra burro.1. Gallina contra pavo.Una vez que los contrastes ortogonales han sido planeados, debemos checar el requisito de que el experimento este balanceado, y si es as debemos obtener los coeficientes para cada uno de los contrastes. La mecnica para el calculo de los coeficientes es la siguiente:1. Los coeficientes de un grupo llevaran signo positivo y los del grupo contrastante llevaran signo negativo. Esta es una seleccin completamente arbitraria.1. El valor del coeficiente de un grupo ser igual al numero de tratamientos que tiene el grupo contrastante.Ejemplo numrico 6. Analice el ejemplo numrico 2 usando contrastes ortogonales. El ejemplo de los lubricantes y desgaste de las piezas consiste de tres tratamientos, cada uno con 8 repeticiones. El A y B son lubricantes nuevos y disponibles que se pueden usar en el proceso, y el lubricante C que es el que convencionalmente se utiliza en el proceso. Entonces podemos generar los siguientes contrastes con sus coeficientes y clculos requeridos para determinar las pruebas de significancia:LubricanteABC

Media9.3511.42516.7125Suma

C vs (A B)11-2-12.65

A vs. B1-10-2.075

C vs (A B)9.3511.425-33.425

A vs. B9.35-11.4250

A partir de las cantidades en la tabla podemos calcular las sumas de cuadrados correspondientes a cada contraste: Contraste convencional vs. Nuevas alternativas:S.C. = 8*(-12.65)2/6 = 213.3633Contraste alternativa A vs. Alternativa B: S.C. = 8*(-2.075)2/2 = 17.2225Estas sumas de cuadrados pueden ser agregadas a la tabla de anlisis de varianza para completar las pruebas de significancia:ANLISIS DE VARIANZA

Origen de las variacionesSuma de cuadradosGrados de libertadPromedio de los cuadradosF

Entre grupos230.5858332115.2929178.74681521

C vs. A B213.3633331213.36333316.1872773

A vs. B17.222500117.2225001.3066026

Dentro de los grupos276.803752113.181131

Total507.38958323

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.00061447 que es menor del 0.05, por lo que se concluye que este contraste es significativo, es decir, existe diferencia entre el lubricante convencional y las nuevas alternativas.

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.26587522 que es mayor del 0.05, por lo que se concluye que este contraste no es significativo, es decir, no existe diferencia entre el lubricante las nuevas alternativas. Para la seleccin del aceite entre las nuevas alternativas, se requiere de un criterio adicional, pues en cuanto a la variable medida, el desgaste de las piezas, no existe una diferencia. El criterio adicional puede ser el econmico, ecolgico, o algn otro en el que uno de ellos tuviera ventaja.