10.representació de funcions s macs

Lhome, la femella i la famDana Chaviano

En aquesta novella no surt cap ms referncia a les matemtiques que la daquest pargraf. Per nhi ha un exemple paradigmtic en una novella de Jardiel Poncela titulada Amor se escribe sin hache. All trobem una escena en la qual aquest llenguatge serveix a lautor per descriure el comportament absurd del protagonista i el seu carcter estrafolari. La Sylvia i en Zambombo arriben a una illa desprs que naufragus el vaixell en qu viatjaven. Una vegada encesa una foguera admirable, en Zambombo va determinar construir una cabana.

S, s! va aplaudir la Sylvia. Una cabana... i tu, estimat... Ah! Que feli que sc!

En Zamb es va dirigir cap a lentrada del bosc i va transportar a la platja uns quants arbres que!jeien al terra abatuts, potser, per alguna tempesta. Va calcular la resistncia dels arbres mesurant-ne el dimetre i la longitud, i va escriure a la seva llibreta:

A + B = (A + B) ! (A + B) " (A + B) + (A + B)

Va elevar al quadrat el primer terme i, davant la seva sorpresa, que no es pensava que sabia tantes!matemtiques, va obtenir:

(A + B)2 = (A + B) ! (A + B) " (A + B) + (A + B)

I substituint aix per les xifres que havia esbrinat, va aconseguir: 732 = (10 + 10)

La resistncia dels troncs de larbre era de 730 quilograms.

Va posar els troncs recolzats entre ells, formant dos vrtexs, en nombre de quinze. De manera que quan en Zamb i la Sylvia shi van posar a sota, els quilos darbre que els van caure a sobre, quan es va desplomar la cabana, van ser: 730 " 15, o sigui: 10.950.

Tots dos es van desmaiar com a conseqncia del traumatisme. Quan van tornar en si, era de!nit.* * Podem calcular que, per cada 100 quilos que cauen al cap dun sser hum, queda desmaiat un minut. Com!que en 10.950 quilos hi ha, aproximadament, 109 vegades 100 quilos, resulta que en Zambombo i la Sylvia van estar desmaiats durant 109 minuts, o sigui, dues hores menys onze minuts. No ens podem explicar, per tant, per qu quan van tornar en si ja era de nit.

Jardiel Poncela fa servir aqu el llenguatge algebraic com un recurs humorstic, una aplicaci innovadora, perqu en matemtiques i en les altres cincies es fa servir per expressar propietats o!per resoldre problemes.

Suposa que cada persona que sent un rumor el difon a nou persones en una hora. Escriu la frmula de la funci que expressa el nombre de persones que coneixen el rumor en!relaci amb el temps que ha transcorregut. Representa-la grficament i calcula les hores que calen perqu tota lHavana sassabenti de lesdeveniment.

f (t ) = 9t amb t # R+ el nombre dhores.

f ( x ) = 9t $ ln!9 > 0 ! f ( x )

No t mxims ni mnims.

9 2 500 000 2 500 0002 500 000

99

t t= = =. . log . .ln . .

ln! == 6,7.

En menys de 7 hores, els habitants de lHavana coneixeran lesdeveniment.

LITERATURA I MATEMTIQUES

Lhome, la femella i la famA Cuba anomenen boles els rumors, tant si sn certs com falsos. Es tracta duna sinonmia per associaci, perqu les boles, igual que els rumors, corren, sesmunyen, salven esculls, alenteixen la marxa o!laugmenten segons el terreny, i arriben als racons ms insospitats.

En un indret on se sap que les notcies oficials no sn mai el que sem-blen i no semblen mai el que sn, el paper de les boles agafa un espe-cial significat. La societat sassabenta del que passa per mitj de les boles. I la teoria sobre la velocitat amb la qual sestenen els rumors aconsegueix dimensions csmiques, amb un temps rcord de distribu-ci que es podria resumir en la frmula Vp = 3 " i, en qu 3 s el terme mitj mnim de persones a les quals sacostuma a explicar una notcia, i designaria el factor dimportncia que una notcia determina-da t per als interessats, i Vp, la velocitat amb la qual es propaga aquest rumor.

LHavana hauria de ser un cas perqu lestudiessin les Nacions Uni-des... i no tan sols perqu el seu barri histric lhagin declarat patrimo-ni de la humanitat. En aquesta ciutat de dos milions i mig dhabitants, una bola amb factor i molt alt que sorts a rodar a les set del mat, ja s coneguda per les quatre cinquenes parts daquella poblaci abans de les deu.

Aix va passar, per exemple, quan es va estendre el rumor que lambai-xada del Canad, situada a la bella mansi de la Setena Avinguda, a!Mi-ramar, donava visats de sortida a tothom qui volgus treballar a les mines dAustrlia. Analitzada sota el prisma del seny, podria semblar impossible que una idea aix se lhagin pogut prendre seriosament ni tan sols deu persones; per en aquesta olla de grills que s lilla, es tracta dun tipus de rumors que desencadenen una resposta espontnia, enrgica i molt ms massiva que quan obliguen la poblaci a marxar a la plaa, amb el somriure als llavis, sota pena de perdre els seus llocs de treball. La desesperaci s la mare del deliri. No s estrany, per aix, que qualsevol rumor per absurd que sigui provoqui laglomeraci de milers de persones, i cre el consegent caos en la vida pblica.

DANA CHAVIANO

Nmeros realesRepresentaci de funcions10

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$*% "*0)"0")"$1)2

459

10SOLUCIONARILhome, la femella i la famDana Chaviano

En aquesta novella no surt cap ms referncia a les matemtiques que la daquest pargraf. Per nhi ha un exemple paradigmtic en una novella de Jardiel Poncela titulada Amor se escribe sin hache. All trobem una escena en la qual aquest llenguatge serveix a lautor per descriure el comportament absurd del protagonista i el seu carcter estrafolari. La Sylvia i en Zambombo arriben a una illa desprs que naufragus el vaixell en qu viatjaven. Una vegada encesa una foguera admirable, en Zambombo va determinar construir una cabana.

S, s! va aplaudir la Sylvia. Una cabana... i tu, estimat... Ah! Que feli que sc!

En Zamb es va dirigir cap a lentrada del bosc i va transportar a la platja uns quants arbres que!jeien al terra abatuts, potser, per alguna tempesta. Va calcular la resistncia dels arbres mesurant-ne el dimetre i la longitud, i va escriure a la seva llibreta:

A + B = (A + B) ! (A + B) " (A + B) + (A + B)

Va elevar al quadrat el primer terme i, davant la seva sorpresa, que no es pensava que sabia tantes!matemtiques, va obtenir:

(A + B)2 = (A + B) ! (A + B) " (A + B) + (A + B)

I substituint aix per les xifres que havia esbrinat, va aconseguir: 732 = (10 + 10)

La resistncia dels troncs de larbre era de 730 quilograms.

Va posar els troncs recolzats entre ells, formant dos vrtexs, en nombre de quinze. De manera que quan en Zamb i la Sylvia shi van posar a sota, els quilos darbre que els van caure a sobre, quan es va desplomar la cabana, van ser: 730 " 15, o sigui: 10.950.

Tots dos es van desmaiar com a conseqncia del traumatisme. Quan van tornar en si, era de!nit.* * Podem calcular que, per cada 100 quilos que cauen al cap dun sser hum, queda desmaiat un minut. Com!que en 10.950 quilos hi ha, aproximadament, 109 vegades 100 quilos, resulta que en Zambombo i la Sylvia van estar desmaiats durant 109 minuts, o sigui, dues hores menys onze minuts. No ens podem explicar, per tant, per qu quan van tornar en si ja era de nit.

Jardiel Poncela fa servir aqu el llenguatge algebraic com un recurs humorstic, una aplicaci innovadora, perqu en matemtiques i en les altres cincies es fa servir per expressar propietats o!per resoldre problemes.

Suposa que cada persona que sent un rumor el difon a nou persones en una hora. Escriu la frmula de la funci que expressa el nombre de persones que coneixen el rumor en!relaci amb el temps que ha transcorregut. Representa-la grficament i calcula les hores que calen perqu tota lHavana sassabenti de lesdeveniment.

f (t ) = 9t amb t # R+ el nombre dhores.

f ( x ) = 9t $ ln!9 > 0 ! f ( x )

No t mxims ni mnims.

9 2 500 000 2 500 0002 500 000

99

t t= = =. . log . .ln . .

ln! == 6,7.

En menys de 7 hores, els habitants de lHavana coneixeran lesdeveniment.

LITERATURA I MATEMTIQUES

Lhome, la femella i la famA Cuba anomenen boles els rumors, tant si sn certs com falsos. Es tracta duna sinonmia per associaci, perqu les boles, igual que els rumors, corren, sesmunyen, salven esculls, alenteixen la marxa o!laugmenten segons el terreny, i arriben als racons ms insospitats.

En un indret on se sap que les notcies oficials no sn mai el que sem-blen i no semblen mai el que sn, el paper de les boles agafa un espe-cial significat. La societat sassabenta del que passa per mitj de les boles. I la teoria sobre la velocitat amb la qual sestenen els rumors aconsegueix dimensions csmiques, amb un temps rcord de distribu-ci que es podria resumir en la frmula Vp = 3 " i, en qu 3 s el terme mitj mnim de persones a les quals sacostuma a explicar una notcia, i designaria el factor dimportncia que una notcia determina-da t per als interessats, i Vp, la velocitat amb la qual es propaga aquest rumor.

LHavana hauria de ser un cas perqu lestudiessin les Nacions Uni-des... i no tan sols perqu el seu barri histric lhagin declarat patrimo-ni de la humanitat. En aquesta ciutat de dos milions i mig dhabitants, una bola amb factor i molt alt que sorts a rodar a les set del mat, ja s coneguda per les quatre cinquenes parts daquella poblaci abans de les deu.

Aix va passar, per exemple, quan es va estendre el rumor que lambai-xada del Canad, situada a la bella mansi de la Setena Avinguda, a!Mi-ramar, donava visats de sortida a tothom qui volgus treballar a les mines dAustrlia. Analitzada sota el prisma del seny, podria semblar impossible que una idea aix se lhagin pogut prendre seriosament ni tan sols deu persones; per en aquesta olla de grills que s lilla, es tracta dun tipus de rumors que desencadenen una resposta espontnia, enrgica i molt ms massiva que quan obliguen la poblaci a marxar a la plaa, amb el somriure als llavis, sota pena de perdre els seus llocs de treball. La desesperaci s la mare del deliri. No s estrany, per aix, que qualsevol rumor per absurd que sigui provoqui laglomeraci de milers de persones, i cre el consegent caos en la vida pblica.

DANA CHAVIANO

Nmeros realesRepresentaci de funcions

X

Y

1

1

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$*! "*0)"0")"$1)2

460

Representaci de funcions

ABANS DE COMENAR... RECORDA

001 Calcula aquests lmits:

a) limx

x x! +

! +

( )3 2 7

c) limx

x x

x x! +! +

+

2

2

1

e) lim

x

x x

x

! +

!

+

8

3

1

b) limx

x x

x x! +! +

+

3

2

2 7

3 d) lim

x

x x

x x! ++ !

+

2

5 2

2

f ) lim

x

x

xx! +

!

!

( )31

1

2

a) limx

x x! +

! + = +`

`( )3 2 7

d) limx

x x

x x! ++ !

+=

`

2

5 2

20

b) limx

x x

x x! +! +

+= +

``

3

2

2 7

3 e) lim

x

x x

x

! +

!

+ = +`

`83

1

c) limx

x x

x x! +! +

+=

`

2

2

11

f ) limx

x

xx! +

!

! = +`

`( )31

12

002 Estudia la continutat daquesta funci i classifican els punts de discontinutat:

f xx

xx

x x x

( ) = ! 0 ! x > ! 8 ! Dom f = (! 8, + `)

Talls amb leix X:

Tall amb leix Y:

003 Estudia la simetria de les funcions segents:

s simtrica respecte de leix Y.

s simtrica respecte de leix Y.

004 Dibuixa la grfica duna funci que sigui:

a) Parella. b) Imparella.

a) b)

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$&) "*0)"0")"$1)2


461

10SOLUCIONARI

ABANS DE COMENAR... RECORDA

Calcula aquests lmits:

Estudia la continutat daquesta funci i classifican els punts de discontinutat:

t Si x < 2: Funci racional, no definida en x = 1.

t Si x ! 2: x2 " x + 7 ! Funci polinmica, definida en R.

Aix, doncs, f ( x ) est definida i s contnua en R " {1, 2}. Estudiem la continutat en x = 1 i en x = 2:t Si x = 1:

Discontinutat de salt infinit

t Si x = 2:

Discontinutat de salt finit

ACTIVITATS

Determina el domini i els punts de tall amb els eixos de les funcions segents: .

a) est definida sif x x x x( ) ( )( )2 16 0 4 4! " ! + "! 004 4 4 4! !x f# ! ! $ + = ! ! $ +( , ] [ , ) ( , ] [ , ) Dom

t Talls amb leix X : t Tall amb leix Y : no en t perqu x = 0 no es troba al domini.

b) Dom f = R

t Talls amb leix X:sin x = 0 ! x = 0 + k# amb k $ Z ! (0 + k#, 0) amb k $ Z

t Tall amb leix Y:x = 0 ! y = 0 ! (0, 0)

002 Troba el domini i els punts de tall amb els eixos de les funcions segents:

a) f xx

x( ) =

!

!

2 81

7

b) f x x( ) log ( )= + 8

a) Dom f = R " {7}t Talls amb leix X:

x

xx x

2281

70 81 9 9 0 9 0

= = = ! ! !6 ( , ), ( , )

t Tall amb leix Y:

x y= =!

!=

"

#$$$

%

&0

81

7

81

70

81

7! ! ,

b) f ( x ) est definida quan x + 8 > 0 ! x > " 8 ! Dom f = (" 8, + )

t Talls amb leix X: log ( ) ( , )x x x+ = + = = = ! !8 0 8 10 1 7 7 00! ! !

t Tall amb leix Y: x y= =0 8 0 8! !log ( , log )

003 Estudia la simetria de les funcions segents:

a) f x x( ) = !2 252 b) f x x( ) = ! !2 27

a) f x x x f x f x( ) ( ) ( ) ( ) = = =2 25 2 252 2 ! s simtrica respecte de leix Y.

b) f x x x f x f x( ) ( ) ( ) ( ) = = =2 227 27 ! s simtrica respecte de leix Y.

004 Dibuixa la grfica duna funci que sigui:

a) Parella. b) Imparella.

a)

X

Y b)

X

Y

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$&" "*0)"0")"$1)2

462


009 Troba les asmptotes verticals daquestes funcions:

Asmptota vertical: x = ! 4

Asmptota vertical: x = 4


010 Estudia si les funcions segents tenen asmptotes horitzontals:

Asmptota horitzontal: y = 1


f ( x ) no t asmptotes horitzontals.

011 Determina la situaci de la grfica respecte de les asmptotes horitzontals daquestes funcions:


t Si est per sota de lasmptota.



t Si est per sobre de lasmptota.


005 Determina el perode de les funcions segents:

a) cos!f x x( ) = b) sinf x x( ) = 2

a) x 0

"

2"

3

2

"2"

5

2

"3"

7

2

"4"

9

2

"5"

f ( x ) 1 0 ! 1 0 1 0 ! 1 0 1 0 ! 1

La funci es repeteix amb perode 2" : cos cosx x k k= + ! "( ),2# Z

b) x 0

"

4

"

2

3

4

""

5

4

" 3

2

" 7

4

"2"

9

4

" 5

2

"

f ( x ) 0 1 0 ! 1 0 1 0 ! 1 0 1 0

La funci es repeteix amb perode " : sin sin2 2x x k k= + ! "( ),# Z

006 La funci que a cada nombre hi associa la seva part decimal, s peridica? Si s aix, quin perode t?

Una funci que a cada nombre hi associa la seva part decimal s peridica de perode 1.

007 Representa una funci

X

Y

1

1

Quin ns el perode?

X

Y

2

1

El perode daquesta funci s 5.

008 Escriu una funci que tingui com a asmptotes verticals les rectes amb les equacions segents:

a) x = 4 i x = ! 2 b) x = 1 i x = 0

Resposta oberta. Per exemple:

a) f xx x

( )( )( )

=! +

5

4 2 b) f x

x

x x( )

( )=

+

!

6 3

1

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$&0 "*1)"1")"$2)3


463

10SOLUCIONARI

009 Troba les asmptotes verticals daquestes funcions:

a) f x x( ) log ( )= !2 16

b) f xx

x( ) =

!

2

1

a)Aixx x x x2 16 0 4 4 0 4 4! " ! + " # ! ! $ +! !( )( ) ( , ] [ , )

,, tenim que: Domf = ! ! $ +( , ] [ , ) 4 4

limx

x!

!! !

! = !4

2 16log ( ) Asmptota vertical: x = ! 4

limx

x!

!4

2 16+

! = !log ( ) Asmptota vertical: x = 4

b) Domx x f! = = = !1 0 1 1! ! R { }

limx

x

x!!

1

2

1!= Asmptota vertical: x = 1

010 Estudia si les funcions segents tenen asmptotes horitzontals:

a) f xe

e

x

x( ) =

+ 1 b) f x

x

x( ) =

!

2

1

a) limx

x

x

e

e!!

+ +=

11 Asmptota horitzontal: y = 1

limx

x

x

e

e!!

! +=

+=

1

0

0 10 Asmptota horitzontal: y = 0

b) lim

lim

x

x

x

xx

x

!

!

+

!

!= +

!= !

"

#

$$$$$

%

$$$

2

21

1 $$$

! f ( x ) no t asmptotes horitzontals.

011 Determina la situaci de la grfica respecte de les asmptotes horitzontals daquestes funcions:

a) f xx

x( ) =

+

2

4 3 b) f x

x

x( ) =

!2 1

a) limx

x

x!!

2

4 31

+= Asmptota horitzontal: y = 1

t Si xx

xf x! ! !+

+!

464


! Asmptota obliqua: y = ! x

Si f ( x ) est per sobre de lasmptota y = x.

Si f ( x ) est per sobre de lasmptota y = ! x.

014 Estudia si aquestes funcions presenten branques parabliques:

a) f ( x ) = x 4 ! x 3 + 4 b) g ( x ) = x ln x

a) Funci polinmica ! Dom f = R ! No t asmptotes verticals.

No t asmptotes horitzontals.

No t asmptotes obliqes.

Per tant, la funci t branques parabliques quan x ! + i x ! ! .

b) Dom g = (0, + )

! No t asmptotes verticals.



Per tant, la funci t una branca parablica quan x ! + .

015 Determina les branques infinites de .

Dom f = R ! No t asmptotes verticals.


Com que la funci t asmptota horitzontal quan x ! + i quan x ! ! , no t asmptotes obliqes ni tampoc branques parabliques.

012 Estudia si les funcions segents tenen asmptotes obliqes:

a) f xx

x( ) =

!

2

1 b) f x

x

x( ) =

! +

+

2 3

2

a) lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

x xm

f

! !

!

!

( )

( )=

!= " =

2

11 0 1

(( )x mxx

xx

xx x

!( ) =!

!#

$%%%%

&

((((=lim lim

! !

2

1

22 2

1 11 1

! +

!

#

$%%%%

&

((((=

!= =

)

*

++

x x

x

x

xn

xlim!

!

++++

,

+++++

! Asmptota obliqua: y mx n y x= + = +! 1

b) lim lim

li

x x

f x

x

x

x xm

! !!

( )

( )=

! +

+= ! " = !

2 3

21 0 1

mm limx x

f x mxx

xx

! ! ( )!( ) = ! +

++

#

$%%%%

&

((((

2 3

2==

! + + +

+=

=+

+= =

lim

lim

x

x

x x x

xx

xn

!

!!

2 23 2

23 2

22 2

))

*

+++++++++

,

+++++++++

! Asmptota obliqua: y mx n y x= + = ! +! 2

013 Determina la situaci de la grfica respecte de les asmptotes obliqes daquestes funcions:

a) f xx

x( ) =

+

!

2 2

1 b) f x x( ) = +2 5

a) lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

x xm

! !

!

!

( )

( )=

+

!= " =

2 2

11 0 1

f x mx

x

xx

x( )!( ) = +

!!

#

$%%%%

&

((((

=lim lim!

2 2

1 xxx

xn

!!

+

!

#

$%%%

&

(((( = =

)

*

+++++

,

+++++

2

11 1


f x mx nx

xx

x( ) ( )! + =

+

!! ! =

!

2 2

11

3

1

Si xx

f x! ! !+!

>3

10 ( ) est per sobre de lasmptota.

Si xx

f x! ! !!!


465

10SOLUCIONARI

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

xm

f

! !

!

!! !

!

=+

= ! " = !

( ) 2 51 0 1

(( )x mx x xx x

xx x!( ) = + +( ) = + !

+! !lim lim! !

22 2

25

5

555

50

2

!=

=+ !

=

#

$

%%%%%%%%%

&

%%%%%%%%%+

x

x xxlim!

! Asmptota obliqua: y = ! x

Si xx x

! ! !++ +

>5

50

2 f ( x ) est per sobre de lasmptota y = x.

Si xx x

! ! !!+ !

>5

50

2 f ( x ) est per sobre de lasmptota y = ! x.

014 Estudia si aquestes funcions presenten branques parabliques:

a) f ( x ) = x 4 ! x 3 + 4 b) g ( x ) = x ln x

a) Funci polinmica ! Dom f = R ! No t asmptotes verticals.

lim

limx

x

x x

x x!

!

+

!

! + = +

! + = +

"

#$$$

( )

( )

4 3

4 3

4

4%%$$$

! No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim

x x

x

f x

x

x x

xf x

x

! !

!

+ +

!

=! +

= +

( )

( )

4 3 4

==! +

= !

"

#

$$$$$

%

$$$$$!lim

x

x x

x!

!

4 3 4 No t asmptotes obliqes.

Per tant, la funci t branques parabliques quan x ! + i x ! ! .

b) Dom g = (0, + )

lim limL Hpital

x xx x

x

x

! !! ! ! ""!

0 00

1+ +!ln

ln

llim lim

x x

x

x

x! !0

2

0

1

10

+ +

"= " =( )

! No t asmptotes verticals.lim

xx x

!!

+= +

ln No t asmptotes horitzontals.

lim lim limx x x

g x

x

x x

xx

! ! !!

+ + += = = +

( ) lnln No t asmptotes obliqes.

Per tant, la funci t una branca parablica quan x ! + .

015 Determina les branques infinites de f xx

x( ) =

+2 1.

Dom f = R ! No t asmptotes verticals.

lim lim

lim lim

x x

x x

f xx

x

f x

! !

! !

+ +

!

=+

=

=

( )

( )

2 10

!! +=

"

#

$$$$$

%

$$$$$x

x2 10

! Asmptota horitzontal: y = 0

Com que la funci t asmptota horitzontal quan x ! + i quan x ! ! , no t asmptotes obliqes ni tampoc branques parabliques.

Estudia si les funcions segents tenen asmptotes obliqes:

a) lim lim

lim

x x

x

f x

x

x

x xm

f

! !

!

!

( )

( )=

!= " =

2

11 0 1

(( )x mxx

xx

xx x

!( ) =!

!#

$%%%%

&

((((=lim lim

! !

2

1

22 2

1 11 1

! +

!

#

$%%%%

&

((((=

!= =

)

*

++

x x

x

x

xn

xlim!

!

++++

,

+++++


! Asmptota obliqua: y mx n y x= + = ! +! 2

Determina la situaci de la grfica respecte de les asmptotes obliqes daquestes funcions:


Si est per sobre de lasmptota.

Si est per sota de lasmptota.

! Asmptota obliqua: y = x

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$&* "*0)"0")"$1)2

466


018 Estudia la concavitat i la convexitat daquestes funcions, i calcula els puntsdinflexi:

No presenta punts dinflexi.


019 Troba els intervals de concavitat i convexitat de les funcions segents, i comprova el resultat grficament:

a) Dom f = R

Per tant, es f ( x ) s convexa en tot el seu domini i no presenta punts dinflexi.

Aix, doncs, f ( x ) s convexa en tot el seu domini i no presenta punts dinflexi.

016 Estudia el creixement i el decreixement daquestes funcions, i calculan els mxims i els mnims:

a) f xx

x( ) =

-

2

1 b) f x

x

x( ) =

- +

+

2 3

2

a) Dom 1x x f! = = = !1 0 1! ! R { }

f xx x

xx x

xx

( )( )

=!

!= ! =

==

"#$$%$$

2

2

22

10 2 0

02

! !

t En creixent( , ) ( , ) ( ) ( )! " + > 0 2 0! !f x f xt En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( )0 1 1 2 0!

x f x= =0 0 0 0! !( ) ( , ) Mxim x f x= =2 4 2 4! !( ) ( , ) Mnim

b) Domx x f+ = = ! = ! !2 0 2 2! ! R { }

f xx x

xx x

xx

( )( )

=! ! !

+= ! ! ! =

= != !

"2

2

24 3

20 4 3 0

13

! ! ##$$%$$

t En creixent( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! ! >3 2 2 1 0! !f x f x

t En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! + ! !f x f x

x f x= =!

"###

$

%&&&&

3

2

51

4

3

2

51

4! !( ) , Mnim

b) Domx x f2 5 0+ ! " # =, R R!

f xx

xx( ) =

+= =

2 50 0!

n decreixent( , ) ( ) ( ) ! !f x f x

x f x= = ( )0 5 0 5! !( ) , Mnim

917486 _ 0458-0560.indd 466 25/01/10 8:47


467

10SOLUCIONARI

018 Estudia la concavitat i la convexitat daquestes funcions, i calcula els puntsdinflexi:

a) f x xx

( ) =

2

1 b) f x x

x( ) = +

+

2 32

a) Domx x f = = = 1 0 1 1! ! R { }

f xx xx

'( )( )

=

2

2

21

f xx

x"( )( )

,=

21

03

R ! No presenta punts dinflexi.

En cncava( , ) ( ) ( ) " #

22

2

2

2 2

55

55

5 50 R

Aix, doncs, f ( x ) s convexa en tot el seu domini i no presenta punts dinflexi.

Estudia el creixement i el decreixement daquestes funcions, i calculan els mxims i els mnims:

x f x= =2 4 2 4! !( ) ( , ) Mnim

Estudia el creixement i el decreixement de les funcions segents, i troban elsmxims i els mnims:

a) Dom f = R

917486 _ 0458-0560.indd 467 15/01/10 14:04

468


021 Representa aquestes funcions polinmiques:

a) f ( x ) = 6 x 5 12 x 3 4x

b) g( x ) = x 3 + x

a) Dom f = R

t Talls amb leix X :

t Tall amb leix Y:

x = 0 ! f (0) = 0 ! (0, 0)

Com que f s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

020 Representa les funcions polinmiques segents:a) f ( x ) = x4 12x b) g(x) = 2x3 + 6x

a) Dom f = Rt Talls amb leix :

f x x x x xx

x( ) ( )= ! = ! =

=

=

"#$$

%$$0 12 0 12 0

0

124 3

3! ! ! ! (( , ), ,0 0 12 03( )

t Tall amb leix Y: x f= =0 0 0 0 0! !( ) ( , )Com que f s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

limx

x x! !

! = +

( )4 12 limx x x! + ! = + ( )4 12

f x x x( )= ! = =4 12 0 33 3!

t En decreixent!( ) ! !f x f xx f= ( ) = =

( )3 3 3 3 12 3 9 3

3 9 3

3 3 3 3 3

3 3

!

! , Mnim

f x x x" ( ) = = =12 0 02 !

t En convexa( , ) ( ) ( ) > 0 0! !f x f x"t En convexa( , ) ( ) ( )0 0+ > ! !f x f x"No presenta punts dinflexi.

X

Y

20

1

f ( x )

b) Dom g = Rt Talls amb leix X:

g x x x x xx

x( ) ( )= ! + = ! + =

=

=

"#$$

%$$0 2 6 0 2 6 0

0

33 2! ! !

6

!! !( ) ( )3 0 0 0 0 3, , ( , ), ,t Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = 0 ! (0, 0)Com que g s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

limx

x x! !

! + = +

( )2 63 lim

xx x

! +! + = !

( )2 63

g x x x( )= ! + = =6 6 0 12 ! 6

t En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( ) + 1 1 0! !g x g x

x g= ! ! = ! ! + ! = !! !

1 1 2 1 6 1 41 4

3!!

( ) ( ) ( )( , ) Mnim

x g= = + =1 1 2 1 6 1 41 4

3!!

( )( , ) Mxim

g x x x" ( ) = ! = =12 0 0!

t En convexa( , ) ( ) ( ) > 0 0! !g x g x"

t En cncava( , ) ( ) ( )0 0+


469

10SOLUCIONARI

021 Representa aquestes funcions polinmiques:

a) f ( x ) = 6 x 5 ! 12 x 3 ! 4x

b) g( x ) = ! x 3 + x

a) Dom f = R

Talls amb leix X :

f x x x x x x x xx

( ) ( )= = = ==

0 6 12 4 0 6 12 4 0 05 3 4 2 611 51,

Tall amb leix Y:

x = 0 f (0) = 0 (0, 0)Com que f s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

limx

x x x

= `

`( )6 12 45 3

limx

x x x +

= +`

`( )6 12 45 3

f x x xf x x''( )( ) ,

= = =

30 36 40 1 14

4 2

6

En 1,14 1,14 creix( ; ) ( ; ) ( ) ( ) + >` ` f x f x' 0 eent

En 1,14 1,14 decreixent( ; ) ( ) ( )

470


a) Dom f = R ! {0}


t Tall amb leix Y: no en t perqu f ( x ) no est definida per a x = 0.


No t asmptotes horitzontals

! Asmptota obliqua: y = x

No t branques parabliques perqu t asmptota obliqua quan x ! + i quan x ! ! .

No presenta mxims ni mnims.

! f(x) no presenta punts dinflexi.

t Talls amb leix X:

No en t perqu g ( x ) no est definida per a x = 0.

t Tall amb leix Y: no en t perqu g ( x ) no est definida per a x = 0.

No t asmptotes verticals.


No t asmptotes obliqes ni branques parabliques perqu t asmptota horitzontal quan x ! + i quan x ! ! .

b) Dom g = R

t Talls amb leix X:

g x x x x x xx

( ) ( ) ( ,= ! + = ! + = ==

"#$$%$$

!3 20 1 0 01

1! ! !6

00 0 0 1 0), ( , ), ( , )

t Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = 0 ! (0, 0)

Com que g s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

limx

x x! !

! + = +

( )3

limx

x x! +

! + = !

( )3

g x x x( )= ! + = = =3 1 01

3

3

32 ! 6 6

t En ! !"

#

$$$$$

%

&

( +

"

#

$$$$$

%

&

, ,3

3

3

3

t En crei!"

#

$$$$$

%

&

>3

3

3

30, ( ) ( )! !g x g x xxent

x g=

=

1

313

23

13

13

23

13

! ! ,

Mnim

x g=!

"

#####

$

%

&&&&&=

!

"

#####

$1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3! ! ,

%%

&&&&&Mxim

g x x x" ( )= ! = =6 0 0!

t En convexa( , ) ( ) ( )! > 0 0! !g x g x"

t En cncava( , ) ( ) ( )0 0+


471

10SOLUCIONARI

a) Dom f = R ! {0}


f xx

xx x( ) , , ,=

!= ! = = !( ) ( )0 5 0 5 0 5 5 0 5 0

22! ! ! !6


lim limx x

f xx

x! !!

0 0

2 5( )=

!= Asmptota vertical: x = 0

lim lim

lim lim

x x

x x

f xx

x

f x

! !

!

+ +

= = +

=

( )

( )

2 5

!!

!

=

x

x

2 5 No t asmptotes horitzontals

lim lim

lim

x x

x

f xx

xx

m

f x

! !

!

!

( )

( )

= = =

2

2

51 0 1

xxxx

xxx x

( ) =

=

=lim lim! !

!

2 5 50 nn =

0

Asmptota obliqua: y = x

No t branques parabliques perqu

X

Y

2

1

f ( x )y = x

x = 0

t asmptota obliqua quan x + i quan x ! .

f xx

xf x'( ) ( )= + >

2

2

50 ! creixent


f xx

"( ) = 10 03

f(x) no presenta punts dinflexi.

t En convexa( , ) ( ) ( ) > 0 0! !f x f x"t En cncava( , ) ( ) ( )0 0+

472


T branques parabliques:

b) Dom g = R {0}

Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: no en t perqu g ( x ) no est definida per a x = 0.




En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( ) + 3 0 3 0, , ( ) ( )` g x g x"

x g= ( ) =

3 33

43

34

, Punt dinnflexi

x g= =0 0 0 0 0 ( ) ( , ) Punt dinflexi

x g= ( ) =

3 33

43

34

, Punt dinflexii

X

Y

1

1

g( x )

y = 0

023 Representa aquestes funcions racionals:

a) f x xx

( ) = !3 3

b) g x

x x

x( ) =

!4 3

a) Dom f = R {0}

Talls amb leix X : f xx

xx( ) ,=

!= = ( )0 3 0 3 3 0

33 3

Tall amb leix Y: no en t perqu f ( x ) no est definida per a x = 0.

lim limx x

f xx

x

0 0

3 3( )=

!= ` Asmptota vertical: x = 0

lim lim

lim lim

x x

x x

f xx

x

f x

+ +

!

=!

= +

=

` `

`

`( )

( )

3 3

!

!= +

"

#

$$$$$

%

$$$$$``

x

x

3 3 No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim l

x x

x

f x

x

x

xf x

x

+ +

!

=!

= +

=

` `

`

`( )

( )

3

2

3

iimx

x

x

!

!= !

"

#

$$$$$

%

$$$$$``

3

2

3 No t asmptotes obliqes.

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#0 "*1)"1")"$2)$


473

10SOLUCIONARI


lim limx x

f xx

x! !+ +=

!= +

( )

3 3

lim limx x

f xx

x! !! !=

!= +

( )

3 3

f xx

xx x( )=

+= + = =

!= !

2 30 2 3 0

3

2

3

2

3 3! ! 1,14

En decr!!"

#

$$$$$

%

&

#

$$$$$

%

$$$$$

4 3 No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim l

x x

x

g x

x

x x

xg x

x

! !

!

+ +

!

=!

= +

=

( )

( )

4 3

iimx

x x

x!

!

!

!= +

"

#

$$$$$

%

$$$$$

4 3 No t asmptotes obliqes.

Representa aquestes funcions racionals:

a) Dom f = R ! {0}

Talls amb leix X :





!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#0 "*1)"1")"$2)$

474


Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: x = 0 ! (0, 0)



! Asmptota obliqua:

! Asmptota obliqua:

No t branques parabliques.




lim limx x

g xx x

x! !+ +=

!= +

( )

4 3

lim limx x

g xx x

x! !! !=

!= !

( )

4 3

g x x x ( )= = =3 0 02 !

En creixent( , ) ( ) ( )! > 0 0! !g x g x

En decreixent( , ) ( ) ( )0 0+ > ! !g x g x


g x x x" ( )= = =6 0 0!

En cncava( , ) ( ) ( )! +12 3

0 3 ! creixent


f xx x

x f x"( )( )

, ( , ) ( )=!

! !< " # +

1

4 3 30 3 ! cncava


X

Y

1

1

f ( x )

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#$ "*0)"0")"$1)$


475

10SOLUCIONARI

b) Domx x x g2 7 0 0 7 0 7! " # ! $ + = ! $ +! !( , ] [ , ) ( , ] [ , )

t Talls amb leix X: g x x xxx

( ) ( , ), ( , )= ! ===

"#$$%$$

0 7 007

0 0 7 02! ! !

t Tall amb leix Y: x = 0 ! (0, 0)


lim

lim

x

x

x x

x x

!

!

!+

!

! = +

! = +

"

#

$$$$

%$$$$

2

2

7

7 No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim

x x

x

g x

x

x x

xm

g x

! !

!

!+ +

+

=!

= =

( )

( )

2 71 1

!!( ) = ! !( ) = ! !!+ +

x x x xx x x

x xx xlim lim! !

22 2

27

7

7 ++=

=!

! +=

!=

!

"

#

$$$$$$$$$

+

xx

x x xn

xlim!

!

7

7

7

2

7

22 %%

$$$$$$$$$

! Asmptota obliqua: y mx n y x= + = !!7

2

lim lim

lim

x x

x

g x

x

x x

xm

g

! !

!

!! !

!

=!

= ! = !

( )

(

2 71 1

xx x x x xx x x

xx x)+( ) = ! +( ) = ! !

!! !lim lim! !

22 2

27

7

777

7

7

2

7

22

x xx

x x xn

x

!=

=!

! != =

"

#

$$$$$$$$$

!lim!

! %%

$$$$$$$$$

! Asmptota obliqua: y mx n y x= + = ! +!7

2No t branques parabliques.

g xx

x xx g ( )=

!

!= = "

2 7

2 70

7

22! !Dom No presenta mxims

ni mnims.t En decreixent( , ) ( ) ( )! ! !g x g x

g xx x x x

x g" ( )( )

, ( , ) ( , )=!

! !< " # ! $ +

49

4 7 70 0 7

2 2 ! (( )x cncava


X

Y

8

8

g( x )

y x= ! +7

2y x= 7

2


lim lim

x xg x

x xx! !

=

=

( )4 3


No presenta punts dinflexi, perqu en x = 0 no est definida la funci.

X

Representa les funcions amb radicals segents:

t Talls amb leix X: f ( x ) = 0 ! x ! 3 = 0 ! x = 3 ! (3, 0)t Tall amb leix Y: no en t perqu f ( x ) no est definida per a x = 0.No t asmptotes verticals perqu a lextrem del domini la funci est definida.



T una branca parablica:



!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#* "*0)"0")"$1)$

476


b) Dom g = [0, + ) Talls amb leix X: Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = 0 ! (0, 0)

No t asmptotes verticals. No t asmptotes horitzontals.




026 Representa les funcions exponencials segents:a) f ( x ) = e! x + 7 b) g(x) = 5 + e x

a) Dom f = R Talls amb leix : no en t. Tall amb leix Y: x = 0 ! f (0) = 8 ! (0, 8)


! No t asmptota horitzontal.

! No t asmptotes obliqes.



No presenta punt dinflexi.

025 Representa aquestes funcions amb radicals:

a) f x x x( ) = 3 2

b) g x x x( ) = +

a) Domx x x x x f3 2 20 1 0 1 1! " ! " " = +! ! !( ) [ , )

Talls amb leix X:

f x x x x xxx

( ) ( ) ( ,= ! = ! ===

"#$$%$$

0 0 1 001

1 03 2 2! ! ! ! ))



limx

x x! +

! = +

3 2 ! No t asmptotes horitzontals.

lim limx x

f x

x

x x

x! !+ +=

!= +

( ) 3 2 ! No t asmptotes obliqes.


limx

x x! +

! = +

3 2

f xx x

x xx x x x

x

( ) ( )=!

!= ! = ! =

=

3 2

20 3 2 0 3 2 0

0

2

3 2

2! !

! ,, x f= "2

3Dom No presenta mxims ni mnims.!

f x x f x( ) , ( , ) (> ! " +0 1 ! ) cncava

f xx x

x x x x

x x

x x x"( )

( ) ( )=

!

! !=

!

! !

3 4

4

3 4

4 1

4 3

3 2 3 2

2

3 220

3 4 0 04

3

=

! = = =! !x x x x( ) ,

En convexa14

30, ( ) ( )

!

"###

$

%&&&&

"

En cncava4

30, ( ) ( )+

!

"###

$

%&&&& > ! !f x f x"

x f=!

"###

$

%&&&&=

!

"

#####

$

%

&&&&4

3

4

3

4 3

9

4

3

4 3

9! ! ,

&&Punt dinflexi

X

Y

1

1

f ( x )

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#& "*0)"0")"$1)*


477

10SOLUCIONARI

b) Dom g = [0, + )t Talls amb leix X: g x x x x( ) ( , )= + = =0 0 0 0 0! ! !

t Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = 0 ! (0, 0)No t asmptotes verticals.

limx

x x!

!+

+ = +

( ) No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim

x x

x

g x

x

x x

xm

g x

! !

!

!+ +

+

=+

= =

!

( )

( ( )

1 1

xx x x xx

) ( )= + ! = +

"

#

$$$$$

%

$$$$$+lim!

!


T una branca parablica: limx

x x! +

+ = +

( )

g xx

g x ( ) ( )= + >11

20 ! creixent


g xx x

x g x" ( ) , ( , ) ( )= ! < " # +14

0 0 ! cncava

X

Y

1

1

g ( x )

026 Representa les funcions exponencials segents:a) f ( x ) = e! x + 7 b) g(x) = 5 + e x

a) Dom f = Rt Talls amb leix : no en t.t Tall amb leix Y: x = 0 ! f (0) = 8 ! (0, 8)No t asmptotes verticals.lim Asmptota horitzontal

x

xe!

!+

! + =

( )7 7

limx

xe! !

! + = +

( )7 ! No t asmptota horitzontal.

lim limx x

xf x

x

e

x! !! !

!

=+

= +

( ) 7


T una branca parablica: lim

x

xe! !

! + = +

( )7

f x e f xx( ) ( )= !


f x e f xx"( ) ( )= >! 0 ! convexa

No presenta punt dinflexi. X

Y

5

5

f ( x )

Representa aquestes funcions amb radicals:

t Talls amb leix X:






f xx x

x xx x x x

x

( ) ( )=!

!= ! = ! =

=

3 2

20 3 2 0 3 2 0

0

2

3 2

2! !

! ,, x f= "2

3Dom No presenta mxims ni mnims.!

f xx x

x x x x

x x

x x x"( )

( ) ( )=

!

! !=

!

! !

3 4

4

3 4

4 1

4 3

3 2 3 2

2

3 220

3 4 0 04

3

=

! = = =! !x x x x( ) ,

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$## "*0)"0")"$1)*

478


b) Dom g = Rt Talls amb leix X: no tiene.t Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = e 0 = 1 ! (0, 1)No t asmptotes verticals.


No t asmptotes obliqes ni branques parabliques.

b) Dom g = R

t Talls amb leix X: no en t.

t Tall amb leix Y: x = 0 ! g(0) = 6 ! (0, 6)


Asmptotes horitzontals:lim No t asmptota horitzonta

x

xe!

!+

+ = +

( )5 ll.

lim Asmptota horitzontal:x

xe y!

!!

+ = =

( )5 5 5

lim lim No t asmptotx x

xg x

x

e

x! !!

+ +=

+= +

( ) 5ees obliqes.


limx

xe! +

+ = +

( )5

g x e g xx( ) ( )= > 0 ! creixent


g"( x ) = e x > 0 ! g ( x ) convexa i no presenta punts dinflexi.

X

Y

5

5

g ( x )

027 Representa aquestes funcions exponencials:

a) f x e x( ) = b) g x ex

( ) =!

2

2

a) Dom f = [0, + )

t Talls amb leix X: no en t.t Tall amb leix Y: x f e= = =0 0 1 0 10! !( ) ( , )


limx

xe! +

= +


lim limx x

xf x

x

e

x! !+ += = +

( ) ! No t asmptotes obliqes.

T una branca parablica: limx

xe! +

= +

f xx

e f xx( ) ( )= ! >1

20 ! creixent


!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#% "*0)"0")"$1)*


479

10SOLUCIONARI

f xe

x

e

x xx e e e x x

x xx x x" ( )= = = ( ) = =

4 40 0 1 0 1! ! !

t En cncava( , ) ( ) ( )0 1 0! !f x f x" ! !f x f x"x f e e= =1 1 1! !( ) ( , ) Punt dinflexi

X

Y

1

1

f ( x )

b) Dom g = Rt Talls amb leix X: no tiene.t Tall amb leix Y: x = 0 ! g (0) = e 0 = 1 ! (0, 1)No t asmptotes verticals.

limx

x

e!

!

!

=2

2 0 Asmptota horitzontal: y = 0

No t asmptotes obliqes ni branques parabliques.

g x xe xx

( )= ! = =! 2

2 0 0!

t En creixent( , ) ( ) ( )! > 0 0! !g x g x

t En decreixent( , ) ( ) ( )0 0+ 1 1 0! !g x g x"

t En cncava( , ) ( ) ( )! 0 ! g ( x ) convexa i no presenta punts dinflexi.

Representa aquestes funcions exponencials:

a) Dom f = [0, + )

t Talls amb leix X: no en t.t Tall amb leix Y:






!"#$%&()$*%+)*&),-.//$#! "*0)"0")"$1)*

480


029 Representa aquesta funci logartmica: f ( x ) = ln (x 2 ! x + 1)

Tall amb leix Y: x = 0 ! y = ln 1 = 0 ! (0, 0)No t asmptotes verticals.


028 Representa les funcions logartmiques segents:

a) f ( x ) = ln (x + 4) b) g(x) = ln (x2 ! 4)

a) Domx x f+ > > ! = ! +4 0 4 4! ! ( , ) Talls amb leix X: ln ( ) ( , )x x e x+ = + = = = ! !4 0 4 1 3 3 00! ! ! Tall amb leix Y: x f= =0 0 4 0 4! !( ) ln ( , ln )

limx

x! ! +

+ = !4

4ln ( ) ! Asmptota vertical: x = ! 4

lim No t asmptotes horitzonx

x!

!+

+ = +

ln ( )4 ttals.

lim lim No t asmptx x

f x

x

x

x! !!

+ +=

+=

( ) ln ( )40 ootes obliqes.


limx

x! +

+ = +

ln ( )4

f xx

f x( ) ( )=+

>1

40 ! creixent

f xx

f x"( )( )

( )=!

+ ! + > " ! ! # +! !!

( )( ) ( , ) ( , ) gg = ! ! # +( , ) ( , ) 2 2

Tall amb leix :X x x e xln ( )2 2 0 24 0 4 1 1! = ! = = =! ! ++

= !( ) ( )4

5 5 0 5 0! !x 6 , , ,

Tall amb leix Y: no en t perqu g ( x ) no est definida per a x = 0.lim Asmptota vertical:

xx x

!!

! !! = ! = !

2

2 4ln ( ) 22

lim Asmptota vertical:x

x x!

!2

2 4 2+

! = ! =ln ( )

lim

limx

x

x

x!

!

+

!

! = +

! = +

"

#$$$

%$

ln ( )

ln ( )

2

2

4

4 $$$


lim lim

lim

x x

x

g x

x

x

xg x

x

! !

!

+ +

!

=!

=

( ) ln ( )

( )

2 40

==!

=

"

#

$$$$$

%

$$$$$!lim

No t as

x

x

x!

!

ln ( )2 40

mmptotes obliqes.


limx

x! +

! = +

ln ( )2 4 limx

x! !

! = +

ln ( )2 4

g xx

xx( )=

!= =

2

40 0

2!

En decreixent( , ) ( ) ( )! ! ! !g x g x

g xx

xg x" ( )

( )( )=

! !

! + > +! !!

( )( ) ( , ) ( , ) gg = +( , ) ( , ) 2 2

Tall amb leix :X x x e xln ( )2 2 0 24 0 4 1 1 = = = =! ! ++

= ( ) ( )4

5 5 0 5 0! !x 6 , , , Tall amb leix Y: no en t perqu g ( x ) no est definida per a x = 0.


X

917486 _ 0458-0560.indd 481 15/01/10 14:05

482


031 Representa la funci:

Dom f = R {2, 2}

Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: x = 0 y = 0 (0, 0)




Creixement

x = 0 f (0) = 0 (0, 0) Mxim Concavitat

030 Representa la funci: f x e xx x x

x( ) = = ! ++ `)

038 Determina el domini de les funcions segents:

a) ye e

x

x x

= 3 3

4 c) y x x= ! ! +2 2 3 e) y

x= ! +22 7

b) y x x= + !23 4 1

d) y x x= +ln ( )5 2

f ) ye

x

x

=+( )12

a) Domini = R ! {0}b) Domini = R

c) Domini! ! + " ! + ! " # ! =x x x x x2 2 3 0 3 1 0 3 1 ( )( ) [ , ] [[ ,! 3 1]d)

Domini5 0 5 0 5 02x x x x x+ > + > ! " " # +

=

( ) ( , ) ( , )` `

(( , ) ( , )" " # +` `5 0e) Domini = Rf ) Domini = R ! {! 1}

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$%& "*0)"0")"$1)&


487

10SOLUCIONARI

039 Troba el domini daquestes funcions:

a)sin

yx

x=

!"b) tgy

x

x=

! 1c) arccosy x= !( )2 3 d) siny x x= !

a) Domini = R ! {" }

b)x

xx x x x k k

!= = ! =

!=

!+ "

1 22

2 2

## #

#

#

#

##! ! ! , Z

A ms, x ! 1 = 0 ! x = 1.

Domini amb= !!

+"#$$%$$

&$$($$

)R Z12

,*

**k k

c) y = arccos!x est definida en:

[ , ]

,

! ! " ! " " "

! # $ ! !( %& (1 1 1 3 1 2 4

2 0 2

2 2

2

! !

! !

x x

x x 224 0 2 22

,

[ , ]

+)*+ )! " $ !

,-..

/..

x x!

La zona comuna dels dos intervals s

2 2 2 2, , , que s el domini de

la funci.

d) Domini = R

040 Calcula els punts en els quals les grfiques de les funcions segents tallen els eixos de coordenades:

a) y x x= ! ! +2 12

c) y x x= ! +4 28 7

e) y xx

=!

31

2

2

b) y x x x= ! ! +3 24 4 d) yx

x=

+2 1a) t Talls amb leix X:

y x xxx

= ! ! + == !=

"#$$%$$

!0 12 04

34 0 3 02! ! ! ( , ), ( , )

t Tall amb leix Y: x y= =0 12 0 12! ! ( , )

b) t Talls amb leix X:

y x x xxx

= ! ! + ===

"#$$%$$

!0 4 4 01

41 0 1 03 2! ! !

6( , ), ( , )), ( , )4 0


c) t Talls amb leix X:

y x xx

x= ! + =

=

=

"#$$

%$$!0 8 7 0

1

71 0 1 04 2! ! !

6

6( , ), ( , ),, , , ,!( ) ( )7 0 7 0


d) t Talls amb leix X: yx

xx=

+= =0

10 0 0 0

2! ! ! ( , )


e) t Talls amb leix X: yx

xx=

!= =0

3

10 0 0 0

2

2! ! ! ( , )


Troba el domini de les funcions polinmiques segents:

d) y x= !( )2 24

El domini de qualsevol funci polinmica s R.

Calcula el domini daquestes funcions racionals:

Determina el domini de les funcions amb radical segents:

d)D

x x x x x2 2 3 0 3 1 0 1 3! ! " ! + " # ! ! $ +! !!

( )( ) ( , ] [ , ) oomini= ! ! $ +( , ] [ , ) 1 3

Troba el domini daquestes funcions exponencials i logartmiques:

a) Domini = R

Determina el domini de les funcions segents:

a) Domini = R ! {0}b) Domini = R

d)Domini

5 0 5 0 5 02x x x x x+ > + > ! " " # +=

! !!

( ) ( , ) ( , ) (( , ) ( , )" " # + 5 0

e) Domini = Rf ) Domini = R ! {! 1}

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$%# "*0)"0")"$1)&

488


045 Donada la funci , determinan:a) El domini de definici.b) Els punts de tall amb els eixos.

(Activitat de Selectivitat)

a) Dom f = R


t Tall amb leix Y: si x = 0 ! y = 0 ! (0, 0)

046 Analitza si aquestes funcions sn simtriques respecte de leix dordenades o respecte de lorigen:

! Simtrica respecte de lorigen.

! Simtrica respecte de leix Y.

! No s simtrica.


! No s simtrica.

! Simtrica respecte de leix Y.

047 Estudia si les funcions segents sn peridiques i, en cas afirmatiu, determinanel perode:

a)

La funci s peridica de perode .

041 Troba els punts de tall amb els eixos de les grfiques daquestes funcions:

a) yx

x x=

2 1

2b) y x

e x=

2 92 c) y

x

x=

ln2 4

d) y x e x= +

a) t Talls amb leix X:

yx

x xx x=

= = =

0

2 10 2 1 0

12

12

02

,

t Tall amb leix Y: no en t perqu la funci no est definida per a x = 0.


yx

ex x

x= = = = 0 9 0 9 0 3 3 0 3 0

22

2 6 ( , ), ( , )



yx

xx x e=

= = = =0

40 0 1 1 0

20 ln ln ( , )


d) t Talls amb leix X: y = 0 ! x + ex = 0. Per resoldre aquesta equaci estudiem y '.

y e e x xx x' = = = = = = 1 0 1 1 0 0 lnEn ( , ) "

#$%%&%%

= +04 0

02

02 6 `Dom ( , )) { }! + 2

044 Donada la corba yx

x=

+2 1

1, calculan els punts de tall amb els eixos de coordenades.


t Talls amb leix X: yx

xx x=

!

+= ! = =

"

#$$$

%

&0

2 11

0 2 1 012

12

0 ,

t 5BMMBNCMFJYY: si x = 0 ! y = 1 ! (0, 1)

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$%% "*0)"0")"$1)&


489

10SOLUCIONARI

045 Donada la funci f x x x x( ) = ! ! +3 22 3 , determinan:a) El domini de definici.b) Els punts de tall amb els eixos.(Activitat de Selectivitat)

a) Dom f = R


y x x xxxx

= ! ! + == !==

"

#

$$$$

%$$$$

!0 2 3 03

01

33 2! ! ! ( , 00 0 0 1 0), ( , ), ( , )


046 Analitza si aquestes funcions sn simtriques respecte de leix dordenades o respecte de lorigen:

a) y x x= +3 c) y x x= ! +2 3 e) yx

x=

+

ln

4

b) y x x= ! +4 22 5 d) yx

x=

!

3

92f ) y x= !( )2 12 2

a) f x x x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )! = ! ! = ! ! = ! + = !3 3 3


b) f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )! = ! ! ! + = ! + =4 2 4 22 5 2 5 ! Simtrica respecte de leix Y.c) f x x x x x( ) ( ) ( )! = ! ! ! + = + +2 23 3 ! No s simtrica.

d) f xx

x

x

x

x

xf x( )

( )

( )( ) =

=

=

= 3

9

3

9

3

92 2 2 ! Simtrica respecte de lorigen.

e) f xx

x

x

x( )

ln ln! =

!

! +=

! +4 4 ! No s simtrica.

f ) f x x x f x( ) ( ) ( ) ( )! = ! !( ) = ! =2 1 2 12 2 2 2 ! Simtrica respecte de leix Y.

047 Estudia si les funcions segents sn peridiques i, en cas afirmatiu, determinanel perode:

a) y x= cos 3 d) y x= 3 cos

b) y x= sin2 e) y x= !"

#$$$

%

&sin

(

4c) y x= sin 4 f ) 2y x x= ! sin2

a) x 0 !

f ( x ) 1 0 " 1 0 1 0 " 1 0 1

!

6

!

3

!

2

2

3

! 5

6

! 7

6

! 4

3

!

La funci s peridica de perode 2

3

! .

Troba els punts de tall amb els eixos de les grfiques daquestes funcions:

d) y x e x= + !

a) t Talls amb leix X:



t Tall amb leix Y: si x = 0 ! y = " 9 ! (0, " 9)



d) t Talls amb leix X: y = 0 ! x + e" x = 0. Per resoldre aquesta equaci estudiem y .

En Funci decreixentEn Funci creixent

Aix, doncs, en x = 0 assoleix lnic mnim, (0, 1); per tant, no hi pot haver punts de tall amb leix X.

t Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 1 ! (0, 1)

Justifica a qu s igual el domini de la funci segent: (Activitat de Selectivitat)

Digues quin s el domini de la funci:


Donada la corba , calculan els punts de tall amb els eixos de coordenades.


t Talls amb leix X:

t 5BMMBNCMFJYY: si x = 0 ! y = " 1 ! (0, " 1)

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$%! "*0)"0")"$1)&

490


t Talls amb leix X:


t Talls amb leix X:


e) Domini = R

t Talls amb leix X:


t Talls amb leix X: ! No t solucions per a cap x real ! No talla leix X.

t Tall amb leix Y:

049 Determina les branques parabliques daquestes funcions:

050 Troba les asmptotes i les branques infinites de les funcions segents:

No t asmptotes obliqes ni branques parabliques, perqu t asmptota horitzontal quan x ! + i quan x ! ! .

b) x 0 " 2"

f ( x ) 0 1 0 1 0

"

2

3

2

"

La funci s peridica de perode " .

c) x 0

f ( x ) 0 1 0 ! 1 0 1

"

8

"

4

3

8

" 2

4

" 5

8

"


4

".

d) x 0 " 2"

f ( x ) 3 0 ! 3 0 3

"

2

3

2

"

La funci s peridica de perode 2" .

e) x

f ( x ) 0 1 0 ! 1 0 1

"

4

3

4

" 5

4

" 7

4

" 9

4

" 11

8

"


4 42

! !!" = .

f ) Aquesta funci no s peridica.

048 Troba el domini daquestes funcions i els punts de tall amb!els eixos. Justifica si sn parelles o imparelles, o b si no sn simtriques:

a) yx

x=

! 12

d) y x= !4 2

b) y x e x= !2 e) y x= !7 2 2

c) y x= !25 2 f ) y x x= ! +2 2 7

a) Domini = R ! {0}


xx=

= =0

10 1 1 0

2 ( , )


f xx

x

x

x( )

( ) =

=

1 12 2

No s simtrica.

b) Domini = R


ex x

x= = = =0 0 0 0 0 0

22 ( , )


f xx

ex e

x

x( )( ) = =

22 No s simtrica.

917486 _ 0458-0560.indd 490 15/01/10 14:06


491

10SOLUCIONARI

c) Domini25 0 5 5 0 5 5 52 + = x x x x ( )( ) [ , ] [ , 55]

Talls amb leix X: y x x= = = 0 25 0 5 5 0 5 02 6 ( , ), ( , ) Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 5 ! (0, 5)

f x x x f x( ) ( ) ( ) = = =25 252 2 Simtrica respectee de leixY

d) Domini4 0 2 2 0 2 2 2 22 + = x x x x ( )( ) [ , ] [ , ]]

Talls amb leix X: y x x= = = 0 4 0 2 2 0 2 02 6 ( , ), ( , ) Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 2 ! (0, 2)

f x x x f x( ) ( ) ( ) = = =4 42 2 Simtrica respecte dde leixY

e) Domini = R

Talls amb leix X: y x x= ! = = !"

#

$$$$$

%

&

"0 7 2 0

72

72

072

02 6 , , ,##

$$$$$

%

&

Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 7 ! (0, 7)

f x x x f x( ) ( ) ( ) = = =7 2 7 22 2 Simtrica respectee de leixY

f ) Dominix x x2 2 7 0! + " # $ =, R R

Talls amb leix X: y x x x x= ! + = ! + =0 2 7 0 2 7 02 2 ! No t solucions per a cap x real ! No talla leix X.

Tall amb leix Y: x y= = ( )0 7 0 7 ,

f x x x x x( ) ( ) ( )! = ! ! ! + = + +2 22 7 2 7 No s simtrica..

049 Determina les branques parabliques daquestes funcions:

a) f x x x x( )= + -9 6 2 4 b) g x x x x( )= + - +3 26 4 c) h x x x x( )= - - +4 27

a) lim limx x

x x x x x x + !

+ ! = ! + ! = !` `

`( ) ( )9 6 9 62 4 2 4 `

b) lim limx x

x x x x x x + !

+ ! + = + + ! +` `

`( ) ( )3 2 3 26 4 6 4 == ! `

c) lim limx x

x x x x x x + !

! ! + = ! ! ! + = !` `

`( ) ( )4 2 4 27 7 `

050 Troba les asmptotes i les branques infinites de les funcions segents:

a) f x ee

x

x( ) =

2 1b) g x x

x( ) =

+

11

c) h x xx

( ) =

34

3

2d) v x

x

x( )=

2 9

a) e e x xx x2 21 0 1 2 1 0 0 = = = = = ln


x

x

e

ex

0 2 10

= =`


x

x

e

ey

` 2 10 0

= =

No t asmptotes obliqes ni branques parabliques, perqu t asmptota horitzontal quan x ! +` i quan x ! ! `.

b)

La funci s peridica de perode " .

c)


d)

La funci s peridica de perode 2" .

e)


f ) Aquesta funci no s peridica.

Troba el domini daquestes funcions i els punts de tall amb!els eixos. Justifica si sn parelles o imparelles, o b si no sn simtriques:

a) Domini = R ! {0}

Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: no en t perqu la funci no est definida per a x = 0.

b) Domini = R Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 0 ! (0, 0)

917486 _ 0458-0560.indd 491 25/01/10 8:50

492


051 Digues quantes asmptotes verticals t aquesta funci: ?(Activitat de Selectivitat)

052 Donada la funci: , determinan:

a) Les asmptotes verticals (calculan els lmits laterals).b) Les asmptotes horitzontals i les obliqes.

No t asmptotes obliqes, perqu t asmptota horitzontal quan x ! .

053 Considera la funci real de variable real definida per: Determina les asmptotes de f.



b) x x+ = = !1 0 1!

limx

x

xx

!!

!

!

+= = !

1

1

11` Asmptota vertical:

lim

lim

x

x

x

xx

x

!

!

+

!

!

+=

!

+=

"

#

$$$$$

%

$$$$$

`

`

1

11

1

11

!! Asmptota horitzontal:y = 1

No t asmptotes obliqes ni branques parabliques, perqu t asmptota horitzontal quan x ! + ` i quan x ! ! `.

c) xxx

2 4 02

2! =

= !=

"#$$%$$

!

limx

x

xx

!!

! != = !

2

3

2

3

42` Asmptota vertical:

limx

x

xx

!!

2

3

2

3

42

!= =` Asmptota horitzontal:

lim

lim

x

x

x

xx

x

!

!

+

!

!= +

!= !

"

#

$$$$$

%

$`

`

`

`

3

43

4

3

2

3

2$$$$$


lim( )

lim( )

lim (

x x

x

h x

x

x

x xm

h x

! !

!

!` `

`

=!

= =3

43 3

3

2

)) lim lim!( ) =!

!"

#$$$$

%

&

=mxx

xx

x x! !` `

3

43

3

2

112

40 0

2

x

xn

!= =

(

)

******

+

******!

! Asmptota obliqua: y = 3x

No t branques parabliques, perqu t asmptota obliqua quan x ! + ` i quan x ! ! `.

d) lim Asmptota vertical:x

x

xx

!!

0

2 90

!= =`

lim

lim

x

x

x

xx

x

!

!

+

!

!= +

!= !

"

#

$$$$$

%

$$$$$

`

`

`

`

2

2

9

9!! No t asmptotes horitzontals.

lim lim

lim

x x

x

v x

x

x

xm

v x mx

! !

!

!` `

`

( )

( )

=!

= =

!

2

2

91 1

(( ) = ! !"

#$$$$

%

&

=!

=lim limx x

x

xx

xn

! !!

` `

2 9 90 ==

(

)

*****

+

*****0

! Asmptota obliqua: y = xNo t branques parabliques, perqu t asmptota obliqua quan x ! + ` i quan x ! ! `.

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$!0 "*1)"1")"$2)&


493

10SOLUCIONARI

051 Digues quantes asmptotes verticals t aquesta funci: f x xx

( ) = +

4162

?(Activitat de Selectivitat)

limx

xx

x

+

= =

4 2

416

4 Asmptota vertical:

limx

xx

x

4 2

416

4+

= = Asmptota vertical:

052 Donada la funci: f x xx

( ) = !!

542

, determinan:

a) Les asmptotes verticals (calculan els lmits laterals).b) Les asmptotes horitzontals i les obliqes.

a) f xx

x

x x

xx

xx

( )= !!

=! !

!! =

= !=

"#5

4

5 20

44 0

222

2

2

2 $$$%$$

lim

lim

x

x

x xx

x xx

!

" !

+

!

! !

!= !

! !

!

2

2

2

2

2

2

5 20

45 20

4

== +

#

$

%%%%%

&

%%%%%

= !

Asmptota vertical:x 2

lim

lim

x

x

x xx

x xx

2

2

2

2

2

2

5 20

45 20

4

+

!

! !

!= !

! !

!= +

"

#

$$$$$

%

$$$$$

= Asmptota vertical:x 2

b) Asmptota horitzontalimx

x xx

5 20

45

2

2

= ll:y = 5


053 Considera la funci real de variable real definida per: f x xx

x( ) ,= +!

"2

2

24

2 Determina les asmptotes de f.


xxx

2 4 02

2! =

= !=

"#$$%$$

lim

lim

x

x

xxxx

!

" !

+

!

+

!= !

+

!= +

#

$

%%%2

2

2

2

2

2

2

42

4

%%%

&

%%%%%

= ! Asmptota vertical:x 2

lim

lim

x

x

xxxx

2

2

2

2

2

2

2

42

4

+

!

+

!= +

+

!= !

"

#

$$$$$

%%

$$$$$

= Asmptota vertical:x 2

limx

xx

y

2

2

2

41 1

+

= =Asmptota horitzontal:



! Asmptota obliqua: y = 3x

No t branques parabliques, perqu t asmptota obliqua quan x ! + i quan x ! ! .

! Asmptota obliqua: y = xNo t branques parabliques, perqu t asmptota obliqua quan x ! + i quan x ! ! .

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$!0 "*1)"1")"$2)&

494


057 Considera la funci definida per a x ! " 4 per:

a) Calculan el domini.b) Troba les asmptotes de la grfica de f.

c) Estudia la posici relativa de la grfica de f respecte de les seves asmptotes.

! Asmptota obliqua: y = 4 x ! 16

c) t Situaci de la grfica respecte de lasmptota vertical:

t 4JUVBDJEFMBHSGJDBSFTQFDUFEFMBTNQUPUBPCMJRVB

! f ( x ) est per sobre de lasmptota

! f ( x ) est per sota de lasmptota

058 Troba les asmptotes i les branques infinites de la funci segent i determina la posici relativa de la seva grfica respecte de cadascuna:

x ! 1 = 0 ! x = 1

054 Considera la funci f : R ! R definida per:

Calcula les asmptotes de f ( x ).

Estudiem el domini de f ( x ):

1

10

1 01 0

11+

!"

+ "! >

#$%%&%%

" !

4 4

44 16

68

40

2

( )

! f ( x ) est per sobre de lasmptota

xx

xx

x! !!

+

+! ! =

+

496


061 Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de les funcions segents:

En x = ! 5 presenta un mxim, i en x = 1, un mnim.

b) Domini = R ! {0}

En presenta un mxim, i en , un mnim.

c) Domini = R ! {3}

en tot el domini ! No t mxims ni mnims.

En x = 18 ! y " > 0 ! presenta un mnim.

Per tant, en (! , 18) la funci s decreixent i en (18, + ) s creixent.

Noms s possible

En x = 0 presenta un mnim.

lim( )

lim( )

lim (

x x

x

f x

x

x

x xm

f

! !

!

!

=+

!= =

2 1

12 2

2

xx mxx

xx

x x) lim lim!( ) = +

!!

"

#$$$$

%

&

=!

2 1

12

2

!!!

2 1

12 2

x

xn

+

!= =

(

)

*****

+

*****! Asmptota obliqua: y = 2 x + 2

No t branques infinites, perqu hi ha asmptota obliqua.t 4JUVBDJEFMBHSGJDBSFTQFDUFEFMBTNQUPUBWFSUJDBM

Per lesquerra: limx

x

x! 1

22 1

1!+

!= ! Per la dreta: lim

x

x

x! 1

22 1

1++

!= +

t 4JUVBDJEFMBHSGJDBSFTQFDUFEFMBTNQUPUBPCMJRVB

xx

xx

x! !+

+

!! + =

!>

2 1

12 2

3

10

2

( ) ! f(x) est per sobre de lasmptota.

xx

xx

x! !!

+

!! + =

!


497

10SOLUCIONARI

061 Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de les funcions segents:

a) y x x x= + ! +3 26 15 3 d) y x x= !4 324

b) yx

x=

+4 12

e) yx x

=+ !3 3

2

c) yx

=!

1

3 2( ) f ) y

x

x=

+4 2

a) Domini=

= + ! = = !=

"#$$%$$

R

y x x xx

3 12 15 0 51

2 !

n Funci creixent( , ) ( , )! ! " + > 5 1 0! !y n Funci decreixent( , )! , ,

1

2

1

20! y !! Funci creixent

t En F!"

#$$$

%

& (

"

#$$$

%

& 0 ! Funci creixent En (! 2, 2) ! y < 0 ! Funci decreixent


065 Estudia la monotonia de

Determina si t mxims o mnims.

Dom f = R

En f ( x ) presenta un mnim, i en , un mxim.

066 Considera la funci f : R ! R definida per:

Determinan els intervals de creixement i decreixement, i tamb els mxims i els mnims.

f ) Domini= !

=!

= ! = =

R { }03 2

0 3 2 02

3

4

2

4 4yx

xx x ! ! 6

En ! !"

#

$$$$$

%

&

( +

"

#

$$$$$

%

&

, ,2

3

2

34 4

>! !y 0 Funci creixent

En !"

#

$$$$$

%

&

(

"

#

$$$$$

%

&

2

30 0

2

34 4, ,

En x = !2

34 presenta un mxim, i en x =

2

34 , un mnim.

062 Troba el creixement, el decreixement, els mxims i els mnims daquestes funcions:

a) y x x= !2 2

b) yx

x=

ln2

c) yx

x=

+

!

4

4 d) y

xx

=2

3

a) Dominix x x x2 2 0 2 0 0 2! " ! " = ! # +! !( ) ( , ] [ , )

yx

x xx =

!

!= =

2 2

2 20 1

2! que no es troba al dominii

En Funci decreixent( , )! ! !y

b) Domini = (0, + )

yx

xx x x e =

!= = = =

1 20 2 1

1

23ln

ln ln! ! !

En Funci creixent0 0, e y( ) >! !En Funci decreixente y, +( ) ! !y

En x =2

3ln presenta un mxim.

!"#$%&()$*%+)*&),-.//$!% "*0)"0")"$1)#


499

10SOLUCIONARI

063 Donada la funci f xx

x( ) = !

!2

162, calculan els intervals de creixement

i decreixement i els extrems relatius.

f xx

x

x x

x( )= !

!=

! !

!2

16

2 32

162

2

2

x x f2 16 0 4 4 4! = = = ! !! !6 Dom R { , }

f xx

xf x( )

( )( ) {=

+

!> ! !

2

2 2

16

160 ! creixent enR 44 4, }


064 De la funci f x x x( ) = !1

343 , determinan els intervals de monotonia

i els extrems.(Activitat de Selectivitat)

Dom f = R

f x x x( )= ! = =2 4 0 2! 6 En (! , ! 2) " (2, + ) ! y > 0 ! Funci creixent En (! 2, 2) ! y < 0 ! Funci decreixent


065 Estudia la monotonia de

f xx

x x( ) =

!

! +

2

4 72

Determina si t mxims o mnims.

Dom f = R

f xx x

x xx x

x( )

( )=

! + !

! += ! + ! =

= !2

2 2

24 1

4 70 4 1 0

2 3! !

==

= + =

"#$$

%$$

0 27

2 3 3 73

,

,x

En Funci d! !( ) " + +( ) , ( ) ( )! !f x f x

En x = !2 3 f ( x ) presenta un mnim, i en x = +2 3, un mxim.

066 Considera la funci f : R ! R definida per: f xx

x( )

( )=

+

+

1

2

2

Determinan els intervals de creixement i decreixement, i tamb els mxims i els mnims.

Dom f = ! !R { }2

f xx x

xx x

xx

( )( )

=+ +

+= + + =

= != !

"#$2

2

24 3

20 4 3 0

31

! ! $$%$$

En! Funci cre( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! + > 3 1 0! !f x f x iixentEn! Funci dec( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! !

500


069 Considera la funci:

a) Estudian el domini.b) Troba els punts en els quals la grfica talla els eixos de coordenades.c) Analitza si la grfica s simtrica respecte de lorigen o respecte de leix Y.d) Calcula les asmptotes.e) Determina els intervals de creixement i de decreixement.f ) Troba els mxims i els mnims.

a) Dom f = R ! {0}

b) Talls amb leix X:

Tall amb leix Y: no en t.


No presenta mxims.

070 Donada la funci , calcula, si existeixen:

a) Els intervals de creixement i els de decreixement.b) Els mxims relatius i els mnims relatius.(Activitat de Selectivitat)

b) En x = 1 saconsegueix un mxim. No hi ha mnims.

067 Dibuixa la grfica duna funci que compleixi les propietats segents:

Est definida en tota la recta real. s simtrica respecte de lorigen. Leix X s una asmptota horitzontal. T un mnim en el punt (2, ! 3).

y = 0 X

Y

2

1

068 Considera la funci segent: f xx

x( ) =

!

2

2 1Determinan:a) El domini.b) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.c) Si la grfica s simtrica respecte de lorigen o respecte de leix Y. d) Les asmptotes.e) Els intervals de creixement i decreixement.f ) Els mxims i els mnims.

a) Domx x f2 1 0 1 1 1! = = = ! !! !6 R { , }

b) Talls amb leix X: f xx

xx x( ) ( , )=

!= = =0

10 0 0 0 0

2

2

2! ! ! !

Tall amb leix Y: x = 0 ! f (0) = 0 ! (0, 0)

c) s simtrif xx

x

x

xf x( )

( )

( )( )! =

!

! !=

!=

2

2

2

21 1! cca respecte de leix .Y


x

xx

!!

! != = !

1

2

2 11


x

xx

!!

1

2

2 11

!= =


x

xy

!!

2

2 11 1

!= =


e) f xx

xx( )

( )=

!

!= =

2

10 0

2 2!

En creixent( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! > 1 1 0 0! !f x f xEn decreixent( , ) ( , ) ( ) ( )0 1 1 0! +


501

10SOLUCIONARI

069 Considera la funci: f xx

x( ) =

+ 12

a) Estudian el domini.b) Troba els punts en els quals la grfica talla els eixos de coordenades.c) Analitza si la grfica s simtrica respecte de lorigen o respecte de leix Y.d) Calcula les asmptotes.e) Determina els intervals de creixement i de decreixement.f ) Troba els mxims i els mnims.

a) Dom f = R ! {0}

b) Talls amb leix X: f xx

xx x( ) ( , )=

+= + = = ! !0

10 1 0 1 1 0

2! ! ! !

Tall amb leix Y: no en t.

c)

No s simtrica pe

f xx

x

x

x( )

( )! =

! +

!=

! +1 12 2

! rrqu y!f x f x f x f x( ) ( )! ( ) ( ).! " ! " !


x

xx

!!

0 2

10

+= =


x

xy

!!

+= =

10 0

2


e) f xx

xx( )=

! != = !

20 2

3!

t En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " + 2 0 0! !f x f x

f ) Mnimx f= ! ! =!

!!"

#$$$

%

&2 2

1

42

1

4! !( ) ,

No presenta mxims.

070 Donada la funci f xx x

( ) =! !

1

2 32, calcula, si existeixen:

a) Els intervals de creixement i els de decreixement.b) Els mxims relatius i els mnims relatius.(Activitat de Selectivitat)

a) Domx xxx

f2 2 3 01

31 3! ! =

= !=

"#$$%$$

= ! !! ! R { , }

f xx

x xx x( )

( )=

! +

! != = =

2 2

2 30 2 2 1

2 2! !

t En creixent( , ) ( , ) ( ) ( )! ! " ! > 1 1 1 0! !f x f xt En decreixent( , ) ( , ) ( ) ( )1 3 3 0! +

502


072 Troba la concavitat i la convexitat i les punts dinflexi daquestes funcions:

En presenta punts dinflexi.

En x = e 2 presenta un punt dinflexi.

En els punts x = k! amb k " Z presenta punts dinflexi.

en ! Funci cncava


073 Determina els intervals de creixement, de decreixement, de concavitat i de convexitat de la funci y = ln (x 2 + 1); troban tamb els mxims, els mnims i els punts dinflexi.

En Funci decreixent

En Funci creixent

En x = 0 presenta un mnim.

En Funci cncava

En Funci convexaEn x = # 1 i en x = 1 presenta punts dinflexi.

071 Determina els intervals de concavitat i convexitat i els punts dinflexi de les funcions segents:

a) y x x x= ! + +3 23 2 6

b) yx

x=

!

+

2

2 c) y x x= ! +4 28 7

d) yx

x=

+

!

2

2

1

1

a) Dominio=

= ! +

R

y x x 3 6 22

y x x" = ! = =6 6 0 1!En Funci cncava( , )! ! !y

En x = 1 presenta un punt dinflexi.

b) Domini= ! !

=+

R { }

( )

24

2 2y

x

yx

" =!

+"

8

20

3( ) en R # {# 2}


En Funci convexa( , )! ! > 2 0! !y"En Funci cncava( , )! + , ,

2

3

2

30! y" !! Funci convexa

En Funci cncava!"

#$$$

%

& 1 1 0! !y"En Funci cncava( , )!


503

10SOLUCIONARI

072 Troba la concavitat i la convexitat i les punts dinflexi daquestes funcions:

a) y x ex= 2 b) y xx

=ln

c) siny x x= ! d) y x= !2 16

a) Domini= Ry e x x y e x x xx x "= + = + + = = !( ) ( )2 2 4 0 2 22 2 ! 6

t En Funci convexa! ! !( ) " ! + +( ) > , ,2 2 2 2 0! !y"t En Funci cncava! ! ! +( ) 1 1 0! !y" Funci convexaEn x = # 1 i en x = 1 presenta punts dinflexi.

Determina els intervals de concavitat i convexitat i els punts dinflexi de les funcions segents:

En x = 1 presenta un punt dinflexi.

en R # {# 2}


En presenta punts dinflexi.

en R # {# 1, 1}


!"#$%&()$*%+)*&),-.//*)0 "*1)"1")"$2)%

504


Dom f = R

077 Dibuixa la grfica duna funci que compleixi aquestes caracterstiques:

Est definida en tota la recta real. s simtrica respecte de leix dordenades. Leix X s una asmptota horitzontal. T un punt dinflexi en (2, 1).

078 Estudia el creixement i la concavitat de la funci f : (0, + ) ! R definida

per . (L s logaritme neperi.)

(Activitats de Selectivitat)

En x = e presenta un mxim.

074 Per a la funci f : R ! R definida de la forma f x x x x( ) = ! +8 84 2403 2 , determinan:

a) La monotonia i els extrems relatius.

b) La curvatura i el punt dinflexi.


a) f x x xxx

( )= ! + ===

"#$$%$$

24 168 240 025

2 !

t En creixent( , ) ( , ) ( ) ( )! " + > 2 5 0! !f x f x

t En! decreixent( , ) ( ) ( )2 5 0! !f x f x +"

#

$

%%%%%

&

%%%%%

2 2 02 1

1

2

0

si

si .

Calcula els intervals de creixement, de decreixement, la concavitat i la convexitat de!f ( x ).


fx

x

x

x

x

( )

lim

lim

0 22 1

1

2

2

2 2

0

0

2

= !!

+= !

! = !

"

#

$$

+

!

!

!

$$$$$$

%

$$$$$$$

=! f x x( ) contnua en 0

f x

x x

x x

x

( )=

(

)

*******

+

*******

=

+"#$$$

%&

>

(

)

*****

+

*

2 04

1

2

03

si

si*****

t En convexa( , ) ( ) ( )! > 0 0! !f x f x"

t En! convexa( , ) ( ) ( )0 0+ > ! !f x f x"

080 Dibuixa la grfica de les funcions polinmiques segents, desprs que nhagis analitzat les caracterstiques:

a) y x x x= ! ! +3 24 4 c) y x x= +3 3

b) y x x x= ! + +3 26 12 4 d) y x x= ! +4 28 7

917486 _ 0458-0560.indd 506 15/01/10 14:08


507

10SOLUCIONARI

a) Domini = R

Talls amb leix X: yxx

===

!"##$##

%01

41 0 1 0 4 0! !

6( , ), ( , ), ( , )

Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 4 ! (0, 4)

Com que s una funci polinmica, noms t branques parabliques.

limx

x x x!

+ =

( )3 24 4 limx

x x x! +

+ = +

( )3 24 4

y x x x = ! ! = =3 8 1 04 19

32 !

6

En !!"

#

$$$$$

%

&

(

++

"

#

$$$$$

% , ,

4 19

3

4 19

3 &&

>! !y 0 Funci creixent

En Funci d4 19

3

4 19

30

! +"

#

$$$$$

%

&

! !y"

En x =4

3 presenta un punt dinflexi.

X

Y

6

2

b) Domini = R

Talls amb leix X: no podem resoldre lequaci per Ruffini; aix, doncs, lanalitzarem desprs.

Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 4 ! (0, 4)


limx

x x x!

+ + =

( )3 26 12 4 limx x x x! + + + = + ( )3 26 12 4

y x x x = + = =3 12 12 0 22 !En Funci creixent( , )! > 2 0! !yEn Funci creixent( , )2 0+ > ! !y


y x x" = ! = =6 12 0 2!

En Funci cncava( , )!

508


081 Donada la funci , determinan:

a) El domini i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

b) Els intervals de creixement i decreixement.

c) Els mxims i els mnims locals.

d) La representaci grfica a partir de la informaci dels apartats anteriors.


a) Domini = R

c) En saconsegueix un mxim, i en x = 1, un mnim.

d)

082 Calcula els valors dels parmetres a i b perqu lafunci:

tingui un extrem relatiu en x = 2, un punt dinflexi en x = 0 i passi pel punt (1, 5).Representa grficament aquesta funci.

T un extrem relatiu en x = 2:

T un punt dinflexi en x = 0:

c) Domini = Rt Talls amb leix X: x x x x x3 23 0 3 0 0 0 0+ = + = =! ! !( ) ( , ) t Tall amb leix Y: x = 0 ! y = 0 ! (0, 0)


limx

x x! !

+ = !

( )3 3 lim

xx x

! ++ = +

( )3 3

y x = + 3 3 02 ! Funci creixentNo presenta mxims ni mnims.y x x" = = =6 0 0!

t En Funci cncava( , ) ! !y" 0 Funci convexa

t En Funci cncav!"

#

$$$$$

%

&

, ( , )

5

31 0! !y iixent

t En Funci decreixent!"

#$$$

%

& 0 ! En x = 90 saconsegueix un mnim; aix doncs, a 90 km/h consumeix menys.

A aquesta velocitat consumir: C (90) = 8 ! 4,05 + 2,025 = 5,975 litres

Aquestes vel

10.representació de funcions s macs

Documents