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Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Herramientas para construir prismas y pirámides
1. Construye tú, o describe cómo se haría, y dibuja el resultado final en cada caso.
•Untroncodepirámide •Unapirámidetriangular. •Dospirámidescuadrangulares pentagonal. pegadasporlasbases.Sellama octaedro.
•Seensamblanlascuerdasenlosvérticescorrespondientesdeambasfiguras, lagrandeylapequeña,ysetensanluego.
•Seatanlastrescuerdasjuntasporunextremo.Elotroextremodecadaunaseensamblaacadaunodelosvérticesdeltriángulo.
•Seatanlosextremosdecuatrocuerdasporunladoydelasotrascuatroporotrolado.Losotrosochoextremosseensamblandedosendosencadavérticedelcuadrado.
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2
Experimenta y descubre cuerpos geométricos
2. Dibujaelcuerpogeométricoquesegeneraalhacergirar,encadacaso,lacartulinaalre-dedordelpalillo.
Troncodecono. Dosconos Mediaesfera. Cilindroconun unidosporlabase. conoencadabase.
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1 Prismas
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1. Observalossiguientesprismas:
A B C D
a)¿Quétipodeprismaescadauno?
b)Indicacuálessonregulares.
c)DibujaeldesarrolloplanodelprismaA.
a)A:Triangular,regular.
B:Cuadrangular,noregular.
C:Pentagonal,noregular.
D:Hexagonal,regular.
b)SonregulareselAyelD.
c)
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2. Laalturadeunprismarectoesde20cm.Susbasessontrapeciosrectángulostalesquelasbasesdeltrapeciomiden11cmy16cm,ylaaltura,12cm.Hallaeláreatotaldelprisma.
Alat=1040cm2
Abase=162cm2 →Suáreatotalesde1364cm2.
16 cm
11 cm12 cm
20 cmd
3. Hallaeláreatotaldeuncubode10cmdearista.
Cadacara:A=100cm2
Atotal=600cm2
4. Lasdimensionesdeunortoedroson4cm,3cmy12 cm.Hallaeláreatotalylalongituddeladiagonal.
d'=5cm
Atotal=2(4·3+4·12+3·12)=192cm2
d=13cm5 cm
3 cm
4 cm 12 cm dd'
5. Labasedeunortoedroesunrectángulodelados9 cmy12cm.Ladiagonaldelortoedromide17cm.Calculalaalturadelortoedroysuáreatotal.
d'=15cm
d=8cm
Laalturaes8cm.9 cm
15 cm
12 cm17 cm
dd'
Atotal=2(9·12+9·8+8·12)=552cm2
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2 Pirámides
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1. Hallaeláreatotaldeunapirámideregularcuyabaseesuncuadradode10cmdeladoycuyaalturaesde12cm.
10 cm12
cm
a'=5cm
Apotemadelapirámide,a= 12 52 2+ =13cm
Atotal=100+·2
40 13 =360cm2
2. Labasedeunapirámideregularesunpentágonode16dmdeladoy11dmdeapotema.Laalturadelapirámideesde26,4dm.Hallasuáreatotal.
26,4 dm
11 dm16 dm
Apotema,a= ,26 4 112 2+ =28,6dm
Atotal=· · · · ,2
16 5 112
16 5 28 6+ =1584dm2
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3 Troncos de pirámide
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1. Hallaelárealateraldeuntroncodepirámidehexagonalregularcuyasdimensionessonlas del dibujo.
38 cm
20 cm
41 cm
a= 41 9–2 2 =40cm
Alat=· ·
26 20 6 38+ ·40=6960cm2
938 cm
20 cm
41 cm a
2. Unapirámide regulardebasecuadradade10cmde ladoyarista lateralde13cmescortadaporunplanoamitaddesualtura.Hallaeláreatotaldeltroncodepirámidere-sultante.
10 cm
6,5 cm
6,5 cm
,y
56 513= →y=2,5
x= , ,6 5 2 5–2 2 =6cm a= , ,6 5 2 5–2 2 =6cm
5 cm 2,5 cm
6,5 cm
6,5
6,5
y
x
x a
5 cm 2,5 cm
6,5 cm
6,5
6,5
y
x
x a
AA
A
25100
4 210 5 6 180
cmcm
· · cm
2
2
2
BASE MENOR
BASE MAYOR
LAT
==
= + =c m
_
`
a
bbb
bb
Atotal=25+100+180=305cm2
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4 Poliedros regulares
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1. Considerandolasumadelosángulosquecoincidenencadavértice,justificaporquénosepuedeconstruirunpoliedroenlossiguientescasos:
a)Con6triángulosequiláterosencadavértice.
b)Con4cuadradosencadavértice.
c)Con4pentágonosregularesencadavértice.
d)Conhexágonosregularesopolígonosregularesdemáslados.
a)Sumarían360°yesoesplano,nosepuedetorcer.
b)Tambiénsuman360°,yesplano.
c)Miden432°yesoesmásqueunplano.Sesuperpondrían.
d)Contreshexágonossuman360°,esunplano;yconsolodosnosepuedeformar.Lospo-liedrosregularesdemásladostienenángulosmayoresque360°y,portanto,nopodemos,puestoquesesuperpondrían.
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2. Hallaeláreade:
a)Untriánguloequiláterodelado2cm.
b)Uncuadradodelado2cm.
c)Unpentágonoregulardelado2cmyapotema1,38cm.
a)
h= 2 1–2 2 =1,73cm
A= · ,2
2 1 73 =1,73cm2
h
2 cm1 cm
2 cm2 cm
b)A=4cm2
c)A= ( · ) · ,2
5 2 1 38 =6,9cm2
3. Hallaeláreade:
a)Untetraedro.
b)Uncubo.
c)Unoctaedro.
d)Undodecaedro.
e)Unicosaedro.
Todosellostienen2cmdearista.
Tomamoslosdatosobtenidosenelejercicioanterior.
a)A=4·1,73=6,9cm2
b)A=6·4=24cm2
c)A=8·1,73=13,84cm2
d)A=12·6,9=82,8cm2
e)A=20·1,73=34,6cm2
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5 Secciones planas de poliedros
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1. Indicapordóndehayquecortaresteoctaedroregularparaobtener:
a)Uncuadrado.
b)Elcuadradomásgrandeposible.
c)Untrapecio.
d)Unhexágono.
e)Unpentágono.
a)Porunplanoperpendicularasudiagonal.
b)Porunplanoperpendicularaladiagonalenlamitaddelamisma,estoes,porelcentrodeloctaedro.
c)Elplanodelapartadob)loinclinamostomandocomoejesobreelquegiraunadelasaristasdelcuadrado.
d)Porunplanoquepaseporelcentrodeloctaedroyseaparaleloaunadelascaras.
e)Elplanopasaríaporunvérticeydospuntosdearistasquenoconcurrenenesevértice.
2. Observaelicosaedroregularycontesta:
a)Siunplanocortaalascincoaristasquesalendeunvértice,¿quéfiguraseobtiene?
b)Sicortamosporunplanoparaleloaunacaraypróximoaella,¿quéobtene-mos?
c)¿Sepodríaobtenerundecágonoregularapartirdeuncorte?
a)Unpentágono.
b)Unpolígonodenuevelados.
c)Obtendríamosundecágonoregularsicortásemosporunplanohorizontal,estandoelico-saedroapoyadosobreunvértice,amitaddelaalturadeladiagonalqueuneesevérticeconelopuestoaél.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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3. Cortandouncubodeestaformaseobtieneunhexágonoregular.
a)¿Cuántomideellado?¿Ylaapotema?
b)Calculasuárea.
c)¿Quévolumentienecadaunadelaspartesenquequedadividido?
a)Elladomide 2 =1,41cmylaapotema1,22cm.
1 cm
1 cm
b)Eláreamide · , · ,2
6 1 41 1 22 =5,16cm2.
c)Cadapartetendrálamitaddelvolumendelcubo,puestoqueelcortedividealcuboendospartesiguales,asíqueelvolumendecadaparteseráde4cm3.
4. Cortandountetraedroregulardeestemodo,seobtieneuncuadrado.Noesnadadifícilcalcularsuárea.¿Sabríascalculareláreatotaldecadaunodelosdoscuer-posquequedan?
Losdoscuerposquequedansonigualesysuscarassondostriángulosequiláterosdearista1 cm,elcuadradode1cmdeladoydostrapeciosdebases1cmy2cmyaltura
1 cm
1 cm
23cm.
Por tanto, la sumade estas áreas es:·1
· · ·2 223
2 21 2
23 1 2 3 1+ + + = +` j cm2,
queeseláreadecadaunodelosdoscuerposquequedan.
5. Esteotrocorteesuntrapecio.¿Cuántomidelabasepequeña?¿Porquélabasemayoreseldoblequelamenor?
Sisualturaes1,66cm,¿cuálessuárea?¿Cuáleseláreadelrectánguloverde?
Labasepequeñadeltrapeciomide1cm,puesquedaarribaenlacaradondeseapoya
untriánguloequiláterodearista1cm.
1 cm
1 cm
1 cm
Labasemayoreseldoblequelamenoryaqueeltriánguloquedeterminaenlacaradeltetraedrosobrelaqueseapoya,esequiláterodearista2cm.
Suáreaes: 21 2+ ·1,66=2,49cm2,yeláreadelrectánguloverde,delados1cmy2cmes:
2 cm2.
6. Alcortarundodecaedroporunplano,¿esposibleobtenerunrectángulo?¿Yuncuadrado?
Unplanocortaaldodecaedroendostrozosigualespasandopordosaristasopuestas.
¿Quépolígonoeslasecciónobtenida?
Lasecciónobtenidaesunhexágono.
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6 Cilindros
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1. Dibuja en tu cuaderno los cilindrosque se generan alhacer girar esterectánguloalrededorde:
a) CD b) BD
A B
C Da) b)
2. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de0,6 mderadiodelabasey1,8mdealtura?
2·π·0,6·1,8+2·π·0,62=2,16π+0,72π=9,0432m2dechapa.
3. Sehandeimpermeabilizarelsueloylasparedesinterioresdeunaljibecilíndricoabiertoporarriba.Elradiodesubasemide4m,ylaaltura,5m.Sicuesta18€impermeabilizar1m2,¿cuáleselcostedetodalaobra?
Aaljibe=2π·4·5+π·16=56π=175,84m2
Costará175,84m2·18€/m2=3165,12€.
4. Dibujaeldesarrollodeuncilindrorectocuyabasetiene2cmderadioycuyaalturaesde8cm.
12,56 cm
2 cm
8 cm
5. Tomaalgunasmedidasydecidecuáldelossiguientesdesarrolloscorrespondeauncilindro.
Elprimero.
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7 Conos
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1. Calculaelárealateralyeláreatotaldeestecono,sabiendoque:
MO =84cm
MN =85cm
ON 85 84–2 2= =13cm
Alat=π·13·85=3469,7cm2
Atotal=3469,7+530,66=4000,36cm2N
M
O
2. Dibujalosconosqueseobtienenalhacergirarestetriángulorectángulo:
a)AlrededordeAC.
b)AlrededordeBC.
Calculaeláreatotaldeambos.
A
C B
16 cm
30 cm
a) b)
30 cm30 cm
34 cm
34 cm
16 cm
16 cm16 cm
Alat=30·π·34=3202,8cm2 Alat=16·π·34=1708,16cm2
Atotal=3202,8+2826=6028,8cm2 Atotal=1708,16+803,84=2512cm2
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8 Troncos de cono
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1. Elconocuyabasetieneunradiode12cmycuyaalturaesde16cmescortadoporunplanoperpendicularasuejequepasaa4cmdelabase.
Hallalasdimensiones,elárealateralyeláreatotaldeltroncodeconoqueseforma.
'r12 16
12= →r'=9cm
'g
12 1620= →g'=15cm
Alat=12·π·20–9·π·15=329,7cm2
Alat+Binf=329,7+π·122=781,86cm2
12 cm
5 cm
g = 20 cm
4 cm
12 cm16 cm
r'
g'
Atotal=781,86+π·92=1036,2cm2
2. Hallalasuperficiedeunaflaneraabiertaporarriba,conlassiguientesmedidas:radiodelasbases,10cmy15cm;generatriz,13cm.
g g10 15
13=
+→g=26cm
Alat=15·π·39–10·π·26=1020,5cm2
Atotal=1020,5+π·102=1334,5cm2
15 cm
g = 26 cm
12 cm
24 cm
13 cm
10 cm
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3. Ennuestro jardín tenemos32macetonescon formade troncodecono.Losradiosdesusbasesmiden14 cmy20cm,respectivamente,ysugeneratriz,38 cm.Calculacuántocuestapintarlos(sololaparteexterior)arazónde40€pormetrocuadrado.
Alat=π·(14+20)·38=4056,88cm2
Alattodos=4056,88·32=129820,16cm2=12,982016m2≈13m2
Costaráaproximadamente520€.
4. Observaestetroncodeconocuyasbasestienenradiosde17cmy22 cm,ycuyaalturaesde12 cm.
22 cm
17 cm
12 cm
a)Hallasugeneratriz.
b)Calculasuárealateral.
c)Hallaeláreatotal.
22 cm
g = 13 cm12 cm
17 cm
5 cm
a)g= 12 52 2+ =13cm
b)Alat=π(r+r' )·g=1591,98cm2
c)Atotal=1591,98+907,46+1519,76=4019,2cm2
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9 Esferas
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1. Enunaesfera terrestreescolarde20cmderadioestánseñaladas laszonasclimáticas.Sabemosquecadacasquetepolartiene2cmdealtura,ycadazonatemplada,10cmdealtura.
POLAR
TEMPLADA
CÁLIDA
TEMPLADA
POLAR
Hallalasuperficiedecadazonaclimática.
Zonaspolares→20·2·2·π·2=502,4cm2
Zonastempladas→2·2·π·20·10=2512cm2
Zonacálida→2·16·π·20=2009,6cm2
2. Sehacaídounbalóndefútbolenunbarreñollenodepinturaverde.Sabemosquelasuperficiedelbalónesde6079cm2.Sisehahundidounos15cmenlapintura,¿quéproporcióndebalónsehamanchadodeverde?
Toma el valor de π como 3,14.
Despejandoelradiodelafórmuladelasuperficiedelaesfera,obtenemosqueesaproximada-mente22cm,porloquelasuperficiequesemanchadepinturaseráde:
2·22·π·15=2072,4cm2
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10 Secciones de esferas, cilindros y conos
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1. Unaesferade12cmdediámetrosecortaporunplanoobteniendounaseccióncircularcuyasuperficiees72,3456cm2.Calculaladistanciadelplanoalcentrodelaesfera.
Toma el valor de π como 3,14.
S=π·r2=72,3456cm2→r=4,8cm
d= ,6 4 8–2 2 =3,6cm
rd 612
2. Uncubocilíndricode10,5cmdealturacuyabasemide7cmderadioestállenodeagua.Loinclinamosparavaciar lamitaddesucontenido. ¿Cuántomidenlosdosejesde laelipsequeformalasuperficiedelagua?
Elejemayormide:x= ,14 10 52 2+ =17,5cm
Elejemenormidelomismoqueeldiámetrodelcubo,14cm.14 cm 10,5 cm
7 cm
3. Indicapordóndedebecortarunplanoalcilindroparaobtener:
a)Unrectángulo.
b)Elmayorrectánguloposible.
c)Uncuadrado.
d)Laelipseconelejemayormásgrandeposible.
a)Porunplanoperpendicularalasbases.
b)Porunplanoperpendicularalasbasesquepaseporcualquierdiámetrodeesasbases.
c)Porunplanoperpendicularalasbasesquepaseporunacuerdadelacircunferenciadelabasequemidalomismoquelaalturadelcilindro.
d)Esteejemayortendrádelongitudladiagonaldelcilindro(segmentoquevadeunpuntodelabasesuperioralopuestodelabaseinferior).Elplanoeselmismoqueapareceeneldibujodelejercicio2formadoporlasuperficiedelagua.
4. Sielcilindrodelaactividadanteriortuvieraunaalturamayorqueeldiámetrodesuba-se,¿seríaposibleobteneruncuadrado?Explicaporqué.
Noseríaposible,puesdosdelosladosdelcuadradoseríanesaaltura,ylalongitudmayorpo-sibleparalosotrosdosladosseríajustoesadiagonaldelabasequemeestándiciendoqueesmenorquelaaltura.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Ejercicios y problemas
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Tipos de cuerpos geométricos
1. Indica cuálesde estospoliedrosno soncatalogables entre los conocidos (prisma,pirámide,troncodepirámide,poliedroregular).Catalogalosdemás.
a) b) c)
d) e) f )
g) h) i)
a)Prismaoctogonalrecto b)Troncodepirámidehexagonal c)Octaedro
d)Pirámidepentagonalrecta e)Nocatalogable f )Ortoedro
g)Prismatriangularrecto h)Nocatalogable i)Pirámidetriangular
2. Explicaporquéestospoliedrosnosonregulares.
a)Pirámidecuadrangularregular.
b)Estepoliedrocuyascarassonrombosiguales:
c)Estepoliedroformadoporseistriángulosequiláteros:
a)No,porquenotodassuscarassonpolígonosregularesiguales.
b)Porquesuscarasnosonpolígonosregulares.
c)Porqueenalgunosvérticesconcurrentrescarasyenotros,cuatro.Paraquefueraregulardeberíanconcurrirelmismonúmerodecarasentodoslosvértices.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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3. ¿Sontodasestasfigurascuerposderevolución?Identificalasquereconozcas.
a) b) c)
d) e) f )
Todassoncuerposderevolución,lasconocidasson:
a)Mediaesfera c)Cono
d)Cilindro e)Troncodecono
4. Dibujaloscuerposderevolucióngeneradosalgirarcadaunadeestasfigurasalre-dedor del eje.
a) b) c)
Relacionacadaunadelasfigurasquehasdibujadoconunadelejercicioanterior.
a)Aldibujarestafigurasaleunconocomoeldelafigurac)delejercicioanterior.
b)Aldibujarestafigurasaleuncilindrocomoeldelafigurad)delejercicioanterior.
c)Aldibujarestafigurasaleunabombillacomolafiguraf )delejercicioanterior.
5. Dibujaentucuadernolafigurayelejesobreelquedebegirarparagenerarlosob-jetosdelosapartadosa),b)ye)delejercicio3.
a) b) e)
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Desarrollo de cuerpos geométricos
6. ¿Concuálesdeestosdesarrollossepuedencompletarunpoliedroouncuerpoderevolución?Catalogaaquellosquesepuedancompletar.
a) b) c)
d) e) f )
g) h) i)
a)Esunortoedro. b)Esunapirámidecuadrangularconbaserectangular.
f )Esunapirámidepentagonal. h)Esuncilindro.
Conc),d),e),g)ei)nosepuedenconstruirnipoliedrosnicuerposderevolución.
7. Dibujadeformaaproximadaeldesarrolloplanodelospoliedrosdelosapartadosa),b),d),f)yg)delejercicio1.
a) b) d)
f ) g)
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Áreas de cuerpos geométricos
8. Calculaeláreadecadacuerpogeométrico:
10 cm
20 cm15 cm
5 cm2 m 7 mm
10 m
m 3 mm
2 dm 4 cm
6 cm
5 dm
6 m
2 m
12 cm
4 cm
3 cm
5 km
11 m
60 m
8 m
3 cm
2,1
cm
10 dm
3 dm
a) b) c)
d) e) f )
g) h) i)
j) k) l)
16 m
a)Atotal=4·2·6+2·22=56m2 b)Atotal=· ·
24 7 4 3+ ·10+72+32=258mm2
c)Atotal=2·π·5·15+2·π·52=628cm2 d)Atotal=4·π·52=314km2
e)Atotal=· · · ·
25 16 60
25 16 11+ =2840m2
f )g= 20 102 2+ =22,4cm g)g= 4 32 2+ =5cm
Atotal=π·10·22,4+π·102=1017,36cm2 Atotal=π·(6+3)·5+π·62+π·32=282,6cm2
h)Atotal=6·2·5+2·· · ,
26 2 1 7 =80,4dm2 i)Atotal=3·4·6+2·
· ,2
4 3 5 =86cm2
j)Atotal=12·· · ,
25 3 2 1 =189cm2 k)Atotal=8·
· ,2
8 6 9 =220,8m2
l)Atotal=2·π·10·3=188,4dm2
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9. Hallaeláreatotaldeunapirámidehexagonalregularconaristaslateralesde13cmyaristasdelabasede10cm.
Alturadeunacaralateral,h=12cm
a= 10 5 75–2 2 = ≈8,66cm
Abase=· · ,
210 6 8 66 =259,8cm2
Alat=10·12·3=360cm2 Atotal=619,8cm2 10 cm
13 cm
a
10. Calculaeláreatotaldeunprismarectode15cmdealturacuyasbasessonromboscuyasdiagonalesmiden16cmy12cm.
Arombo=·2
16 12 =96cm2 x= 8 62 2+ =10cm
Alat=10·15·4=600cm2 Atotal=600+2·96=792cm2
x
11. Labasedeunapirámideregularesuncuadradode6dmdelado.Sualturaesde4 dm.Calculasuáreatotal.
Alturadeunacaralateral,h= 4 32 2+ =5dm
Abase=36dm2
Alat=5·3·4=60dm2 Atotal=36+60=96dm2
6 dm
4 dm
12. Lasbasesdeuntroncodepirámideregularsoncuadradosde10cmy20cmdela-do,respectivamente.Lasaristaslateralesmiden13cm.Hallasuáreatotal.
Alturadeunacaralateral,h= 13 5–2 2 =12cm
Abases=202+102=500cm2 Alat= 220 10+ ·12·4=720cm2
Atotal=720+500=1220cm2
10 cm
20 cm
13 cm
13. Hallaeláreatotaldeunprismahexagonalregularcuyaaristalateralmide4cm,ylasaristasdelabase,2cm.
Apotemadelabase,a= 3≈1,73cm
Abases=6·1,73·2=20,76cm2
Alat=2·4·6=48cm2
Atotal=20,76+48=68,76cm2
14. Unapirámide regular tieneporbaseunpentágono regularde2,5mde lado.Laapotemadelapirámidemide4,2m.¿Cuálessusuperficielateral?
Alat=, · ,
22 5 4 2 ·5=26,25m2
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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15. Hallaeláreatotaldeestoscuerpos:
4,5 cm 16 cm
17 cm
a) b)
6 cm
2 cm
a)Atotal=π(4,5+2)·6,5+π·22+π·4,52=208,81cm2
b)Atotal=π·8·17+82·π=628cm2
16. Calculaeláreatotaldeunortoedrodedimensiones3cm,4cmy12cm.Hallatam-biénlalongituddesudiagonal.
Atotal=3·4·2+12·4·2+12·3·2=192cm2
d= 12 3 42 2 2+ + =13cm
17. Calculalassuperficiesdelcasqueteesféricode2 dmdealturaydeunazonaesféricade4dmdealturacontenidosenunaesferade10dmdediámetro.
Acasqueteesférico=2π·5·2=62,8dm2
Azonaesférica=2π·5·4=125,6dm2
10 dm
2 dm
4 dm
18. Eláreatotaldeuncuboesde150dm2.Hallasudiagonal.
A=l2·6=150→l2=25→l=5dm
d= 5 5 5 5 32 2 2+ + = ≈8,66dm
Secciones en los cuerpos geométricos
19. Buscaydibujalosposiblescortesdeunplanoconcadaunodeestoscuerposgeomé-tricosparaobteneruncuadrado,unrectángulo,untrapecio,unacircunferencia,unaelipse,unpentágonoyunhexágono.a) b)
Uncuadrado→Enb),planosperpendicularesalaaltura.
Unrectángulo→Enb),planosperpendicularesalabase.
Untrapecio→Ena),planosquecortenalasdosbases.
Unacircunferencia→Ena),planosparalelosalasbases.
Unaelipse→Ena),planosinclinadosquenocortenalasbases.
Unpentágono→Enb),planoporunvérticeyquecortelacaraopuesta.
Unhexágono→Enb),planoinclinadoquecortealasdosbases.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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20. Observaestecilindroylasseccionesquepodemosobtenerenél.Laprimeraeselmayorrectánguloylasegunda,lamayorelipse.
10 cm
16 cm
a)Hallalasdimensionesdelrectánguloydelaelipse.
b)¿Pordóndehabríaquecortarelcilindroparaobtenerunrectángulocuyaalturafueraeldoblequelabase?¿Yunaelipsecuyosejesmayorymenorfueran12,5cmy10cm,respectivamente?
a)rectángulo:largo→16cm;ancho→10cm
ejesdelaelipse:mayor→ 16 102 2+ =18,87cm;menor→10cm
b)Paraobtenereserectángulohabríaquecortarelcilindroporunplanoperpendicularalabase,a3cmdelcentrodelamisma.
8 cm
10
12,5
cm16x
5 5d
d= 5 4–2 2 =3cm
Paraobteneresaelipsehabríaquecortarelcilindroporunplanoinclinadoquepasaseporunpuntodelacircunferenciadelabaseyporunpuntoa7,5cmdealturaenunagenera-trizopuesta.
8 cm
10
12,5
cm16x
5 5d
x= ,12 5 10–2 2 =7,5cm
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Resuelve problemas
21. Begoñahapartidopara la familiauna sandía endos trozosy entre todos sehancomidoeltrozogrande.Eltrozopequeñoesuncasquetede14cmdealturaenelcualvemosunaseccióndecircunferenciade56cmdediámetro.¿Quéradioteníalasandía?
Haciéndolocomoenelejemploresueltodearriba:
r2=(r–14)2+ 256 2c m =35
Elradiodelasandíaerade35cm.
22. Marcoshacortadounasandíade15cmderadio.Lazonarojacomestibleocupaunasuperficiedeunos407cm2quecorrespondeal90%delasección.¿Aquéalturasehacortadolasandía?
15 cm
El100%delasecciónporlaquesehacortadolasandíaes 90407 ·100=452,22cm2.
Despejandodelafórmuladeláreadeuncírculo,seobtienequeelradiodelasecciónesde
aproximadamenter= ,π
452 22 =12cm,portantolaalturaalaquesehacortadolasandía
esah= 15 12–2 2 =9cmdelcentro.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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23. Queremosforraruncajóndeembalajededimensiones0,6m×0,5m×0,4mconunachapametálica.
a)¿Cuántocostaráhacerlosilachapaestáa18€/m2?
b)Siqueremoscubrir lasaristasconunembellecedordemaderade23€/m,¿cuántodinerohemosdepagar?
a)A=2(0,6·0,5+0,5·0,4+0,6·0,4)=1,48m2
Elprecioes1,48·18=26,64€.
b)Lasumadelongitudesdetodaslasaristases6m.
Hemosdepagar23·6=138€.
24. Deseamosconstruirconalambreselesqueletodetodoslospoliedrosregulares,demodoquecadaunadelasaristasmida1dm.¿Quécantidaddealambreutilizaremosencadaunodeellos?
tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro
número de aristas 6 12 12 30 30longitud total 6dm 12dm 12dm 30dm 30dm
25. Aníbal quiere forrar un cubo de 4 cm de arista con láminas de oro a 5 €/cm2. ¿Cuántolecostará?
Finalmente,hadecididocortarloparahacerdospisapapeles iguales,peronosabedequéformahacerlodemaneraquealforrarlolesalgamásbarato:comoindicalafiguraIocomoindicalaII.¿Puedesayudarle?
I II
Eláreatotaldelcuboes6·42=96cm2.
AAntoniolecostaráforrarelcubo96·5=480€.
I Eláreadecadamitades48+4·4 2 =70,63cm2.
II Eláreadecadamitades48+42=64cm2.
Laopción II tienemenorsuperficie.Es,portanto,laopciónmásbarata.
26. Lasparedesdeunpozode12mdeprofundidady1,6mdediámetrohansidoen-foscadasconcemento.Elpreciodeltrabajoesde40€elmetrocuadrado.¿Cuálhasidoelcoste?
2πrh=60,288m2→Elcostehasidode2411,52€,aproximadamente.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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27. Unpintorhacobrado1000€porimpermeabilizarelinteriordeldepósitosintapadelaizquierda.¿Cuántodeberácobrarporimpermeabilizareldeladerecha,tambiénsintapa?
4 m2 m 1 m
2 m
Eláreadelaesferacompletaesigualqueladelcilindro.
Eláreadeldepósitodeladerecha,de3mdealtura,eslas43 partedeladelcilindro.
Portanto,elcosteserá43 ·1000=750€.
28. Unaverjasecomponede20barrotesdehierrode2,5mdealturay1,5cmdediá-metro.Hayquedarlesunamanodeminioarazónde24€/m2.¿Cuáleselcoste?
Superficiedeunbarrote=2π·0,0075·2,5=0,11775m2
Superficietotal=0,11775·20=2,355m2
Coste=2,355·24=56,52€.
29. Unacajaenformadeortoedrotiene9dmdelargay6dmdeancha.Susuperficietotales228dm2.Hallasualturaysudiagonal.
Atotal=9·h·2+9·6·2+6·h·2=108+30h=228→h=4dm
d= 4 6 9 1332 2 2+ + = ≈11,53dm
30. Maríacortaunquesodebolade16cmdediámetrodetalmaneraqueseobtieneunacircunferenciade6,4cmderadio.¿Quéalturatienenlosdosquesossiseapoyansobreelcorte?¿Porqué?
82=x2+6,42→x=4,8
Eltrozograndetendráunaalturade4,8+8=12,8cmyeltrozopequeño,8–4,8=3,2cm.
16 cm8 cm
6,48 – x
x
31. Ejercicio resuelto.
Ejercicioresueltoenellibrodelalumnado.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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32. Unvasocuyabasetieneundiámetrode4cmsehallenadodeaguahastalamitad.Loinclinamoshastaquelleguealbordeysehaformadounaelipseeltripledelargaquedeancha.¿Quécantidaddeaguacontieneelvaso?
Laalturadelvasoes:alt= 12 4–2 2 =11,3cm
Elvolumendelvasoes:V=π·22·11,3≈142cm3
Hay71cm3deagua,aproximadamente.
33. Indicapordóndedebecortarunplanoaesteprismaparaobtener:
a)Uncuadrado.
b)Eltriánguloconmayoralturaposible.
c)Elrectánguloconmássuperficieposible.
d)Unpentágonoregularyunoirregular.
e)Eltrapecioconmayoráreaposible.
a) b)
c) d)Pentágonoregular:planoparaleloalasbases.
Pentágonoirregular:planoinclinadoparaleloalasbasesyquecortealascincocaraslaterales.
e)
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Problemas “+”
34. Dibujaentucuadernoeldesarrollodeuntroncodepirámidecuadrangularregularcuyasaristasmiden:lasdelabasemayor,4cm;lasdelamenor,2 cm,ylaslaterales,5 cm.
Hallasuáreatotal. (Lascaras lateralessontrapecios.Compruebaquesualturaesde4,9 cm).
Alturadeunacaralateral,h= 5 1–2 2 =4,9cm
Atotal=22+42+4· 22 4+c m·4,9=78,8cm2
4 cm
5 cm
2 cm
35. Eldesarrollolateraldeunconoesunsemicírculoderadio12cm.
Hallaelradiodesubaseysualtura.
2πr=12π→r=6cm
122=62+h2→h= 108=10,39cm
36. a)Compruebaquelaalturadeestetriángulorectánguloesde4,8cm.
6 cm8 cm
10 cm
b)Hallalasuperficietotaldelasfigurasengendradasporestetriánguloalgiraralrede-dor de cada uno de sus lados.
I II
6
6
68
8
8
III
a) ·2
8 62
10 · h = →h=4,8cm
b) I π·6·10+π·62=301,44 II π·8·10+π·82=452,16
III π·4,8·8+π·4,8·6=211
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37. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cmde lado yaltura12cmescortadaporunplanoamitaddesualtura.Hallaeláreatotaldeltroncodepirámideresultante.
Apotemadelapirámidegrande,a= 12 52 2+ =13cm
10 cm
12 c
m
6 cm
, · ·A A
A A A
4 210 13 260
41 260
41 65
pirámide grande cm
pirámide cmpequeña,
12
2 12
LAT
LAT
= =
= = =
_
`
a
bb
bbAlattronco,A=A1–A2=
=260–65=195cm2
Atotaltronco=195+102+52=320cm2
38. Labasedeunapirámide regular esunhexágonode10 cmde lado.Su altura es24 cm.
Secortaporunplanoquepasaa18cmdelabase.Hallaeláreatotaldeltroncodepirá-midequeresulta.
Apotemadelabasemayor,a= 10 5–2 2 = 75≈8,66cm
Calculamoslaapotemadelabasemenor,a':
'a a6 24
= →a'= , ·24
8 66 6 =2,165cm
l hexágonomenor=·'a3
2 =2,5cm
Alturadeunacaralateral,h= ( )'a a18 –2 2+ =19,13cm
18 cm
6 cm
10 cm
Abases=3·10·a+3·2,5·a'=259,8+16,238=276,038cm2
Atotal=276,038+(10+2,5)·19,13·3=276,038+717,375=993,413cm2
39. Hallaeláreatotaldeunoctaedroregularenelqueladistanciaentredosvérticesnocontiguoses20 cm.
x2+x2=202→x2=200→x= 200≈14,14cm
h= , ,14 14 7 07–2 2 =12,25cm
Atotal=8·, · ,
214 14 12 25 =692,86cm2 7,07 cm
hx 14,14 cm
40. Unvasodetubode15,5cmdealtosehallenadohastalamitadconunrefresco.Alinclinarlo,ellíquidosequedahastaelborde.Silasuperficiedelrefrescoesunaelipsecuyoejemayores4veceselejemenor,¿quécantidadderefrescohayenelvaso?
Calculamoslamedidadelosejes:(4x)2=x2+15,52→15x2=240,25→x= ,16 02≈4
Elejemenormide4cmyelmayor16cm.
Elvolumendelvasoes:V=π·22·15,5≈194,7cm3
Hay97,35cm3derefresco,aproximadamente.
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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41. Unaprobetacilíndrica,quesehallenadohastalamitad,tienedosmar-casquedividensualturaentrespartesiguales.Alinclinarlademodoqueellíquidotoqueunadelasmarcas,porelladoopuestotocarálaotra.Silasuperficiedellíquidoesunaelipsecuyoejemayormide10cmycuyoejemenormide8cm,¿quéalturatienelaprobeta?¿Quécantidaddelíquidocontiene?
Seax= 31 delaalturadelaprobeta.Entonces:x= 10 8–2 2 =6
Laalturadelaprobetaes6·3=18cm.
Elvolumendelaprobetaes:V=π·42·18≈904,3cm3
Hay452,2cm3delíquidoenlaprobeta,aproximadamente.
Reflexiona sobre la teoría
42. a)Enuncubo,enuntetraedroyenunoctaedroesfácilcontarelnúmerodearistasyelnúmerodevértices.Hazlo.
Paracontarelnúmerodearistasdeundodecaedro,razonamosasí:
•Cadacaratiene5aristasyhay12caras:5·12=60.
•Perocadadoscarascompartenunaaristacomún,porloqueelnúmerodearistases60:2=30.
Paracontarelnúmerodevérticesrazonamosdeformasimilar:
•Cadacaratiene5vértices:5·12=60.
•Pero cada tres caras comparten un vértice, por lo que el número de vértices es60 : 3 = 20.
b)Calculacuántasaristasycuántosvérticestieneelicosaedroregular.
c)Completaentucuadernolasiguientetabla:
caras aristas vértices
tetraedro 4
cubo 6
octaedro 8
dodecaedro 12
icosaedro 20
caras aristas vértices
tetraedro 4 6 4cubo 6 12 8
octaedro 8 12 6dodecaedro 12 30 20
icosaedro 20 30 12
Compruebaqueenloscincopoliedrosregularessecumplelasiguienterelación:
caras + vértices – aristas=2
b)•Númerodearistas:Cadacaratiene3aristasyhay20caras→3·20=60
Pero cada dos caras tienen una arista común. Por tanto, el número de aristas es 60: 2 = 30.
•Númerodevértices:Cadacaratiene3vértices→3·20=60
Pero cada 5 caras comparten unmismo vértice, por lo que el número de vértices es60 : 5 =12.
c)C+V=A+2
Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2
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Taller de matemáticas
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Lee y reflexionaLas copas equidistantesCuandoestéscontusamigosocontufamiliaenunacomida,puedesplantearlesestejuegode mesa.
Tienescuatrocopascomoestas:
Lapreguntaes:¿cómocolocarestascopasdeformaquesuspiesequidistenentresí?Laso-lucióneslasiguiente:
•Siunimoslospiesdelascopascomosifueranpuntos,¿quépoliedroconocidoforman?
Lospiesdelascopasformanuntetraedro.
Experimenta y disfrutaEscalera de caracol¿Cómomedimoslalongituddeunaescaleradecaracol?
Imagínateuncilindroque laenvuelveyque lodesarrollamoscortándolocomovesen lafigura.
Deestaforma,esmásfácil,¿verdad?
Longitud de la circunferencia
Altu
ra
l= ( )πr2 h2 2+
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Entrénate resolviendo problemas•¿Cuántoscuboscomponenestafigura?¿Cuántosnoves?
Lafiguralacomponen30cubosynoseven14.
•Sehaconstruidounprismarectodebaserectangularcon60cubosde1cmdearista.¿Cuáleslaalturadelprisma,sabiendoqueelperímetrodelabasemide14 cm?
Hay más de una solución.
Laalturaseráde5cm(basede3×4),6cm(basede2×5)o10cm(basede6×1).
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Autoevaluación1. Escribeelnombredeestoscuerposgeométricos:
a) b) c)
d) e) f )
a)Ortoedro b)Poliedronocatalogable c)Cono
d)Pirámidehexagonal e)Cilindro f )Troncodecono
2. Indicaacuálesdeloscuerposgeométricosdelejercicioanteriorcorrespondecadaunodelossiguientesdesarrollos:
a) b) c)
Dibujaentucuadernoeldesarrollodelpoliedrodelapartadod)delejercicio1.
a)Eseldesarrollodelcilindrodelapartadoe).
b)Eseldesarrollodelafiguradelapartadob).
c)Eseldesarrollodelortoedrodelapartadoa).
3. Dibujaentucuadernolafiguraplana,yelejesobreelcualgira,quegeneracadaunodeloscuerposderevolucióndelejercicio1.
c) e) f )
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4. Calculaeláreadecadapoliedro:
10 cm
12 c
m
5 cm
12 cm
5 cm
5 cm5 cm
a) b) c)
a)h=13cm b)a= ,18 75≈4,33cm c)x=5 2 ≈7,07cm
Atotal=100+4·65=360cm2 Abases=6·5·4,33≈130cm2 Abases=2·12,5=25cm2
Alat=360cm2 Alat=85,36cm2
Atotal=490cm2 Atotal=110,35cm2
5. Hallaeláreadeestoscuerposderevolución:
12 cm
8 cm
12 cm
10 cm
5 cm
15 cm
17 cm
a) b) c)
a)Atotal=2·42·π+12·2·π·4=401,92cm2
b)Atotal=1004,8cm2
c)r=8cm
Alat=427,04cm2
Abase=200,96cm2
Atotal=628cm2
6. Copiaentucuadernoestetroncodeconoydibujalosplanosqueledebencortarparaobtenercadaunadeestasfigurasplanas.
A C DB
A:planoparaleloalasbasesymuycercanoalabasepequeña.
B:planoinclinadoquenocortelasbases.
C:planoparaleloalasbasesymuycercanoalabasegrande.
D:planoperpendicularalasbases.
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7. Indicaquécortesplanoshemosdedarleaestepoliedroparaobtenerestospolígonos:
a)Triángulo. b)Cuadrado. c)Rectángulo.
d)Trapecio. e)Rombo. f)Pentágono.
a)Planoquepasaporunvérticeycortealabaseopuestaantesdeladiagonal.
b)Planoperpendicularalasbasesquecortealasmismasporunsegmentodelongitudigualalaalturadelprisma.
c)Planoperpendicularacualquieradelasbases.
d)Planoinclinadoquecorteaambasbases.
e)Planoquepasepordosvérticesopuestosformando45gradosconlasbases.
f )Planoquepaseporunvérticeycortealabaseopuestadespuésdeladiagonal.
8. Estherquierepintar15bolasblancasde61mmdediámetroparahacerlasdebillar.Hay7bolas lisas (totalmentepintadas),unanegray7bolas rayadasque laspintará comomuestralafigura.
36 mm
61 mm
Silapinturavale100€/m2,¿cuántolecostarápintartodaslasbolas?
Hayquepintarenteras8bolas,las7bolaslisasmáslanegra.
Lasuperficiedelaesferaes4πr2ylasbolastienenunradiode61:2=30,5mm.
Entonces,lapinturaparaestas8bolases:8·4·π·30,52=93471,5mm2
Lapinturadelas7bolasrayadases:7·2·π·30,5·36=48268,1mm2
Lapinturanecesariatotales:93471,5+48268,1=141739,6mm2=0,1417396m2
Ycomoelprecioesde100€porcadametrocuadrado:0,1417396m2·100€/m2=14,17€
Lapinturacostará14,17€.