1Hiptesis de la teora de vigas de Timoshenko

!"

#$

%&'

'(

2

dv/dx

+=dxdv

dv/dx

y

3

dvdx

-y(x)

y,v

M-p

u(x,y,z) = -y(x)

v(x,y,z) = v(x)

w(x,y,z) = 0

4

)x(dxdv)x(

dxdv

dydue2

dxdy

dxdue

)x(v)z,y,x(v)x(y)z,y,x(u

xy

x

=+=+=

==

=

=

En la teora de vigas clsica, la distorsin angular es cero, en la teora de vigasde Timoshenko, vale , por consiguiente, la teora de Timoshenko, equivalea considerar el efecto de la deformacin por corte, coincidiendo la magnitud dedicha deformacin con el giro adicional de la normal .

)x(

Distorsin angular en las vigas de Timoshenko

5)x(GAdA)x(GdAV

)x(EIdAy)x(EdAyM

)dxdv(G)x(GG

vigaladeejedelcurvatura

)x(yEdxdyEE

)z,y(A )z,y(A

xy

)z,y(A )z,y(A

2x

xyxy

xx

===

===

===

===

Momento Flector y Cortante

6

V V

V V

y

xy

y y y

yy

xy

xy xy

7

Energa de deformacin por corte

==

=====

==

==

===

==

===

L

0

*2xy

**Tc

**Tc

Jc

Jc

L

0

2xy

V

2xyT

c

Jc

L

0

2L

0 A2

2

V

2xyT

c

xy

A

xy

A

xy

xy

L

0

2Jc

A2

2

2

L

0 A2

2

2

2

V

2xyJ

cxy

AAcondx)x(2GAU

AAsiUU,Udx)x(2

AGdVG2

)x(U

Udx)x(VGA21dxdA

A)x(V

G21dV

G2)x(

U

)x(AdA)x(dA)x()x(V

:cinseclaenconstanteesTimoshenkodevigalaEn

dx)x(VGA21UdA

)y(b)z,y(

IA1

:formadefactorelDefiniendo

dxdA)y(b)z,y(

I)x(V

G21dV

G2U

)y(bI)z,y()x(V

8

Coeficiente de forma

9Energa potencial total

( )

( ) ( )( ) ( )

+=

+=

=

=

=

==

+=

i jjjii

LL

xy

L

L

xy

LT

LLTf

A

L

V V

Tf

Tc

Tf

T

MvPdxxvxqdxGAdxEI

dxGAdxEIU

dxEIdxdx

xdEIU

dxdAydx

xdEdVydx

xdEdVEeU

UUU

00

2*

0

2

0

2*

0

2

0

2

0

2

2

0

22

22

*

)()(22

22

2)(

2

)(2

)(22

10

En el integrando de la ecuacin de la energa de deformacin,aparecen nicamente derivadas primeras de la flecha y del giro. Esto exige solamente su continuidad para garantizar que sea integrable, lo cual permite la utilizacin de elementos finitos declase Co.

Elementos finitos para vigas de Timoshenko

Si consideramos el elemento de viga de Timoshenko mas simple,de dos nodos, a diferencia de lo que ocurra en la teora de vigas deNavier-Bernoulli, la flecha y el giro son variables independientes, y de continuidad Co

11

Viga de Timoshenko

12

v2

v1

v1v

v2

Elemento de viga de Timoshenko lineal

13

( ) ( )[ ]

[ ][ ]

( )( ) ( )

+=

=+

+=

==

=

=

+=

==

=====

=+==

1L11

L1Bcon

uBNNvd

dNvd

dNL2

dxd

ddv

dxdv

L10

L10Bcon

uBd

dNd

dNL2

dxd

dd

dxd

L2

dxd

N0N0NconuN)(

0N0NNconuN)(v

vvu

1N,1N

21

)e(21

)e(c

)e(c22112

21

1)e(xy

)e()e(f

)e(f2

21

1)e(

)e(

21f)e(

f

21f)e(

f

T2211

)e(21

221

1

Clculo de las matrices Bf y Bc

14

Matriz de Rigidez K=Kf+Kc

[ ]

=

==

=

=

=

=

==

==

101000001010

0000

LEIKu

101000001010

0000

LEIuuKuU

2dcomo

101000001010

0000

L11010

101

0

L1BB

udBBu4

EILU

uBBu)()()(

d)(4

EILdx)x(2EIU

f)e(T)e(

21)e(

fT)e(

21T

f

1

1

22fT

f

)e(1

1

fT

fT)e(T

f

)e(f

Tf

T)e(T2

1

1

2L

0

2Tf

15

=

==

==+==

++

+

=

+

+

=

=

==

=

3

21

623

21

21

3

21

623

21

21

31

41,

32

41,1

21,2

4)1(

2114

12

14

)1(2

112

11

211

211

21

12

1

1

4

)()()(

)(4

)(2

2

22

*)(

2

22

*)(

21)()(

21

1

1

21

1

21

1

1

1

2

2

22

22

)(1

1

)(*

)()(2

1

1

2*

0

2*

LSim

L

LLL

LL

LGAKu

LSim

L

LLL

LL

LGAuuKuU

ddL

dL

dcomo

Sim

LL

L

LLLL

LLL

L

BB

udBBuLGAU

uBBu

dLGAdxxGA

ceTee

cTeT

c

cT

c

ec

Tc

TeTf

ec

Tc

Texy

Txyxy

xy

L

xy

16

Vector de fuerzas nodales equivalentes

[ ]0qL0qLFdondeuFud)(NqLd)(vqLdx)x(qv

adistribuidnteuniformemeq

21

21T

q

)e(Tq

)e(1

1

f21

1

121

L

0

=

===

17

Observaciones sobre la integracin de la matriz de rigidez

Integrando numricamente con un nico punto de integracin se tieneun resultado exacto para la matriz Kf

La integracin exacta de la matriz Kc requiere dos puntos de Gauss,por aparecer en su integrando, trminos de segundo grado en .

18

Efecto del bloqueo de la solucin

V

M

[ ] FuKK )e(cf =+

19

241

2*

3

*2*22*

2

2**

**11

1

1

2

2

1

1

*

**

***

****

3Fijando

vigaladeesbeltezlaeshLdonde

15

12,)1(2

EG,bh65A,

56,bhA,

12bhI

GAP

16,

GALP

14v

LGAEI12Llamando

0Pv

LEI

3LGA

2GA

2GA

LGA

0,0v

0PMV

v

v

LEI

3LGASim

2GA

LGA

LEI

3LGA

2GA

LEI

3LGA

2GA

LGA

2GA

LGA

==

=+=+=====

+=++==

=

+

==

=

+

+

20

Este ejemplo, resuelto por la teora clsica de vigas da como resultado:

== *3

2 GALP4

EI3PLv

Para una viga esbelta donde los valores de son elevados, el efecto del cortante es despreciable, y la solucin de la flecha con las dos teorasdebe coincidir.

2v

Lamando:)3(4)43(3

vv

22

2

ex2

2

++==

El valor de debera tender a la unidad, a medida que la esbeltez de la viga aumenta, pero el

= 0iml

Esto implica que el elemento de viga de Timoshenko de 2 nodos, es incapazde reproducir en el lmite la solucin de la teora de vigas clsica. A medida que la esbeltez de la viga aumenta se produce un fenmeno de sobrerigidez numrica, que va tomando mayor importancia hasta llegar abloquear la solucin, haciendola en el lmite, infinitamente rgida.

21 22

Integracin reducida

Integrando Kc con un nico punto de integracin, se tiene:

=

4LSim

2L1

4L

2L

4L

2L1

2L1

LGAK

2

22*

rc

Para el problema anterior:

=

+

0Pv

LEI

3LGA

2GA

2GA

LGA

2

2**

**

43

2

2

43

*2

1GALP3v

=

+=+=

iml

Para tendiendo a cero, tiende a 3/4con lo cual se ha eleminado el efecto delbloqueo de la solucin.

23

Puede comprobarse, que el valor de converge rapidamente a 1 al aumentar elnmero de elementos, de hecho con solo dos elementos se obtiene el valor 0,938.

Por consiguiente, la integracin reducida de los trminos de Kc proporciona un elemento vlido para vigas de pequea y gran altura.

Una vez calculados los desplazamientos nodales, los esfuerzos se calculan en elpunto de Gauss central, que adems en este caso es el punto ptimo.

24

Observaciones sobre la integracin reducida

c

*

fcf KLGAK

LEIKKK +=+=

La solucin exacta para vigas esbeltaz es proporcional a EIL3

FFEILuK

EIGALKL

3)e(

c

*2

f2 ==

+

Para una seccin rectangular FuKEG

hL10KL )e(c

2

f2 =

+

Cuanto es esbelta es la viga, aumenta rpidamente, de manera que paravigas muy esbeltas el coeficiente de se hace progresivamente mucho masgrande que el de y la ecuacin anterior, tiende a donde en el lmite, para vigas infinitamente esbeltas tiende a infinito y

2

hL

cK

fK FuK )e(c =2hL

EG4

=

0F1uK )e(c =

25

A medida que la esbeltes aumenta, la solucin de elementos finitos se rigidiza cadavez mas con respecto a la solucin exacta (efecto de bloqueo) , y en el lmite se haceinfinitamente rgida . Para evitar la solucin trivial el determinante de Kc debe anularse.

La integracin numrica equivale a introducir k relaciones independientes, donde k es el nmero de componentes del vector deformacin que intervienen en Kc. As si p es el nmero total de puntos de integracin, y j el nmero de grados de libertad obtenidos una vez descontados los desplazamientos prescriptos, la matriz de rigidez ser singular si el nmero de relaciones introducidas no es suficiente paraequilibrar el nmero total de incognitas. j - p.k>0

Para obtener la singularidad de Kc hay que reducir el nmero de puntos de integracin. Esto debe hacerse, cuidando que la matriz de rigidez total K mantengael rango correcto, para evitar la singularidad de todo el sistema. En el ejemplo de la mnsula: k=1 ( solo interviene la distorsin angular en Kc),j=2 (desplazamiento y giro en el extremo libre),. Para una integracin exacta p=2 se tiene 2-1.2=0 y no se satisface la condicin desingularidad. Sin embargo al utilizar un nico punto de integracin, p=1 y 2-1.1=1 >0 Para la matriz de rigidez total K, k=2 (la curvatura y la distorsin angular), j=2 y como se utiliza un nico punto de integracin p=1, entonces 2-1.2=0 y la matriz derigidez total no es singular. 26

Interpretacin fisica de la integracin reducida

Las vigas de Timoshenko, por utilizar aproximaciones del mismo grado para la flechay el giro tienen una incapacidad intrnseca de satisfacer en el lmite la condicin de distorsin angular nula, lo que en definitiva causa el bloqueo de la solucin.

+=++== ba)()(L

vvdxdv

2121

212112

xy

Se observa que a es combinacin lineal de flechas y giros, mientras que b depende solamente de los giros nodales. La condicin de que =0 para vigas esbeltas exige que en el lmite a y b tiendan a 0 de la segunda condicin:

0LLdx

d, 2121 =+=== La curvatura se anula sobre todo el elemento, y esto conduce al bloqueo de lasolucin como consecuencia de imponer una condicin que imponer una condicinque fisicamente no es real entre los desplazamientos para satisfacer la condicin de distorsin angular nula.

27

Otras alternativas para eliminar el efecto del bloqueo

Parece claro que el trmino lineal en debe eliminarse para que pueda alcanzarsela condicin =0.Una forma evidente es calcular en el centro del elemento donde =0 y =a por lotanto el comportamiento del elemento es correcto.Esto es equivalente a integrar Kc con un solo punto de integracin.Otra forma es que los coeficientes a y b sean los dos combinacion de giros y flechasesto puede lograrse si la interpolacin polinmica para la flecha sea un grado mayor que la del giro

28

Viga de Timoshenko con interpolacin lineal de losgiros y cuadrtica de las flechas

29 30

31 32

Coincide con el resultado obtenido mediante integracin reducida de lamatriz de rigidez de corte.

33

Viga sobre fundacin elstica

Consideremos el efecto de la deformacin del terreno atraves de un coeficiente de balasto k el cual establece una relacin entre losdesplazamientos de los puntos de la estructura en contacto con elterreno y las correspondientes reacciones.

Suponemos que esta relacin es lineal, y que el coeficiente k debalasto es constante.

El modelo de fundacin Winkler, desciende solamente donde lacarga es aplicada; el material del terreno adyacente, se mantieneintacto como se muestra en la figura.

y,vy,v

34

Elemento finito de 2 nodos para viga sobre fundacin elstica

L dxxkv 0

221 )(

: trminoel agrega le se potencial energa la deexpresin laA

-k v(x)

v(x)

v1

35

Viga sobre fundacin elstica de Timoshenko

[ ]

=

=

==+

+

=

+

+=

==

=

==

001000001

kLK

0020000102

NN

31

41,

32

41

00)1(000010)1(

0)1(

0)1(

0)1(0)1(NN

dNNkLdxNNkK

uKuudxNNku

Nuv,uNv,dxkv(x)

21

31

31

fT

f

1

1

21

1

2

2

22

41

21

21

21

21

fT

f

1

1

fT

f21

L

0

fT

f

(e)T(e)21(e)

L

0

fT

fT(e)

21

Tf

T(e)T(e)f

L

0

221

SimSim

ddcomo

Sim

k

k

k

36

Viga sobre fundacin elstica de Navier-Bernoulli

=

==

=

+++=

==

2

22

4201

1

1

T21

L

0

T

(e)T(e)21(e)

L

0f

Tf

T(e)21

222v2111v1

TT(e)T(e)L

0

221

4LSim22L1563L13L4L13L5422L156

kLK

dNNkLdxNNkK

uKuudxNNku

()N()N()N()N)v(

Nuv,uNv,dxkv(x)

k

k

k

En ambos modelos Kk es la matriz de rigidez consistente para cimentacin elastica y es claro que se suma con la matriz de rigidez de la viga.