10 Olimpada de Mayo

10 Olimpada de Mayo8 de Mayo de 2004

primer nivel

PROBLEMA 1

Javier multiplica cuatro dgitos, no necesariamente distintos, y obtiene un nmero terminado en 7. Determina cunto puede valer la suma de los cuatro dgitos que multiplica Javier. Da todas las posibilidades.

PROBLEMA 2

En el interior de un cuadrado de 1111, Pablo dibuj un rectngulo y prolongando sus lados dividi al cuadrado en 5 rectngulos, como muestra la figura.

Sofa hizo lo mismo, pero adems logr que las longitudes de los lados de los 5 rectngulos sean nmeros enteros entre 1 y 10, todos distintos.

Muestra una figura como la que hizo Sofa.

PROBLEMA 3

En cada casilla de un tablero de 55 est escrito 1 1. En cada paso se reemplaza el nmero de cada una de las 25 casillas por el resultado de la multiplicacin de los nmeros de todas sus casillas vecinas.

Inicialmente se tiene el tablero de la figura.

Muestra cmo queda el tablero al cabo de 2004 pasos.

ACLARACIN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado comn.

PROBLEMA 4

En un cuadrado ABCD de diagonales AC y BD, llamamos O al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado PQRS de lados paralelos a los del ABCD con P en el segmento AO, Q en el segmento BO, R en el segmento CO, S en el segmento DO.

Si rea(ABCD)2rea(PQRS) y M es el punto medio del lado AB, calcula la medida del ngulo . (No vale medir.)

PROBLEMA 5

Se tienen 90 tarjetas y en cada una estn escritos dos dgitos distintos: 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 12, y as siguiendo hasta 98.

Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta que tenga el primer dgito igual al segundo dgito de otra tarjeta del conjunto.

Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los nmeros escritos en cada tarjeta.

Por ejemplo, las cuatro tarjetas 04, 35, 78 y 98 forman un conjunto correcto y su valor es 215, pues 04357898215.

Encuentra un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explica por qu es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

segundo nivel

PROBLEMA 1

Julin escribe cinco nmeros enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que su producto sea igual a su suma. Cules pueden ser los nmeros que escribe Julin?

PROBLEMA 2

La mam de Pepito quiere preparar n paquetes de 3 caramelos para regalar en la fiesta de cumpleaos, y para ello comprar caramelos surtidos de 3 sabores distintos. Puede comprar cualquier nmero de caramelos pero no puede elegir cuntos son de cada gusto. Ella quiere poner en cada paquete un caramelo de cada sabor, y si esto no es posible usar slo caramelos de un sabor y todos los paquetes tendrn 3 caramelos de ese sabor. Determina el menor nmero de caramelos que debe comprar para poder armar los n paquetes. Explica por qu si compra menos caramelos no tiene la certeza de poder armar los paquetes como quiere.

PROBLEMA 3

Disponemos de una mesa de billar de 8 metros de largo y 2 metros de ancho, con una nica bola en su centro. La lanzamos en lnea recta y, tras recorrer 29 metros, se detiene en una esquina de la mesa. Cuntas veces ha rebotado la bola contra los bordes de la mesa?

Nota: Cuando la bola rebota contra un borde de la mesa los dos ngulos que forma su trayectoria con el borde de la mesa son iguales.

PROBLEMA 4

Halla todos los nmeros naturales x, y, z que verifican simultneamente

xyz4104

xyz77

PROBLEMA 5

Sobre un tablero de 99, dividido en casillas de 11, se colocan, sin superposiciones y sin sobresalirse del tablero, piezas de la forma

Cada pieza cubre exactamente 3 casillas.

(a) A partir del tablero vaco, cul es la mxima cantidad de piezas que se pueden colocar?

(b) A partir del tablero con 3 piezas ya colocadas como muestra el diagrama siguiente,

cul es la mxima cantidad de piezas que se pueden colocar?