11. tema 11: conceptos básicos de la teoría de conjuntos ......{x / x es entero y -2≤x≤2})....

11.Tema11:ConceptosbásicosdelaTeoríadeConjuntos.Estructurasalgebraicas.

Índice

11.Tema11:ConceptosbásicosdelaTeoríadeConjuntos.Estructurasalgebraicas....................................................................................................................................1

11.1.Introducción........................................................................................................................................................................1

11.2.ConceptosbásicosdelaTeoríadeConjuntos.......................................................................................................2

11.3.Conjuntodelaspartesdeunconjunto....................................................................................................................2

11.4.Operacionesconconjuntos..........................................................................................................................................3

11.5.Productocartesianodeconjuntos.............................................................................................................................4

11.6.Relacionesbinarias..........................................................................................................................................................5

11.7.Aplicacionesentredosconjuntos..............................................................................................................................6

11.8.Estructurasalgebraicas..................................................................................................................................................7

11.9.Resumen...............................................................................................................................................................................9

11.10.Conclusión.........................................................................................................................................................................9

11.11.Bibliografía........................................................................................................................................................................9

Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)

Tema11:ConceptosbásicosdelaTeoríadeConjuntos.Estructurasalgebraicas.

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11. Tema 11: Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos. Estructurasalgebraicas.

11.1. Introducción

LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene

determinadoporelsiguientemarcolegislativoestatalyautonómico:

•RealDecreto1105/2014,de26dediciembre.

•Decreto48/2015de14demayodelConsejodeGobierno.

•Decreto52/2015,de21demayo,delConsejodeGobierno.

CURRÍCULO

Labondaddidácticadelateoríadeconjuntosresideeneldesarrollodelacapacidaddeanálisisysíntesisyaquepermiterepresentarytrataraungrupodeelementosrealesoabstractoscomounconjunto,untodoquenospermitedefinirlocomounelementoconcretoapartirdelascaracterísticascomunesentrecadaunodesusintegrantes.

La teoría de conjuntos se entiende como un contenido del área de matemáticas pero susutilidadesvanmuchomásalládeldesarrollodelpensamientológicomatemático.Comprenderlateoríadeconjuntospermiteutilizarlosconjuntoscomoherramientaparaanalizar,clasificaryordenarlosconocimientosadquiridosdesarrollandolacomplejaredconceptualenquesealmacenaelaprendizaje.

Porello,esdecapitalimportanciaeltrabajodecomprensióndesuspropiedadesyoperaciones,nosolamenteparaloscontenidosyestándarescontempladosenelcurrículodeláreadematemáticas,sinoanivelinterdisciplinar.

Enconcreto,eneláreadematemáticas,serádeespecialinteréseimportanciaenlasunidadesrelativasalosbloquesdeestadísticayprobabilidaddesde1ºESOyhasta4ºESO,cursoenelquecobreunamayorimportanciaextendidaaBachilleratoeneldesarrollodesucesos,leydeLaplace,etc.

O.D.

Las competencias expresan finalidades educativas a largo plazo, que han de desarrollarsepaulatinamente a lo largo de varios cursos y etapas, ymediante el trabajo en diferentes temas dematemáticas. En ambos casos, las actuaciones de los escolares ante determinadas tareas permitenobservar el grado de consecución de esas expectativas. Pero,mientras en el caso de los objetivosespecíficos esas tareas están vinculadas a un contenido matemático concreto, en el caso de lascompetencias lastareashandeserabiertas,abarcarconocimientosdedistintostemasyreferirseadiferentessituacionesycontextos.

Esporesoque,conelobjetivodeasentarunasbuenasbases,alcomienzodelusoointroducciónde la Teoría de Conjuntos al alumnado, se debe comenzar aplicándolo sobre elementos realespreviamente a la aplicación sobre números. Y así, paulatinamente, ampliando el horizonte delconocimiento,pudiendoapoyarnosenplataformascomoelProyectoGauss.

HISTORIA

GeorgeCantorfueelprecursorafinalesdelsigloXIXdeunadelasnocionesfundamentalesdelasMatemáticas:lateoríadeconjuntos.Nosofreciólasiguientedefinición:«Unconjuntoeslacoleccióndeuntododedeterminadosobjetosbiendefinidosydiferenciableslosunosdelosotrosennuestracontemplaciónopensamiento,formandounatotalidad»

Esta definición fue la base para la aparición de múltiples nuevas definiciones, relaciones yoperacionesentreconjuntos,axiomase,incluso,contradiccionesqueobligaronalosmatemáticosdelaépocaareplantearsetodaslasdefinicionesydemostracionesdadashastaelmomentoyformalizarasítodalaMatemáticacomohoyendíalaconocemosaunquepuededecirsequeentodaslasépocaslosmatemáticosylosfilósofoshanempleadorazonamientosdelateoríadeconjuntosdeformamásomenosconsciente.

Lateoríadeconjuntos,enelsentidoqueledamoshoydía,sedebeaG.Cantor(1845-1918).

Acontinuación,desarrollaremoseltemasiguiendoelíndiceanteriormenteexpuesto.


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11.2. ConceptosbásicosdelaTeoríadeConjuntos

11.2.1. NocioneselementalessobreconjuntosAlosobjetosquecomponenunconjuntoselesllamaelementosdelconjunto.SiAesunconjuntoyaesun

elementodeAseescribea∈A(“aperteneceaA”).SibnoesunelementodeAseescribeb∉A(“bnoperteneceaA”).Tenemosdosmanerasdedefinirunconjunto:

• Porextensión:nombrandounoporunotodossuselementos(porejemplo:{−2,−1,0,1,2}).• Porcomprensión:definiendosuselementosporlaspropiedadesqueloscaracterizan(porejemplo:

{x/xesenteroy-2≤x≤2}).

Dosconjuntosseránigualescuandoesténformadosexactamenteporlosmismoselementos.SiAyBsonconjuntosigualesseescribiráA=B,ysinoloson,A≠B.

El númerode elementosdeun conjunto se llama cardinal dedicho conjunto. Puede ser finito, infinitonumerableoinfinitononumerable.ElcardinaldeunconjuntoAsedesignapor#A,n(A)ocard(A).

Porconvenio,seconsideralaexistenciadeunconjuntoquenotieneelementos.Eselconjuntovacíoysedenotaporø.Llamaremosconjuntounitarioalconjuntoquetieneunsoloelementoyconjuntouniversaloreferencialaunconjuntosuficientementeextensocomoparacontenerlosconjuntosqueestamostrabajando.

SeanA yB dos conjuntos. EntoncesAesun subconjuntodeB si todo elemento deA es tambiénunelementodeB.SeescribeA⊆B(“AestácontenidoenB”).

• SiAesunconjunto,entoncesA⊆A. • SiA=B⇔A⊆ByB⊆A. • SiA⊆ByB⊆C,entoncesA⊆C

Nota:NotaremosA⊂BcuandoA⊆ByA≠B.

11.2.1. Representacióndeconjuntos

Diagramalineal.Consisteenseñalarsobreunalínearectatodosloselementosdelconjunto.

Ejemplo: El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puederepresentarasí:

Diagrama de Venn o Conjuntos de Euler. Losconjuntos vienen representadosporuna regióndelplanolimitadaporunacurvacerrada.Loselementosserepresentanporpuntossituadosenelinteriordelacurva.Elconjuntoanteriorserepresentaría:

11.3. Conjuntodelaspartesdeunconjunto

DadounconjuntouniversalU,sellamaconjuntodelaspartesdeUalquetieneporelementostodoslossubconjuntosdeU.LodesignaremosporP(U).LadeterminaciónporextensióndelconjuntoP(U)cuandoUesfinitosepuedehacer:

- PorformacióndelascombinacionessucesivasdeloselementosdeUyañadiendoelconjuntovacío.Ejemplo:siU={a,b,c}setiene:P(U)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},∅}

- Porencadenaciónoesquemaenárbol.Laeleccióndeunelementolarepresentaremosporunalíneacontinuaylanoelección,porunalíneaatrazos.Ejemplo:hallarP(U)siendoU={a,b,c}:

P(U)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},∅}

Enelcasoanteriorelnúmerodecombinacioneses:

Engeneral,siUtienenelementos,P(U)tiene2nelementos.

Definido P(U), podemos adelantar que la relación de inclusión es unarelacióndeordenenP(U).

( )3 33 3 3 31 1 2

0 1 2 3æ ö æ ö æ ö æ ö

+ + + = + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø


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11.4. Operacionesconconjuntos

SeaUunconjuntoquellamaremosconjuntouniversalyA,B∈P(U):

SellamaunióndeAyBalconjunto:

A⋃B={x/x∈Aóx∈B}

SellamainterseccióndeAyBalconjunto:

A⋂B={x/x∈Ayx∈B}

SellamadiferenciadeAyBalconjunto:

A-B={x/x∈Ayx∉B}

SellamaconjuntocomplementariodeA:

11.4.1. Propiedadesdelaunióneinterseccióndeconjuntos Unión Intersección

Idempotente A⋃A=A A⋂A=AConmutativa A⋃B=B⋃A A⋂B=B⋂AAsociativa (A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C) (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C)

Elementoínfimo A⋃∅=A A⋂∅=∅Elementouniversal A⋃U=U A⋂U=ASimplificativa (A⋃B)⋂A=A (A⋂B)⋃A=ADistributiva A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C)

Nºfinitodeconjuntos { } {

}

11.4.2. Propiedadesdelconjuntodiferencia

Diferenciasimétricadeconjuntos

Se llama diferencia simétrica de dos conjuntos A y B al conjunto A Δ Bdefinidopor:AΔB=(A–B)�(B–A).

GráficamenteAΔBeslaparterayada.

Propiedades:∀A,B,C∈P(U)secumple:

1.Conmutativa:AΔB=BΔA.

2.Elementoneutro:AΔ∅=A.

3.Existenciadeinverso:AΔA=∅.

4.Asociativa:(AΔB)ΔC=AΔ(BΔC).

11.4.3. Propiedadesdelconjuntocomplementario

1. y 2. y 3. (Involución)

4. 5. LeyesdeMorgan:𝐴 ∪ 𝐵2222222 = �̅� ∩ 𝐵2 y𝐴 ∩ 𝐵2222222 = �̅� ∪ 𝐵2 .

Secumplela“leydedualidad”,esdecir,enlaspropiedadesdadas,siseintercambian por , por y porUseobtieneotrapropiedadólamisma.

Observación:Hacemosconstarquehemosomitidolasdemostracionesporelcaráctergeneralyextensiónconceptualdeltema.

A U A= -

1 21

....n

n ii

A A A A=

È È = º! / , ix i x A$ Î 1 21

....n

n ii

A A A A=

Ç Ç = º! / ,ix x A iÎ "

A B A B- = Ç A B A B- = È( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

A B C A B A CA B C A B A C- È = - Ç -- Ç = - È - A B B A- = -

A AÇ =Æ A A UÈ = UÆ = U =Æ A A=A B B AÌ Û Ì

Ì É Ç ÈÆ


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11.4.4. ÁlgebradeBooleSeaUunconjuntocualquiera.SeharepresentadoporP(U)alconjuntodetodaslaspartesdeU.Además,

sehavistoquesepuededefinirpara loselementosdeP(U)unaoperación llamadaunióne intersecciónquecumplenlaspropiedades:

Idempotente Conmutativa Asociativa E.ínfimo E.universal Leyes desimplificación

Distributivas

11.5. Productocartesianodeconjuntos

SeanA,Bconjuntos,sellamaproductocartesianodeAyBalconjuntoformadoportodoslosparesquesepuedenobtenersiendolaprimeracomponentedeAylasegundadeB:AxB={ }

Ejemplo:SiA={1,2,3};B={4,2},entonces:A×B={(1,4),(1,2),(2,4),(2,2),(3,4),(3,2)}.

DesignandoelnúmerodeelementosdeAyBporn(A)yn(B),severifica:n(A×B)=n(A)·n(B).

Enelejemplosetiene:n(A)=3,n(B)=2:,n(A×B)=6.

SellamadiagonaldeA×A,elconjuntoformadoportodoslospares(x,x)∀×∈A.

11.5.1. RepresentacióngráficaElproductocartesianodedosconjuntospuedeserrepresentadopor:

Diagrama cartesiano:empleandolarepresentaciónlinealde los conjuntos, se representanestossobreunosejescoordenados.Loselementosdelprimerconjuntosecolocansobreelejehorizontalylos del segundo, en el eje vertical.Enelcasodequelosconjuntosseanfinitos,seformaasíunretículodelque sus nudos representan lospares (los elementosdelproductocartesiano).En el ejemplo la representaciónobtenidasería:

Tabladedobleentrada:silosconjuntossonfinitos,consisteen llevar a la izquierda de unalínea vertical, los elementos delprimer conjunto y sobre unahorizontal(porlapartesuperior),losdelsegundo.Lascuadrículasocasillasrepresentanloselementosdelconjuntoproducto.Tambiénsepueden colocar los elementos delosconjuntosenordencontrarioalanteriormentecitado.Siguiendo con nuestro ejemplo,obtendríamos:

Diagrama sagital:representando los conjuntos,siempre en el caso de que estossean finitos, por medio dediagramas de Venn, se trazanflechas que partiendo de loselementos del primer conjuntolleguenalosdelsegundo.Así, siguiendo con nuestroejemplo,sería:

Dadosn-conjuntosAl,A2,...,An,definimoselproductoAl×A2×...×Ancomoelconjuntoformadoportodaslasn-uplasposibles(x1,x2,...,xn)deformaquex1∈Al,...,xn∈An;estoes:Al×A2×...×An={(x1,x2,...xn)/x1∈A1,∈∀i=1,2,...n}.

11.5.2. PropiedadesdelproductocartesianoAxB≠∅⇔A≠∅yB≠∅ SiA=CyB=D,entonces:

AxB=CxDAx(B∪C)=(AxB)∪(AxC)(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)

( , ) / ,x y x A y BÎ Î


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Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

Ax(B−C)=(AxB)−(AxC)(B−C)xA=(BxA)−(CxA

(Lademostraciónesinmediataapartirdeladefinicióndeproductocartesiano)

11.6. Relacionesbinarias

SeanA,Bconjuntos,todosubconjunto defineunarelaciónentreAyB,ysedenotaporR=(A,B,G).Asísi decimosque“xestárelacionadoconymediantelarelaciónR”:xRy.

Si A=B, escribimos R=(A, G) y decimos que se ha definido una relación binaria en A (abreviaremosdiciendorelación).

AlarelaciónR= selellamarelaciónvacía.

Ejemplo:TomamosA=ℕ−{0}ydefinimosR:aRbsiysólosi ∈ℕ,∀a,b∈A.Setieneque18R3,40R5.

Propiedades

SeaAunconjuntoyRunarelaciónbinariaenA:

1. Resreflexivasitodoelementoestárelacionadoconsigomismo:aRa,∀a∈A2. Ressimétricasisiemprequeunelementoestárelacionadoconotro,tambiénocurrequeelsegundoestá

relacionadoconelprimero:aRb⇔bRa.3. Resantisimétricasisiemprequedoselementosseantalesqueelprimeroestárelacionadoconelsegundo

yelsegundoestárelacionadoconelprimero,ocurraquesoniguales: .

4. R es transitiva si siempre que un elemento está relacionado con un segundo, y este segundo está

relacionadoasuvezconuntercero,ocurrequeelprimeroestárelacionadoconeltercero: .

5. R es circular si siempre que un elemento está relacionado con un segundo, y este segundo está

relacionadoasuvezconuntercero,ocurrequeelterceroestárelacionadoconelprimero: .

6. Resconexasidoselementoscualesquierasiempreestánrelacionados:a,b∈A⇒aRbóbRa.

11.6.1. RelacionesdeequivalenciaSeaAunconjuntoyRunarelaciónbinariaenA.SedicequeResunarelacióndeequivalenciasiRes

reflexiva,simétricaytransitiva.Paradesignarrelacionesdeequivalencia,envezdeaRbsesueleusara∼b.

Ejemplo:Enℤ−{0}definimoslarelación:x∼ysiysólosixtieneelmismosignoquey,∀x,y∈ℤ−{0}.Esinmediatocomprobarque~esreflexiva,simétricaytransitiva.

SeaAunconjunto,~unarelacióndeequivalenciaenAya∈A.Sedefinelaclasedeequivalenciadea,yse denota por [a], al subconjunto de A formado por todos los elementos que están relacionados con a:[a]={b∈A/a∼b}.

• Como~esreflexiva,a∈[a]yentonces[a]≠∅• Sia,b∈Asondoselementosquenoestánrelacionados,a∼b,entonces[a]∩[b]=∅.

DadounconjuntoAyunarelacióndeequivalencia~enA,sellamaconjuntococientedeAporlarelación~,ysedenotaporA/~,alconjuntocuyoselementossonlasclasesdeequivalenciadefinidasenAporlarelación~:A/~={[a]:a∈A}

Ejemplo:Consideramoslarelacióndeequivalenciaqueteníamos(tenerelmismosignoenℤ−{0}).

[−1]={x∈ℤ/x<0}[−10]=[−1]

[7]={x∈ℤ/x>0}[27]=[7]

ℤ−{0}/∼={[−1],[7]}

Propiedades

G AxBÌ( , )x y GÎ

( , )A Æ

ab

aRba b

bRaüÞ =ý

þ

aRbaRc

bRcüÞý

þ

aRbcRa

bRcüÞý

þ


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• SeaRunarelacióndeequivalenciasobreunconjuntoA.Tendremosque .• AtodarelacióndeequivalenciaRsobreunconjuntoAcorrespondeunaparticióndeAenclasesde

equivalencia.

11.6.2. RelacionesdeordenSeaAunconjuntoyResunarelaciónbinariaenA.SedicequeResunarelacióndeordensiesreflexiva,

antisimétricaytransitiva.SiademásResconexa,sedicequeesunarelacióndeordentotal.Cuandonoesconexa,sedicequeesdeordenparcial.

ParadesignarlasrelacionesdeordentampocoseutilizaelsímbologenéricoR,sinoqueserecurrealsímbolo≤,debidoaqueésteeselqueseutilizaparalaordenaciónnaturaldenúmeros.

Ejemplo:Enℝ,larelación≤esunarelacióndeordentotal.

Larelacióndedivisibilidadenℕesunordenparcial,yaqueporejemplo7y2noestánrelacionados.

SeaAunconjuntoyRunarelaciónbinariaenA.SedicequeResunpreordensiesreflexivaytransitiva.

• Siunpreordentienelapropiedadsimétrica,esunarelacióndeequivalencia.• Siunpreordentienelapropiedadantisimétrica,esunarelacióndeorden.

Sellamarácadenaatodapartetotalmenteordenadadeunconjuntoconunarelacióndeorden.

SilarelaciónenelconjuntoAesdeordentotal,existeunaúnicacadenayserepresentaenlínearecta.Porejemplo,losnúmerosnaturales,enteros,racionalesyreales.

11.7. Aplicacionesentredosconjuntos

UnacorrespondenciaentredosconjuntosescualquierleyquerelacionaelementosdeAconelementosdeB.Tambiénselellamagrafo,lonotaremosGf.

Unaaplicaciónfesunaterna(A,B;Gf),enlaqueAyBsondosconjuntosyGfungrafodeAxB,cumpliéndosequeparatodoa∈Aexisteunúnicob∈Btalque(a,b)∈Gf.AlconjuntoAselellamadominiodefyBeselcodominiodef,si(a,b)∈Gfseescribeb=f(a),ybsellamaimagendelelementoamediantef.

Senotaránlasaplicacionescomo .

Dosaplicacionessediránquesonigualessitienenelmismodominio,codominioygrafo.

SedefineelconjuntoimagencomoIm(f)={f(a)/a∈A}.

11.7.1. TiposdeaplicacionesSeanA,Bdosconjuntosyf:A→B.Entonces:

• fesinyectivasiseverificaquef(x1)=f(x2)⟹x1=x2• fessobreyectivasiIm(f)=B• fesbiyectivasiesinyectivaysobreyectiva.

11.7.2. ComposicióndeaplicacionesSeaf:A→Byg:B→Caplicaciones.Podemosdefinirunanuevaaplicaciónllamadaaplicacióncompuesta

defyg,quenotaremosg∘f,yseráunaaplicacióncondominioA,codominioCygrafounsubconjuntodeAxCformadoporloselementos(a,g(f(a)))cona∈A.

Esinmediatojustificarquelacomposicióndeaplicacionesestambiénunaaplicación.Ademásseverificanlassiguientespropiedades(dedemostracióninmediata):

• Lacomposicióndeaplicacionesinyectivasesotraaplicacióninyectiva.• Lacomposicióndeaplicacionessobreyectivasesotraaplicaciónsobreyectiva.• Sif:A→Besunaaplicaciónbiyectiva,entoncesf-1:B→Atambiénesunaaplicaciónbiyectiva,yse

cumplequef-1∘f=IA,f∘f-1=IB.

11.7.3. Teorema.DescomposicióncanónicadeunaaplicaciónSeaAunconjuntoy~unarelacióndeequivalenciaenA.Alaaplicaciónp:A→A/∼definidaporp(a)=[a],

∀a∈A,selellamaproyeccióncanónica.Laproyeccióncanónicaesunaaplicaciónsobreyectiva.

aRb a bÛ =

: ó ff A B A B® ¾¾®


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SeaAunconjuntoyB⊆A.Alaaplicacióni:B→Adefinidapori(b)=b,∀b∈B,selellamainclusión.Lainclusiónesunaaplicacióninyectiva.

Teorema:SeanA,Bconjuntosyf:A→Bunaaplicación.Entoncesfsepuedeescribircomolacomposicióndetresaplicaciones:unainyectiva,unabiyectivayunasobreyectiva.

Demostración:

DefinimosenAunarelacióndeequivalencia:a∼bsiysólosif(a)=f(b),∀a,b∈A.

Aestarelaciónselellamarelacióndeequivalenciaasociadaaf.AlconjuntococienteA/~selesueledenotarporA/f.

Sea definidacomosigue: . esbiyectiva.

Podemosescribir, por tanto, , donde i es la inclusiónde Im(f ) enB yp es laproyeccióncanónicadeAenA/f.

11.8. Estructurasalgebraicas

Unaestructuraalgebraicaesunconjuntoenelquehaydefinidasciertasoperacionesdeformaquesesatisfaganciertaspropiedades.

SeaAunconjunto,unaoperacióninternaesAesunaaplicacióndeAxAenA,esdecir: .

Lasoperacionesinternasmásusualessonlasumayelproducto.

SellamarágrupoidealparformadoporunconjuntocualquieraAyunaoperacióninterna*,esdecir,seráelpar(A,*).

11.8.1. GruposSeaAunconjuntoenqueseencuentradefinidaunaoperacióninterna*.SedicequeAesunsemigruposi

enAhaydefinidaunaoperacióninternaqueverificalapropiedadasociativa,esdecir,∀(a,b)∈AxBseverificaque(a*b)*c=a*(b*c).

SedicequeAesunsemigrupounitariosiesunsemigrupoyademásseveriflcalaexistenciadeelementoneutro(∀a∈A∃e∈A/a*e=e*a=a).

SedicequeAesungruposi,ademásdelasanteriorespropiedades,veriflcalapropiedaddeexistenciadeelementosimétrico(∀a∈A∃a-1∈A/a*a-1=a-1*a=e).

Enresumen,paraqueunconjuntoAenelquehaydefinidaunaoperación interna tengaestructuradegrupo, loselementosdeesteconjuntotienenqueveriflcar laspropiedadesasociativa,existenciadeelementoneutroyexistenciadeelementosimétrico.

Siungrupoverificalapropiedadconmutativa,selellamagrupoabelianoóconmutativo.

Ejemplos:

• Con la operación interna definida suma son grupos los conjuntos de los números enteros,racionalesyreales.

• Conlaoperacióninternadefinidaproductosongruposlosconjuntosdelosnúmerosenterosmenoselcero,losnúmerosrealesmenoselcero,etc.

Propiedades

Enungrupo(A,*,∘)severificanlassiguientespropiedades:

a) Elelementoneutroesúnico.Dem.:SesabequeAeselelementoneutro.Seae’∈Aunelementotalquee’*x=x*e=x,∀x∈A,entoncessedaquee’=e’*e=ey,portanto,elelementoneutroesúnico.

b) Cadaelementodelgruposóloadmiteunúnicoinverso.

( ): / f A f Im f®! [ ]( ) ( ) [ ] , / f a f a a A f= " Î! f!

f i f p= !" "

*

( , ) *AxA Aa b a b

¾¾®

¾¾®


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Dem.: ∀x∈A se sabe que ∃x-1∈A/x*x-1=e=x-1*x. Sea x’-1∈A otro inverso, ocurrirá:,portanto,esúnico.

c) Sia*b=eentoncesa=b-1ya-1=b.d) Sia*b=a*eentoncesb=eysib*a=c*aentoncesb=c.e) Sia*b=bentoncesa=eysia*b=aentoncesb=e.f) (a-1)-1=a.

SubgruposSea(A,*,°)ungrupoyHunsubconjuntodeAnovacío.SedicequeHesunsubgrupodeAsiocurreque:

∀a,b∈H,a*b∈H e∈H Sia∈Hentoncesa-1∈H.

Enresumen,lacaracterizacióndeunsubgruposeríaelTeoremadelsubgrupo.

Teoremadelsubgrupo

Sea(A,*,°)ungrupoyHunsubconjuntosuyonovacío:HsubgrupodeA⟺a*b-1∈H,∀a,b∈H.

Demostración:

⟹)Parademostrarestaimplicaciónesinmediata.SiHesunsubgrupoesungrupoconlaoperacióninternadefinidaenelgrupo,porlotantoestaoperacióntambiénesinternaenelsubgrupoyluegotodoelementodeéltieneunopuestodedondesededuceque:

Sib∈Hentoncesb-1∈Hysia∈Hseverificaquea*b-1∈H.

⟸)ParademostrarestaimplicaciónsolohayqueverquelaoperaciónesinternaenH,esdecir,queelelementoneutroeestáenHyquetodoelementodeHtieneinverso.

Veamosquee∈H.

Porhipótesis,∀a∈Hsetienequea*a-1∈Hentoncestenemosquee∈H.

Veamosque∀a∈H∃a-1∈H.

Dadoe,a∈Htenemosporhipótesisquee*a-1∈H⇒a-1∈H.

Paraverquelaoperaciónesinternaa,b∈H⇒a,b-1∈H⇒a*(b-1)∈H⇒a*b∈H.

Un ejemplo serían los números enteros que forman un subgrupo dentro del grupo de los númerosracionales,queasuvezformanunsubgrupodelosnúmerosreales.

Entodogrupo(A,*,∘)sellamansubgruposimpropiosalossubgruposformadospor{e}yA.

HomomorfismodegruposSean(A,*,∘)y(A’,*,∘)dosgrupos.Sedicequef:A→A’esunhomomorfismosif(a*b)=f(a)*f(b),∀a,b∈A.

Sif:A→A’esunhomomorfismo,entoncesf€=e’yf(a-1)=f(a)-1,∀a∈A.

1) Sifesinyectivo,entoncesfsedicemonomorfismo.

2) Sifessobreyectivo,entoncesfsediceepimorfismo.

3) Sifesbiyectivo,entoncesfsediceisomorfismo.

Suele llamarseendomorfismo si esunhomomorfismoen símismo, además, si este endomorfismoesisomorfismo,selellamaautomorfismo.

11.8.2. AnillosSeaunconjuntoAydosoperacionesinternasdefinidasenA,notaremoslaterna(A,*,∘).

Sediceque(A,*,∘)esunanillosiseverificaque:(A,*)esungrupoconmutativo,(A,∘)esunsemigrupoylaoperacióninterna∘esdistributivarespectodelaoperación.

Silaoperación∘esconmutativa,esunanilloconmutativo;siestaoperacióntieneelementoneutro,esunanillounidad;ysiverificaambas,esunanilloconmutativoconelementounidad.

1 1 1 1 1 1 1' ' * ' *( * ) ( ' * )*xx x e x x x x x x- - - - - - -= = = =


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Sonejemplodeanilloslosconjuntosdelosnúmerosenteros,racionales,etc.conlasumayelproducto,dichosanillossonconmutativosconelementounidad.

Laterna(A,*,∘)esunsemianillosiseverificaque(A,*)esunsemigrupoconmutativoconelementoneutro,(A,∘)esunsemigrupoy laoperación∘esdistributivarespectode laoperación*.Unode lossemianillosmásconocidoseselconjuntodelosnúmerosnaturalesconlasumayelproducto,dichosemigrupoesconmutativoconelementounidad.

SubanillosSea(A,*,∘)unanilloyBunsubconjuntodeAnovacío.Sediráque(B,*,∘)esunsubanillode(A,*,∘)si:(B,*)

esunsubgrupode(A,*)y∀a,b∈Bsecumplequea∘b∈B.

Losnúmerosracionalesconlasumayelproductosonunsubanillodelosnúmerosreales.

HomomorfismodeanillosSean(A,*,∘)y(A’,*,∘)dosanillos.Sedicequef:A→A’esunhomomorfismodeanillossif(a*b)=f(a)*f(b),

∀a,b∈Ayf(a∘b)=f(a)∘f(b),∀a,b∈A.

11.8.3. CuerposSea(C,*,∘)unanillo,sediráque(C,*,∘)esuncuerpositodoelementononulodeCadmiteinversoparala

operación∘.Además,seráuncuerpoconmutativosilaoperación∘esconmutativa.

Loscuerposmásimportantessonconlasumaylarestadefinidascomooperacionesinternaslosnúmerosracionales,losnúmerosrealesylosnúmeroscomplejos.

Sean(C,*,∘)y(C’,*,∘)doscuerpos.Sedicequef:A→A’esunhomomorfismodecuerpossif(a*b)=f(a)*f(b),∀a,b∈Ayf(a∘b)=f(a)∘f(b),∀a,b∈A.

11.9. Resumen

EstecondensadísimotemaseiniciaconlatelegráficaexposicióndeunaseriedenocionesbásicassobrelaTeoríadeConjuntosprofundizandolonecesarioparaestablecerlasbasesdelosconceptosquesepresentanacontinuación,partiendodesdelasoperacionesconconjuntosysuspropiedadeshastaelproductodeconjuntosquedarápieapresentarlasrelacionesbinariasysustipos.

En estepunto, sehanexpuesto las aplicaciones entredos conjuntos y el conceptodeoperaciónenunconjuntoqueserálaclaveparalacorrectacomprensiónyasimilacióndelasdistintasestructurasalgebraicaspresentadasenestetemacomosonlosgrupos,losanillosyloscuerpos.

11.10. Conclusión

DESARROLL

OTEMA Apesardelaextensióndeestetema,sehaqueridoacotarlomenosposibleporquelosconceptos

estructuralesqueenélsedefinensonlapiedraangulardelálgebra.Sonestructurasqueseutilizanyson imprescindibles conocer para entender el desarrollo de otros temas. Dada la extensión y lalimitacióntemporal,laopositorahadebidolimitarsealosconceptosprincipales.

APLICACION

ES Como ya hemos comentado en la introducción, la Teoría de Conjuntos, permite utilizar los

conjuntos como herramienta para analizar, clasificar y ordenar los conocimientos adquiridosdesarrollandolacomplejaredconceptualenquesealmacenaelaprendizaje.

Una de las principales ramas de la Teoría de Conjuntos es el Análisis, el cálculo integral ydiferencial. Además, en la computación; en gestión de bases de datos se usan las relaciones deconjuntosóenlaaplicacióndelenguajesautomáticosygramáticasformalesenlenguajesdealtonivel.

11.11. Bibliografía

BIRKHOFF, MAC LANE: Álgebra Moderna. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1985.

ETAYO: Conceptos y métodos de la matemática moderna. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1972.


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GARCÍA, LÓPEZ: Álgebra lineal y geometría: teoría y práctica. Ed. Marfil. Alcoy, 1992.

GODEMENT: Álgebra. Ed. Tecnos. Madrid, 1983.

TEMARIO DEIMOS

TEMARIO GAMBOA

TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS

TEMARIO CLAUSTRO

11. tema 11: conceptos básicos de la teoría de conjuntos ......{x / x es entero y -2≤x≤2})....

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