1.1 gráficas de ecuaciones en dos variables · una forma de esbozar o trazar (“sketch”) la...
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1.1
Gráficas de Ecuaciones en dos
variables
MATE 3002
Presentación 1
Slide 1.1 - 2
Sistema de coordenadas cartesianas
• Se basa en dos líneas
perpendiculares
llamadas eje de x y eje
de y.
• Dividen el plano en
cuatro cuadrantes
• La intersección de
los dos ejes se
llama el origen.
• Cada punto P en el
plano corresponde a un
par ordenado (x, y) de
coordenadas.
• Observemos los signos
de la coordenadas.
Slide 1.1 - 3
Al localizar un punto en el plano cartesiano, la primera
coordenada, x, indica las unidades a moverse a la izquierda o la
derecha, partiendo del origen. La segunda coordenada, y, nos
indica las unidades a moverse hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo:
Localizar (3, 5).
Mover 3 unidades hacia
la izquierda.
Luego, mover 5 unidades
hacia arriba.
Localiza el punto.
(–3, 5)
Slide 1.1 - 4
Identificar las coordenadas de los puntos
¿Cuáles son las
coordenadas de:
A?
B?
C?
D?
E?
F?
G?
Slide 1.1 - 5
Identificar las coordenadas de los puntos
P
Q
Slide 1.1 - 6
Soluciones de ecuaciones
Ecuaciones en dos variables tienen soluciones que se
expresan como el par ordenado (x, y).
Ejemplos: 2x + 3y = 18
2x2 – 3y + x – 3 = 0
y =3
4𝑥−1
Una solución de una ecuación en dos variables es un par
ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer
valor en x y el segundo en y produce un enunciado
cierto.
Slide 1.1 - 7
Ejemplos
a.
Determina si el par
ordenado (5, 7) es una
solución de 2x + 3y = 18.
2(5) + 3(7) ? 18
10 + 21 ? 18
11 = 18
FALSO
(5, 7) no es solución.
b.
Determina si el par
ordenado (3, 4) es una
solución de 2x + 3y = 18.
2(3) + 3(4) ? 18
6 + 12 ? 18
18 = 18
CIERTO
(3, 4) es solución.
Slide 1.1 - 8
¿Es solución de la ecuación?
(-2, -1); 2x2 – 3y + x – 3 = 0
2(-2)2 – 3(-1) + (-2) – 3 = 0 (Reemplazar valores de x, y)
2(4) + 3 – 2 – 3 = 0
8 – 2 = 0
6 ≠ 0 (Se produce un enunciado FALSO.)
(-2, -1) NO es solución.
Slide 1.1 - 9
Gráfica de una Ecuación
La gráfica de una ecuación es un dibujo o boceto del
conjunto de todas las soluciones de una ecuación.
Slide 1.1 - 10
Intercepto en x
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).
El int-x es un punto con forma (a, 0). Para hallar el valor de a, asignamos y = 0. Luego, resolvemos para x.
Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.
2x + 3(0) = 18
2x = 18
x = 9
El int-x es (9, 0).
Slide 1.1 - 11
Intercept - y
Es el punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y (abreviaremos int-y).
El int-y es un punto con forma (0, b). Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.
Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.
2(0) + 3y = 18
3y = 18
y = 6
El int-y es (0, 6).
Slide 1.1 - 12
Identificar los
interceptos en
la gráfica
int – y:
(0, -10)
int – x:
(-5, 0)
(2.5, 0)
Slide 1.1 - 13
Esbozar o trazar una gráfica
Una forma de esbozar o trazar (“sketch”) la gráfica de
una ecuación es determinar suficientes soluciones
de la ecuación (puntos en la gráfica), hasta obtener
una imagen clara de la forma general de la gráfica.
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.
Ya sabemos que el int – x es: (9, 0)
Ya sabemos que el int – y es: (0, 6)
Slide 1.1 - 14
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18
(cont.)
Determinamos una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, luego
2 5 3y 18
10 3y 18
3y 8
y 8
3
Por lo tanto, es una solución. 5,8
3
Slide 1.1 - 15
Ejemplo (cont.)
Trazar la gráfica:
2x + 3y = 18.
int-x:
(9, 0)
int-y :
(0, 6)
Tercer punto:
5,8
3
Slide 1.1 - 16
Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0
Para facilitar la determinación de soluciones
reescribimos la ecuación como: y = 2x – 1 .
Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x:
x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Y determinamos los valores correspondientes de y
para cada valor.
Finalmente, organizamos los pares ordenados en una
tabla conocida como una tabla de valores.
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Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0 (cont.)
Completa la tabla:
Localiza los puntos en un plano.
Observa y continúa el patrón.
a medida que x se hace más
grande, y se hace más grande.
Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la
forma típica de una ecuación lineal.
Slide 1.1 - 18
Otro ejemplo
Esboce la gráfica de y = x2 – 3 .
Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de
valores:
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
Slide 1.1 - 19
Ejemplo (cont.)
El punto (0, -3) parece dividir la
gráfica en dos partes iguales.
A la izquierda del (0, 3),
notamos que a medida que x
se hace más grande, y se hace
más pequeño.
A la derecha del (0, 3), notamos
que a medida que x se hace
más grande, y también se
hace más grande.
Slide 1.1 - 20
Ejemplo (cont.)
Unimos los puntos con una
curva suave, (sin picos
ni brincos) siguiendo el
patrón que observas.
Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola. Es la
forma típica de una ecuación cuadrática.
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Trazar la gráfica: y = 9 – x2
Hallar los interceptos
int-y (poner x = 0)
y = 9 – (0)2 = 9 int-y es (0,9)
int-x (poner y = 0)
9 – x2 = 0
Por inspección podemos observar que:
9 – (3) 2 = 0 y 9 – (-3)2 = 0
Por lo tanto, los intercepto en x son
𝟑, 𝟎 𝒚 −𝟑, 𝟎
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Elige unos valores para x, luego completa la tabla
para y.
Tenemos además los interceptos: 𝟑, 𝟎 𝒚 −𝟑, 𝟎
Localizamos los puntos en un plano cartesiano:
Esboce la gráfica: y = 9 – x2
x -4 -2 0 2 4
y
x -4 -2 0 2 4
y -7 5 9 5 -7
Slide 1.1 - 23
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• El punto (0, 9) parece
dividir la gráfica en dos
partes iguales.
• A la izquierda del (0, 9):
a medida que x se
hace más grande, y se
hace más grande.
• A la derecha de este
punto: a medida que x
se hace más grande, y
se hace más pequeño. x -4 -2 0 2 4
y -7 5 9 5 -7
Esboce la gráfica: y = 9 – x2
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Esboce la gráfica: y = 9 – x2
• Unir los puntos
con una curva
suave, (sin
picos ni brincos)
siguiendo el
patrón que se
describió.