Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Teo de Rolle. Si f es una función que cumple con:

1. continua en el intervalo cerrado [ ] 2. es derivable en el intervalo abierto 3.

Entonces existe al menos un número c en tal que

El teorema de Rolle es susceptible a una modificación que no altera en nada a la conclusión

del mismo.

Esto se refiere a 3. , basta con que el valor de las imágenes de a y de b sean

iguales entre sí, como en la imagen

Teorema del Valor medio. Si f es una función que cumple con:

1. continua en el intervalo cerrado [ ] 2. es derivable en el intervalo abierto

Entonces existe un número c en tal que

En otras palabras dice que si tenemos una función continua en [ ] y derivable en i , entonces existe por lo menos un punto en el intervalo donde la derivada es cero, donde la recta tangente es horizontal.

En otras palabras dice que si tenemos una función continua en [ ] y derivable en Entonces existe por lo menos un punto en el intervalo donde la recta tangente en ese punto es paralela a la recta que pasa por a y por b.

Ejercicios:

Ejemplos aplicados: 1) Al sacar un objeto de un horno y colocarlo a una temperatura ambiental

de 90° F constante, su temperatura interior es de 1500°F.

5 horas más tarde la temperatura ha descendido a 390° F. Explicar por qué ha

de haber un momento en que la temperatura interior estaba decreciendo a

222°F por hora.

Justifique usando el teorema correspondiente y enunciándolo.

a) Consideraremos que la función que modela la temperatura en este problema es derivable en el intervalo de tiempo [ ]

b) Consideraremos también que es continua en este intervalo. c) Las temperaturas que nos interesan en este problema son

y

Podemos usar el teorema del valor medio.

Puedo decir que existe un momento c en el intervalo [ ] tal que

Esto significa que en ese momento c la temperatura está disminuyendo a

222° por hora.

2) Dos corredores arrancan al mismo tiempo en una competencia y terminan

empatados.

Pruebe que en algún momento tuvieron la misma velocidad.

(Sugerencia: defina , donde g y h son las funciones de

posición de los dos corredores.)

Enuncie el teorema a usar y explique su conclusión

Considerando el intervalo de tiempo [ ], el intervalo en el cual estos

corredores arrancan hasta que terminan.

a) Consideraremos que la función desplazamiento es diferenciable en el intervalo.

b) Consideraremos que es continua en este intervalo Dice el problema que arrancan al mismo tiempo, lo que indica que

, ya que arrancan al mismo tiempo.

Si ellos se demoraron T en terminar la carrera y ya que llegaron juntos sus

desplazamientos en este momento serían iguales .

Luego y .

c) Tenemos entonces que

Podemos aplicar teorema de Rolle.

Dice este teorema que existe un punto c en el intervalo [ ], tal que

Y como sabemos estas son las velocidades de cada uno de ellos y son iguales

en este instante c.

Ejercicios resueltos:

Calculus Vol I. Salas, Hille, Etgen. Ed. Reverté.

Pag 195- 201

Links de ejercicios resueltos y propuestos.

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-

elsie/derivadafuncion/html/node21.html

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-

elsie/derivadafuncion/html/node22.html

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-

elsie/derivadafuncion/html/node23.html

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/teorema%20de%20Rolle%20y%20Teorema%20d

el%20valor%20medio.htm