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Sexto Grado de Primaria 291

Sexto grado de primaria

Razones y proporciones

Razón o relación:Se llama razón o relación a la comparación de dos cantidades homogéneas o heterogéneas; esta compa-ración se puede hacer de dos maneras, veamos:

a) Comparación por diferencia (restán-dolas)

Consiste en determinar en cuánto ex-cede una de las cantidades a la otra.En este caso, la comparación recibe elnombre de razón aritmética o razón pordiferencia.

Ejemplo 1: Compara las edades de Nataly y Vanessa, si Nataly tiene 13 años y Vanessa 10 años.

De esta expresión, podemos decir que laedad de Nataly excede a la edad deVanesa en 3 años.

Ejemplo 2: Compara la cantidad de manzanas que tienen Karina y Manolito, si Karina tiene 8 manzanas y Manolito 6.

De esta expresión, podemos decir que elnúmero de manzanas de Karina excede endos al número de manzanas de Manolito.

Ejemplo 3: Compara la cantidad de frutas que tienen Manuel y Sara, si Manuel tiene 11 melones y Sara tiene 6 naranjas.

De esta expresión, podemos decir que elnúmero de melones de Manuel excede encinco al número de naranjas de Sara.

Nataly Vanessa

13 años – 10 años = 3 años

Razón aritmética

8 manzanas – 6 manzanas = 2 manzanas

Karina Manolito

Razón aritmética

Manuel Sara

Razón aritmética

11 melones – 6 naranjas = 5 frutas.

CantidadesheterogéneasFH

IK

Valor de la RazónAritmética

Consecuente

Antecedente

a – b = RA

Cantidades homogéneas

Cantidades homogéneas

Atención

Atención

Atención

292 Sexto Grado de Primaria

Manuel Coveñas Naquiche

b) Comparación por cociente (dividiéndolas)Consiste en determinar cuántas veces una de las can-tidades homogéneas o heterogéneas contiene a laotra, en este caso, la comparación recibe el nombrede razón geométrica o razón por cociente.

Ejemplo 1: Compara las edades de un padre que tiene 42 años y la de su hijo que tiene 14 años.

Se dice que las cantidades son homogéneaspor estar expresadas ambas en años.

Interpretación: La edad del padre es el triple (3) que la edad del hijo.

Ejemplo 2: Compara la cantidad de nuevos soles que tiene Manuel y Sara; si Manuel tiene S/. 20 y SaraS/. 40.

Se dice que las cantidades son homogéneaspor estar expresadas ambas en soles.

Interpretación: La cantidad de soles que tiene Manuel es la mitad (1/2) de la cantidad de soles que tiene Sara.

RecomendacionesAsí como las fracciones se simplifican, también podemos simplificar razones.

Por ejemplo: La razón de 10 es a 20, la expresamos en su forma simplificada

como:1020

; sacamos décima a cada término, es decir, dividimos cada térmi-

no entre 10; quedando así:12

Ejemplo 3: En el aula de un colegio mixto hay 30 niñas y 25 niños, hacer la comparación entre elnúmero de niñas y niños.

Atención: La razón geométrica:ab

⇒ se lee: “a”es a “b”.

4214

añosaños

= 3Padre ⇒Hijo ⇒

Valor de la razóngeométrica

Valor de la razóngeométrica

Razón geométrica

3025

65

= ; simplificamos3025

sacando quinta a cada tér-

mino, es decir dividimos entre cinco cada tér-

mino; quedando así: 65

Valor de laRazón

Geométrica

Antecedente

Consecuente

Niñas ⇒Niños ⇒

a : b =ab

= RG

Atención

Atención

S / .20 1S / . 40 2

=Manuel ⇒Sara ⇒



Se dice que las cantidadesson heterogéneas por estarexpresadas dichas cantidadesen niñas y niños.

Ejemplo 4: En una mesa se colocan 12 botellas de vino para 20 personas. Hacer la compara-ción entre el número de botellas y personas.

Se dice que las cantidadesson heterogéneas por estarexpresadas dichas cantidadesen botellas y personas.

Proporción geométrica Se llama así a la igualdad de dos razones geométricas.

Se lee: “a es a b como c es a d”.

A los términos a y c se les llama antecedentes y a los térmi-nos b y d se les llama consecuentes.

Ejemplo:

La razón geométrica de los dos primeros números es igual a larazón geométrica de los otros dos.

a y d son los términos extremosb y c son los términos medios

a × d = b × c

2 En una proporción geométrica se tienen 4 términosa, b, c y d, que reciben el nombre de:

Extremos: a y d Medios: b y c.Se establece que “El producto de extremos es igualal producto de medios”.

ab

cd

=Extremos 2

Medios 2

Interpretación:La razón geométrica nos da a entender que porcada 6 niñas hay 5 niños.

1220

35

=

Razón geométrica

Botellas 2

Personas 2

ab

cd

=

Razón geométrica Razón geométrica

Razón = 2

63

84

=

Razón = 2

Simplificamos1220

sacando cuarta a cada término (es de-

cir dividimos entre 4 cada término ) quedando así:35

Atención

Atención

Interpretación:

La razón geométrica35

nos da a entender que por

cada 3 botellas hay 5 personas.



40 52

2

16y

y

y

= ⇒ = ×

=

2 Observa que en esta proporción34 12

= m falta un

término. Si aplicamos “el producto de extremos esigual al producto de medios” y luego se resuelve laecuación, obtenemos el valor de “m”; veamos:

Este tipo de ejercicios sepuede resolver de la mane-ra siguiente:

3

3

3

Ejemplo: Halla el número que falta:54

20=z

Resolución:Aplicando: “El producto de extremos es igual alproducto de medios”.

Ejemplo: Halla el valor de “y” en40 5

2y=

Resolución:Aplicando: “Producto de extremos es igual al pro-ducto de medios”.

1 Escribe el número que falta en cada proporción geométrica:

a)37

27= b)134

91= c)18

72

=

Resolución: Resolución: Resolución:

Extremos Medios

5 × z = 4 × 20

5z = 80 ⇒ z =805

∴ z = 16

Extremos Medios

4

4

4

Forma práctica

40 × 2 = 5 × y

80 = 5y ⇒ y =805

∴ y = 16

8

8

8

Forma práctica

54

204

16

= ⇒ × ==

zz

z

3 × 12 = 4 × m

36 = 4 × m ⇒364

= m

∴ 9 = m

34 12

3

9

= ⇒ × ==

mm

m

9

9

37

27= ⇒ 7 × 9 =63 =

∴37

2763

=

Atención

Taller de ejercicios 83



d)115 45

= e)5 65

117= f)

115

66=


g)168

8= h)13

4291

= i)36

204 17=


2 Halla el valor de “x” en cada proporción geométrica:

c)1221

8=x

Resolución:

d)25

64xx=

Resolución:

e)4520 8

= x

Resolución:

f)64

81xx=

Resolución:

a)3528 12

= x

Resolución:

3528 12

= x. Simplificamos los tér-

minos de la razón3528

sacando

séptima a cada término, es de-cir dividiendo cada término en-

tre 7; quedando así:54

luego:54 12

= x

5 · 12= 4 · x ⇒ 60 = 4 · x

604

= x ⇒ ∴ 15 = x

b)4

36xx=

Resolución:

4 · 36 = x · x

22 · 62 = x2

(2 · 6)2 = x2. Simplificamos losexponentes (2) en ambos miem-bros, quedando:

2 · 6 = x

∴ 12 = x



g)12656

27=x

h)x

3015672

= i)100

25xx=


3. Resuelve:

b) En un corral, la razón entre el número de ga-llinas y pavos es de 7 a 4. Si hay 35 gallinas,¿cuántos pavos hay?

Resolución:

c) En un huerto, la razón entre el número deplantas de manzanas y de naranjas es de 9a 7. Si hay 56 plantas de naranjas, ¿cuántasplantas de manzanas hay?

Resolución:

d) En una reunión el número de varones conrelación al número de mujeres es de 5 a 7. Sihay 42 mujeres, ¿cuántos varones hay?

Resolución:

e) En una biblioteca el número de libros dematemática con relación al número de libros delenguaje es de 9 es a 5. Si hay 108 libros dematemática, ¿cuántos libros de lenguaje hay?

Resolución:

f) El número de profesoras de mi escuela conrelación al número de profesores es como 3 es a2. Si hay 12 profesores, ¿cuántas profesorashay?Resolución:

4

4

4LargoAncho

52

202

8

= ==

mx

x

x

·

a) En un rectángulo, la razón entre su largo y suancho es de 5 a 2. Si el rectángulo mide 20 mde largo, ¿cuántos metros mide el ancho?

Resolución:

Rpta. El ancho del rectángulo mide 8 metros



MediosExtremos

Formar una proporción: “Dados cuatro números en cierto ordentales que, el producto de los extremos es igual al producto de los me-dios, ellos forman una proporción geométrica”.

Así, dados los números: 9; 12; 3; 4 tenemos los productos iguales.

Veamos: 9 × 4 = 12 × 3, entonces se forman las siguientes proporciones:

I) 9 × 4 = 12 × 3 ⇒93

124

= II) 9 × 4 = 12 × 3 ⇒43

129

=

Otro ejemplo: dados los productos iguales 5 × 15 = 3 × 25, entonces se forman las siguientes propor-ciones:

I) 5 × 15 = 3 × 25 ⇒153

255

= II) 5 × 15 = 3 × 25 ⇒ 53

2515

=

Clases de proporciones geométricas La proporción geométrica puede ser: discreta o continua.

2 Proporción discreta: Es aquella que tiene sus cuatro términos diferentes.

ab

cd

= donde: a ≠ b ≠ c ≠ d y además b y d ≠ 0

Ejemplos:

I)82

123

= II)32

96

= III)123

164

=

2 Proporción continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales.

b y c ≠ 0

Ejemplos:

I)84

42

= II)96

64

= III)168

84

=

ab

bc

=

Medios



• Tercera, cuarta y media proporcional

, aplicamos la propiedad:

4 · x = 16 · 16 → x =164

· 1641

→ x = 64

, aplicando la propiedad:

3 · x = 6 · 6 → x =62

· 631

→ x = 12

La tercera proporcional es igual al cuadrado del término mediode una proporción geométrica continua dividido entre el otro tér-mino extremo.

¿Cómo se halla la tercera proporcional?

Se forma una proporción geométrica con los dos números dados y con “x”, repitiéndose comotérmino medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x” y ese valor es la terceraproporcional.

4 1616 x

= “El producto de los términos extremos es igual alproducto de los términos medios”.

Ejemplo 1 Halla la tercera proporcional de 4 y 16.

Resolución:Los números dados se distribuyen de la siguiente manera:

Ejemplo 2 Halla la tercera proporcional de 3 y 6.

Resolución:Para hallar la tercera proporcional de 3 y 6 se debe formar una proporción geométrica continuacuyo término medio es 6, veamos:

3 66 x

= “El producto de los términos extre-mos es igual al producto de los tér-minos medios”.

Luego: La tercera proporcional de 4 y 16 es 64.

Luego: La tercera proporcional de 3 y 6 es 12.

Tercera proporcional

Atención



Cuarta proporcional¿Cómo se halla la cuarta proporcional?

Se forma una proporción geométrica con los tres números dados y con “x”, donde “x” es elcuarto término de la proporción y además representa la cuarta proporcional; veamos:

Sea la proporción geométrica:

“6 es la cuarta proporcional de 4; 3 y 8”

Ejemplo: Halla la cuarta proporcional de 2; 3 y 6.

Resolución:Los números dados se distribuyen de la siguiente manera:

=2 63 x

; aplicamos la propiedad: “El producto de los términos extremos es igual al produc-to de los términos medios”.

Media proporcional o media geométricaEs el término que se repite en la proporción geométrica continua. Así, en la proporción geométrica

continua:9 66 4

= , “4” es la media proporcional o media geométrica de 9 y 4.

Ejemplo: Halla la media proporcional de 3 y 27.

Resolución:Para hallar la media proporcional de 3 y 27 se debe formar una proporción geométrica continuacuyo término medio es “x” (término desconocido), veamos:

=3 xx 27

; aplicamos la propiedad: “El producto de los términos extremos es igual al productode los términos medios”.

3 · 27 = x · x 81 = x2 81 = x

9 = x

4 8

3 6= 3ro

4to

1ro

2do

2 · x = 6 · 3 x = =6 · 3 182 2

= 9 x = 9

Luego: La cuarta proporcional de 2; 3 y 6 es 9.

Luego: La media proporcional de 3 y 27 es 9.

¡Atención!

La media proporcional o media geométrica es igual a la raíz cuadrada delproducto de los términos extremos de una proporción geométrica continua.

Si x2 = A

entonces x = A

1°.2°.

3°.4°.

Recuerda

Atención



a)x

1036

= ..........FH IK g)

7 146x

= ................FH IK

b)5 15

6x= ..........

FH IK h)65 10

= x...............

FH IK

c)3

48xx= ..........

FH IK i)4

16xx= .................

FH IK

d)x9

927

= ..........FH IK j)

255 2

= x................

FH IK

e)25

4xx= ..........

FH IK k)84

6=x

.................FH IK

f)4812

12=x

.........FH IK l)

3250xx= ..............

FH IK

Proporcióndiscreta

2 Halla la cuarta proporcional de:

a) 9; 12 y 3 b) 3; 2 y 24 c) 30; 55 y 6


912

3=x

9 · x = 12 · 3

x =369

∴ x = 4

La cuarta proporcional de 9; 12 y 3 es 4.

1 Halla el valor de “x” en cada una de las proporciones y di qué clase de proporciónes:




Ejemplo 1: El número de objetos y su preciocuando se paga.

Si: 1 cuaderno cuesta 5 soles4 cuadernos costarán 20 soles

(A más cuadernos gastarán más)

Si: 6 cuadernos cuestan 30 soles2 cuadernos costarán 10 soles

(A menos cuadernos gastarán menos)

Ejemplo 2: El tiempo y las unidades de trabajorealizados.

Si una cuadrilla de obreros hacen en:

3 días 8 metros de una obra,en 6 días harán 16 metros.

(En más días harán más metros de obra)

3. Halla la media proporcional entre:

a) 5 y 20 b) 3 y 48 c) 27 y 3Resolución: Resolución: Resolución:

520xx=

5 · 20 = x · x

100 = x2

100 = x ⇒ 10 = x

La media proporcional entre 5 y 20 es 10.

4. Halla la tercera proporcional de:

a) 8 y 4 b) 5 y 15 c) 9 y 27


8 44 x

=

8x = 4 · 4

16x

8= ∴ x = 16

La tercera proporcional de 8 y 4 es 16.

• Magnitudes proporcionales

Magnitudes directamente proporcionalesDos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellaspor un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo número.

4 4

÷ ÷2 2



1) Una magnitud puede serdirecta o inversamente

Completa cada una de las siguientes expresiones:

1) El volumen de un cubo es directamente proporcional a su arista.

2) El número de raciones de un batallón es ............................. al número de personas.

3) La velocidad de un automóvil es .................................. al tiempo transcurrido.

4) El precio de una pieza de casimir es .................................. a su calidad.

5) El área de un cuadrado es .................................... a su lado.

Magnitudes inversamente proporcionalesDos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por unnúmero, la otra resulta dividida y al dividir una de ellas, la otra resulta multiplicada por el mismonúmero.

Ejemplo 2: La velocidad de un auto y el tiempoempleado en recorrer una distancia.

Si un auto a la velocidad de 60 km/h necesita 10horas para recorrer una distancia, a la velocidad de120 km/h necesitaría 5 h para recorrer la misma dis-tancia.

(A más velocidad necesita menos tiempo)

3

Ejemplo 1: El número de obreros y el tiempo necesario para haceruna obra.

Si 4 obreros hacen una obra en 6 días,2 obreros harían la misma obra en 12 días

(A menos obreros se necesitan más días)

2

Ejemplo 3: El tiempo de trabajo y el salario per-cibido.

Si un obrero por:

6 días de trabajo percibe S/. 300por 2 días percibirá S/. 100

(Por menos días de trabajo recibirá menos salario)

÷2

÷3 ÷3 3


Atención

proporcional a otras magni-tudes, así: El área de una re-gión rectangular es directa-mente proporcional a su basey altura (pues a mayor áreamayores serán su base y sualtura).

2) Las magnitudes directamen-te proporcionales van demás a más o de menos amenos (+ a +; - a -).

3) Las magnitudes inversa-mente proporcionales van demás a menos o de menosa más (+ a -; - a +)

Ejemplo 4: El espacio y el tiempo si la veloci-dad es constante.

Si un automóvil recorre:

En 2 horas 500 metrosen 6 horas recorrerá 1 500 metros

(A más horas el automóvil recorre más metros)



Supuesta y pregunta. En toda regla de tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formadopor los términos conocidos del problema van generalmente en la parte superior. La pregunta está forma-da por los términos que contienen a la incógnita del problema.

Regla de tres simple directaEjemplo 1: Si 25 paltas cuestan 75 nuevos soles, ¿cuánto se pagará por 14 paltas?

Resolución:

Supuesto Si 25 paltas cuestan S/. 75Planteo:

Pregunta Por 14 paltas pagará S/. x

Ahora formamos una proporción geométrica escribiendo la ra-zón directa de las primeras cantidades (paltas) igual a la razón

directa de las segundas cantidades (nuevos soles), así:2514

75=x

Aplicando:“Producto de extremos igual al producto de medios”, obtenemos:

25 · x = 14 · 75

x = 14 7525·

⇒ x= 42 Rpta. Por 14 paltas se pagará S/. 42.

Ejemplo 2: Si 4 sillas cuestan S/. 480, ¿cuánto costarán 6 sillas?

Resolución:

Supuesto Si 4 sillas cuestan S/. 480Planteo:

Pregunta 6 sillas costarán S/. x

Ahora formamos una proporción geométrica escribiendo la ra-zón directa de las primeras cantidades (sillas) igual a la razón di-

recta de las segundas cantidades (nuevos soles), así:46

480=x

Aplicando: “Producto de extremos es igual al producto de me-dios”.

Obtenemos: 4 · x = 6 · 480

x =6 480

4·

⇒ x= 720 Rpta. Las 6 sillas costarán S/. 720.

→

→

Si 4 sillas cuestan S/. 480,más sillas (6) costarán másnuevos soles. Estas cantida-des proporcionales van demás a más (+ a +), es decir,son cantidades directamenteproporcionales, por consi-guiente la regla de tres simplees directa.

→

→

3

120

• Regla de tres simple2 Una regla de tres es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales

(una proporción geométrica).

2 En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos, y una cantidaddesconocida o incógnita. Esta regla de tres simple puede ser directa o inversa si lascantidades que intervienen son directa o inversamente proporcionales respectivamente.

1

1

Si 25 paltas cuestan S/. 75, pormenos paltas (14) se pagarámenos nuevos soles. Estas can-tidades proporcionales van demenos a menos (- a -), es decir,son cantidades directamente pro-porcionales, por consiguiente, laregla de tres simple es directa.

Razona

Razona



Razona

→

Entonces se forma una proporción geométrica escribiendo la ra-zón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón in-

versa de las segundas cantidades (días). Así:106 18

= x

Aplicando: “Producto de extremos es igual a producto de me-dios”.

Obtenemos:10 · 18 = 6 · x

10 186· = x ⇒ 30 = x

Rpta. La misma obra la terminarían en 30 días.

Ejemplo 2: Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitarían parahacer la misma obra en 15 días?

Resolución:

Supuesto Si 21 obreros tardan 10 díasPlanteo:

Pregunta x obreros tardarían 15 días

Entonces se forma una proporción geométrica escribiendo la razóndirecta de las primeras cantidades (obreros) igual a la razón in-

versa de las segundas cantidades (días). Así:21 15

10x=

Aplicando: “Producto de extremos es igual a producto de me-dios”.

Obtenemos:21 · 10 =15 · x

21 1015

21 23

· ·= ⇒ =x x ⇒ 14 = x

Rpta. Para hacer la misma obra en 15 días se necesitarían 14 obreros.

Si trabajando 10 h/d demoran18 días, trabajando menos ho-ras diarias (6) terminarían enmás días, vemos que estas can-tidades proporcionales van demenos a más (- a +), es decir,que son inversamente proporcio-nales, por consiguiente, la reglade tres simple es inversa.

→

2

3

7

→

→

Regla de tres simple inversaEjemplo 1: Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demora 18 días para terminar

una obra, trabajando 6 horas diarias, ¿en cuántos días terminarían la misma obra?Resolución:

Supuesto trabajando 10 h/d demoran 18 díasPlanteo:

Pregunta trabajando 6 h/d demorarían x días

1

Si 21 obreros tardan 10 días parahacer una obra, para que estamisma obra la hagan en más días(15) se necesitarían menos obre-ros. Vemos que estas cantidadesproporcionales van de más a me-nos (+ a -), es decir, que soninversamente proporcionales, porconsiguiente, la regla de tres sim-ple es inversa.

Razona



1 Resuelve:

a) Si hay 90 niños en 3 salones de clases, ¿cuántos salones senecesitarán para 210 niños?

90 niños 3 salones

210 niños x salones

Por regla de tres simple directa:90210

3=x

1

3

Donde: 90 x = 210 · 3

⇒ x =210 3

90·

∴ x = 7

Rpta. Para 210 niños se necesitan 7 salones.

b) Seis sobres de detergente cuestan 30 nue-vos soles. ¿Cuánto se pagará por 2 doce-nas de dicho detergente?

c) Un caño arroja 40 litros de agua en 25minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 5 mi-nutos?

d) Si 5 paquetes de chocolates son suficien-tes para 20 niños, ¿cuántos paquetes dechocolates se necesitan para 32 niños?

Rpta. 8

e) Un automóvil, en 2 horas, recorre 95 km.¿Cuánto tardará en recorrer 380 km, si suvelocidad es constante?

Rpta. 8 horas


Rpta. S/. 120 Rpta. 8 litros.

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