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-
CAPITULO X
SERIES
10.1 Series convergentes y divergentes
La razn principal para estudiar series infinitas es que
se usan ampliamente para definir o representar funcio-
nes. Se debe conocer algo de las pruebas, mtodos y
tcnicas empleadas en este captulo para seguir el ra-
zonamiento y comprender el uso de las series infinitas
en la teora de funciones.
El propsito del presente captulo es el de sistematizar
el procedimiento indicado y formular pruebas que nos
posibiliten para decidir cundo tiene sentido el redon-
dear, caso convergente, o cundo no lo tiene, caso
divergente. Por consiguiente, una teora completa de
las series requerira de un profundo anlisis del sistema
de los nmeros reales. No es nuestro propsito llevar a
cabo aqu, tal anlisis de modo que algunas reglas se
justificarn de manera intuitiva.
Definicin
Consideremos una sucesin numrica infinita u1, u2, ...,
uk, ... y con los elementos de esta sucesin componga-
mos formalmente la expresin de la forma
1 2
1
... ...k kk
u u u u
(1)
Esta expresin suele llamarse serie numrica. Los
elementos uk, de los que est formada la expresin,
suelen llamarse trminos de la serie. Para designar la
serie utilizaremos el smbolo de suma.
La serie est en un sentido formal, precisamente como
una cierta coleccin de nmeros S1, S2, , Sk, ... for-mada de la siguiente manera:
S1 = u1 S2 = u1 + u2 S3 = u1 + u2 + u3 Sk = u1 + u2 + + uk Si la secuencia Sk tiene un lmite cuando k , se dice que la serie (1) es convergente; si la serie no es
convergente, se dice que es divergente y no se le asigna
ninguna suma.
Definicin
La suma de los n primeros trminos de una serie dada
se denominar n-sima suma parcial de la serie dada y
se denotar
1 2
1
...n
n n k
k
S u u u u
La serie se denomina convergente si converge la suce-
sin {Sn} de las sumas parciales de esta serie. Adems,
el lmite S de la sucesin de las sumas parciales se
denomina suma de la serie dada.
De esta manera, podemos escribir formalmente la
igualdad de la serie convergente que tiene la suma
1
k
k
S u
.
Definicin
Si lim nn
S
no existe, entonces la serie se denomina
divergente.
El concepto se suma se define solamente para la serie
convergente, y, a diferencia del concepto de suma fini-
ta, se introduce por medio del paso lmite. Adems,
obsrvese que la consideracin de series numricas es
una nueva forma de estudiar sucesiones numricas,
puesto que:
1) A toda serie dada le corresponde unvocamente la
sucesin de sus sumas parciales.
2) A toda sucesin dada {Sn} le corresponde unvo-
camente una serie, para la cual esta sucesin es la de
sus sumas parciales.
Definicin
La serie infinita 1
k
k
u
es convergente si la sucesin de
las sumas parciales es convergente; la serie es diver-
gente si la sucesin de las sumas parciales es divergen-
te. Si la serie es convergente y la sucesin de las sumas
parciales Sn converge a S, entonces S se denomina la
suma de la serie y se denota 1
k
k
S u
. As, por defini-
cin
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
566
1 1
limk
k ik
k i
u u
cuando el lmite existe.
La suma de una serie convergente no se obtiene por
una adicin ordinaria, sino como el lmite de una suce-
sin de sumas parciales. Para las series convergentes el
smbolo 1
k
k
u
se utiliza para indicar tanto la serie
como su suma a pesar de ser cosas conceptualmente
distintas. La suma representa un nmero y por tanto no
puede ser ni convergente ni divergente. Una vez hecha
la distincin entre una serie y su suma, el uso de un
solo smbolo para representar ambas cosas no da lugar
a confusin.
Definicin
Si 1
limk
ik
i
u
o bien 1
limk
ik
i
u
, entonces se
dice que la serie 1
k
k
u
es propiamente divergente. Si
uk 0 para k = 1, 2, , entonces la serie 1
k
k
u
es
convergente o bien propiamente divergente.
Ya que, como uk 0, S1 = u1 S2 = u1 + u2 S3 = u1 + u2 + u3 ; es decir, las Sk forman una sucesin mon-tona creciente. Si esta sucesin est acotada, entonces
converge, si no est acotada, entonces necesariamente
1
limk
ik
i
u
, de manera que la serie es propiamente
divergente.
Ejemplo
Analizar la siguiente serie
a) 1 3 7 2 1
... ...2 4 8 2
n
n
;
b) 1 1 1 1
... ...2 4 8 2n ;
c) 1
1
1 1 1 1 ... ( 1)k
k
.
Solucin
a) La serie es propiamente divergente, ya que cada
trmino es al menos igual a y en consecuencia
1 1 1 1...
2 2 2 2nS n . La sucesin Sn es montona
pero no acotada y lim lim2
nn n
nS
.
b) La serie es convergente. En este caso las sumas
parciales forman la sucesin
1 3 7 2 1, , , ..., , ...
2 4 8 2
n
n
que converge, como antes, a 1. En consecuencia
1
11
2kk
.
c) Debido a que la sucesin de sus sumas parciales
S1 = 1, S2 = 0, , S2n-1 = 1, S2n = 0, no tiene lmite, entonces la serie es divergente.
Ejemplo
Examine la convergencia de la serie
2 1
1
1 ... ...k k
k
q q q q
Solucin
La n-sima suma parcial Sn de esta serie tiene, para
q 1, la forma
1 1 11 ...1 1 1
n nn
n
q qS q q
q q q
Evidentemente, cuando 1q , la sucesin de las su-
mas parciales Sn converge y tiene un lmite igual a
1
1 q. De este modo, cuando 1q la serie considera-
da converge y tiene una suma igual a 1
1 q. Para
1q , es obvio que la sucesin Sn diverge. Si 1q ,
se ve inmediatamente la divergencia de la serie. En
efecto, cuando q = 1 y Sn = n, la divergencia de la suce-
sin Sn es evidente, mientras que para q = -1 la serie se
transforma en
1
1
1 1 1 1 ... ( 1)k
k
.
Dado que, por definicin, la convergencia de una serie
es equivalente a la convergencia de sus sumas parcia-
les, la condicin necesaria y suficiente de convergencia
de la serie dada se obtiene al enunciar el criterio de
convergencia de Cauchy para la sucesin de sus sumas
parciales. Para que la sucesin {Sn} sea convergente, es
necesario y suficiente que para cualquier nmero posi-
tivo exista un nmero N tal que para todos los nme-
ros n que satisfacen la condicin n N y para todos los
p naturales, |Sn+p Sn| < .
Criterio de Cauchy para la convergencia
Para que la serie 1
k
k
u
converja es necesario y
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
567
suficiente que para cualquier nmero positivo exista un nmero N tal que para todos los nmeros n que
satisfacen la condicin n N y para todos los nmeros
naturales p, 1
n p
k
k n
u
.
Hemos de subrayar que, en esencia, el criterio de con-
vergencia de Cauchy es de inters terico. Como regla,
su empleo para establecer la convergencia o la diver-
gencia de unas u otras series concretas tiene dificulta-
des. Por eso, adems del criterio de Cauchy hay que
establecer otros criterios eficaces de convergencia y
divergencia de las series.
Definicin
Si la serie 1
k
k
u
converge, la sucesin 1
n k
k n
r u
es
infinitesimal. La magnitud rn suele llamarse n-simo
resto de la serie 1
k
k
u
.
Condicin necesaria de convergencia
Para la convergencia de la serie 1
k
k
u
es necesario
que la sucesin u1, u2, u3, ... de los trminos de esta
serie sea infinitesimal.
En otras palabras, esta condicin puede enunciarse del
modo siguiente:
Teorema
Para la convergencia de la serie 1
k
k
u
es necesario
que lm 0kk
u
.
De esta manera, cuando se investigue la serie dada en
cuanto a la convergencia debemos, ante todo, ver si
tiende a cero el k-simo trmino de esta serie cuando
k . Si no es as, la serie sin lugar a dudas, diverge. La verdadera utilidad de este criterio es que da una
condicin suficiente para la divergencia. Es decir, si el
trmino uk de la serie 1
k
k
u
no tiende a cero, entonces
la serie ha de ser divergente.
Ejemplo
Examine la convergencia de la serie
1
1 1 11 ...
2 3 k k
.
Solucin Esta serie se denomina serie armnica. Es evidente que
para la serie armnica se cumple la condicin necesaria
de convergencia, puesto que 1
lm 0k k
. Sin embargo,
demostremos que esta serie diverge. Empleemos el
criterio de Cauchy. Demostremos que para el nmero
positivo = no existe un nmero N tal que para
n N y cualquier p natural
1
1 1
2
n p
k n k
(1)
En efecto, si tomamos p = n, para n, por ms grande
que sea 2
1 1
1 1 1 1
2 2
n p n
k n k n
nk k n
As, pues, la desigualdad (1) no se cumple, por ms
grande que sea el nmero N. En virtud del criterio de
Cauchy, la serie diverge.
Ejemplo
Verifique que la serie 3
3 21
2
3 1999 2000k
k
k k k
diverge.
Solucin
Como 3
3 2
2 2lm lm 0
33 1999 2000k
k k
ku
k k k
entonces la serie es divergente. Sin embargo, subraye-
mos que la tendencia a cero del k-simo trmino de
la serie, para k , es solamente condicin necesaria, pero no suficiente para la convergencia de la serie.
Propiedades
A continuacin enunciaremos, dos propiedades relacio-
nadas con la convergencia de una serie:
1) La eliminacin de un nmero finito de trminos de
la serie, o la adicin de un nmero finito de trminos a
la serie, no influye en la convergencia ni en la diver-
gencia de esta serie.
Para cerciorarse de esto, es suficiente observar que
despus de eliminar o adicionar trminos, todas las
sumas parciales de esta serie, partiendo de un nmero,
varan en una misma constante.
2) Si c es una constante diferente de cero, vk = cuk, la
serie 1
k
k
v
converge si, y slo si, converge la serie
1
k
k
u
.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
568
Si denotamos las n-simas sumas parciales de las se-
ries consideradas mediante Rn y Sn, respectivamente,
entonces, es obvio que Rn = zSn.
De la ltima igualdad se desprende que lim nn
R
existe
si, y slo si, existe lm nn
S
.
10.2 Series con trminos positivos
Las series, cuyos trminos son estrictamente mayores
que cero, se denominan series con trminos estricta-
mente positivos. Por s mismas, las series con trminos
positivos se encuentran con frecuencia en aplicaciones.
Adems, su estudio preliminar facilita el estudio de las
series con trminos de cualquier signo.
A continuacin, para subrayar que se trata de una serie
con trminos positivos, denotaremos con frecuencia
los trminos de esta serie con el smbolo xk en vez de
uk. A la vez, podemos sealar que la sucesin de las
sumas parciales de esta serie es no decreciente. Para
que la serie con trminos positivos uk 0 para cada k 1 converja, es necesaria y suficiente que la sucesin de
las sumas parciales de esta serie sea acotada.
Teorema
Sean 1
k
k
x
y 1
k
k
y
dos series con trminos positivos.
Sea, luego, que para todos los nmeros k es vlida la
desigualdad xk yk. Entonces, la convergencia de la
serie 1
k
k
y
trae consigo la convergencia de la serie
1
k
k
x
y la divergencia de la serie 1
k
k
x
trae consigo
la divergencia de la serie 1
k
k
y
.
Este propiedad sigue siendo vlida si en la condicin
de esta propiedad la desigualdad xk yk se sustituye
por la desigualdad xk cyk donde c es cualquier cons-tante positiva.
En efecto, la convergencia de la serie 1
k
k
y
es equiva-
lente a la convergencia de la serie 1
k
k
cy
. Adems, se
puede exigir que la desigualdad xk cyk se cumpla solamente partiendo de un nmero bastante grande k.
Teorema Criterio de comparacin 1
Si 1
k
k
x
es una serie con trminos positivos, 1
k
k
y
,
una serie con trminos estrictamente positivos, y existe
el lmite finito lm kk k
xA
y , entonces la convergencia
de la serie 1
k
k
y
conlleva la convergencia de la serie
1
k
k
x
y la divergencia de la serie 1
k
k
x
produce di-
vergencia de la serie 1
k
k
y
.
Teorema Criterio de comparacin 2
Sean 1
k
k
x
y 1
k
k
y
dos series con trminos estricta-
mente positivos. Sea tambin que para todos los nme-
ros k es vlida la desigualdad 1 1k k
k k
x y
x y
. Entonces, la
convergencia de la serie 1
k
k
y
conduce a la conver-
gencia de la serie 1
k
k
x
y la divergencia de la serie
1
k
k
x
conduce a la divergencia de la serie 1
k
k
y
.
Se puede exigir que la desigualdad 1 1k k
k k
x y
x y
de este
teorema no se cumpla para todos los nmeros k, sino a
partir del nmero k, pues la eliminacin de un nmero
finito de primeros trminos no influye en la convergen-
cia de la serie.
Ejemplo
Demostrar que la serie 1
1
k k
converge si > 1 y
diverge si 1.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
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Solucin
a) Supngase que > 1. Demostraremos que
1
1
k k
converge. Examinemos las sumas parciales de orden
2k 1:
2 1
1 1 1 11 ...
2 3 4 7kS
1
1 1 1 1... ... ...
8 15 (2 ) (2 1)k k
1 1 1 1
1 ...2 2 4 4
1 1
1 1 1 1... ... ...
8 8 (2 ) (2 )k k
1 1 2 1 3 1 1
1 1 1 11 ...
2 (2 ) (2 ) (2 )k
11
1
1 1
11
1 2(2 )constante
1 1 2 11 12 2
k
Ahora bien, para todo entero m, existe un k para el cual
2k 1 > m. De modo que tambin
1
12 1
2
2 1kmS S
De aqu que todas las sumas parciales son acotadas y,
por lo tanto, la serie converge.
b) Supngase que 1. Ahora se demostrar que
1
1
k k
diverge. Primero observemos que k k, pues-
to que 1. Entonces:
2
1 1 1 1 11 ... ...
2 3 4 5 8kS
1
1 1...
(2 1) (2 )k k
1 1 1 1 1
1 ... ...2 3 4 5 8
1
1 1...
2 1 2k k
1 1 1 1 1 1 1
1 ... ... ...2 4 4 8 8 2 2k k
1 1 1 1
1 ...2 2 2 2
2
1k
De aqu que las sumas parciales son no acotadas y, por
lo tanto, la serie diverge.
Cuando = 1, la serie se transforma en
1
1 1 1 1 11 ... ...
2 3 4 k
.
Esta serie se denomina serie armnica, la cual diverge.
Ejemplo
Investigue la convergencia de la serie
1
1
3 kk b
donde b > 0.
Solucin
Si b 1, el k-simo trmino de la serie considerada no
tiende a cero cuando k . Por lo tanto, se infringe la condicin necesaria de convergencia de la serie y la
serie diverge. Si b > 1, entonces, puesto que para cual-
quier nmero k es vlida la desigualdad
1 1
3 k kb b
y la serie 1
1k
k b
converge, entonces el primer criterio
de comparacin permite afirmar que la serie considera-
da es convergente.
Entre los criterios de comparacin hay dos muy usados,
de convergencia de las series con trminos positivos, el
de dAlembert y el de Cauchy. Los criterios de
dAlembert y de Cauchy se basan en la comparacin de
la serie considerada con una serie compuesta de trmi-
nos de la progresin geomtrica, a saber, con la serie
convergente
2 3
1
...k
k
z z z z
, 1z
o con la divergente
1
1 1 1 1 ...k
Teorema Criterio de Dlembert
I. Si para todos los nmeros k, o, por lo menos, par-
tiendo de un nmero k, es vlida la desigualdad
1 1k
k
xz
x
1 1k
k
x
x
la serie 1
k
k
x
converge (diverge).
II. Si existe el lmite 1lm kk k
xA
x
, la serie
1
k
k
x
converge cuando A < 1 y diverge cuando A > 1.
Teorema Criterio de Cauchy
I. Si para todos los nmeros k, o, por lo menos, par-
tiendo de un nmero k, es vlida la desigualdad
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
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1k kx z 1k kx
la serie 1
k
k
x
converge (diverge).
II. Si existe el lmite lm k kk
x A
, la serie 1
k
k
x
converge cuando A < 1 y diverge cuando A > 1.
Ejemplo
Investigue la serie
1
( )
!
k
k
k
k
en cuanto a la convergencia.
Solucin
Apliquemos el criterio de dAlembert. Tenemos
( )
!
k
k
kx
k ,
121 ( 1) ! 1 11
( 1)! 1( )
kk
kk
k
x k k
x k kkk
Basndose en estas identidades,
21 1 1lm lm 1
1
k
k
k kk
x
x kk
21 1
lm lm 1 0 0 11
k
k ke
kk
es decir, la serie en cuestin es convergente.
Ejemplo
Investigue la serie 1 2
kk
k
en cuanto a la convergencia.
Solucin
Apliquemos el criterio de Cauchy en forma de lmite.
Tenemos
2
kk
k
kx
De acuerdo con esto,
1 1lm lm 1
2 2
kkk
k kx k
De este modo, el criterio de Cauchy establece la con-
vergencia de la serie en estudio.
Ejemplo
Investigue la serie 2
1
( 1)k k k
en cuanto a la diver-
gencia.
Solucin
Establzcase que
2
1 1 1
( 1)k k k k k
de modo que
1 1
( 1) kk k
.
De aqu que 2
1
( 1)k k k
diverge por comparacin
con la serie armnica.
Ejemplo
Investigue la serie 1
1
(2 1)k k k
en cuanto a la diver-
gencia.
Solucin
Sabemos que
1
(2 1) 1 1
1 2(2 1) 12
k k k
k k
k k
.
De aqu que la serie diverge por comparacin con la
serie armnica en la forma lmite de la prueba de com-
paracin.
Ejemplo
Demuestre que 1
1
( 1)k k k
converge y encontrar su
suma.
Solucin
Descompongamos 1
( 1)k k mediante fracciones parcia-
les
1 1 1
( 1) 1k k k k
As
1 1
1 1 1
( 1) 1
n n
n
k k
Sk k k k
1 1 1 1 1 1 1
1 ...2 2 3 1 1n n n n
1
11n
.
A partir de esta expresin, tenemos
1lim lim 1 1
1n
n nS S
n
.
Ejemplo
Examine la serie 1 !
k
k
k
k
.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
571
Solucin
Sabemos que
...... 1
! 1 2 3 ... 1 2
kk k k k k k k k
k k k
De aqu que
lim 0!
k
k
k
k
y la serie diverge.
Los criterios de dAlembert y de Cauchy no sirven
para aclarar la cuestin sobre la convergencia de algu-
nas series con trminos positivos que se encuentran
frecuentemente. El siguiente criterio, llamado criterio
de la integral, tambin es una prueba del tipo de com-
paracin, pero en este caso la comparacin se realiza
entre una integral y una serie, en lugar de entre dos
series.
Teorema Criterio integral de Cauchy - Maclaurin
Sea que la funcin f(x) es no negativa y no crece sobre
toda la semirrecta x m, donde m es cualquier nmero fijo. Entonces, la serie numrica
( ) ( ) ( 1) ( 2) ...k m
f k f m f m f m
converge si, y slo si, para n existe un lmite de la
sucesin ( )n
n ma f x dx .
Ejemplo
Aplique el criterio integral de Cauchy Maclaurin para aclarar si es o no convergente la serie armnica
generalizada 1
1
k k
.
Solucin
Puesto que la serie 1
1
k k
puede considerarse como
una serie de la forma ( )k m
f k
para m = 1, 1
( )f xx
y la funcin f(x) decrece y es positiva en la semirrecta
x 1, entonces la cuestin sobre la convergencia de la
serie 1
1
k k
es equivalente a la cuestin sobre la con-
vergencia de la sucesin {an}, donde
1 1
1
1, 1,
11 1
ln ln , 1.1
n
n
x mx nsi
xdxa
x mxx x si
x
De la forma de los elementos an se desprende que la
sucesin {an} diverge si 1 y converge si > 1,
adems, en el ltimo caso
1lim
1n
na
. De este mo-
do, la serie diverge si 1 y converge si > 1. En
particular, para = 2 la serie 1
1
k k
se transforma en
la serie 2
1
1
k k
cuya convergencia se puede afirmar
ahora.
Ejemplo
Investigue la serie 2
1
lnk k k
en cuanto a la conver-
gencia, aqu es un nmero real positivo fijo. Solucin
La serie 2
1
lnk k k
puede considerarse como una serie
de la forma ( )k m
f k
para m = 2 y 1
( )ln
f xx x
. Co-
mo la funcin f(x) es no negativa y no crece en la semi-
rrecta x 2, la cuestin sobre la convergencia o la di-vergencia de la serie es equivalente a la cuestin sobre
la convergencia o la divergencia de la sucesin {an}
donde
2 ln
n
n
dxa
x x
1 1 1ln ln ln 2, 1,
21 1
ln ln ln ln ln ln 2, 1.2
x nx nsi
x
x nx n si
x
De la forma de los elementos an se desprende que la
sucesin {an} converge si > 1 y diverge si 1. De
este modo, la serie converge si > 1 y diverge si 1.
En general, el problema de decidir la convergencia o la
divergencia de una serie dada requiere de gran inventi-
va e ingenio. Un vasto nmero de series particulares y
de clases de series, han sido estudiadas; por consiguien-
te, es importante usar la literatura sobre la materia.
Ejemplo
Estudiar la siguiente serie
a) 2
1
1
3 5 2k
k
k k
; b)
2
1
logk k k
; c) 1
log
k
k
k
;
d) 2
1
log
k
k
k
; e) 1
2
!
k
k k
; f) 1 !
k
k
k
k
.
Solucin
a) El trmino n converge a 0, de manera que el criterio
del trmino n para la divergencia, no resulta de ninguna
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
572
ayuda. Para valores grandes de n, el trmino general
es, aproximadamente 2
1
33
k
kk , puesto que los trmi-
nos de menor grado en el numerador y en el denomi-
nador resultan pequeos comparados con los de grado
superior. Esto sugiere la comparacin con 1
1
3k k
para
la divergencia. La desigualdad
2
1 1
33 5 2
k
kk k
no es correcta. Sin embargo, la desigualdad
2
1 1
43 5 2
k
kk k
es correcta para n > 2. Puesto que 1
1
k k
diverge,
1
1
4k k
diverge y la serie dada diverge.
b) Los trminos son menores que los de la serie arm-
nica, de manera que se podra esperar la convergencia.
No obstante
20lim loglog
log
b
b
dxx
x x
puesto que todas las condiciones del criterio de la
integral se satisfacen, la serie diverge.
c) En este caso no hay duda acerca de la divergencia,
ya que log 1k
k k , k 3.
d) Esta serie es semejante a la anterior, aunque la
mayor potencia de n marca una considerable diferen-
cia. La funcin logk crece muy lentamente conforme n
crece; de hecho
loglim 0
pk
k
k
para p > 0, como lo demuestra una consideracin de
las formas indeterminadas. En consecuencia la de-
sigualdad
2 1 3 3
2 2 2
log log 1 1k k
kk k k
se puede justificar para n suficientemente grande.
Puesto que un nmero finito de trminos de la serie
puede no ser considerado al probar la convergencia, se
concluye que la serie converge.
e) En este caso se aplica el criterio de la razn 12 ! 2
lim lim 0( 1)! 12
k
kk k
k
k k
ya que
! 1 2 3 ... 1
( 1)! 1 2 3 ... ( 1) 1
k k
k k k k
En consecuencia L = 0 y la serie converge.
f) Nuevamente se aplica el criterio de la razn 1( 1) ! ! 1 1
lim lim( 1)! 1
kk
kk k
k k k k k
k k kk
1
lim 1
k
k k
El lmite que aparece a la derecha es igual a e; puesto
que e > 1, la serie diverge. De hecho, se puede concluir
de este resultado que
lim!
k
k
k
k
es decir, el trmino n tiende a conforme n tiende a infinito.
Ejemplo
Estudiar la siguiente serie
a) 1
1
( 1) ( 1)k
k
k
k
; b)
1
log1k
k
k
;
c) 2
21
2
2
k
kk
k
k
; d)
1
1 1
2kk k
.
Solucin
a) Esta serie sugiere al principio el criterio de la serie
alternante. Sin embargo, puesto que 1k
k
converge a 1,
el trmino n no converge a 0. Por tanto, la serie diver-
ge.
b) En este caso el procedimiento ms simple consiste
en considerar la suma parcial
1 2log log ... log
2 3 1k
kS
k
1 2 3
log ...2 3 4 1
k
k
1
log1k
Por lo que lim kk
S
y la serie diverge.
c) En este caso se aplica el principio de adicin; ya
que el trmino general es 2
2 2
2 1 1
2 2
k
k k
k
k k
Puesto que 1
1
2kk
y 21
1
k k
converge, la serie dada
converge.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
573
d) En este caso se aplica el principio de adicin en
sentido inverso. Si esta serie converge entonces la
suma
1 1 1
1 1 1 1
2 2k kk k kk k
tambin tendra que converger. En consecuencia, la
serie diverge. En general, la suma de una serie conver-
gente y una serie divergente debe ser divergente. Sin
embargo, la suma de dos series divergentes puede ser
convergente; este hecho se ilustra mediante las series
divergentes
21
1 1
k kk
y 2
1
1 1
k kk
las cuales, cuando se suman, se convierten en la serie
convergente 2
1
2
k k
.
10.1.3 Series absoluta y condicionalmente convergentes
A continuacin examinaremos series cuyos trminos
son nmeros reales de cualquier signo.
Definicin
La serie 1
k
k
u
se denomina absolutamente convergen-
te si converge la serie 1
| |kk
u
.
Aclaremos que en esta definicin nada se dice de si se
supone o no la convergencia de la propia serie 1
k
k
u
.
Esta suposicin sera excesiva puesto que es vlida la
propiedad siguiente.
De la convergencia de la serie 1
| |kk
u
se desprende la
convergencia de la serie 1
k
k
u
.
Definicin
La serie 1
k
k
u
se denomina condicionalmente conver-
gente si converge, mientras que la serie correspondien-
te de los mdulos 1
| |kk
u
diverge.
La siguiente afirmacin notable, formulada por Rie-
mann, aclara completamente la cuestin sobre la in-
fluencia de las reordenaciones de los trminos en la
suma de una serie condicionalmente convergente.
Teorema Riemann
Si una serie converge condicionalmente, cualquiera
que sea el nmero A tomado de antemano, se puede
reordenar los trminos de la serie de modo que la serie
transformada convergir al nmero A.
Por lo expuesto en esta propiedad, una serie condicio-
nalmente convergente no posee la propiedad conmuta-
tiva.
A continuacin estudiaremos que para toda serie abso-
lutamente convergente, es vlida la propiedad conmuta-
tiva.
Teorema Cauchy
Si una serie converge absolutamente, toda la serie ob-
tenida a partir de la dada reordenando los trminos
tambin converge absolutamente y tiene la misma suma
que la serie dada.
A continuacin, consideraremos la cuestin sobre la
posibilidad de sumar y multiplicar trmino a trmino
las series convergentes.
Si dos series 1
k
k
u
y 1
k
k
v
convergen y tienen sumas
iguales a U y V, respectivamente, la serie 1
( )k kk
u v
tambin converge y tiene una suma igual a U V.
Si dos series 1
k
k
u
y 1
l
l
v
convergen absolutamente y
tienen sumas iguales a U y V, respectivamente, la serie
compuesta de todos los productos de la forma ukvl
(k = 1, 2, ; l = 1, 2, ), enumerados en cualquier orden, tambin converge absolutamente y su producto
es igual a UV.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
574
Para numerosos fines es conveniente escribir el pro-
ducto de las series 1
k
k
u
y 1
k
k
v
en la forma
1 1 1 2 2 1
1 1
( ) ...k kk k
u v u v u v u v
1 1 1 1( ... ) ...k ku v u v
La serie obtenida multiplicando dos series trmino a
trmino mediante dicho modo especial, converge tam-
bin si slo una serie de las dos series a multiplicar
converge absolutamente.
Hasta el momento se han establecido algunos criterios
de convergencia de las series con trminos positivos.
A continuacin examinaremos los criterios de conver-
gencia de las series con trminos de cualquier signo.
As, pues, sea 1
k
k
u
una serie, cuyos trminos tienen
signos cualesquiera que sean.
Ante todo, observamos que para establecer la conver-
gencia absoluta de esta serie, es decir, para establecer
la convergencia de la serie con trminos positivos
1
k
k
u
, se puede aplicar cualquiera de los criterios
estudiados anteriormente. Sin embargo, ninguno de
dichos criterios da la posibilidad de aclarar la cuestin
ms sutil sobre la convergencia condicional de la serie.
Adems, observemos que los criterios de dAlembert y
de Cauchy pueden aplicarse para establecer la diver-
gencia de una serie con trminos de cualquier signo.
A continuacin nos pondremos a buscar criterios ms
finos que permitan establecer la convergencia de la
serie 1
k
k
u
tambin cuando esta serie no es absoluta-
mente convergente.
El criterio de Leibniz se refiere a un tipo particular
muy difundido de la serie 1
k
k
u
, a la llamada serie
alternada.
Definicin Una serie se denomina alternada si los trminos de esta
serie tienen alternativamente signo positivo o signo
negativo.
Es conveniente escribir la serie alternada de modo que
sean definidos los signos de todos sus trminos, es
decir, en la forma 1
1 2 3 ... ( 1) ...k
kp p p p
donde todos los pk 0.
Criterio de Leibniz
Si los trminos de una serie alternada, tomados por
mdulo, forman una sucesin infinitesimal no crecien-
te, esta serie converge.
Una serie que satisface las condiciones del criterio se
denomina serie de Leibniz.
Para establecer otro criterio fino de convergencia de las
series, deducimos una identidad interesante, anloga a
la frmula de integracin por partes. Sean u1, u2, u3, , v1, v2, v3, nmeros completamente arbitrarios, Sn = u1 + u2 + + un, n y p, nmeros cualesquiera.
Entonces es vlida la siguiente identidad: 1
1 1( )n p n p
k k n k k n p n p n n
k n k n
u v S v v S v S v
Esta identidad suele llamarse identidad de Abel.
Criterio de Dirichlet - Abel
Sea dada la serie 1
k k
k
u v
. La serie converge si se cum-
plen dos condiciones siguientes:
1) La sucesin {vk} es no creciente e infinitesimal.
2) La serie 1
k
k
u
tiene una sucesin acotada de las
sumas parciales.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
575
10.1.4 Tarea
1) En cada caso probar que la serie converge y que la suma es la indicada:
a) 1
1
( 1)( 2)( 3) 4n
n
n n n
;
b) 2
11
21
2 ( 1)
n
nn
n n
n n
;
c)
21
11
n
n n
n n
;
d)
11
23
3nn
;
e) 1
1 1
(2 1)(2 1) 2n n n
;
f) 1
1
( 1) (2 1)1
( 1)
n
n
n
n n
;
g)
22
1 3
41n n
.
2) Decir si cada una de las series siguientes es convergente o divergente:
a) 1 (4 3)(4 1)n
n
n n
;
b)
1
2 ( 1)
2
n
nn
;
c)
1
1
2nn
n
;
d)
1
!
( 2)!n
n
n
;
e) 1
2 1log(4 1)
( 1)n
n n
n n
;
f)
21k
Senkx
k
;
g) 2
1 2n
n
n
;
h) 2
log
1n
n
n n
;
i) 3
1
1
( 1) 1n
n
n
;
j)
21
1
n n n
;
k)
2
1
n
n
ne
;
l) 2 2
1
2 1
( 1)n
n
n n
.
3) Decir si cada una de las series siguientes es convergente o divergente:
a) 2
1
( !)
(2 )!n
n
n
;
b) 1
!
3nn
n
;
c) 1
2 3
6
n n
nn
;
d)
1
3 !n
nn
n
n
;
e) 1
(1000)
!
n
n n
;
f) 2
1
!
2 nn
n
;
g) 2
1
n
n
e
;
h) 2
1
1 n
n
en
;
i) 3
1
[ 2 ( 1) ]
3
n n
nn
n
;
j)
2
2
1
( !)
2nn
n
;
k) 1/
1
( 1)n n
n
n
;
l) 1
2 !n
nn
n
n
;
m) 1
1
1
logn
n n
;
n)
1
1 1
n
n
nn
n
nn
.
4) Determinar la convergencia o divergencia de las series dadas. En caso de convergencia, determinar si la serie
converge absoluta o condicionalmente:
a) 1
1( 1) 1n
n
nSenn
;
b) 1
11
n
nSenn
n
;
c) 1
1
n
Senn
n
;
d) 3
( 1) (log )2
n
n
ArcTan n
;
e)
1
( 1)
log( )
n
n nn e e
;
f)
3
1log 1
k Senk
;
g) 1
1( 1)
2 1
n
n
ArcTann
;
h) 1
21
( 1)n
n n
;
i)
2
( 1)
( 1)
n
nn n
;
j) 1
2 100( 1)
3 1
nn
n
n
n
;
k)
37
1
( 1)
( 1)!
n
n
n
n
;
l)
1
1log
n
nSenn
;
m) 1
1( 1) 1n
n
Cosn
;
n)
2
21
( 1)
1
n
n
n
n
;
o)
1
( 1)
1log 1
n
n
n
;
p) 2
1
lognSen n
n
;
q)
1
1
( 1)n
n n
;
r)
1
11
n
nSenn
;
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
576
s) 2
1
( 1)
log ( 1)
n
n n n
;
t)
1
( 1)
100
n
n
n
n
;
u)
1
( 1)n
nn n
;
v) 2
( 1)
[ ( 1) ]
n
n sn n
;
w)
( 1)
2
1
( 1)
2
n n
nn
.
5) Establezca la convergencia absoluta de las series siguientes:
a)
11
1
)1(
n n
n
n
;
b)
134 2
2
n nn
nnCos
;
c)
1
)1()1(
n
n
n
nn
;
d)
12 1k k
Senk;
e)
1
log)1(
n
n
n
n;
f)
1
1)1(
n
n
n
nn;
g)
12 12n nn
n;
h)
1 54
23
nn
n n.
6) Establezca la convergencia o divergencia de las series siguientes:
a) 1
1 3 ... (2 1)
2 5 ... (3 1)k
k
k
;
b)
2
1
( !) 2
(2 2)!
k
k
k
k
;
c)
1
!
2kk
k
;
d) 341
k
k
k
;
e) 1 !
k
k
k
k
.
f) 1
2 4 ... 2
4 7 ... (3 1)k
k
k
;
g)
1
12 3 ( 1)!
k
kk
k
k
;
7) Establezca la convergencia o divergencia de las
series, mediante el criterio de comparacin:
a) 3
2
1
1k k
; b) 2
1k
Senk
k
; c) 21
5
3 5k
k
k k
;
d) 2
1
logk k k
.
8) Establezca la convergencia o divergencia de las
series, mediante el criterio de la integral:
a) 2
1
1
1k k
; b) 2
2
1
logk k k
; c) 21 1k
k
k
;
d) 10
1
log loglogk k k k
.
9) Establezca la convergencia o divergencia de las
series siguientes:
a) 3
1
4
2 1k
k
k
; b)
1
3 5
2kk
k
k
; c)
1 1
k
k
e
k
;
d) 2
22
1 log
logk
k
k k
; e)
2
1 ! 1k
k
k
; f)
1 2k
Cos k
k
;
g) 1
log
logk
k
k k
; h)
1
( 1) log
2 3
k
k
k
k
.
10) Suponga que en todo el pas se gasta aproxima-
damente el 95% de los ingresos y se ahorra el 5%.
Qu gasto adicional generar una reduccin de im-
puestos de US$ 350 millones si no cambian los hbitos
de ahorro?
11) Un paciente recibe una inyeccin de 20 unidades
de cierta medicina cada 24 horas. La medicina se eli-
mina exponencialmente de manera que la fraccin que
permanece en el cuerpo del paciente despus de t das
es f(t) = e-t/2
. Si el tratamiento contina de modo indefi-
nido, aproximadamente cuntas unidades de la medi-
cina habr finalmente en el cuerpo del paciente justo
antes de una inyeccin?
12) Un problema de salud, en especial en pases en va
de desarrollo, es que los alimentos disponibles para las
personas contienen con frecuencia toxinas o venenos.
Suponga que una persona consume una dosis x de cier-
to veneno todos los das y que el cuerpo de la persona
excreta y% del veneno acumulado todos los das. Qu
cantidad de veneno hay finalmente en el cuerpo de la
persona?
13) Cierto gas raro usado en procesos industriales
tena reservas conocidas de 3 x 1011
m3 en 2004. En
2005, se consuma 1.7 x 109 m
3 del gas con un incre-
mento anual del 7.3%. Cundo se agotarn las reser-
vas conocidas del gas?
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
577
10.2 Sucesiones y series funcionales
En la siguiente seccin se estudiarn sucesiones y
series cuyos trminos no son nmeros, sino funciones
definidas sobre un conjunto fijo. Las sucesiones y
series de esta ndole son de amplio uso en la prctica
para representar las funciones y calcularlas de un mo-
do aproximado.
Definicin
Dado un conjunto fijo {x}, si a todo nmero n de una
serie natural de nmeros 1, 2, , n, se le pone en correspondencia, de acuerdo con una ley determinada,
cierta funcin fn(x) definida sobre el conjunto {x},
entonces el conjunto de funciones enumeradas f1(x),
f2(x), , fn(x), se denominar sucesin funcional.
Llamemos las funciones separadas fn(x) trminos o
elementos de la sucesin en consideracin, y el con-
junto {x}, dominio de la citada sucesin. Para la de-
signacin de una sucesin funcional se emplear el
smbolo {fn(x)}.
Definicin
Se denominar serie funcional la suma formalmente
escrita
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn
u x u x u x u x
de un nmero infinito de trminos de la sucesin fun-
cional {un(x)}.
Los trminos un(x) de esta serie representan funciones
definidas en cierto conjunto {x}. El conjunto mencio-
nado {x} se llamar en este caso dominio de la serie
funcional. La suma de los primeros n trminos de la
serie funcional se denominar, al igual que para el caso
de una serie numrica, n-sima suma parcial de dicha
serie.
Anotemos que el estudio de las series funcionales es
sumamente equivalente al estudio de las sucesiones
funcionales, pues a toda serie funcional le corresponde
unvocamente la sucesin funcional S1(x), S2(x), , Sn(x), de sus sumas parciales, y viceversa, a cada sucesin funcional le corresponde unvocamente la
serie funcional con los trminos
u1(x) = S1(x), un(x) = Sn(x) Sn-1(x),
para n 2, para la cual la sucesin es sucesin de su-mas parciales.
Supongamos que una sucesin o serie funcional est
definida sobre el conjunto {x}. Fijemos un punto arbi-
trario x0, perteneciente al conjunto {x}, y examinemos
todos los trminos de la sucesin o la serie en el punto
x0. Obtendremos en este caso una sucesin numrica o
una serie.
Si la citada sucesin numrica o la serie converge,
suele decirse que la sucesin funcional o la serie con-
verge en el punto x0.
Definicin
El conjunto de todos los puntos x0, donde converge la
sucesin o serie funcional se denomina dominio de
convergencia de dicha sucesin o serie.
En diversos casos concretos el dominio de convergen-
cia puede o bien coincidir con el dominio de definicin,
o bien constituir una parte del dominio de definicin o
bien ser, en general, conjunto vaco.
Definicin
Supongamos que una sucesin funcional {fn(x)} tiene a
ttulo de su dominio de convergencia el conjunto {x}.
Una totalidad de los lmites, tomados para todos los
valores de x del conjunto {x} forma una funcin bien
determinada f(x) que tambin est definida sobre el
conjunto {x}. Esta funcin se denomina funcin lmite
de la sucesin {fn(x)}.
Los criterios para la convergencia de las series de fun-
ciones son las mismas que las correspondientes para las
series de constantes.
Una serie funcional se llama uniformemente conver-
gente sobre el conjunto {x} hacia su suma S(x), si la
sucesin {Sn(x)} de sus sumas parciales converge uni-
formemente sobre el conjunto {x} hacia la funcin
lmite S(x).
Criterio de Cauchy
Para que una sucesin funcional {fn(x)} converja uni-
formemente sobre el conjunto {x} hacia cierta funcin
lmite, es necesario y suficiente que para cualquier
> 0 se encuentre un nmero K() tal que se verifique
la desigualdad ( ) ( )n p nf x f x , cualesquiera que
sean n N(), p naturales (p = 1, 2, ) y x del conjunto {x}.
Para que una serie funcional 1
( )kk
u x
converja unifor-
memente sobre el conjunto {x} hacia cierta suma, es
necesario y suficiente que para cualquier > 0 se en-
cuentre un nmero N() tal que se verifique la
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
578
desigualdad 1
( )n p
k
k n
u x
, cualesquiera que sean
n N(), p naturales y x del conjunto {x}.
Enunciemos los criterios de convergencia uniforme o
bien en los trminos de las sucesiones, o bien en los
trminos de las series, segn sea la comodidad de
razonar. Introduzcamos, con el fin de enunciar dos
criterios de convergencia uniforme de las series fun-
cionales, algunos conceptos nuevos.
Definicin
Una sucesin {fn(x)} se llama uniformemente acotada
sobre el conjunto {x}, si existe tal nmero real M > 0
que para cualesquiera nmeros n y para todos los pun-
tos x del conjunto {x} se verifica la desigualdad
( )nf x M .
Definicin
Una sucesin funcional {vn(x)} se llama sucesin do-
tada de variacin uniformemente acotada sobre el
conjunto {x}, si la serie funcional 11
( ) ( )k kk
v x v x
converge uniformemente sobre el conjunto citado {x}.
Indiquemos aqu que toda sucesin dotada de variacin
uniformemente acotada sobre el conjunto {x} es con-
vergente en el mismo hacia cierta funcin lmite. La
convergencia uniforme sobre el conjunto {x} de la
serie 11
( ) ( )k kk
v x v x
y el criterio de Cauchy prede-
terminan la convergencia uniforme sobre el conjunto
{x} de la serie 11
( ) ( )k kk
v x v x
, cuya n-sima suma
Sn(x) tiene por expresin Sn(x) = vn+1(x) v1(x). De la ltima igualdad se deduce la convergencia uniforme de
la sucesin {vn(x)} hacia la funcin lmite v(x) que es
igual a S(x) + v1(x), donde S(x) es la suma de la serie
11
( ) ( )k kk
v x v x
.
Primer criterio de Abel
Si una serie funcional 1
( )kk
u x
posee una sucesin de
sumas parciales uniformemente acotada sobre el con-
junto {x}, mientras que la sucesin funcional {vk(x)}
est dotada de variacin uniformemente acotada sobre
el conjunto {x} y tiene funcin lmite que es idntica-
mente igual a cero, entonces la serie funcional
1
( ) ( )k kk
u x v x
converge uniformemente sobre el
conjunto {x}.
Segundo criterio de Abel
Si la serie funcional
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn
u x u x u x u x
converge uniformemente sobre el conjunto {x} hacia la
suma S(x),. Acotada en el citado conjunto, mientras que
una sucesin funcional {vk(x)} est dotada de variacin
uniformemente acotada en el conjunto {x} y tiene fun-
cin lmite v(x), acotada sobre dicho conjunto, la serie
funcional 1
( ) ( )k kk
u x v x
converge uniformemente
sobre el conjunto {x}.
Criterio de Dirichlet - Abel
Si la serie funcional
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn
u x u x u x u x
posee una sucesin de sumas parciales uniformemente
acotada sobre el conjunto {x}, y si la sucesin funcio-
nal {vk(x)} no crece en todo punto del conjunto {x},
siendo uniformemente convergente en dicho conjunto
hacia cero, la serie funcional 1
( ) ( )k kk
u x v x
converge
uniformemente sobre el conjunto {x}.
Basta notar que la sucesin {vk(x)} que no crece en
todo punto del conjunto {x} y que converge en el mis-
mo hacia cero posee a ciencia cierta sobre el conjunto
{x} una variacin uniformemente acotada, pues para
dicha sucesin la n-sima suma Sn(x) de la serie
1
1
( ) ( )k kk
v x v x
es igual a v1(x) vn+1(x), y resulta
que existe el siguiente lmite uniforme sobre el conjun-
to {x}
1 1 1lim ( ) lim ( ) ( ) ( )n nn n
S x v x v x v x
.
Criterio de Weierstrass
Si una serie funcional 1
( )kk
u x
est definida sobre el
conjunto {x} y si existe una serie numrica convergente
1
k
k
c
tal que para todo x del conjunto {x} y para cual-
quier nmero k se verifica una desigualdad
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
579
( )k ku x c , entonces la serie funcional 1
( )kk
u x
con-
verge uniformemente sobre el conjunto {x}.
Criterio de Dini
Admitamos que una sucesin {fn(x)} no decrece (o no
crece) en cada punto del segmento [a; b] y converge en
dicho segmento hacia una funcin lmite f(x). En este
caso, si todos los elementos de la sucesin fn(x) y la
funcin lmite f(x) son continuos sobre el segmento
[a; b], la convergencia de la sucesin {fn(x)} ser en
[a; b] uniforme.
En el criterio de Dini es esencial la condicin de mo-
notona de la sucesin {fn(x)} en el segmento [a; b],
puesto que una sucesin no montona en [a; b] de
funciones continuas en dicho segmento puede conver-
ger en cada punto del mismo hacia una funcin f(x)
continua sobre el segmento en consideracin, sin con-
verger hacia ella en [a; b] de un modo uniforme.
El criterio de Dini se puede enunciar en trminos de
las series: Si todos los trminos de una serie son conti-
nuos y no negativos sobre el segmento [a; b] y si la
suma de dicha serie es tambin continua en [a; b],
entonces la serie citada converge hacia su suma uni-
formemente en el segmento [a; b].
Ejemplo
Analizar la convergencia de la serie 2
1
k
k
x
k
.
Solucin
En este caso el criterio de la razn nos da 1 2
12
lim lim( 1)
kk
nk kk
a x k
a k x
2
2lim
( 1)k
kx x
k
.
En consecuencia, la serie converge para 1x y di-
verge para 1x . Para x = 1, la serie converge por
comparacin con la serie armnica de orden 2:
2 2
( 1) 1k
k k
.
Por consiguiente la serie converge para 1 x 1. La convergencia es uniforme para este dominio puesto que
la comparacin
2 2
1k
k
xM
k k
se cumple para todo x del dominio y la serie converge.
10.2.1 Paso al lmite trmino a trmino
Examinemos un punto arbitrario a de una recta infinita
y supongamos que {x} es un conjunto arbitrario que no
contiene, quizs, el punto a, pero posee una propiedad
de que en cualquier -entorno del punto a estn conte-nidos los puntos de dicho conjunto.
Supongamos que una serie funcional 1
( )kk
u x
conver-
ge uniformemente sobre el conjunto {x} hacia la suma
S(x). Admitamos, adems, que todos los trminos de
esta serie cuentan en el punto a con el valor lmite
lim ( )k kx a
u x b
. Entonces, la funcin S{x} tambin
tiene en el punto a el valor lmite con la particularidad
de que
1 1
lim ( ) lim ( )k kx a x a
k k
S x u x b
,
es decir, el smbolo de lmite y el smbolo de sumacin
pueden ser permutados o, se puede pasar a un lmite
trmino a trmino.
Si todos los trminos de una serie funcional (de una
sucesin funcional) son continuos sobre el segmento
[a; b], y si la serie mencionada (sucesin mencionada)
converge uniformemente sobre el segmento [a; b],
entonces la suma de esta serie (funcin lmite de esta
sucesin) es tambin continua sobre el segmento [a; b].
10.2.2 Integracin y diferenciacin trmino a trmino
Si una sucesin fundamental {fn(x)} converge hacia la
funcin lmite f(x) uniformemente sobre el segmento
[a; b], y si cada funcin fn(x) es integrable en el mismo
segmento, la funcin lmite f(x) ser tambin integrable
sobre el segmento [a; b], con la particularidad de que la
sucesin mencionada puede integrarse sobre el
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
580
segmento [a; b] trmino a trmino, es decir, el lmite
lim ( )b
nanf x dx
existe y es igual a ( )
b
af x dx .
En trminos de las series funcionales tenemos el si-
guiente enunciado.
Si la serie funcional 1
( )kk
u x
converge hacia su suma
S(x) uniformemente sobre el segmento [a; b], y si cada
trmino de esta serie uk(x) representa una funcin inte-
grable en el segmento [a; b], la suma S(x) tambin ser
integrable sobre el segmento citado, con la particulari-
dad de que la serie en consideracin puede integrarse
sobre el segmento [a; b] trmino a trmino, es decir, la
serie 1
( )b
kak
u x dx
es convergente y tiene como su
suma la integral ( )b
aS x dx .
10.2.3 Diferenciacin trmino a trmino
Supongamos que cada funcin fn(x) tiene sobre el
segmento [a; b] una derivada fn(x), y, adems, la suce-
sin de derivadas fn(x) converge en dicho segmento
uniformemente, mientras que la propia sucesin fn(x) converge por lo menos en un punto x0 del segmento
[a; b]. Entonces, la sucesin fn(x) converge hacia cierta funcin lmite f(x) uniformemente en todo el
segmento [a; b], con la particularidad de que esta suce-
sin puede diferenciarse en dicho segmento trmino a
trmino, es decir, en cada punto del segmento [a; b] la
funcin lmite f(x) tiene derivada f (x) que sirve de
funcin lmite para la sucesin fn(x).
Si cada funcin uk(x) tiene derivada sobre el segmento
[a; b], y si la serie de las derivadas 1
( )kk
u x
es uni-
formemente convergente sobre el segmento [a; b],
mientras que la propia serie 1
( )kk
u x
converge por lo
menos en un solo punto del segmento [a; b], entonces
la serie
1
( )kk
u x
converge uniformemente sobre todo el
segmento [a; b] hacia cierta suma S(x), con la particula-
ridad de que dicha serie puede diferenciarse en el seg-
mento [a; b] trmino a trmino, es decir, su suma S(x)
tiene en el segmento [a; b] una derivada que representa
la suma de la serie de derivadas 1
( )kk
u x
.
Si cada funcin fn(x) tiene primitiva sobre el segmento
[a; b], y si la sucesin fn(x) converge uniformemente sobre el segmento [a; b] hacia la funcin lmite f(x),
esta ltima tambin tendr en [a; b] su funcin primiti-
va.
Ms an, si x0 es un punto cualquiera de [a; b], la suce-
sin de primitivas Fn(x) de las funciones fn(x), que
satisfacen la condicin Fn(x0) = 0, converge uniforme-
mente sobre [a; b] hacia la primitiva F(x) de la funcin
lmite f(x) que satisface la condicin F(x0) = 0.
10.2.4 Convergencia en media
Supongamos que toda funcin fn(x), y tambin la fun-
cin f(x), son integrables sobre el segmento [a; b].
Entonces la funcin 2 2 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 ( ) ( )n n nf x f x f x f x f x f x
ser tambin integrable sobre el segmento [a; b].
Se dice que una sucesin fn(x) converge en media hacia la funcin f(x) sobre el segmento [a; b], si
2lim [ ( ) ( )] 0b
nanf x f x dx
.
Se dice que una serie funcional converge en media
hacia la funcin S(x) sobre el segmento [a; b], si la
sucesin de sumas parciales de esta serie converge en
media hacia S(x) en el mismo segmento.
Si una sucesin fn(x) converge en media sobre el segmento [a; b] hacia una funcin f(x), dicha sucesin
puede integrarse trmino a trmino sobre [a; b], es
decir, el lmite lim ( )b
nanf x dx
existe y es igual a la
integral ( )b
af x dx .
Para cualesquiera funciones f(x) y g(x), integrables
sobre el segmento [a; b], se verifica la siguiente de-
sigualdad
2 2( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
llamada desigualdad de Cauchy Buniakovski.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
581
10.2.5 Tarea
1) Determine los valores de x para los cuales cada una de las siguientes series converge:
a) 2
1 2
k
k
x
k k
;
b)
1 2
k
kk
kx
;
c) 2
1
( 1)k
k
x
k
;
d)
0
1
2kxk
;
e) 2
1
2k k
k
Sen x
k
;
f) 2
1
1k
k kx
;
g) 3
1
( 2)
!
k
k
x
k
;
h)
1
1
log( 1)kk x k
;
i) 1 (1 )
k
kk
x
x
;
j)
2 log
k
kk
x
k
.
2) Establezca que cada una de las siguientes series es uniformemente convergente sobre el dominio de valores de x
dado:
a) 3
1
k
k
x
k
, -1 x 1;
b) 1 !
k
k
Tanh x
k
, x;
c) 2
1 1k
Senkx
k
, x;
d) 1 2
kx
kk
e
, 3
log2
x ;
e) 0 !
k
k
x
k
, -1 x 1;
f) 1
k
k
kx
, 1 1
2 2x ;
g) 1
k
k
kx
, -0.9 x 0.9;
h) 1
k
k
kx
, -a x a, a < 1.
3) Comprobar si las siguientes series son convergentes o divergentes:
a) 1
3 5 ... (2 1)
5 10 ... 5
k
k
kx
k
;
b)
1 1 11 ... ...
1 3 1 3 5 1 3 ... (2 1)k
;
c)
1
1
k k
;
d) 1
!
3 5 ... (2 1)
k
k
kx
k
;
e)
2
1 2... ...
2 2 3 2 ( 1)2kk
k
;
f)
2
1
logk k
.
4) Establezca la convergencia o divergencia de las series siguientes:
a) 1
1
( 2) !k
k
k k
;
b)
21
2 1
k
k
k k
;
c)
2
31 1k
k
k
;
d)
11
2
1
kk
k
k
;
e)
1
1
k
k
k
k
;
f) 2
1
( 1)( 2)
2kk
k k
k
;
g)
21
( 1)k
kk
k
k
.
5) Determine la convergencia y divergencia de las series siguientes. Para las series convergentes, dar una cota supe-
rior para la suma de las series:
a) 1
1
1 1k k
;
b)
42
2
4k
k
k
;
c)
1
1
2 (2 1)k k k
;
d)
2
1
logk k k
;
e) 2
2
1
logk k k
;
f) 2
4
1
log log (log )k k k k
;
g) 10
2
1
logk k
;
h) 2
32
log
k
k
k
.
6) Para qu valores de x converge cada una de las
siguientes series? Expresar la suma de la serie como
una funcin simple de x en cada caso:
a) 2 ... ...na ax ax ax , a 0;
b) 3 5 2 18 8 8 ... 8 ...nx x x x ;
c) 2 4 6 2... ...ncx cx cx cx ;
d) 2 3 ... ...x x x nxe e e e ;
e) 2 3
10 10 10...
x x x ;
f)
21 1
2 2 2 ...1 1
x x
x x
;
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
582
g) 2
1 1 11 ... ...
1 (1 ) (1 )nx x x
;
h) 2log log ... log ...nx x x
7) Explicar por qu es divergente la serie
1 1 1 2 1... ...
1 2 1 4 1 2
n
n
8) Demuestre que la serie es divergente
2
2 3... ...
1000 4 1000 9 1000
n
n
9) La serie es convergente o divergente? Justifique
su respuesta: 1 21 2
... ...101! 102! (100 )!
nn
n
10) Demuestre que 1 8
! 2nn
n
si n 1. Qu se puede
concluir acerca de la serie
2 3 1... ...
1! 2! !
k
k
?
11) Establezca la convergencia de las serie
4 2 5 3 ( 3)( 1)... ...
3! 4! ( 2)!
k k
k
12) Demuestre que la serie
1 1 1... ...
1 2 2 3 ( 1)k k
es convergente, observando que
1 1 1
( 1) 1k k k k
y encontrando una expresin simple para la suma de
los n primeros trminos. Qu se puede inferir acerca
de las series
2 2 2 2
1 1 1 1...
1 2 3 4 y
1 1 1...
1 2 3 4 5 6
13) Demuestre que la serie
1 1 1... ...
2log 2 3log 3 logp p pk k
es convergente si p > 1 y divergente si p 1.
14) Para qu valores de p converge la serie
4
1
log log (log )pk k k k
?
15) Demuestre que la serie
2
1
log pk k
diverge para
todos los valores de p.
16) Demuestre que la serie 2 2 21 2 1 3 1 ( 1)
log log ... log ...1 1 3 2 2 4 ( 2)
k
k k k
es convergente, demostrando directamente que la suma
de los k primeros trminos es menor que
2( 1)log log2
2
k
k
.
17) Para qu valores de p y q es convergente la serie
2
logq
pk
k
k
?
18) Demuestre que cada una de las series es conver-
gente:
a) 12 2 2 2
1 2 3... ( 1) ...
2 3 4 ( 1)
k k
k
;
b) 3 4 5
log log log ...2 3 4 ;
c) 12
1
3 6 ... 3 1( 1)
1 4 ... (3 2)
k
k
k
k k
;
d) 1 2 3
...1 1 1 2 1 3
;
e) 11 1 3 1 3 ... (2 1)
... ( 1) ...2 4 2 4 6 2 4 ... 2 (2 2)
k k
k k
.
19) Determine la convergencia o divergencia, para las
siguientes series:
a) 2 3
11 2 3 ... ( 1) ...2 3 4 1
kk k
k
;
b) log2 log3 log4
...2 3 4
;
c) 3 4
(1 log2) 1 2log 1 3log ...2 3
;
d) 1 2 1 2 1 2
...3 3 6 6 9 9
20) Establezca la convergencia o divergencia de las
series siguientes:
a) 2
1
k
k
x
k
; b) 21
1
( 2)
k
k
kx
k k
; c)
1
!k
k
k
x
;
d) 1
! kk
k
kx
k
; e) 11 2
pk
kk
kx
.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
583
10.3 Serie de potencias y dominio de su convergencia
Sabemos que una serie de potencias representa una
funcin infinitamente diferenciable en su intervalo de
convergencia y que todas las derivadas pueden obte-
nerse derivando trmino a trmino. Podemos expresar
los coeficientes en trminos de estas derivadas.
Definicin
Se denomina serie de potencias a una serie funcional
de la forma
20 0 1 2
1
... ...k nk nk
a a x a a x a x a x
(1)
donde a0, a1, a2, , an, son unos nmeros reales constantes llamados coeficientes de la serie.
Trataremos de aclarar cmo est construido el dominio
de convergencia de una serie de potencias. Notemos
que toda serie de potencias converge en el punto x = 0,
con la particularidad de que existen series de potencias
que son convergentes solamente en este punto.
Teorema Cauchy - Hadamard
a) Si la sucesin n na no es acotada, la serie de potencias (1) converge slo cuando x = 0.
b) Si la sucesin n na es acotada y tiene lmite superior L > 0, la serie (1) es absolutamente conver-
gente para los valores de x que satisfacen la desigual-
dad 1
xL
, y divergente, para aquellos valores de x
que satisfacen la desigualdad 1
xL
.
c) Si la sucesin n na es acotada y su lmite supe-rior L es igual a cero (L = 0), la serie (1) es absoluta-
mente convergente para todos los valores de x.
Este teorema nos lleva directamente a la siguiente afir-
macin fundamental.
Para cualquier serie de potencias (1), siempre que ella
no representa una serie que converge slo en el punto
x = 0, existe un nmero positivo R (igual, quizs, al
infinito) tal que la citada serie sea absolutamente con-
vergente cuando x R , y divergente, cuando x R .
Este nmero R se denomina radio de convergencia de
la serie de potencias en consideracin, y el intervalo
(-R; R), intervalo de convergencia de esta serie. El
clculo del radio de convergencia se realiza mediante la
frmula
1
lim n nn
Ra
.
En los extremos del intervalo de convergencia, es decir,
en los puntos x = -R, y x = R, la serie de potencias pue-
de ser tanto convergente, como divergente.
Supongamos que la serie de potencias (1) tiene el radio
de convergencia R > 0.
Cualquiera que sea un nmero positivo r que satisfaga
la condicin r < R, la serie (1) es uniformemente con-
vergente sobre el segmento [-r; r], es decir, para
x r .
La suma de una serie de potencias en el interior de su
intervalo de convergencia es una funcin continua.
10.3.1 Integracin y diferenciacin trmino a trmino de una serie de potencias
Si R > 0 es el radio de convergencia de la serie de
potencias (1), y si x satisface la condicin x R ,
entonces la serie (1) puede integrarse trmino a tr-
mino sobre el segmento [0; x]. La serie obtenida como
resultado de la integracin trmino a trmino tendr el
mismo radio de convergencia que la serie de partida.
La serie de potencias (1) puede diferenciarse trmino a
trmino en el interior de su radio de convergencia. Una
serie que se obtendr por diferenciacin trmino a
trmino tendr el mismo radio de convergencia R que
la serie de partida.
Una serie de potencias puede diferenciarse trmino a
trmino, en el interior de su intervalo de convergencia,
cualquier nmero de veces.
Una serie, obtenida por n-sima diferenciacin trmino
a trmino de la serie de potencias inicial tiene el mismo
radio de convergencia que la serie inicial.
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
584
10.3.2 Desarrollo de una funcin en serie de potencias
Diremos que una funcin f(x) puede desarrollarse
sobre un intervalo (-R; R), en serie de potencias, si
existe una serie de potencias que converge hacia f(x)
en el segmento citado.
Son vlidas las siguientes afirmaciones:
Para que una funcin f(x) pueda desarrollarse en
serie de potencias sobre un intervalo (-R; R), es nece-
sario que dicha funcin tenga en el intervalo citado
derivadas continuas de cualquier orden.
Si una funcin f(x) se desarrolla sobre el intervalo
(-R; R) en serie de potencias, se lo puede hacer slo de
un nico modo.
Si una funcin f(x) puede ser desarrollada sobre el
intervalo (-R; R) en serie de potencias, dicha serie es
serie de Taylor de la funcin f(x).
Para que una funcin f(x) pueda ser desarrollada en
serie de Taylor sobre el intervalo (-R; R), es necesario
y suficiente que el trmino residual en la frmula de
Maclaurin para esta funcin tienda a cero sobre el
intervalo mencionado.
Definicin
Una serie de potencias alrededor de x0 es una serie de
la forma
0
0
( )nnn
a x x
.
El nmero x0 se llama centro de la serie, y los nmeros
a0, a1, son los coeficientes.
Frecuentemente aplicamos una forma del criterio de la
razn para determinar el radio de convergencia de una
serie de potencias. A continuacin se enuncia este
criterio.
Criterio de la razn
Supongamos que bn 0 para n N y que
1lim nn n
bA
b
en donde A puede ser . Entonces la serie 0
n
n
b
con-
verge absolutamente si A < 1 y diverge si A > 1. El
criterio no da informacin si A = 1.
Ejemplo Encontrar el radio y el intervalo de convergencia de
2
0
( 1) ( 2)
( 1)9
n n
nn
x
n
.
Solucin
Con 2( 1) ( 2)
( 1)9
n n
n n
xb
n
tenemos
1 2 2
11
2
( 1) ( 2)
( 2)9
( 1) ( 2)
( 1)9
n n
nn
n nn
n
x
b n
b x
n
1 2 2
1 2
( 1) ( 2) ( 1)9
( 2)9 ( 1) ( 2)
n n n
n n n
x n
n x
21
29( 2)
nx
n
.
Entonces
21 1lim lim 29( 2)
n
n nn
b nx
b n
21 1
2 lim9 2n
nx
n
21
29
x .
Por el criterio de la razn, la serie de potencias conver-
ge absolutamente si este lmite es menor que 1, es de-
cir, si 21
2 19
x . Esto ocurre si 2 3x o si -1 < x
< 5. La serie de potencias diverge si el lmite es mayor
que 1, lo cual ocurre cuando 2 3x . Este es el caso
si x > 5 o si x < -1. El radio de convergencia es 3. An
hay duda sobre la convergencia en -1 y en 5. En x = 5,
tenemos la serie 2
0 0
( 1) 3 ( 1)
1( 1)9
n n n
nn n nn
que es una serie alternante convergente. En x = -1,
obtenemos la misma serie. Por lo tanto el intervalo de
convergencia de esta serie de potencias es [-1; 5].
10.3.3 Series de potencias
Se desea considerar aqu la cuestin del desarrollo de
una funcin dada, en trminos de una serie de poten-
cias. Con base en el trabajo previo, puede verse que la
serie debe poseer ciertas propiedades. Quiz la ms
sorprendente de estas propiedades es que la funcin
debe poseer derivadas de todos los rdenes. De aqu
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
585
que si una funcin es representable mediante una serie
de potencias, tambin debe tener esta propiedad.
Supongamos ahora que la funcin f(x) tiene derivadas
de cualquier orden alrededor del punto x0. Para tal
funcin puede formarse una serie de la siguiente forma
20 00 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
1! 2!
f x f xf x x x x x
o bien, en la forma ms breve ( )
00
0
( )( )
!
nn
n
f xx x
n
Para cada valor de x dicha serie puede converger o
divergir. Un conjunto de puntos x, para los cuales la
serie ( )
00
0
( )( )
!
nn
n
f xx x
n
converge, lleva el nombre
de dominio de convergencia de dicha serie. Indepen-
dientemente de si es convergente o divergente la serie
dada se denomina serie de Taylor de la funcin f(x) en
potencias de x x0. Si x0 = 0 la serie correspondiente se llama serie de Maclaurin.
Es de inters especial el caso en que la serie de Taylor
de la funcin f(x) en potencias de x x0 converge alre-dedor del punto x0, y, adems, hacia la misma funcin
f(x). Si esto tiene lugar, resulta que ( )
00
0
( )( ) ( )
!
nn
n
f xf x x x
n
es decir, la funcin f(x) es una suma de su serie de
Taylor alrededor de cierto punto x0, para todo valor de
x (x0 - ; x0 + ). En este caso se dice que la funcin f(x) se desarrolla en la serie de Taylor en potencias de
x x0 convergente hacia s misma.
Supongamos que 00
( ) ( )nnn
f x a x x
en un intervalo
alrededor de x0. Sustituyendo x = x0 en la frmula para
f(k)
(x) se obtiene ( )
0( ) ( 1)( 2)...(2)(1) !k
k kf x k k k a k a
donde k! denota k factorial, el producto de los enteros
de 1 hasta k, inclusive. Entonces
( )0
1( )
!
kka f x
k . (1)
Podemos hacer k = 0 en esta frmula usando la con-
vencin que 0! = 1 y aceptando que f(0)
(x0) = f(x0). Esto
es, la derivada cero de f en x0 es simplemente f(x0). La frmula (1) es la frmula de Taylor del k-simo
coeficiente del desarrollo en serie de potencias de f
alrededor de x0. Si 00
( ) ( )nnn
f x a x x
, entonces
necesariamente las an estn dadas por esta frmula, y la
serie de potencias es la serie de Taylor de f alrededor de
x0. Dicho de otra manera, la serie de Taylor es el nico
desarrollo en serie de potencias que puede tener una
funcin alrededor de x0.
Una serie de Taylor alrededor del cero, es decir, x0 = 0
se llama serie de Maclaurin. Si en algn intervalo alre-
dedor de x0 tenemos
0 0
0 0
( ) ( )n nn nn n
a x x b x x
entonces necesariamente an = bn para n = 0, 1, 2, 3, Este hecho es crucial en la aplicacin de las series de
potencias a la solucin de ecuaciones diferenciales y se
sigue del hecho de que ambos an y bn deben ser el n-
simo coeficiente de Taylor de la funcin representada
por esta serie.
Si tenemos una funcin g que es infinitamente diferen-
ciable en un intervalo abierto alrededor de x0, podemos
escribir la serie de Taylor
( )0 0
0
1( )( )
!
n n
n
g x x xn
para g alrededor de x0. Bajo condiciones apropiadas,
esta serie tambin converge a g(x) en un intervalo
abierto alrededor de x0. Sin embargo, debe tenerse
cuidado, pues fuera de este intervalo la serie y la fun-
cin pueden no coincidir.
Definicin
Se dice que una funcin g es analtica en x0 si g tiene
un desarrollo en serie de Taylor que converge a g en un
intervalo alrededor de x0.
En algunos casos el radio de convergencia de la repre-
sentacin en serie de Taylor de una funcin alrededor
de un punto puede determinarse directamente a partir
de la funcin sin necesidad de escribir explcitamente la
serie. Puede demostrarse que el radio de convergencia
del desarrollo de Taylor de g alrededor de x0 es la dis-
tancia entre x0 y el nmero real o complejo ms cercano
en el que la funcin no es analtica.
Ejemplo
Sumar las series
2
0
nn
n
a x
y 0
nn
n
b x
Solucin
Queremos escribir la suma de manera que podamos
factorizar las potencias iguales de x y combinar los
coeficientes. Para hacer esto, escribimos la primera
serie de manera que la potencia de x sea n, como ocurre
en la segunda serie. Esto requiere cambiar el ndice
-
SERIES
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586
inicial de la serie y tambin el ndice de cada an. Una
manera de hacer esto es reconocer que
2 2 3 40 1 2 2
0 2
...n nn nn n
a x a x a x a x a x
recorriendo el ndice hacia atrs en dos y empezando
en n = 2 en lugar de n = 0. Si este resultado no es intui-
tivamente claro, podemos hacerlo ms sistemticamen-
te como sigue. Sea k = n + 2, de manera que k = 2
cuando n = 0, y escribamos
22
0 2
n kn k
n k
a x a x
Ahora recuerde que k y n son simplemente ndices
mudos para la sumatoria y que pueden ser reemplaza-
dos por cualquier letra razonable. As que podemos
escribir
2 2
2 2
k nk n
k n
a x a x
Ahora podemos sumar las dos series de la siguiente
manera:
2 20 0 2 0
n n n nn n n n
n n n n
a x b x a x b x
2 0 12 2
n nn n
n n
a x b b x b x
0 1 22
( ) nn nn
b b x a b x
Es importante notar que al recorrer los ndices en la
primera sumatoria, la nueva serie empieza en n = 2 y
no en n = 0. Al sumar 22
nn
n
a x
y 0
nn
n
b x
, debemos
empezar ambas series en n = 2 y por lo tanto debemos
incluir por separado los trminos para n = 0 y n = 1 de
la segunda serie.
Debe tenerse cuidado en no perder trminos ya existen-
tes o inventar nuevos al combinar series despus de
recorrer ndices.
Ejemplo
Sea g(x) = ln(1 + x) para x > 1.
Solucin
Derivando repetidamente, obtenemos que 1
( ) ( 1) ( 1)!( )( 1)
nn
n
ng x
x
.
En particular 1
( ) ( 1) ( 1)!( )( 1)
nn
n
ng x
x
para n = 1, 2, 3, Los coeficientes en el desarrollo de Taylor de g alrededor de 1 son
1
( ) ( 1) ( 1)!( )( 1)
nn
n
n ng x
n x
1( ) ( 1) !( )
( 1)
nn
n
ng x
n x
1( )1 ( 1)(1)
! 2
nn
ng
n n
Para n = 1, 2, 3, y el trmino constante es g(1) = ln2. La serie de Taylor de g alrededor de 1 es
1
1
( 1)ln 2 ( 1)
2
nn
nn
xn
.
Esta serie tiene radio de convergencia 2 (aplique el
criterio de la razn) y puede verse que es igual a
ln(1 + x) para -1 < x < 3. Para x > 3, la serie diverge y,
por lo tanto, no representa a ln(1 + x), aunque ln(1 + x)
est definida para x > 3. ln(1 + x) es analtica en 1 por-
que tiene una representacin en serie de Taylor en el
intervalo (-1; 3), que contiene a 1.
10.3.4 Tarea
1) Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie de potencias:
a) 0
( 1)( 4)
1
nn
n
xn
;
b)
0
2 1
2 1
n
n
nx
n
;
c)
0
2
!
nn
n
xn
;
d) 0
1( 1)
2
n
n
xn
;
e) 2 1
0
( 1)( 4)
4 ( 2)
nn
nn
xn
;
f) 2
0
3
(2 )!
nn
n
xn
;
g) 2
0
n
n
n x
;
h) 2
20
3
4
n
n
n nx
n
;
i) 3
5
( 1)( 3)
8 ( 4)
nn
nn
xn
;
j)
2
ln( ) n
n
nx
n
;
k) 1
1n
n
n
nx
n
;
l) 2
1
( 1)( 2)
3
nn
nn
xn
;
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
587
m) 0
3 5
2 2
n n
n
x
;
n) 2
0 !
nn
n
ex
n
;
o) 2
0
(2 )!
( !)
n
n
nx
n
.
2) Recorrer los ndices de manera que todas las potencias de x en la sumatoria sean de la forma xn:
a) 1
1
1
( 1)
2 4
nn
n
xn
;
b) 3
2
( 1)
2
nn
nn
nx
;
c) 1
2
2 3 n
n
nx
n
;
d) 1
1
2
!
n
n
nx
n
;
e) 13
1
2
3
nn
n
xn
;
f)
13
24
( 1)
2
nn
n
xn
.
3) Sume las series y combine todos los trminos que sea posible bajo una sola sumatoria, factorizando las potencias
comunes de x. Hay varias maneras de escribir las respuestas correctas de estos problemas:
a) 1
1 0
2 ( 1)n n n
n n
x n x
;
b) 12
1 2
!2n n n
n n
nx x
n
;
c) 3
1 3
1
2
n n n
n n
x n xn
;
d) 3 2
2 3
!n n
n n
x n x
;
e) 1
0 1
1( 2)
2
n n n
n n
x xn
;
f) 3 1
0 1
! 1
12
n n
nn n
nx x
n
;
g) 1 2
2 1
1( 1)n n n
n n
x xn
;
h) 3
1 0
1(2 1)
1
n n
n n
n x xn
;
i) 1 2321 2
( 1)nn n n
n n
x x
;
j) 3 2
0 1
( 1)
1
nn n
n n
x xn
.
4) Para cada una de las series de potencias, determinar el conjunto de todos los valores reales x para los que conver-
ge y calcular su suma. Los desarrollos en serie de potencias ya vistos pueden utilizarse cuando convenga:
a) 2
0
( 1)
2 1 2
nn
n
x
n
;
b)
3
0
( 1)
!
n n
n
x
n
;
c)
0
( 1)n n
n
nx
;
d) 0
n
n
nx
;
e) 1
2n n
n
x
n
;
f) 0
( 2) ( 2)
1
n n
n
n x
n
;
g) 2
0
( 1)n n
n
x
;
h) 1
0 3
n
nn
x
;
i) 0 ( 3)!
n
n
x
n
;
j)
0
( 1)
( 2)!
n
n
x
n
.
5) Cada una de las funciones siguientes, tiene una representacin en serie de potencias de x. Supuesta la existencia
del desarrollo, comprobar que los coeficientes tienen la forma dada, y demostrar que la serie converge para los valo-
res de x indicados:
a) 2 1
0 (2 1)!
n
n
xSenhx
n
;
b) 2
2
0
( 1)
!
n nx
n
xe
n
;
c)
10
1
2 2
n
nn
x
x
;
d) 0
log
!
nx n
n
aa x
n
, a > 0;
e) 2 1
0
1log
1 2 1
n
n
x x
x n
.
6) Cada una de las funciones siguientes, tiene una
representacin en serie de potencias de x. Supuesta la
existencia del desarrollo, comprobar que los coeficien-
tes tienen la forma dada, y demostrar que la serie con-
verge para los valores de x indicados:
a) 1 2
3 2 1
1
3 ( 1) (3 1)
4 (2 1)!
n nn
n
Sen x xn
;
b)
21
1[1 ( 2) ]
31 2
n n
n
xx
x x
;
c) 2
1
1 1 ( 1)
2 2(1 )(1 )
nn
n
xn x
x x
;
d) 2
0
12 5 ( 1)1
6 5 6
nn
nn
xx
x x
;
-
SERIES
JOE GARCIA ARCOS
588
e) 2
0
1 2 2 ( 1)
331
n
n
nSen x
x x
;
f) 1 2 1
2 2
1
( 1) 2
(2 )!
n nn
n
Sen x xn
.
7) Multiplicar la serie para (1 x)-1 por s misma y obtener el desarrollo
2
0
(1 ) ( 1) n
n
x n x
, 1x .
8) Establecer el desarrollo
3
0
( 1)( 2)(1 )
2
n
n
n nx x
, 1x
por multiplicacin de series.
9) Obtener el desarrollo, vlido cuando 0 x 1
21 1 1 11 1 11 3 3 5
Tan xx x
x x
31 1 11 ...3 5 7
x
10) Demostrar por multiplicacin de series, que si
0
( )!
n
n
xf x
n
, entonces f(x)f(y) = f(x + y) para x y y
arbitrarias.
11) Demostrar que 2 1 2 2 1
0 0 0
(2 )2 ( 1) ( 1) ( 1)
(2 1)! (2 )! (2 1)!
m n pm n p
m n p
x x x
m n p
12) Demuestre que la serie
3 5...
1 3 5
Senx Sen x Sen x
es convergente para todos los valores de x. Usar la
identidad
2 ( ) ( )SenASenB Cos A B Cos A B .
13) Demostrar las identidades
2 12 ( 2 ... )
2 2 2
x x kSen Senx Sen x Senkx Cos Cos x
,
2 12 ( 2 ... )
2 2 2
x k xSen Cosx Cos x Coskx Sen x Sen
.
14) Analizar la convergencia de cada serie, clasifican-
do los valores de x en aqullos para los cuales la serie